1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 8.4 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1直线与平面垂直的判定定理与性质定理直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 判定定理判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此 平面垂直 a，b abO la lb l 性质定理性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 a b ab 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理
2、 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 判定定理判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 l l 性质定理性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另 一个平面 l a la l 3.空间角空间角 (1)直线与平面所成的角直线与平面所成的角 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫做这条直线和这个平面所成的角， 如图， PAO 就是斜线 AP 与平面 所成的角 线面角 的范围： 0， 2 (2)二面角二面角 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面 叫做二面角的面 如图的
3、二面角，可记作：二面角 - l- 或二面角 P- AB- Q 二面角的平面角 如图，过二面角 - l- 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别作 BOl，AOl，则AOB 就叫做二面角 - l- 的平面角 二面角的范围 设二面角的平面角为 ，则 0， 当 2时，二面角叫做直二面角 【常用结论】【常用结论】 1线线、线面、面面垂直间的转化线线、线面、面面垂直间的转化 2两个重要定理两个重要定理 (1)三垂线定理三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 (2)三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直
4、，那么它也和这条斜线的射影垂直 3重要结论重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直 二二 题型全归题型全归纳纳 题型一题型一 线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质 【题型要点】【题型要点】(1)判定线面垂直的四种方法判定线面垂直的四种方法 (2)判定线线垂直的四种方法判定线线垂直的四种方法 类型一类型一 线面垂直的证明线面垂直的证明 【例【例 1】如图
5、所示，在四棱锥 P- ABCD 中，AB平面 PAD，ABCD，PDAD，E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点，且 DF1 2AB，PH 为 PAD 中 AD 边上的高 求证：(1)PH平面 ABCD； (2)EF平面 PAB. 【证明】 (1)因为 AB平面 PAD，PH平面 PAD，所以 PHAB. 因为 PH 为 PAD 中 AD 边上的高，所以 PHAD. 因为 ABADA，AB平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以 PH平面 ABCD. (2)如图，取 PA 的中点 M，连接 MD，ME.因为 E 是 PB 的中点，所以 ME 綊1 2AB. 又因为 DF 綊1 2AB. 所
6、以 ME 綊 DF， 所以四边形 MEFD 是平行四边形， 所以 EFMD. 因为 PDAD，所以 MDPA. 因为 AB平面 PAD，所以 MDAB. 因为 PAABA，所以 MD平面 PAB， 所以 EF平面 PAB. 类型二类型二 线面垂直性质的应用线面垂直性质的应用 【例【例 2】如图，在三棱锥 A- BCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重 合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD. 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC. 【证明】(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB. 又因为 EF平面 AB
7、C，AB平面 ABC， 所以 EF平面 ABC. (2)因为平面 ABD平面 BCD， 平面 ABD平面 BCDBD， BC平面 BCD，BCBD， 所以 BC平面 ABD. 因为 AD平面 ABD， 所以 BCAD. 又 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 AD平面 ABC. 又因为 AC平面 ABC， 所以 ADAC. 题型二题型二 面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质 【题型要点】【题型要点】(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是：先寻找平面的垂线，若图中存在这 样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅
