1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.6 双曲线双曲线 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1双曲线的定义双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定 点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0. (1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b
2、0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e(1，) 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半 轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a、 b、 c 的关 系 c2a2b2(ca0，cb0) 3.等轴双曲线及性质等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：等轴双曲线：实轴长和虚轴长
3、相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2(0) (2)等轴双曲线 离心率 e 2 两条渐近线 y x 互相垂直 【常用结论常用结论】 1双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. 2若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca. 3同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2 a ，异支的弦中最短的为实轴，其长 为 2a. 4设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存在且不为 0， 则直线 PA 与 PB 的斜率之积为b 2 a2. 5 P 是双曲
4、线上不同于实轴两端点的任意一点， F1， F2分别为双曲线的左、 右焦点， 则 S PF1F2b2 1 tan 2 ， 其中 为F1PF2. 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型一题型一 双曲线的定义双曲线的定义 【解题要点】【解题要点】双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立|PF1| 与|PF2|的关系 提醒 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双 曲线的一支，则需确定是哪一支 类型类
5、型一一 利用定义求轨迹方程利用定义求轨迹方程 【例 1】已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆 圆心 M 的轨迹方程为_ 【答案】x2y 2 81(x1) 【解析】如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和点 B.根据两圆外切的条件，得 |MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|，所以 |MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点 M 到两定点 C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹
6、为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 81(x1) 类型类型二二 利用定义解决利用定义解决“焦点三角形焦点三角形”问题问题 【例 2】已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左，右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2 _ 【答案】 3 4 【解析】 由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2 2， 所以|PF1|2|PF2|4 2， 则 cosF1PF2|PF1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1|PF2| （4 2） 2（2 2）242 2
7、4 22 2 3 4. 类型类型三三 利用定义求解最值问题利用定义求解最值问题 【例 3】若双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|PA|的最小值是 ( ) A8 B9 C10 D12 【答案】 B 【解析】 由题意知， 双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点 F 的坐标为(4， 0)， 设双曲线的右焦点为 B， 则 B(4， 0)， 由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4 （41）2（04）2459， 当且仅当 A， P，B 三点共线且 P 在 A，B 之间时取等号所以|PF|PA|的最小值为 9. 题型二题
