1、2021 年山东省聊城市高考数学模拟试卷（二）年山东省聊城市高考数学模拟试卷（二） 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分）分） 1已知全集 UR，集合 Ax|x21，Bx|lnx0，则（ ） AABB BABA C（UA）B DUBUA 2已知复数 z12+i，在复平面内，复数 z1和 z2所对应的两点之间的距离是（ ） A B C5 D10 3已知向量 （1，），| |2，| |，则 与 的夹角为（ ） A B C D 4已知ABC 三个顶点都在抛物线 x28y 上，且 F 为抛物线的焦点，若，则 |（ ） A6 B8 C10 D12 5已知函数 f（x）2sin（x+）（0
2、，|）的部分图象如图所示，将 f（x）的图象向右平移 a（a0）个单位后，得到函数 g（x）的图象，若对于任意的 xR，g（x）|g（）|，则 a 的值可以 为（ ） A B C D 6算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠， 每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠例如，在十位档拨上一 颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字 74，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨 上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于 300 的概率为（ ） A B C D 7中医药在抗击新冠肺炎疫情中发
3、挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材 量在不断减少研究发现，t 期中药材资源的再生量，其中 xt为 t 期中药材资源的 存量，r，N 为正常数，而 t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度当 t 期的再生量达到最大，且 利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（ ） A B C D 8已知数列an，其中 f（n）为最接近的整数，若an的前 m 项和为 20，则 m（ ） A15 B30 C60 D110 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出
4、的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9已知0，则下列结论一定正确的是（ ） Aa2b2 B Clga2lgab D|a|a|a|b 10已知双曲线 C：1 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是 C 上的任意一点，则（ ） A双曲线 C 的离心率为 B焦点到渐近线的距离为 3 C点 P 到两条渐近线的距离之积为 D当 P 与 A、B 不重合时，直线 PA，PB 的斜率之积为 3 11如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，M，N 分别为棱 CC1，CB，CD 上的动点
5、（点 P 不与点 C，C1重合），若 CPCMCN，则下列说法正确的是（ ） A存在点 P，使得点 A1到平面 PMN 的距离为 B用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 CBD1平面 PMN D用平行于平面 PMN 的平面 去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为 12用符号x表示不超过 x 的最大整数，例如：0.60，2.32设 f（x）（1lnx）（ax2+2lnx）有 3 个不同的零点 x1，x2，x3，则（ ） Axe 是 f（x）的一个零点 Bx1+x2+x32+e Ca 的取值范围是（，0） D若x1+x2+x36，则 a 的范围是，） 三、填空
6、题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 的展开式中各项系数的和为 3，那么展开式中的常数项为 14如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是 200 米，圆心角是 120的扇形 AOBO 为南门位置，C 为东门位置，小区里有一条平行于 AO 的小路 CD，若 OD米，则圆弧的长 为 米 15请你举出与函数 f（x）e2x1 在（0，0）处具有相同切线的一个函数 16如图所示，平面中两条直线 l1与 l2相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p，q 分别是 M 到直线 l1 与 l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点
