1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.5 椭椭 圆圆 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1椭圆的概念椭圆的概念 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆 (2)若 ac，则集合 P 为线段 (3)若 ab0)，则 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内 x20 a2 y20 b21. 【常
2、用结论】【常用结论】 (1)焦半径：焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分 别记作 r1|PF1|，r2|PF2|. x 2 a2 y2 b21(ab0)，r1aex0，r2aex0； y 2 a2 x2 b21(ab0)，r1aey0，r2aey0； 焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) (2)焦点三角形：焦点三角形： 椭圆上的点 P(x0， y0)与两焦点构成的 PF1F2叫作焦点三角形 r1|PF1|， r2|PF2|， F1PF2 ， PF1F2的面积为 S，则在椭圆x 2 a2 y2 b21(
3、ab0)中： 当 r1r2时，即点 P 的位置为短轴端点时， 最大； Sb2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc. (3)焦点弦焦点弦(过焦点的弦过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin2b 2 a . (4)AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 弦长 l 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|； 直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0. 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型一题型一 椭圆的定义及应用椭圆的定义
4、及应用 【解题要点】【解题要点】(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积 及弦长、最值和离心率等. (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 类型类型一一 利用定义求轨迹方程利用定义求轨迹方程 【例 1】 (1)如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分 线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 (2)设 P 为椭圆 C：x 2 49 y2 241 上一点，F1，F2分别是椭圆 C
5、 的左、右焦点，且PF1F2的重心为点 G，若 |PF1|PF2|34，那么GPF1的面积为( ) A.24 B.12 C.8 D.6 【答案】 (1)A (2)C 【解析】 (1)连接 QA.由已知得|QA|QP|. 所以|QO|QA|QO|QP|OP|r. 又因为点 A 在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. (2)P 为椭圆 C：x 2 49 y2 241 上一点，|PF1|PF2|34，|PF1|PF2|2a14， |PF1|6，|PF2|8， 又|F1F2|2c2 492410， 易知PF1F2是直角三角形，SPF1F21
6、 2|PF1| |PF2|24， PF1F2的重心为点 G，SPF1F23SGPF1， GPF1的面积为 8. 类型类型二二 利用定义解决利用定义解决“焦点三角形焦点三角形”问题问题 【例【例 2】 已知 F1， F2是椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点， 且PF 1PF 2， 若PF1F2 的面积为 9，则 b_ 【答案】3 【解析】解法一解法一：设|PF1|r1，|PF2|r2，则 r1r22a， r21r224c2， 所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2， 又因为 SPF1F21 2r1r2b 29，所以 b3
7、. 解法二解法二：由PF1 PF2 ，可得 SPF1F2b29，所以 b3. 类型类型三三 利用定义求最值利用定义求最值 【例【例 3】设 P 是椭圆x 2 25 y2 91 上一点，M，N 分别是两圆：(x4) 2y21 和(x4)2y21 上的点，则|PM| |PN|的最小值和最大值分别为( ) A9，12 B8，11 C8，12 D10，12 【答案】C 【解析】如图， 由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接 PA，PB 分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接 PA，PB 并延长，分 别
8、与圆相交于 M， N 两点， 此时|PM|PN|最大， 最大值为|PA|PB|2R12， 即最小值和最大值分别为 8， 12. 题型二题型二 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 【规律与方法】【规律与方法】求椭圆标准方程的求椭圆标准方程的 2 种常用方法种常用方法 定义法 根据椭圆的定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 待定系 数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a、b；若焦点位 置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0，AB) 【例【例 1】 (1)已知两圆 C1：(x4)2y2169，