8、型二 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 【规律与方法】【规律与方法】(1)求双曲线标准方程的答题模板求双曲线标准方程的答题模板 (2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线x 2 a2 y2 b21 共渐近线的方程可设为 x2 a2 y2 b2(0)； 若双曲线的渐近线方程为 y b ax，则双曲线的方程可设为 x2 a2 y2 b2(0)； 若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2 m y2 n1(mn0)或 mx 2ny21(mn0，b0)，所以 4 a2 1 b21，a 2b23，解得 a22，b21，所以所求双曲线方程是x 2 2y
9、21. 法二：设所求双曲线方程为 x2 4 y2 11(14)，将点 P(2，1)的坐标代入可得 4 4 1 11，解得 2(2 舍去)，所以所求双曲线方程为x 2 2y 21. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为 y 1 2x， 所以可设双曲线的方程为 x24y2(0) 因为双曲线过点(4， 3)，所以 164( 3)24， 所以双曲线的标准方程为x 2 4y 21. 法二：因为渐近线 y1 2x 过点(4，2)，而 30，b0) 由已知条件可得 b a 1 2， 16 a2 3 b21， 解得 a24， b21， 所以双曲线的标准方程为x 2 4y 21. 【例例2】 (2020 昆明模
10、拟昆明模拟)已知双曲线C的一个焦点坐标为( 3， 0)， 渐近线方程为y 2 2 x， 则C的方程是( ) Ax2y 2 21 B.x 2 2y 21 C.y 2 2x 21 Dy2x 2 21 【答案】B 【解析】 因为双曲线 C 的一个焦点坐标为( 3， 0)， 所以 c 3， 又因为双曲线 C 的渐近线方程为 y 2 2 x， 所以有b a 2 2 a 2b，c 3，而 c a2b2，所以解得 a 2，b1，因此双曲线 C 的方程为x 2 2y 2 1. 2设 F1和 F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，若 F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶
11、 点，且双曲线经过点 Q( 5， 3)，则该双曲线的方程为( ) Ax2y 2 31 B.x 2 2 y2 21 C.x 2 3 y2 91 D.x 2 4 y2 121 【答案】 D 【解析】 F1和 F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，F1，F2，P(0,2b)构成正三角形， 2b 3c，即有 3c24b23(a2b2)，b23a2.双曲线x 2 a2 y2 b21 过点 Q( 5， 3)， 5 a2 3 3a21，解 得 a24，b212，双曲线的方程为x 2 4 y2 121.故选 D. 题型三题型三 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 【解题要点】与双
12、曲线几何性质有关问题的解题策略【解题要点】与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率求双曲线的离心率(或范围或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等 式)即可求得 (2)求双曲线的渐近线方程：求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近 线方程 (3)求双曲线方程：求双曲线方程：依据题设条件，求出 a，b 的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程 (4)求双曲线焦点求双曲线焦点(焦距焦距)、实虚轴的长：、实虚轴的长：依题设条件及 a，b，c 之间的关系求解 类型类型一一 求
13、双曲线的焦点求双曲线的焦点(距距)、实、虚轴长、实、虚轴长 【例 1】已知离心率为 5 2 的双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 是双曲线 C 的 一条渐近线上的点，且 OMMF2，O 为坐标原点，若 SOMF216，则双曲线的实轴长是( ) A32 B16 C84 D4 【答案】 B 【解析】 由题意知 F2(c，0)，不妨令点 M 在渐近线 yb ax 上，由题意可知|F2M| bc a2b2b，所以|OM| c2b2a.由 SOMF216，可得1 2ab16， 即 ab32， 又 a 2b2c2，c a 5 2 ，所以 a8， b4，
14、c4 5， 所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B. 类型类型二二 求双曲线的渐近线方程求双曲线的渐近线方程 【例 2】 (1)(2020 福建厦门一模福建厦门一模)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的 一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M， N 两点， 若|MN|2，ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为( ) Ay 3x By 3 3 x Cy 2x Dy 1 2x (2)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点 F 作圆 O：x 2y2a2的两条切线，切点为