7、M 的“距离坐标”，给出下列四个命题： “距离坐标”为（1，0）的两点间距离为 2； 若 pq，则点 M 的轨迹是一条过 O 点的直线； 若 pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有 4 个； 若直线 l1与 l2的夹角是 60，则|OM| 或|OM| 其中所有正确命题的序号为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在 （cosB，2cb）， （cosA，a），且 ，bacosC+csinA，cos2A+cosAcos（C B）sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在
8、下面问题中，并解答 已知ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c （1）求 A 的值； （2）若 a，ABC 的面积是，点 M 是 BC 的中点，求 AM 的长度 18数列an满足 a11，点（n，an+an+1）在函数 ykx+1 图象上，其中 k 为常数，且 k0 （1）若 a1，a2，a4成等比数列，求 k 的值； （2）当 k3 时，求数列an的前 n 项和 Sn 192020 年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了 调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞 到 60 条鱼
9、，共 105kg，称重后计算得出这 60 条鱼质量（单位 kg）的平方和为 200.41，下午进行第二次 捕捞，捕捞到 40 条鱼，共 66kg称重后计算得出这 40 条鱼质量（单位 kg）的平方和为 117 （1）请根据以上信息，求所捕捞 100 条鱼儿质量的平均数 和方差 s2； （2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量 X 服从正态分布 N（，2），用 作为 的估计值，用 s2作为2的估计值随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在1.21，2.71的概率是多少？ （3） 某批发商从该村鱼塘购买了 5000 条鱼， 若从该鱼塘随机捕捞， 记 为捕捞的鱼儿质量在1.21， 2.71 的条数，利用（
10、2）的结果，求 的数学期望 附：（1）数据 t1，t2，tn的方差 ， （2）若随机变量 X 服从正态分布 N（，2），则 P（X+）0.6827；P（2X+2 ）0.9545；P（3X+3）0.9973 20如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点 G 为弧的中点，且 C、E、D、G 四 点共面 （1）证明：平面 BFD平面 BCG； （2）若平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为，求直线 DF 与平面 ABF 所成角的大小 21已知 F1，F2分别为椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，M 为 C 上的动点，其中 M 到 F1 的最短距离为 1，且当MF1F2的面
11、积最大时，MF1F2恰好为等边三角形 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）斜率为 k 的动直线 l 过点 F2，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P， 那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由 22已知函数 f（x）cosx+2，g（x） （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若关于 x 的不等式 f（x）g（x）在 x0，+）恒成立，求实数 b 的取值范围 参考答案参考答案 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分）分） 1已知全集 UR，集合 Ax|x21，Bx|lnx0，则（ ） AABB BABA C（UA）B
12、DUBUA 解：Ax|x21x|x1 或 x1，Bx|lnx0 x|x1， 则 BA，ABA，ABB，（UA）B， 故选：C 2已知复数 z12+i，在复平面内，复数 z1和 z2所对应的两点之间的距离是（ ） A B C5 D10 解：z12+i， ， 复数 z1和 z2所对应的两点的坐标分别为（2，1），（1，2）， 两点间的距离为 d 故选：B 3已知向量 （1，），| |2，| |，则 与 的夹角为（ ） A B C D 解：根据题意，设 与 的夹角为 ， 因为，所以，即， 向量 （1，），则| |， 则有，解得， 又由 0，则 ， 故 与 的夹角为； 故选：D 4已知ABC 三个顶点