8、助线来解决，作 辅助线应有理论根据并有利于证明 (2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现 (3)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件 【例【例 1】 (2020 衡水中学模拟衡水中学模拟)如图， 四棱锥 P- ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， ABDC， ABC90 ， PAB 120 ，DCPC2.PAABBC1. (1)证明：平面 PAB平面 PBC； (2)求四棱锥 P- ABCD 的体积 【解析】(1)证明：在 PAB 中，由 PAAB1，PAB120 ，得 PB 3， 因为 PC2，BC1，PB
9、 3， 所以 PB2BC2PC2，即 BCPB； 因为ABC90 ，所以 BCAB， 又 PBABB，所以 BC平面 PAB， 又 BC平面 PBC，所以平面 PAB平面 PBC. (2)在平面 PAB 内，过点 P 作 PEAB，交 BA 的延长线于点 E，如图所示 由(1)知 BC平面 PAB， 因为 BC平面 ABCD， 所以平面 PAB平面 ABCD. 又平面 PAB平面 ABCDAB, PEAB， 所以 PE平面 ABCD， 因为在 Rt PEA 中，PA1，PAE60 ，所以 PE 3 2 . 因为底面 ABCD 是直角梯形，所以四棱锥 P- ABCD 的体积为 VP- ABCD1
10、 3 1 2 (12) 1 3 2 3 4 . 【例 2】.如图，四棱锥 P- ABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB， AB，BC，PD，PC 的中点 (1)求证：CE平面 PAD； (2)求证：平面 EFG平面 EMN. 【证明】 (1)法一：取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 又 E 为 PB 的中点， 所以 EH 綊1 2AB. 又 CD 綊1 2AB， 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形， 所以 CEDH. 又 DH平面 PAD，CE平面 PAD. 所以 CE平面 PAD. 法二：连接 CF.因为 F 为
11、 AB 的中点，所以 AF1 2AB. 又 CD1 2AB， 所以 AFCD. 又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形 因此 CFAD. 又 CF平面 PAD，AD平面 PAD， 所以 CF平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA. 又 EF平面 PAD，PA平面 PAD， 所以 EF平面 PAD. 又因为 CFEFF.故平面 CEF平面 PAD. 又因为 CE平面 CEF， 所以 CE平面 PAD. (2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点， 所以 EFPA，又 ABPA，所以 ABEF. 同理可得 ABFG. 又 EFFGF，EF平面 EFG
12、， FG平面 EFG， 因此 AB平面 EFG. 又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD. 又 ABCD，所以 MNAB，所以 MN平面 EFG. 又 MN平面 EMN， 所以平面 EFG平面 EMN. 题型三题型三 平行与垂直的综合问题平行与垂直的综合问题 类型一类型一 探索性问题中的平行与垂直关系探索性问题中的平行与垂直关系 【通法归纳】【通法归纳】处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明探索点 存在问题，点多为中点或 n 等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置 【技巧要点】对命题条件的探索的三种途径【技巧要点】对命题条件的探索的三种
13、途径 途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明 途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性 途径三：将几何问题转化为代数问题 【例【例 1】(2019 北京高考北京高考)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中 点 (1)求证：BD平面 PAC； (2)若ABC60 ，求证：平面 PAB平面 PAE； (3)棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由 【解】(1)证明：因为 PA平面 ABCD， 所以 PABD. 因为底面 ABCD 为菱形，所以 BDAC. 又 PAACA， 所以 BD平
14、面 PAC. (2) 证明：因为 PA平面 ABCD，AE平面 ABCD， 所以 PAAE. 因为底面 ABCD 为菱形，ABC60 ，且 E 为 CD 的中点，所以 AECD，所以 ABAE. 又 ABPAA， 所以 AE平面 PAB. 因为 AE平面 PAE， 所以平面 PAB平面 PAE. (3)棱 PB 上存在点 F，使得 CF平面 PAE. 取 F 为 PB 的中点，取 G 为 PA 的中点，连接 CF，FG，EG. 则 FGAB，且 FG1 2AB. 因为底面 ABCD 为菱形，且 E 为 CD 的中点， 所以 CEAB，且 CE1 2AB. 所以 FGCE，且 FGCE. 所以四