15、 A，B，双曲线的左顶 点为 C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为( ) Ay 3x By 3 3 x Cy 2x Dy 2 2 x 【答案】 (1)B (2)A 【解析】(1)设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF是矩形， 所以 SABFSABF，即 bc8， 由 x 2y2c2， x2 a2 y2 b21 可得 y b2 c ，则|MN|2b 2 c 2，即 b2c， 所以 b2，c4，所以 a c2b22 3，所以 C 的渐近线方程为 y 3 3 x， 故选 B. (2)如图所示，连接 OA，OB， 设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦距
16、为 2c(c0)，则 C(a，0)，F(c，0) 由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则ACOBCO1 2ACB 1 212060. 因为|OA|OC|a，所以ACO 为等边三角形，所以AOC60. 因为 FA 与圆 O 相切于点 A，所以 OAFA， 在 RtAOF 中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即 c2a， 所以 b c2a2 （2a）2a2 3a， 故双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax，即 y 3x. 类型类型三三 求双曲线的离心率求双曲线的离心率(或范围或范围) 【例 3】设 F 为双曲线 C：
17、x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x 2y2 a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为( ) A. 2 B 3 C2 D 5 【答案】A 【解析】 如图 由题意，知以 OF 为直径的圆的方程为 xc 2 2 y2c 2 4，将 x 2y2a2 记为式，得 xa 2 c ，则以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2的相交弦所在直线的方程为 xa 2 c ，所以|PQ|2a2 a2 c 2 .由|PQ|OF|， 得 2a2 a2 c 2 c，整理得 c44a2c24a40，即 e44e240，解得 e 2，故选 A. 题型题
18、型四四 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的综合问题 【规律方法】【规律方法】1判断直线与双曲线位置关系的三个步骤判断直线与双曲线位置关系的三个步骤 2一个易错点一个易错点 联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论 3一组常用结论一组常用结论 直线与双曲线位置关系 与右支交于两个不同点 与左支交于两个不同点 与左、右两支各有一个交 点 满足条件 0， x1x20， x1x20 0， x1x20 0， x1x20， 解得 2k|x2|时，SOABSOADSOBD1 2(|x1|x2|) 1 2|x1x2|； 当 A，B 在双曲线的两支上且 x1x2时，SOABSODA
19、SOBD1 2(|x1|x2|) 1 2|x1x2|. 所以 SOAB1 2|x1x2| 2， 所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2 2)2， 即 2k 1k2 2 8 1k28，解得 k0 或 k 6 2 . 又因为 2k0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为( ) Ay 2x By 3x Cy 2 2 x Dy 3 2 x 【答案】A 【解析】 ：.法一：由题意知，ec a 3，所以 c 3a，所以 b c 2a2 2a，所以b a 2，所以该双曲 线的渐近线方程为 y b ax 2x，故选 A. 法二：由 ec a 1 b a 2 3，得b a 2，所以该双曲线的渐近线方程
20、为 y b ax 2x，故选 A. 3(2020 广东揭阳一模广东揭阳一模)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点 组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( ) A. 51 B 51 2 C.3 2 D2 【答案】B 【解析】 ：.将 x c 代入双曲线的方程得 y2b 4 a2y b2 a，则 2c 2b2 a ，即有 acb2c2a2，由 ec a，可得 e2e10，解得 e 51 2 (舍负)故选 B. 4 (2020 安阳模拟安阳模拟)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的右焦点 F(c， 0)作其渐近线 y 3 2
21、 x 的垂线， 垂足为 M， 若 SOMF4 3(O 为坐标原点)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 2 4 y2 31 Bx 2 8 y2 61 C.x 2 16 y2 121 Dx 2 32 y2 241 【答案】C. 【解析】 ：由题意易得 b a 3 2 ， 1 2ab4 3， 解得 a4， b2 3， 所以双曲线的标准方程为x 2 16 y2 121，故选 C. 5过双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点 F 为圆 心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为( )