13、都在抛物线 x28y 上，且 F 为抛物线的焦点，若，则 |（ ） A6 B8 C10 D12 解：抛物线 x28y 的焦点 F（0，2），准线方程为 y2， 设 A，B，C 的纵坐标分别是 y1，y2，y3， 由， 可得 2y1（y2y1+y3y2）， 化为 y1+y2+y36， 由抛物线的定义可得， |y1+y2+y3+66+612 故选：D 5已知函数 f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，将 f（x）的图象向右平移 a（a0）个单位后，得到函数 g（x）的图象，若对于任意的 xR，g（x）|g（）|，则 a 的值可以 为（ ） A B C D 解：由函数的部分图象知，f
14、（x）的图象过点（0，2）， （，0）， 所以 f（0）2sin2，可得 sin， 因为|， 所以 ， 所以 f（）2sin（+）0，解得+k，kZ， 所以 ，kZ， 又 0，所以不妨当 k1 时，可得 2， 可得 f（x）2sin（2x+）， 因为 g（x）f（xa）2sin2（xa）+， 所以 g（）2sin2（a）+2sin（2a）， 又对于任意的 xR，g（x）|g（）|， 所以 g（）2sin（2a）2，可得2ak+，kZ， 解得 ak，kZ， 所以当 k1 时，可得 a 故选：C 6算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠， 每珠作数
15、五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠例如，在十位档拨上一 颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字 74，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨 上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于 300 的概率为（ ） A B C D 解：在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠， 基本事件总数 n24， 所表示的数字大于 300 包含的基本事件个数为： m 21， 则所表示的数字大于 300 的概率为 P 故选：A 7中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中
16、药材 量在不断减少研究发现，t 期中药材资源的再生量，其中 xt为 t 期中药材资源的 存量，r，N 为正常数，而 t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度当 t 期的再生量达到最大，且 利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（ ） A B C D 解：由题意得， 所以当时，f（xt）有最大值， 所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为， 故选：A 8已知数列an，其中 f（n）为最接近的整数，若an的前 m 项和为 20，则 m（ ） A15 B30 C60 D110 解：由题意可得 f（1）1，f（2）1，f（3）2，f（4）2，f（5）2，f（6）2，f（7）3，f （8）3
17、，f（9）3，f（10）3，f（11）3，f（12）3， .，可得依次为 2 个 1，4 个 2，6 个 3，8 个 4，10 个 5，.， 因此 a1+a2212，a3+a4+a5+a64 2，a7+a8+.+a126 2，a13+a14+.+a208 2，.， 由 20102，可得 m2+4+6+8+.+2010（2+20）110 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0
18、 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9已知0，则下列结论一定正确的是（ ） Aa2b2 B Clga2lgab D|a|a|a|b 解：因为0，则有 ba0， 对于 A，因为 ba0，所以 a2b2，故选项 A 正确； 对于 B，因为 ba0，所以且，故，故选项 B 正确； 对于 C，因为 ba0，所以 a2ab，故 lga2lg（ab），故选项 C 错误； 对于 D，因为|a|与 1 的大小关系不确定，故函数 y|a|x的单调性不确定，故|a|a与|a|b的大小不确定，故 选项 D 错误 故选：AB 10已知双曲线 C：1 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是 C 上的任意一点
19、，则（ ） A双曲线 C 的离心率为 B焦点到渐近线的距离为 3 C点 P 到两条渐近线的距离之积为 D当 P 与 A、B 不重合时，直线 PA，PB 的斜率之积为 3 解：双曲线 C：1 的 a，b3，c2，则 e2，故 A 错误； 焦点（2，0）到渐近线 3xy0，的距离为 3，故 B 正确； 设 P（m，n），可得 3m2n29， 则点 P 到两条渐近线的距离之积为，故 C 正确； 设 P（m，n），可得 3m2n29，又 A（，0），B（，0）， 可得 kPAkPB 3，故 D 正确 故选：BCD 11如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，M，N 分别为棱 CC