15、边形 CEGF 为平行四边形 所以 CFEG. 因为 CF平面 PAE，EG平面 PAE， 所以 CF平面 PAE. 【例【例 2】如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1中， D， E 分别是棱 BC， AB 的中点， 点 F 在棱 CC1上， 已知 ABAC， AA13，BCCF2. (1)求证：C1E平面 ADF； (2)设点 M 在棱 BB1上，当 BM 为何值时，平面 CAM平面 ADF. (1) 【证明】 ：连接 CE 交 AD 于 O，连接 OF. 因为 CE，AD 为 ABC 的中线， 则 O 为 ABC 的重心， 故 CF CC1 CO CE 2 3，故 OFC1E， 因为 O
16、F平面 ADF，C1E平面 ADF， 所以 C1E平面 ADF. (2)当 BM1 时，平面 CAM平面 ADF. 证明如下：因为 ABAC，D 为 BC 的中点， 故 ADBC.在直三棱柱 ABC- A1B1C1中， BB1平面 ABC，BB1平面 B1BCC1， 故平面 B1BCC1平面 ABC. 又平面 B1BCC1平面 ABCBC，AD平面 ABC， 所以 AD平面 B1BCC1， 又 CM平面 B1BCC1， 故 ADCM. 又 BM1，BC2，CD1，FC2， 故 Rt CBMRt FCD. 易证 CMDF，又 DFADD，DF，AD平面 ADF， 故 CM平面 ADF. 又 CM
17、平面 CAM， 故平面 CAM平面 ADF. 类型二类型二 折叠问题中的平行与垂直关系折叠问题中的平行与垂直关系 【通法归纳】解决平面图形翻折问题的关键是抓住【通法归纳】解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变不变” (1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变； (2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变 【例 2】如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90 .以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA. (1)证明：平面 ACD平面 ABC； (2)Q 为线段 A
18、D 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ2 3DA，求三棱锥 Q- ABP 的体积 【解析】(1)证明：由已知可得，BAC90 ，即 BAAC. 又 BAAD，ADACA，AD，AC平面 ACD， 所以 AB平面 ACD. 又 AB平面 ABC， 所以平面 ACD平面 ABC. (2)由已知可得，DCCMAB3，DA3 2. 又 BPDQ2 3DA，所以 BP2 2. 如图，过点 Q 作 QEAC，垂足为 E， 则 QEDC 且 QE1 3DC. 由已知及(1)可得，DC平面 ABC， 所以 QE平面 ABC，QE1. 因此，三棱锥 Q- ABP 的体积为 VQ- ABP1 3 S
19、ABP QE 1 3 1 2 3 2 2sin 45 11. 【例【例 2】如图，在等腰直角三角形 ABC 中，A90 ，BC6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，CDBE 2，O 为 BC 的中点将 ADE 沿 DE 折起，得到如图所示的四棱锥 ABCDE，其中 AO 3. (1)证明：AO平面 BCDE； (2)求二面角 ACDB 的平面角的余弦值 【解】 (1)证明：在题图中，易得 OC3，AC3 2，AD2 2. 连接 OD，OE，在 OCD 中，由余弦定理可得 OD OC2CD22OC CDcos 45 5. 由翻折不变性可知 AD2 2， 所以 AO2OD2AD2，所以 AOOD
20、， 同理可证 AOOE，又 ODOEO， 所以 AO平面 BCDE. (2)过 O 作 OHCD 交 CD 的延长线于 H，连接 AH，因为 AO平面 BCDE，所以 AHCD，所以AHO 为二面角 ACDB 的平面角 结合题图可知，H 为 AC 的中点，故 OH3 2 2 ，从而 AH OH2OA2 30 2 ，所以 cosAHOOH AH 15 5 ， 所以二面角 ACDB 的平面角的余弦值为 15 5 . 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 昆明模拟昆明模拟)己知直线 l平面 ，直线 m平面 ，若 ，则下列结论正确的是( ) Al 或 l Blm Cm
21、Dlm 【答案】【答案】A 【解析】直线 l平面 ，则 l 或 l，A 正确，故选 A. 2(2020 辽宁大连模拟辽宁大连模拟)已知直线 l 和平面 ，且 l，则“l”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 ：.由面面垂直的判定定理可得，若 l，l，则 ，充分性成立；若 l，则 l 与 平 行或相交或垂直，必要性不成立所以若 l，则“l”是“”的充分不必要条件，故选 A. 3(2020 河北唐山模拟河北唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线 AB 与平面 CDE 垂直的是( ) A B C D 【答案】B. 【解析】 ：
22、对于，易证 AB 与 CE 所成角为 45 ，则直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于，易证 ABCE， ABED， 且 CEEDE， 则 AB平面 CDE； 对于， 易证 AB 与 CE 所成角为 60 ， 则直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于，易证 ED平面 ABC，则 EDAB，同理 ECAB，可得 AB平面 CDE.故选 B. 4.(2020 黑龙江鹤岗模拟黑龙江鹤岗模拟)如图，在三棱锥 VABC 中，VO平面 ABC，OCD，VAVB，ADBD，则下 列结论中不一定成立的是( ) AACBC BABVC CVCVD DS VCD ABS ABC VO 【答案】C. 【解析】