22、A.x 2 4 y2 121 Bx 2 7 y2 91 C.x 2 8 y2 81 Dx 2 12 y2 41 【答案】A 【解析】 ： .因为渐近线 yb ax 与直线 xa 交于点 A(a， b)， c4 且 （4a） 2b24， 解得 a24， b212， 因此双曲线的标准方程为x 2 4 y2 121. 6(2020 河北衡水三模河北衡水三模)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F( 5，0)作斜率为 k(k1)的直线与双曲 线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为 A，交另一条渐近线于点 B，若 SBOF5 3(O 为坐标原点)，则 k 的值 为( ) A 2 B2
23、C 3 D 5 【答案】B. 【解析】 ：由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为 y1 kx，过第二象限的渐近线的方程为 y 1 kx，直线 FB 的方程为 yk(x 5)， 联立方程得 yk（x 5）， y1 kx x 5k2 k21， 所以 y 5k k21， 所以 S BOF1 2|OF|yB| 1 2 5 5k k21 5 2 k k21 .令5 2 k k21 5 3，得 k2 或 k 1 2(舍)故选 B. 7(2020 唐山模拟唐山模拟)过双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点( 5，0)，作圆(x 5) 2y24 的切线， 切点在双曲线 E 上，则 E 的
24、离心率等于( ) A2 5 B 5 C. 5 3 D 5 2 【答案】B. 【解析】 ：设圆的圆心为 G，双曲线的左焦点为 F.由圆的方程(x 5)2y24，知圆心坐标为 G( 5，0)，半 径 R2，则 FG2 5. 设切点为 P， 则 GPFP，PG2，PF22a， 由|PF|2|PG|2|FG|2， 即(22a)2420， 即(22a)216，得 22a4，a1，又 c 5， 所以双曲线的离心率 ec a 5，故选 B. 8(2020 广东汕尾一模广东汕尾一模)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，F 是双曲线 C 的右焦点，A 是双曲线 C 的 右顶点，过 F 作
25、x 轴的垂线，交双曲线于 M，N 两点若 tanMAN3 4，则双曲线 C 的离心率为( ) A3 B2 C.4 3 D 2 【答案】B. 【解析】 ：由题意可知 tanMAN3 4 2tanMAF 1tan2MAF， 解得 tanMAF3， 可得 b2 a ca3， 可得 c 22a23ac0， e223e0， 因为 e1，所以解得 e2.故选 B. 9(2020 湛江模拟湛江模拟)设 F 为双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a，b0)的右焦点，过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐 近线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，四边形 OAFB 为菱形，圆 x2y2c2(c2a2b
26、2)与 E 在第一象限的 交点是 P，且|PF| 71，则双曲线 E 的方程是( ) A.x 2 6 y2 21 Bx 2 2 y2 61 C.x 2 3y 21 Dx2y 2 31 【答案】D. 【解析】 ：双曲线 E：x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax， 因为四边形 OAFB 为菱形， 所以对角线互相垂直平分，所以 c2a，AOF60， 所以b a 3.则有 x 2 a2 y2 3a21， x2y2c24a2， 解得 P 7 2 a，3 2a .因为|PF| 71， 所以 7 2 a2a 2 3 2a 2 ( 71)2，解得 a1，则 b 3， 故双曲线 E 的方程为
27、 x2y 2 31. 故选 D. 10已知双曲线x 2 9 y2 b21(b0)的左顶点为 A，虚轴长为 8，右焦点为 F，且F 与双曲线的渐近线相切， 若过点 A 作F 的两条切线，切点分别为 M，N，则|MN|( ) A8 B4 2 C2 3 D4 3 【答案】D. 【解析】 ：因为双曲线x 2 9 y2 b21(b0)的虚轴长为 8， 所以 2b8，解得 b4， 因为 a3， 所以双曲线的渐近线方程为 y 4 3x，c 2a2b225，A(3，0)，所以 c5，所以 F(5，0)， 因为F 与双曲线的渐近线相切， 所以F 的半径为|450| 4232 4， 所以|MF|4， 因为|AF|
28、ac358， 所以|AM|82424 3， 因为 S四边形AMFN21 2|AM| |MF| 1 2|AF| |MN|， 所以 21 24 34 1 28|MN|， 解得|MN|4 3，故选 D. 11 (2020 开封模拟开封模拟)过双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的右焦点 F 作圆 x 2y2a2的切线 FM(切点为 M)， 交 y 轴于点 P，若PM 2MF ，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B 6 2 C. 3 D2 【答案】B. 【解析】 ：设 P(0，3m)，由PM 2MF ，可得点 M 的坐标为 2 3c，m ，因为 OMPF，所以 m 2 3c 3m