20、1，CB，CD 上的动点（点 P 不与点 C，C1重合），若 CPCMCN，则下列说法正确的是（ ） A存在点 P，使得点 A1到平面 PMN 的距离为 B用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 CBD1平面 PMN D用平行于平面 PMN 的平面 去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为 解：对于 A：连接 A1C1，BC1，A1B，BD，C1D，A1D，B1C，如图示： CPCMCN，MNBD，NPC1D，MPBC1，且平面 MNP平面 BC1D， 又已知三棱锥 A1BC1D 各条棱长均为，则三棱锥 A1BC1D 为正四面体， 故 A1到平面 BC1D 的
21、距离为： ， A1B1平面 BCC1B1，A1B1BC1，又 BC1B1C，且 A 1B1B1CB1， BC1平面 A1B1C，又 A1C平面 A1B1C，B1A1C， 同理可得 C1DA1C，且 BC1C1DC1，A1C平面 BC1D， 又A1 C ，A1到平面 PMN 的距离（ ，），且，故 A 正确； 对于 B：连接 D1P 并延长交 DC 的延长线于点 Q，连接 QM 并将其延长与 AD 相交于点 A，如图示： CPCM，且 CPDD1，CMAD，则，DADD1，故 A即为 A，连接 AD1， 过点 P，M，D1的截面为四边形 AD1PM， 由条件可知 MPBC1，BC1AD1，且|M
22、P|AD1|， 四边形 AD1PM 为梯形，故 B 正确； 对于 C：连接 BD1，由 A 可知平面 MNP平面 BC1D，如图示： 又B平面 BC1D，D1平面 BC1D，故 BD1不平行于平面 BC1D， 故 BD1平面 PMN 不成立，故 C 错误； 对于 D：在 BB1上取点 P1，过点 P1作 P1P2MP 交 B1C1于点 P2， 过 P2作 P2N1MN 交 C1D1于 N1，以此类推，如图示： 依次可得点 N2，M1，M2，此时截面为六边形， 根据题意可知：平面 P1P2N1N2M1M2平面 MNP， 不妨设 BP1x，则 P1M2P2N1N2M1 x， 故 P1P2N1N2M
23、1M2 （1x）， 故六边形的周长为：3x+（1x）3，故 D 正确； 故选：ABD 12用符号x表示不超过 x 的最大整数，例如：0.60，2.32设 f（x）（1lnx）（ax2+2lnx）有 3 个不同的零点 x1，x2，x3，则（ ） Axe 是 f（x）的一个零点 Bx1+x2+x32+e Ca 的取值范围是（，0） D若x1+x2+x36，则 a 的范围是，） 解：令 f（x）0，则 1lnx0 或 ax2+2lnx0，由 1lnx0 解得 x1e，故选项 A 正确； 又 f（x）有 3 个不同的零点，故 ax2+2lnx0 有两个不同的零点，即有两个不同的零点，不妨 设这两个零点
24、为 x2，x3（x2x3）， 函数的图象与直线 ya 有两个不同的交点， 由得，令 g（x）0，解得，易知 g（x）在单减，在 单增，且， 作出 g（x）的大致图象如下， 由图象可知，显然 g（x）不关于对称，故， ，选项 B 错误； 又要使函数的图象与直线 ya 有两个不同的交点，则，注意到 e 不是此时 的零点， ae2+2lne0，即 ， ，选项 C 错误； 又x1e2，x21， x33， 3x34， g（3）g（x3）g（4），即 ，选项 D 正确 故选：AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 的展开式中各项系数的
25、和为 3，那么展开式中的常数项为 320 解：的展开式中各项系数的和为（a+1）（12）63，a2， 故的展开式的通项公式为 Tr+1（2）6 r x 62r， 令 62r0，求得 r3，令 62r1，求得 r 无整数解 那么的展开式中的常数项为 a（2）3220（8）320， 故答案为：320 14如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是 200 米，圆心角是 120的扇形 AOBO 为南门位置，C 为东门位置，小区里有一条平行于 AO 的小路 CD，若 OD米，则圆弧的长 为 50 米 解：连结 OC，因为 CDOA，所以DCOCOA，CDO180DOA18012060， 在O
26、CD 中，由正弦定理可得， 所以，解得， 因为DCOCOA，且 0COA120， 所以DCOCOA45， 故圆弧的长为50 故答案为：50 15请你举出与函数 f（x）e2x1 在（0，0）处具有相同切线的一个函数 yx2+2x，或 ysin2x，或 y 2ex2 解：函数 f（x）e2x1 的导数为 f（x）2e2x， 可得在（0，0）处切线的斜率为 2， 切线的方程为 y2x， 可取 yx2+2x，其导数为 y2x+2，满足在（0，0）处的切线的斜率为 2， ysin2x，其导数为 y2cos2x，满足在（0，0）处的切线的斜率为 2， y2ex2，其导数为 y2ex，满足在（0，0）处的