9、C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和 圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x 2 64 y2 481 B.x 2 48 y2 641 C.x 2 48 y2 641 D.x 2 64 y2 481 (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为_. 【答案】 (1)D (2)x 2 4y 21 【解析】 (1)设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆， 且 2a16，2c8， 所以 a8，c4，b a2b2 8242 484 3， 故所求的轨
10、迹方程为x 2 64 y2 481. (2)法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21 (ab0). 椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， 4 a2 0 b21， 0 a2 1 b21， 解得 a2， b1. 所求椭圆的标准方程为x 2 4y 21； 当椭圆的焦点在 y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2 a2 x2 b21 (ab0). 椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， 0 a2 4 b21， 1 a2 0 b21， 解得 a1， b2， 与 ab 矛盾，故舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 2 4y 21. 法二 设椭圆方程为 mx2ny21 (
11、m0，n0，mn). 椭圆过(2，0)和(0，1)两点， 4m1， n1， 解得 m1 4， n1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 2 4y 21. 【例 2】过点( 3， 5)，且与椭圆y 2 25 x2 91 有相同焦点的椭圆的标准方程为_ 【答案】y 2 20 x2 41 【解析】椭圆y 2 25 x2 91 的焦点为(0，4)，(0，4)，即 c4. 由椭圆的定义知，2a（ 30）2（ 54）2（ 30）2（ 54）2， 解得 a2 5. 由 c2a2b2可得 b24， 所以所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 41. 法二(待定系数法)：因为所求椭圆与椭圆y 2 25 x2 9
12、1 的焦点相同， 所以其焦点在 y 轴上，且 c225916. 设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216. 又点( 3， 5)在所求椭圆上， 所以（ 5） 2 a2 （ 3） 2 b2 1， 即 5 a2 3 b21. 由得 b24，a220， 所以所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 41. 题型三题型三 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 【解题要点】【解题要点】(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到 x，y 的范围，离心率的范围等
13、不等关系 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系 (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a，b，c 的等式或不等式，即可得离心率或离 心率的范围 类型类型一一 椭圆的长轴、短轴、焦距椭圆的长轴、短轴、焦距 【例【例 1】 (2020 河南洛阳一模河南洛阳一模)已知椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于( ) A5 B6 C9 D10 【答案】C 【解析】由椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上，焦距
14、为 4，可得 m311m2，解得 m9.故选 C. 类型类型二二 求椭圆的离心率求椭圆的离心率 【例 2】过椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上 顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是_ 【答案】 0， 5 5 【解析】 由题设知，直线 l： x c y b1， 即 bxcybc0，以 AB 为直径的圆的圆心为(c， 0)， 根据题意， 将 xc 代入椭圆 C 的方程，得 y b2 a ，即圆的半径 rb 2 a.又圆与直线 l 有公共点，所以 2bc b2c2 b2
15、 a ，化简 得 2cb，平方整理得 a25c2，所以 ec a 5 5 .又 0e1，所以 0b0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120 ，则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 【答案】 D 【解析】 由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示， 设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120 ， |PF2|F1F2|2c. |OF2|c，过 P 作 PE 垂直 x 轴于点 E，则PF2E60 ，所以|F2E|c， |PE| 3c，即点 P(2c， 3c)
16、.点 P 在过点 A，且斜率为 3 6 的直线上， 3c 2ca 3 6 ，解得c a 1 4，e 1 4. 类型类型三三 根据椭圆的性质求参数根据椭圆的性质求参数 【例 4】(1)设 A，B 是椭圆 C：x 2 3 y2 m1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足AMB120 ，则 m 的取 值范围是( ) A(0，19，) B(0， 39，) C(0，14，) D(0， 34，) (2)如图，焦点在 x 轴上的椭圆x 2 4 y2 b21 的离心率 e 1 2，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上 任意一点，则PF PA的最大值为_ 【答案】 (1)A (2)4 【解析】