29、c1，所 以 m22 9c 2，所以 M 2 3c， 2c2 9 ，由|OM|2|MF|2|OF|2，|OM|a，|OF|c 得，a2 c 3 2 2c 2 9 c2，a2 2 3c 2，所以 ec a 6 2 ，故选 B. 12.(2020 武汉武汉 4 月调研月调研)过点 P(4,2)作一直线 AB 与双曲线 C：x 2 2y 21 相交于 A，B 两点，若 P 为线段 AB 的中点，则|AB|( ) A2 2 B2 3 C3 3 D4 3 【答案】 D 【解析】 解法一：由题意可知，直线 AB 的斜率存在设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk(x 4)2.由 ykx42
30、， x2 2y 21 消去 y 并整理，得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100.设 A(x1，y1)， B(x2，y2)因为 P(4,2)为线段 AB 的中点，所以 x1x28k2k1 12k2 8，解得 k1. 所以 x1x232k 232k10 12k2 10. 所以|AB| 1k2 x1x224x1x24 3.故选 D. 解法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 2 1 2y 2 11， x22 2y 2 21. 得1 2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0. 因为 P(4,2)为线段 AB 的中点，所以 x1x28，y1y24. 所以 4(x1
31、x2)4(y1y2)0，即 x1x2y1y2，所以直线 AB 的斜率 ky1y2 x1x21.则直线 AB 的方程为 y x2. 由 yx2， x2 2y 21 消去 y 并整理，得 x28x100， 所以 x1x28，x1x210.所以|AB| 1k2 x1x224x1x24 3. 二、填空题二、填空题 1.焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线y 2 4x 21 有相同渐近线的双曲线的标准方程是_ 【答案】 ：x 2 5 y2 201 【解析】 ：设所求双曲线的标准方程为y 2 4x 2(0)，即x 2 y2 41，则有 425，解得 5，所以 所求双曲线的标准方程为x 2 5 y2
32、201. 2.经过点 P(3，2 7)，Q(6 2，7)的双曲线的标准方程为_ 【答案】 ：y 2 25 x2 751 【解析】 ：设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，因为所求双曲线经过点 P(3，2 7)，Q(6 2，7)，所以 9m28n1， 72m49n1，解得 m 1 75， n 1 25. 故所求双曲线方程为y 2 25 x2 751. 3 过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的左焦点 F1作圆 x 2y2a2的切线交双曲线的右支于点 P， 且切点为 T， 已知 O 为坐标原点，M 为线段 PF1的中点(点 M 在切点 T 的右侧)，若OTM 的周长为 4a，则
33、双曲线的渐 近线方程为_ 【答案】 ：y 4 3x 【解析】 ：连接 OT，则 OTF1T， 在直角三角形 OTF1中，|F1T|OF21OT2 c2a2b. 设双曲线的右焦点为 F2，连接 PF2，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点， 所以 OM1 2PF2， 所以|MO|MT|1 2|PF2| 1 2|PF1|F1T| 1 2(|PF2|PF1|)b 1 2(2a)bba. 又|MO|MT|TO|4a，即|MO|MT|3a， 故|MO|b2a 2 ，|MT|4ab 2 ， 由勾股定理可得 a2 4ab 2 2 b2a 2 2 ，即b a 4 3， 所以渐近线方程为 y 4 3x.
34、4.(2020 河北廊坊省级示范学校联考河北廊坊省级示范学校联考)设 F1，F2分别为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线交双曲线 C 的左支于 A，B 两点，且|AF2|3，|BF2|5，|AB|4，则BF1F2的面积为_ 【答案】 ：9 2 【解析】 ：因为|AF2|3，|BF2|5， |AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a， 所以|AF2|BF2|AB|4a3544， 所以 a1，所以|BF1|3，又|AF2|2|AB|2|BF2|2， 所以F2AB90，所以 sin B3 5， 所以 SBF1F21 253sin B 1 253 3
35、5 9 2. 5已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x 2 2y 21 上的一点，F 1，F2是双曲线 C 的两个焦点若MF1 MF2 0，则 y0的取值范围是_ 【答案】 ： 3 3 ， 3 3 【解析】 ：由题意知 a 2，b1，c 3， 设 F1( 3，0)，F2( 3，0)， 则MF1 ( 3x0，y0)，MF2 ( 3x0，y0) 因为MF1 MF2 0， 所以( 3x0)( 3x0)y200， 即 x203y200. 因为点 M(x0，y0)在双曲线 C 上， 所以x 2 0 2y 2 01，即 x 2 022y 2 0， 所以 22y203y200，所以 3 3 y00，b0)的