27、切线的斜率为 2， 故答案为：yx2+2x，或 ysin2x，或 y2ex2 16如图所示，平面中两条直线 l1与 l2相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p，q 分别是 M 到直线 l1 与 l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标”，给出下列四个命题： “距离坐标”为（1，0）的两点间距离为 2； 若 pq，则点 M 的轨迹是一条过 O 点的直线； 若 pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有 4 个； 若直线 l1与 l2的夹角是 60，则|OM| 或|OM| 其中所有正确命题的序号为 解：对于，如图（1）， P1（1，0），P2（1，0），|OP1|1
28、，|OP2|1，则|P1P2|1+12，故错误； 对于，pq，则 M 在两直线 l1，l2夹角的平分线上，如图（1）中 l3，l4，故错误； 对于，如图（2）， 若 pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有 4 个，故正确； 对于，建立如图（1）中平面直角坐标系，则 l1：，l2：y0， 设 M（x，y），则 p，q|y|，yq，x， |OM|2x2+y2， 则或， |OM|或|OM|，故正确 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在 （cosB，2cb），
29、（cosA，a），且 ，bacosC+csinA，cos2A+cosAcos（C B）sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答 已知ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c （1）求 A 的值； （2）若 a，ABC 的面积是，点 M 是 BC 的中点，求 AM 的长度 解：选：由 mn 得 acosB（2cb）cosA， 得 sinAcosB2sinCcosAsinBcosA，得 sin（B+A）2sinCcosA， 又 sin（B+A）sinC，sinC0，所以，又 0A，所以 因为， 根据正弦定理得， 所以， 所以， 所以因为 sinC0，所以，
30、 又 0A，所以 因为 cos2A+cosAcos（CB）sinBsinC， 所以 cosAcos（B+C）+cos（CB）sinBsinC， 所以 2cosAsinBsinCsinBsinC 因为 B（0，），C（0，），所以 sinBsinC0，所以， 又 0A，所以 （2）在ABC 中，由，得 b2+c2bc3 由ABC 的面积为，得 bc2，所以 b2+c25 因为 M 是 BC 的中点，所以， 从而， 所以 18数列an满足 a11，点（n，an+an+1）在函数 ykx+1 图象上，其中 k 为常数，且 k0 （1）若 a1，a2，a4成等比数列，求 k 的值； （2）当 k3 时
31、，求数列an的前 n 项和 Sn 解：（1）由 an+an+1kn+1，可得 a1+a2k+1，a2+a32k+1，a3+a43k+1， 因为 a11， 所以 a2k，a3k+1，a42k 又 a1，a2，a4成等比数列，所以 ，则 k22k， 又 k0，故 k2 （2）当 k3 时，an+an+13n+1 当 n 为偶数时，Sn（a1+a2）+（a3+a4）+（a5+a6）+ +（an1+an） ； 当 n 为奇数时，Sna1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a6+a7）+ +（an1+an） 综上所述，Sn 192020 年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年上坝村是乡扶贫办的科学
32、养鱼示范村，为了 调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞 到 60 条鱼，共 105kg，称重后计算得出这 60 条鱼质量（单位 kg）的平方和为 200.41，下午进行第二次 捕捞，捕捞到 40 条鱼，共 66kg称重后计算得出这 40 条鱼质量（单位 kg）的平方和为 117 （1）请根据以上信息，求所捕捞 100 条鱼儿质量的平均数 和方差 s2； （2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量 X 服从正态分布 N（，2），用 作为 的估计值，用 s2作为2的估计值随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在1.21，2.71的概率是多少？ （3）