17、(1)依题意得， 3 mtan AMB 2 0m3 ，所以 3 mtan 60 0m3 ，解得 01 Bm0 C0m5 且 m1 Dm1 且 m5 【答案】D. 【解析】 ：法一：由于直线 ykx1 恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则 00 且 m5，所以 m1 且 m5. 题型五题型五 弦长问题弦长问题 【题型要点】题型要点】设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| （1k2）（x1x2）24x1x2 1 1 k2 （y1y2）24y1y2(k 为直线的斜率) 【例 1】已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分
18、别为 F1，F2，且点 F1到椭圆 C 上任意一点的最大距 离为 3，椭圆 C 的离心率为1 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存在斜率为1 的直线 l 与以线段 F1F2为直径的圆相交于 A，B 两点，与椭圆相交于 C，D，且|CD| |AB| 8 3 7 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)根据题意，设 F1，F2的坐标分别为(c，0)，(c，0)， 由题意可得 ac3， c a 1 2， 解得 a2，c1，则 b2a2c23， 故椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. (2)假设存在斜率为1 的直线 l，设为 yxm， 由(1)知 F1，
19、F2的坐标分别为(1，0)，(1，0)， 所以以线段 F1F2为直径的圆为 x2y21， 由题意知圆心(0，0)到直线 l 的距离 d|m| 2 1， 得|m|0，解得 m27， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则 x1x28m 7 ，x1x24m 212 7 ， |CD| 2|x1x2| 2 8m 7 2 44m 212 7 2 33648m2 49 4 6 7 7m28 3 7 |AB| 8 3 7 2 2m2， 解得 m21 3b0)的离心率为 1 2，过椭圆右焦点 F 作两条互相 垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，|AB|4. (1)求椭圆的方程； (
20、2)若|AB|CD|48 7 ，求直线 AB 的方程 【答案】(1).x 2 4 y2 31;(2).见解析 【解析】 (1)由题意知 ec a 1 2，2a4. 又 a2b2c2， 解得 a2，b 3， 所以椭圆的方程为x 2 4 y2 31. (2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|4 37，不满足条件 当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线 CD 的方程为 y1 k(x1) 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k
21、2120， 则 x1x2 8k2 34k2，x1x2 4k212 34k2 ， 所以|AB| k21|x1x2| k21 （x1x2）24x1x212（k 21） 34k2 . 同理，|CD| 12 1 k21 3 4 k2 12（k 21） 3k24 . 所以|AB|CD|12（k 21） 34k2 12（k 21） 3k24 84（k21）2 （34k2）（3k24） 48 7 ， 解得 k 1，所以直线 AB 的方程为 xy10 或 xy10. 题型六题型六 中点弦问题中点弦问题 【规律方法规律方法】弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关
22、系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率. 【例 1】 已知椭圆x 2 2y 21， (1)过 A(2，1)的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点 P 1 2， 1 2 且被 P 点平分的弦所在直线的方程. 解 (1)设弦的端点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是 M(x，y)，则 x2x12x，y2y12y，由于点 P，Q 在 椭圆上，则有： x21 2y 2 11， x22 2y 2 21， 得y2y1 x2x1 x2x1 2（y2y1） x 2y， 所以 x 2y y1 x2， 化简得 x22x2y22y0(包
23、含在椭圆x 2 2y 21 内部的部分). (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为 k x 2y 1 2， 因此所求直线方程是 y1 2 1 2 x1 2 ，化简得 2x4y30. 【例【例 2】(1)已知椭圆x 2 2y 21，则斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程为_ (2)焦点是 F(0，5 2)，并截直线 y2x1 所得弦的中点的横坐标是2 7的椭圆的标准方程为_ 【答案】 (1)x4y0 4 3x 4 3 (2)y 2 75 x2 251 【解析】 (1)设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 P(x0，y0)， 解法一解法一：有x 2 1 2y 2 11，x 2 2