23、：因为 VO平面 ABC，AB平面 ABC，所以 VOAB.因为 VAVB，ADBD，所以 VDAB.又因 为 VOVDV， 所以 AB平面 VCD.又因为 CD平面 VCD， 所以 ABCD.又因为 ADBD， 所以 ACBC， 故 A 正确又因为 VC平面 VCD，所以 ABVC，故 B 正确；因为 S VCD1 2VO CD，S ABC 1 2AB CD，所 以 S VCD ABS ABC VO，故 D 正确由题中条件无法判断 VCVD.故选 C. 5.(2020 宁夏模拟宁夏模拟)如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，PA平面 ABC，则四面 体 P- AB
24、C 的四个面中，直角三角形的个数有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】【答案】A 【解析】 AB 是圆 O 的直径， ACB90 ， 即 BCAC， ABC 是直角三角形 又 PAO 所在平面， PAC， PAB 是直角三角形 且 PABC ， 因此 BC 垂直于平面 PAC 中两条相交直线， BC平面 PAC, PBC 是直角三角形从而 PAB， PAC， ABC， PBC 中，直角三角形的个数是 4.故选 A. 6在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 【答案】【答案】C 【
25、解析】如图 A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC，BD 垂直，选项 B，D 错误； A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1CBC1， A1EBC1，故选项 C 正确； (证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又 CEB1CC， BC1平面 CEA1B1.又 A1E平面 CEA1B1，A1EBC1.) A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1垂直，故选项 A 错误 故选 C. 7.如图，在正四面体 P- ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( ) ABC平面 PDF B
26、DF平面 PAE C平面 PDF平面 PAE D平面 PDE平面 ABC 【答案】D. 【解析】 ：因为 BCDF，DF平面 PDF， BC平面 PDF， 所以 BC平面 PDF，故选项 A 正确； 在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE， 且 AE，PE平面 PAE， 所以 BC平面 PAE， 因为 DFBC，所以 DF平面 PAE， 又 DF平面 PDF， 从而平面 PDF平面 PAE. 因此选项 B，C 均正确 8(2020 武邑模拟武邑模拟)如图所示，在斜三棱柱 ABC- A1B1C1中，BAC90 ，BC1AC，则点 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在( ) A直线 AB
27、上 B直线 BC 上 C直线 AC 上 D ABC 的内部 【答案】【答案】A 【解析】 连接 AC1(图略)， 因为 ACAB， ACBC1， ABBC1B， 所以 AC平面 ABC1， 又 AC平面 ABC， 所以平面 ABC1平面 ABC，所以点 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上，故选 A. 9.如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90 ，ADBCAB234，E，F 分别是 AB，CD 的中点， 将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折， 给出下列四个结论： DFBC； BDFC； 平面 BDF平面 BCF； 平面 DCF平面 BCF，则上述结论可能正
28、确的是( ) A B C D 【答案】B. 【解析】 ： 对于，因为 BCAD，AD 与 DF 相交但不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直，则不成立；对于，设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P，当 BPCF 时就有 BDFC，而 ADBCAB234 可使条件满足，所 以正确；对于，当点 D 在平面 BCF 上的射影 P 落在 BF 上时，DP平面 BDF，从而平面 BDF平面 BCF，所以正确；对于，因为点 D 在平面 BCF 上的射影不可能在 FC 上，所以不成立 10已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最 大值为( ) A.3 3
29、 4 B.2 3 3 C.3 2 4 D. 3 2 【答案】【答案】A 【解析】 记该正方体为 ABCD- ABCD，正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，即共点的三条棱 AA， AB，AD与平面 所成的角都相等如图，连接 AB，AD，BD，因为三棱锥 AABD是正三棱锥，所以 AA，AB，AD与平面 ABD所成的角都相等分别取 CD，BC，BB，AB，AD，DD的中点 E，F，G，H， I，J，连接 EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得 E，F，G，H，I，J 六点共面，平面 EFGHIJ 与平面 ABD平 行，且截正方体所得截面的面积最大又 EFFGGHIHIJJE 2 2 ，