33、某批发商从该村鱼塘购买了 5000 条鱼， 若从该鱼塘随机捕捞， 记 为捕捞的鱼儿质量在1.21， 2.71 的条数，利用（2）的结果，求 的数学期望 附：（1）数据 t1，t2，tn的方差 ， （2）若随机变量 X 服从正态分布 N（，2），则 P（X+）0.6827；P（2X+2 ）0.9545；P（3X+3）0.9973 解：（1）， （2）该鱼塘鱼儿质量 XN（，2），其中 1.71，20.25， 所以 （3）由题意可知 B（5000，0.8186）， 所以 的数学期望为 E（）50000.81864093 20如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点 G 为弧的中点，且
34、 C、E、D、G 四 点共面 （1）证明：平面 BFD平面 BCG； （2）若平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为，求直线 DF 与平面 ABF 所成角的大小 【解答】（1）证明：连接 CE，因为ECDDCG45，所以ECG90，即 CECG 因为 BCEF，且 BCEF，所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 BFEC， 因此，BFCG 因为 BC平面 ABF，BF平面 ABF，所以 BCBF 又因为 BCCGC，所以 BF平面 BCG， 又因为 BF平面 BFD，所以平面 BFD平面 BCG （2）解：以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 AF2，ADt，
35、则 A（0，0，0），B（0，2，0），F（2，0，0），D（0，0，t），G（1，1，t）， 于是， 设平面 BDF 的一个法向量为， 由， 令 z2，得 设平面 ABG 的一个法向量为， 由， 令 z1，得 由平面 BDF 与平面 ABG 所成的锐二面角的余弦值为，得， 解得 t2，即 AD2 因为 DA平面 ABF，所以DFA 就是直线 DF 与平面 ABF 所成的角， 在ADF 中，因为DAF90，ADAF2，所以DFA45， 因此直线 DF 与平面 ABF 所成的角为 45 21已知 F1，F2分别为椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，M 为 C 上的动点，其中 M 到 F1 的最短
36、距离为 1，且当MF1F2的面积最大时，MF1F2恰好为等边三角形 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）斜率为 k 的动直线 l 过点 F2，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P， 那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由 解：（1）设|F1F2|2c，则由题意可知 ， 解得 a2，c1，所以， 故椭圆 C 的方程为 （2）为定值 证明：由题意可知，动直线 l 的方程为 yk（x1）， 由， 得（3+4k2）x28k2x+4（k23）0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， 设 AB 的中点为 Q（x0，y0），则， 当 k
37、0 时，线段 AB 的垂直平分线的方程为， 令 y0，得， 所以 所以 当 k0 时，l 的方程为 y0， 此时，|AB|2a4，|PF2|c1， 综上，为定值 22已知函数 f（x）cosx+2，g（x） （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若关于 x 的不等式 f（x）g（x）在 x0，+）恒成立，求实数 b 的取值范围 解：（1），f（x）xsinx 令 h（x）xsinx，则 h（x）1cosx h（x）0 在 R 上恒成立，h（x）在 R 上单调递增 又h（0）0，当 x0 时，h（x）0；当 x0 时，h（x）0 即 f（0）0，当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）
38、0， f（x）在（，0上单调递减，在0，+）上单调递增， 因此，f（x）的最小值为 f（0）1； （2）不等式 f（x）g（x），即 cosx+2， 等价于 ebxsinx+cosx20 设 p（x）ebxsinx+cosx2，则由题意得 p（x）0 在 x0，+）内恒成立 p（x）bebxcosxsinx，p（0）b1 当 b1 时，p（0）0，这时x00，使当 x（0，x0）时，p（x）0， 从而 p（x）在0，x0上单调递减， 又p（0）0，当 x（0，x0）时，p（x）0，这与 p（x）0 在0，+）内恒成立不符 当 b1 时，对于任意的 x0，bxx，从而 ebxex，这时 p（x）exsinx+cosx2 设 q（x）exsinx+cosx2，则 q（x）excosxsinx， 设 （x）exx1，则 （x）ex1 当 x0 时，（x）0，（x）在0，+）上单调递增 又（0）0，当 x0 时，（x）0，即 exx+1 因此，q（x）1cosx+xsinx0，q（x）在0，+）上单调递增 又q（0）0，当 x0 时，q（x）0，从而 p（x）0 综上，实数 b 的取值范围为1，+）