24、 2 y 2 21. 两式作差，得（x2x1）（x2x1） 2 (y2y1)(y2y1)0.因为 x1x22x0，y1y22y0，y2y1 x2x1kAB，代入 后求得 kAB x0 2y0.即 2 x0 2y0，所以 x04y00. 解法二解法二：由 kABkOPb 2 a2得 2 y0 x0 1 2， 即 x04y00. 故所求的轨迹方程为 x4y0，将 x4y0 代入x 2 2y 21 得：x 2 2 x 4 2 1，解得 x 4 3，又中点在椭圆 内，所以4 3xb0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题 意， 可得弦 AB 的中点坐标为 x1x2 2 ，
25、y1y2 2 ， 且x1x2 2 2 7， y1y2 2 3 7.将 A， B 两点坐标代入椭圆方程中， 得 y21 a2 x21 b21， y22 a2 x22 b21. 两式相减并化简，得a 2 b2 y1y2 x1x2 y1y2 x1x22 6 7 4 7 3， 所以 a23b2，又 c2a2b250，所以 a275，b225，故所求椭圆的标准方程为y 2 75 x2 251. 解法二：设弦的中点为 M，由 kABkOMa 2 b2得 2 22 71 2 7 a 2 b2，得 a 23b2，又 c2a2b250，所以 a275，b225，所以所求的方程为y 2 75 x2 251. 题型
26、七题型七 椭圆与向量的综合问题椭圆与向量的综合问题 【题型要点】【题型要点】解决椭圆中与向量有关问题的方法解决椭圆中与向量有关问题的方法 (1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系 (2)利用向量关系转化成相关的等量关系 (3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题 【例【例 1】(2020 湖南永州二模湖南永州二模)已知动点 M 到两定点 F1(m，0)，F2(m，0)的距离之和为 4(0m2)，且动点 M 的轨迹曲线 C 过点 N 3，1 2 . (1)求 m 的值； (2)若直线 l：ykx 2与曲线 C 有两个不同的交点 A，B，且OA OB 2(O 为坐标原
27、点)，求 k 的值 【答案】见解析 【解析】 ：(1)由 0m2，得 2m0，得 k21 4. x1x2 8 2k 14k2，x1x2 4 14k2， 则OA OB x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2)(1k2)x1x2 2k(x1x2)264k 2 14k22. 得 k21 3 1 4， 所以 k 的值为 3 3 . 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 河北衡水二模河北衡水二模)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 3，则 a b( ) A.9 8 B3 2 2 C.4 3 D3 2 4 【答案】D. 【解析】 ：因为
28、ec a a2b2 a2 1 3，所以 8a 29b2，所以a b 3 2 4 .故选 D. 2已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是 8，离心率是3 4，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 2 16 y2 71 B. x2 16 y2 71 或 x2 7 y2 161 C.x 2 16 y2 251 D. x2 16 y2 251 或 x2 25 y2 161 【答案】B. 【解析】 ：因为 a4，e3 4， 所以 c3，所以 b2a2c21697. 因为焦点的位置不确定， 所以椭圆的标准方程是x 2 16 y2 71 或 x2 7 y2 161. 3 已知点 F1， F2分别为椭圆 C： x2
29、 4 y2 31 的左、 右焦点， 若点 P 在椭圆 C 上， 且F1PF260， 则|PF1| |PF2| ( ) A4 B6 C8 D12 【答案】A. 【解析】 ：由|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，得 3|PF1|PF2|12，所以 |PF1|PF2|4，故选 A. 4设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与 E 交于 P，Q 两点，若PF1F2为 直角三角形，则 E 的离心率为( ) A. 21 B 51 2 C. 2 2 D 21 【答案】A. 【解析】 ： 不妨设椭圆 E 的方程为
30、x 2 a2 y2 b21(ab0)， 如图所示， 因为PF1F2为直角三角形， 所以 PF1F1F2， 又|PF1|F1F2|2c，所以|PF2|2 2c，所以|PF1|PF2|2c2 2c2a，所以椭圆 E 的离心率 e 21. 故选 A. 5(2020 江西赣州模拟江西赣州模拟)已知 A，B 是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)上的两点，且 A，B 关于坐标原点对称，F 是椭圆的一个焦点，若ABF 面积的最大值恰为 2，则椭圆 E 的长轴长的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】D. 【解析】 ：如图所示， 设直线 AB 的方程为 tyx，F(c，0)，A(x1，y
31、1)，B(x2，y2) 联立 tyx， x2 a2 y2 b21 可得 y2 a2b2 b2t2a2y1y2， 所以ABF 的面积 S1 2c|y1y2| 1 2c （y1y2） 24y 1y2c a2b2 b2t2a2cb，当 t0 时取等号 所以 bc2.所以 a2b2c22bc4，a2.所以椭圆 E 的长轴长的最小值为 4.故选 D. 6椭圆 4x29y2144 内有一点 P(3，2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A2 3 B3 2 C4 9 D9 4 【答案】A. 【解析】 ：设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则