36、左、右两个焦点，若直线 yx 与双曲线 C 交于 P，Q 两点，且四边形 PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为_ 【答案】 ：2 2 【解析】 ：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线 yx 代入双曲线 C 方程，可得 x a2b2 b2a2，所以 2 a2b2 b2a2c，所以 2a 2b2c2(b2a2)，即 2(e21)e42e2，所以 e44e220.因为 e1，所以 e22 2，所以 e2 2. 7.已知双曲线 C：x 2 4y 21，直线 l：ykxm 与双曲线 C 相交于 A，B 两点(A，B 均异于左、右顶点)，且 以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，则直线
37、l 所过定点为_ 【答案】 ： 10 3 ，0 【解析】 ：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 ykxm， x2 4y 21， 得(14k2)x28kmx4(m21)0， 所以 64m2k216(14k2)(m21)0， x1x2 8mk 14k20， x1x2 4（m21） 14k2 0， 所以 y1y2(kx1m)(kx2 m)k2x1x2mk(x1x2)m2m 24k2 14k2 . 因为以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(2，0)，所以 kADkBD1， 即 y1 x12 y2 x221， 所以 y1y2x1x22(x1x2)40， 即m 24k2 14k2
38、 4（m 21） 14k2 16mk 14k240， 所以 3m216mk20k20，解得 m2k 或 m10k 3 . 当 m2k 时，l 的方程为 yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾； 当 m10k 3 时，l 的方程为 yk x10 3 ，直线过定点 10 3 ，0 ，经检验符合已知条件 故直线 l 过定点 10 3 ，0 . 8已知 P 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)右支上的任意一点，经过点 P 的直线与双曲线 C 的两条渐近 线分别相交于 A，B 两点若点 A，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP 1 2PB 时，AOB 的面 积为 2
39、b，则双曲线 C 的实轴长为_ 【答案】 ：32 9 【解析】 ：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由AP 1 2PB ，得(xx 1，yy1)1 2(x2x，y2y)， 则 x2 3x1 1 3x2，y 2 3y1 1 3y2， 所以 （2 3x1 1 3x2） 2 a2 （2 3y1 1 3y2） 2 b2 1. 由题意知 A 在直线 yb ax 上，B 在 y b ax 上，则 y1 b ax1，y2 b ax2. 所以 （2 3x1 1 3x2） 2 a2 （2 3y1 1 3y2） 2 b2 1，即 b2(2 3x1 1 3x2) 2a2(2b 3ax1 b 3a
40、x2) 2a2b2， 化简得：a28 9x1x2， 由渐近线的对称性可得 sinAOBsin 2AOx 2sinAOxcosAOx sin2AOxcos2AOx 2tanAOx tan2AOx1 2b a （b a） 21 2ab b2a2. 所以AOB 的面积为1 2|OA|OB|sinAOB 1 2 x21y21 x22y22sinAOB 1 2 x21（b ax1） 2 x22（b ax2） 2 2ab b2a2 x1x21（b a） 2 1（b a） 2 ab b2a2 9 8a 2 ab b2a21( b a) 29 8ab2b，解得 a 16 9 .所以双曲线 C 的实轴长为32
41、9 . 三三 解答题解答题 1双曲线 C 的中心在原点，右焦点为 F 2 3 3 ，0 ，渐近线方程为 y 3x. (1)求双曲线 C 的方程； (2)设直线 l：ykx1 与双曲线 C 交于 A，B 两点，当 k 为何值时，以线段 AB 为直径的圆过原点？ 【解析】 (1)设双曲线的方程是x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，则由题意得 a2b22 3 3 ， b a 3， 解得 a 3 3 ， b1， 故 双曲线的方程是 3x2y21. (2)联立 ykx1， 3x2y21， 得(3k2)x22kx20， 由 0 且 3k20，得 6k0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，
42、焦点到渐近线的距 离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 3 3 x2 与双曲线的右支交于 M， N 两点， 且在双曲线的右支上存在点 D， 使OM ON tOD ， 求 t 的值及点 D 的坐标 【解析】 (1)由题意，知 a2 3，一条渐近线为 y b 2 3x， 即 bx2 3y0， |bc| b212 3. b23，双曲线的方程为x 2 12 y2 31. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则 x1x2tx0，y1y2ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x216 3x840， 则 x1x216 3，y1y212. x0 y0 4 3 3 ， x20 12 y20 31， x02 3， x04 3， y03. 由OM ON tOD ，得(16 3，12)(4 3t,3t)， t4，点 D 的坐标为(4 3，3)