30、所以该正六边形的面积为 6 3 4 2 2 23 3 4 ，所以 截此正方体所得截面面积的最大值为3 3 4 ，故选 A. 二、填空题二、填空题 1.如图，在 ABC 中，ACB90 ，AB8，ABC60 ，PC平面 ABC，PC4，M 是边 AB 上的一个 动点，则 PM 的最小值为_ 【答案】 ：2 7 【解析】 ：作 CHAB 于 H，连接 PH.因为 PC平面 ABC，所以 PHAB，PH 为 PM 的最小值，等于 2 7. 2.如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是边 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要
31、填写一个你认为是正确的条件即可) 【答案】 ：DMPC(或 BMPC) 【解析】 ：连接 AC，BD，则 ACBD，因为 PA底面 ABCD，所以 PABD.又 PAACA，所以 BD平面 PAC， 所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时， 即有PC平面MBD.而PC平面PCD， 所以平面MBD 平面 PCD. 3.如图， PAO 所在平面， AB 是O 的直径， C 是O 上一点， AEPC， AFPB， 给出下列结论： AEBC； EFPB；AFBC；AE平面 PBC，其中正确结论的序号是_ 【答案】 ： 【解析】 ：AE平面 PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确；AEPC，A
32、EBC，PB平面 PBCAEPB，AFPB，EF平面 AEFEFPB，故正确；若 AFBCAF平面 PBC，则 AFAE 与已知矛盾，故错误；由可知正确 4在矩形 ABCD 中，ABBC，现将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中， 给出下列结论： 存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直； 存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直； 存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号) 【答案】 ： 【解析】 ： 假设AC与BD垂直， 过点A作AEBD于点E， 连接CE.则 AEBD BDAC BD平面
33、AECBDCE， 而在平面 BCD 中，EC 与 BD 不垂直，故假设不成立，错 假设 ABCD，因为 ABAD，所以 AB平面 ACD，所以 ABAC，由 ABBC 可知，存在这样的等腰 直角三角形，使 ABCD，故假设成立，正确 假设 ADBC， 因为 DCBC，所以 BC平面 ADC， 所以 BCAC，即 ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，而 ABBC，故矛盾，假设不成立，错综上， 填. 5如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90 ，D 是 A1B1的中点，F 是 BB1 上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段
34、B1F 的长为_ 【答案】 ：1 2 【解析】 ：设 B1Fx，因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF，所以 AB1DF. 由已知可以得 A1B1 2， 设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE1 2h， 又 2 2h 22（ 2）2， 所以 h2 3 3 ，DE 3 3 . 在 Rt DB1E 中，B1E（ 2 2 ）2（ 3 3 ）2 6 6 . 由面积相等得 6 6 x2（ 2 2 ）2 2 2 x，得 x1 2.即线段 B1F 的长为 1 2. 6(2020 南昌模拟南昌模拟)如图所示，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G
35、 是 EF 的中点现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H.下列说法错误的是_(将符合题意的序号填到横线上) AGEFH 所在平面；AHEFH 所在平面；HFAEF 所在平面；HGAEF 所在平面 【答案】 【解析】根据折叠前 ABBE，ADDF 可得折叠后 AHHE，AHHF，可得 AH平面 EFH，即正确； 过点 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，不正确；AGEF，AHEF，EF平面 HAG，平面 HAG平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，该直线一定在平面 HAG 内，不正确；HG 不垂直 AG，HG平面 AE
36、F 不正确，不正确，综上，说法错误的是. 三三 解答题解答题 1如图，在多面体 ABCDPE 中，四边形 ABCD 和 CDPE 都是直角梯形，ABDC，PEDC，ADDC， PD平面 ABCD，ABPDDA2PE，CD3PE，F 是 CE 的中点 (1)求证：BF平面 ADP； (2)已知 O 是 BD 的中点，求证：BD平面 AOF. 【证明】 ：(1)如图 取 PD 的中点为 G，连接 FG，AG， 因为 F 是 CE 的中点，所以 FG 是梯形 CDPE 的中位线， 因为 CD3PE，所以 FG2PE， FGCD，因为 CDAB，AB2PE， 所以 ABFG，ABFG， 即四边形 AB