32、 4x219y21144， 4x229y22144，两式相减得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2) (y1y2)0，又 x1x26，y1y24，y1y2 x1x2k， 代入解得 k2 3. 7已知直线 yx1 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为 2 2 ，焦距为 2，则线 段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B4 2 3 C. 2 D2 【答案】B. 【解析】 ：由条件知 c1，ec a 2 2 ，所以 a 2，b1，椭圆方程为x 2 2y 21，联立直线方程与椭圆方程 可得交点坐标为(0，1)， 4 3， 1 3 ，所以|AB|4 2
33、3 . 8 (2020 石家庄质检石家庄质检)倾斜角为 4的直线经过椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F， 与椭圆交于 A， B 两点， 且AF 2FB ，则该椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B 2 3 C. 2 2 D 3 3 【答案】B. 【解析】 ：由题可知，直线的方程为 yxc，与椭圆方程联立 x 2 a2 y2 b21， yxc， 得(b2a2)y22b2cyb40，由 于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22b 2c a2b2， y1y2 b4 a2b2， 又AF 2FB ， 所以(cx1，y1)2(
34、x2c，y2)，所以y12y2，可得 y22b 2c a2b2， 2y22 b4 a2b2. 所以1 2 4c2 a2b2，所以 e 2 3 ，故选 B. 9设 F1，F2分别是椭圆x 2 4y 21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使(OPOF 2 ) PF2 0(O 为坐标原 点)，则F1PF2的面积是( ) A4 B3 C2 D1 【答案】D. 【解析】 ：因为(OP OF2 ) PF2 (OP F1O ) PF2 F1P PF2 0， 所以 PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则 mn4，m2n212，2mn4，mn2，所以 S F1PF21 2mn1. 1
35、0(2020 福建福州一模福建福州一模)已知 F1，F2为椭圆x 2 4y 21 的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是F1PF2内切圆的圆心，过 F1作 F1MPK 于点 M，O 是坐标原点，则|OM|的取值范围为( ) A(0，1) B(0， 2) C(0， 3) D(0，2 3) 【答案】C. 【解析】 ：如图，延长 PF2，F1M 相交于 N 点， 因为 K 点是F1PF2内切圆的圆心，所以 PK 平分F1PF2， 因为 F1MPK， 所以|PN|PF1|，M 为 F1N 的中点， 因为 O 为 F1F2的中点，M 为 F1N 的中点， 所以|OM|1 2|F2N| 1
36、 2|PN|PF2| 1 2|PF1|PF2|b0)，得(a 2b2)x210a2x25a2a2b20，设直线与椭圆 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 10a2 a2b2，又由中点坐标公式知 x1x28，所以 10a2 a2b28，解 得 a2b，又 c a2b2 3b，所以 ec a 3 2 .故选 C. 12(2020 广东深圳一模广东深圳一模)已知 F1，F2是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，过 F2 的直线与椭圆交于 P，Q 两点，PQPF1，且|QF1|2|PF1|，则PF1F2与QF1F2的面积之比为( ) A2 3 B 21 C.
37、21 D2 3 【答案】D. 【解析】 ：法一：可设|PF1|t，则|QF1|2|PF1|2t， 由椭圆的定义可得|PF2|2at，|QF2|2a2t， |PQ|4a3t， 则|PQ|2|PF1|2|QF1|2，即(4a3t)2t24t2， 即有 4a3t 3t，解得 t 4 3 3a， 则PF1F2与QF1F2的面积之比为 1 2|PF1|PF2| 1 2|QF1|QF2|sin 30 1 2 4 3 3a 22 3 3 3 a 1 2 8 3 3a 2 32 3 3 a 1 2 1 3 312 3.故选 D. 法二：同法一得出 t 4 3 3a， 则 SPF1F2 SQF1F2 1 2|F
38、1F2|yP| 1 2|F1F2|yQ| |yP| |yQ| |PF2| |QF2| 2at 2a2t 2a 4 3 3a 2a2 4 3 3a （22 3）a （2 32）a2 3. 故选 D. 二、填空题二、填空题 1已知 F 是椭圆 5x29y245 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点则|PA|PF|的最大值为 _，最小值为_ 【答案】 ：6 2 6 2 【解析】 ：如图所示， 设椭圆右焦点为 F1，则|PF|PF1|6. 所以|PA|PF|PA|PF1|6. 利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P，A，F1共线时等号成立) 所以|PA|PF|6 2，|PA|PF
39、|6 2. 故|PA|PF|的最大值为 6 2，最小值为 6 2. 2(2020 湖南郴州二模湖南郴州二模)已知椭圆 E 的中心为原点，焦点在 x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为 2 2 2，离心率为 2 2 ，则椭圆 E 的方程为_ 【答案】 ：x 2 8 y2 41 【解析】 ：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为 ac， 所以 ac2 22，因为离心率 e 2 2 ，所以c a 2 2 ， 解得 a2 2，c2，则 b2a2c24， 所以椭圆 E 的方程为x 2 8 y2 41. 3已知椭圆x 2 a2 y2 b21(abc0，a 2b2c2)的左、右焦点分别为 F 1，F2，若以 F2