37、FG 是平行四边形， 所以 BFAG， 又 BF平面 ADP，AG平面 ADP， 所以 BF平面 ADP. (2)延长 AO 交 CD 于点 M，连接 BM，FM， 因为 BAAD，CDDA，ABAD，O 为 BD 的中点， 所以 ABMD 是正方形，则 BDAM，MD2PE. 所以 FMPD，因为 PD平面 ABCD， 所以 FM平面 ABCD，所以 FMBD， 因为 AMFMM，所以 BD平面 AMF， 所以 BD平面 AOF. 2如图 1，在等腰梯形 PDCB 中，PBDC，PB3，DC1，DPB45 ，DAPB 于点 A，将 PAD 沿 AD 折起，构成如图 2 所示的四棱锥 P- A
38、BCD，点 M 在棱 PB 上，且 PM1 2MB. (1)求证：PD平面 MAC； (2)若平面 PAD平面 ABCD，求点 A 到平面 PBC 的距离 【解析】 ：(1)证明：在四棱锥 P- ABCD 中，连接 BD 交 AC 于点 N，连接 MN， 依题意知 ABCD， 所以 ABNCDN， 所以BN ND BA CD2， 因为 PM1 2MB， 所以BN ND BM MP2， 所以在 BPD 中，MNPD， 又 PD平面 MAC，MN平面 MAC. 所以 PD平面 MAC. (2)法一：因为平面 PAD平面 ABCD，且两平面相交于 AD，PAAD，PA平面 PAD， 所以 PA平面
39、ABCD， 所以 VP- ABC1 3S ABC PA 1 3 1 2 2 1 1 1 3. 因为 AB2，AC AD2CD2 2， 所以 PB PA2AB2 5，PC PA2AC2 3，BC AD2（ABCD）2 2， 所以 PB2PC2BC2，故PCB90 ， 记点 A 到平面 PBC 的距离为 h， 所以 VA- PBC1 3S PBC h 1 3 1 2 3 2 h 6 6 h. 因为 VP- ABCVA- PBC， 所以1 3 6 6 h，解得 h 6 3 . 故点 A 到平面 PBC 的距离为 6 3 . 法二： 因为平面 PAD平面 ABCD，且两平面相交于 AD，PAAD，PA
40、平面 PAD， 所以 PA平面 ABCD， 因为 BC平面 ABCD， 所以 PABC， 因为 AB2，AC AD2CD2 2， BC AD2（ABCD）2 2， 所以ACB90 ，即 BCAC， 又 PAACA，PA，AC平面 PAC， 所以 BC平面 PAC， 过点 A 作 AEPC 于点 E，则 BCAE， 因为 PCBCC，PC，BC平面 PBC， 所以 AE平面 PBC， 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 AEPA AC PC 1 2 3 6 3 . 3 (2020 河南郑州第二次质量预测河南郑州第二次质量预测)如图， 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 2 的菱
41、形， BAD 3， PAD 是等边三角形，F 为 AD 的中点，PDBF. (1)求证：ADPB； (2)若 E 在线段 BC 上，且 EC1 4BC，能否在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG平面 ABCD？若存在，求 出三棱锥 DCEG 的体积；若不存在，请说明理由 【解析】 ：(1)证明：连接 PF，因为 PAD 是等边三角形，F 是 AD 的中点，所以 PFAD. 因为底面 ABCD 是菱形，BAD 3，所以 BFAD. 又 PFBFF，所以 AD平面 BFP，又 PB平面 BFP， 所以 ADPB. (2)能在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG平面 ABCD. 由(1)知
42、ADBF，因为 PDBF，ADPDD，所以 BF平面 PAD. 又 BF平面 ABCD，所以平面 ABCD平面 PAD， 又平面 ABCD平面 PADAD，且 PFAD，所以 PF平面 ABCD. 连接 CF 交 DE 于点 H，过 H 作 HGPF 交 PC 于点 G，所以 GH平面 ABCD. 又 GH平面 DEG，所以平面 DEG平面 ABCD. 因为 ADBC，所以 DFHECH，所以CH HF CE DF 1 2， 所以CG GP CH HF 1 2， 所以 GH1 3PF 3 3 ， 所以 VDCEGVGCDE1 3S CDE GH 1 3 1 2DC CE sin 3 GH 1
43、12. 4如图(1)，在 Rt ABC 中，ABC90 ，D 为 AC 的中点，AEBD 于点 E(不同于点 D)，延长 AE 交 BC 于点 F，将 ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 A1- BCD，如图(2)所示 (1)若 M 是 FC 的中点，求证：直线 DM平面 A1EF； (2)求证：BDA1F； (3)若平面 A1BD平面 BCD，试判断直线 A1B 与直线 CD 能否垂直？并说明理由 【解析】 ：(1)证明：因为 D，M 分别为 AC，FC 的中点， 所以 DMEF， 又 EF平面 A1EF，DM平面 A1EF， 所以 DM平面 A1EF. (2)证明：因为 A1EBD，EFBD 且 A1EEFE， 所以 BD平面 A1EF. 又 A1F平面 A1EF， 所以 BDA1F. (3)直线 A1B 与直线 CD 不能垂直理由如下： 因为平面 A1BD平面 BCD，平面 A1BD平面 BCDBD，EFBD，EF平面 BCD， 所以 EF平面 A1BD. 因为 A1B平面 A1BD， 所以 A1BEF， 又因为 EFDM，所以 A1BDM. 假设 A1BCD， 因为 CDDMD， 所以 A1B平面 BCD， 所以 A1BBD， 这与A1BD 为锐角矛盾， 所以直线 A1B 与直线 CD 不能垂直