40、为圆心，bc 为半径作 圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且|PT|的最小值不小于 3 2 (ac)，则椭圆的离心率 e 的取 值范围是_ 【答案】 ： 3 5， 2 2 【解析】 ：因为|PT| |PF2|2（bc）2(bc)， 而|PF2|的最小值为 ac， 所以|PT|的最小值为 （ac）2（bc）2. 依题意，有 （ac）2（bc）2 3 2 (ac)， 所以(ac)24(bc)2，所以 ac2(bc)， 所以 ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所以 5c22ac3a20，所以 5e22e30. 又 bc，所以 b2c2，所以 a2c2c2， 所以 2e2b
41、0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_ 【答案】 ： 2 2 【解析】 ：由题意可设 P(c，y0)(c 为半焦距)， kOPy0 c，kAB b a，由于 OPAB， 所以y0 c b a，y0 bc a ， 把 P c，bc a 代入椭圆方程得（c） 2 a2 bc a 2 b2 1， 所以 c a 2 1 2，所以 e c a 2 2 . 8.(2020 安徽蚌埠一模安徽蚌埠一模)已知 F1，F2是椭圆x 2 4 y2 31 的左，右焦点，点 A 的坐
42、标为 1，3 2 ，则F1AF2的 平分线所在直线的斜率为_ 【答案】 ：2 【解析】 ：法一：因为 F1，F2是椭圆x 2 4 y2 31 的左，右焦点， 所以 F1(1，0)，F2(1，0)，又 A 1，3 2 ， 所以 AF1x 轴， 所以|AF1|3 2，则|AF2| 5 2，所以点 F2(1，0)关于 l(F1AF2的平分线所在直线)对称的点 F2 在线段 AF1的延 长线上， 又|AF2|AF2|5 2，所以|F2F1|1， 所以 F2(1，1)，线段 F2F2的中点坐标为 0，1 2 ， 所以所求直线的斜率为 3 2 1 2 10 2. 法二：如图 设F1AF2的平分线交 x 轴
43、于点 N， F1AN，ANF2. 因为 tan 2|F1F2| |AF1| 2 3 2 4 3 2tan 1tan2， 所以 tan 1 2或2(舍) 在 RtAF1N 中，tan |F1N| |AF1|，即 |F1N| 3 2 1 2， 所以|F1N|3 4， 所以 kltan tan(ANF1)tanANF1|AF1| |F1N| 3 2 3 4 2. 三三 解答题解答题 1.(2020 柳州摸底柳州摸底)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F2(3，0)，离心率为 e. (1)若 e 3 2 ，求椭圆的方程； (2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N
44、分别为线段 AF2，BF2的中点，若坐标原点 O 在以 MN 为 直径的圆上，且 2 2 e 3 2 ，求 k 的取值范围 【答案】见解析 【解析】 ：(1)由题意得 c3，c a 3 2 ，所以 a2 3.又因为 a2b2c2，所以 b23.所以椭圆的方程为x 2 12 y2 3 1. (2)由 x 2 a2 y2 b21， ykx 得(b2a2k2)x2a2b20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 x1x20，x1x2 a2b2 b2a2k2， 依题意易知，OMON，四边形 OMF2N 为矩形，所以 AF2BF2.因为F2A (x13，y1)，F2B (x23，y2)， 所以
45、F2A F2B (x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290. 即a 2（a29）（1k2） a2k2（a29） 90， 将其整理为 k2a 418a281 a418a2 1 81 a418a2. 因为 2 2 e 3 2 ，所以 2 3a3 2，12a2b0)，F1，F2 为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点， 四边形 F1B1F2B2的面积为 2，点 P 为椭圆 E 上任意一点，以 P 为圆心的圆(记为圆 P)总经过坐标原点 O. (1)求椭圆 E 的长轴 A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆 E 的方程； (2)对于(1)中确定的椭圆 E，若给定圆 F1：(x1)2y23，则圆
46、 P 和圆 F1的公共弦 MN 的长是不是定值？ 如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由 【答案】见解析 【解析】 ：(1)依题意四边形 F1B1F2B2的面积为 2bc， 所以 2bc2. 因为|A1A2|2a2 b2c22 2bc2 2，当且仅当 bc1 时取“”，此时 a 2， 所以长轴 A1A2的长的最小值为 2 2，此时椭圆 E 的方程为x 2 2y 21. (2)是定值设点 P(x0，y0)，则x 2 0 2y 2 01y 2 01x 2 0 2. 圆 P 的方程为(xx0)2(yy0)2x20y20，即 x2y22x0 x2y0y0， 圆 F1的方程为(x1)2y23，即
47、x2y22x20， 得公共弦 MN 所在直线的方程为(x01)xy0y10， 所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d |x02| （x01）2y20 |x02| （x01）211 2x 2 0 |x02| 1 2x 2 02x02 2， 则|MN|2 3d22，所以圆 P 和圆 F1的公共弦 MN 的长为定值 2. 3.(2020 安徽五校联盟第二次质检安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的焦点坐标分别为 F1(1， 0)， F2(1， 0)， P 为椭圆 C 上一点，满足 3|PF1|5|PF2|且 cosF1PF23 5. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 A，B 两点， 点