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2021届山东省聊城市高考二模数学试卷(含答案)

1、2021 年山东省聊城市高考数学模拟试卷(二)年山东省聊城市高考数学模拟试卷(二) 一、单项选择题(每小题一、单项选择题(每小题 5 分)分) 1已知全集 UR,集合 Ax|x21,Bx|lnx0,则( ) AABB BABA C(UA)B DUBUA 2已知复数 z12+i,在复平面内,复数 z1和 z2所对应的两点之间的距离是( ) A B C5 D10 3已知向量 (1,),| |2,| |,则 与 的夹角为( ) A B C D 4已知ABC 三个顶点都在抛物线 x28y 上,且 F 为抛物线的焦点,若,则 |( ) A6 B8 C10 D12 5已知函数 f(x)2sin(x+)(0

2、,|)的部分图象如图所示,将 f(x)的图象向右平移 a(a0)个单位后,得到函数 g(x)的图象,若对于任意的 xR,g(x)|g()|,则 a 的值可以 为( ) A B C D 6算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠, 每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠例如,在十位档拨上一 颗上珠和两颗下珠,个位档拨上四颗下珠,则表示数字 74,若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨 上一颗下珠,再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,则所表示的数字大于 300 的概率为( ) A B C D 7中医药在抗击新冠肺炎疫情中发

3、挥了重要作用,但由于中药材长期的过度开采,本来蕴藏丰富的中药材 量在不断减少研究发现,t 期中药材资源的再生量,其中 xt为 t 期中药材资源的 存量,r,N 为正常数,而 t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度当 t 期的再生量达到最大,且 利用量等于最大再生量时,中药材资源的采挖强度为( ) A B C D 8已知数列an,其中 f(n)为最接近的整数,若an的前 m 项和为 20,则 m( ) A15 B30 C60 D110 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求在每小题给出

4、的选项中,有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分分. 9已知0,则下列结论一定正确的是( ) Aa2b2 B Clga2lgab D|a|a|a|b 10已知双曲线 C:1 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 是 C 上的任意一点,则( ) A双曲线 C 的离心率为 B焦点到渐近线的距离为 3 C点 P 到两条渐近线的距离之积为 D当 P 与 A、B 不重合时,直线 PA,PB 的斜率之积为 3 11如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,P,M,N 分别为棱 CC1,CB,CD 上的动点

5、(点 P 不与点 C,C1重合),若 CPCMCN,则下列说法正确的是( ) A存在点 P,使得点 A1到平面 PMN 的距离为 B用过 P,M,D1三点的平面去截正方体,得到的截面一定是梯形 CBD1平面 PMN D用平行于平面 PMN 的平面 去截正方体,得到的截面为六边形时,该六边形周长一定为 12用符号x表示不超过 x 的最大整数,例如:0.60,2.32设 f(x)(1lnx)(ax2+2lnx)有 3 个不同的零点 x1,x2,x3,则( ) Axe 是 f(x)的一个零点 Bx1+x2+x32+e Ca 的取值范围是(,0) D若x1+x2+x36,则 a 的范围是,) 三、填空

6、题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 的展开式中各项系数的和为 3,那么展开式中的常数项为 14如图是某商业小区的平面设计图,初步设计该小区为半径是 200 米,圆心角是 120的扇形 AOBO 为南门位置,C 为东门位置,小区里有一条平行于 AO 的小路 CD,若 OD米,则圆弧的长 为 米 15请你举出与函数 f(x)e2x1 在(0,0)处具有相同切线的一个函数 16如图所示,平面中两条直线 l1与 l2相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p,q 分别是 M 到直线 l1 与 l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点

7、M 的“距离坐标”,给出下列四个命题: “距离坐标”为(1,0)的两点间距离为 2; 若 pq,则点 M 的轨迹是一条过 O 点的直线; 若 pq0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 4 个; 若直线 l1与 l2的夹角是 60,则|OM| 或|OM| 其中所有正确命题的序号为 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在 (cosB,2cb), (cosA,a),且 ,bacosC+csinA,cos2A+cosAcos(C B)sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在

8、下面问题中,并解答 已知ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c (1)求 A 的值; (2)若 a,ABC 的面积是,点 M 是 BC 的中点,求 AM 的长度 18数列an满足 a11,点(n,an+an+1)在函数 ykx+1 图象上,其中 k 为常数,且 k0 (1)若 a1,a2,a4成等比数列,求 k 的值; (2)当 k3 时,求数列an的前 n 项和 Sn 192020 年是全面建成小康社会之年,是脱贫攻坚收官之年上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村,为了 调查上坝村科技扶贫成果,乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次,上午进行第一次捕捞,捕捞 到 60 条鱼

9、,共 105kg,称重后计算得出这 60 条鱼质量(单位 kg)的平方和为 200.41,下午进行第二次 捕捞,捕捞到 40 条鱼,共 66kg称重后计算得出这 40 条鱼质量(单位 kg)的平方和为 117 (1)请根据以上信息,求所捕捞 100 条鱼儿质量的平均数 和方差 s2; (2)根据以往经验,可以认为该鱼塘鱼儿质量 X 服从正态分布 N(,2),用 作为 的估计值,用 s2作为2的估计值随机从该鱼塘捕捞一条鱼,其质量在1.21,2.71的概率是多少? (3) 某批发商从该村鱼塘购买了 5000 条鱼, 若从该鱼塘随机捕捞, 记 为捕捞的鱼儿质量在1.21, 2.71 的条数,利用(

10、2)的结果,求 的数学期望 附:(1)数据 t1,t2,tn的方差 , (2)若随机变量 X 服从正态分布 N(,2),则 P(X+)0.6827;P(2X+2 )0.9545;P(3X+3)0.9973 20如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成,点 G 为弧的中点,且 C、E、D、G 四 点共面 (1)证明:平面 BFD平面 BCG; (2)若平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为,求直线 DF 与平面 ABF 所成角的大小 21已知 F1,F2分别为椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点,M 为 C 上的动点,其中 M 到 F1 的最短距离为 1,且当MF1F2的面

11、积最大时,MF1F2恰好为等边三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)斜率为 k 的动直线 l 过点 F2,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P, 那么,是否为定值?若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由 22已知函数 f(x)cosx+2,g(x) (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若关于 x 的不等式 f(x)g(x)在 x0,+)恒成立,求实数 b 的取值范围 参考答案参考答案 一、单项选择题(每小题一、单项选择题(每小题 5 分)分) 1已知全集 UR,集合 Ax|x21,Bx|lnx0,则( ) AABB BABA C(UA)B

12、DUBUA 解:Ax|x21x|x1 或 x1,Bx|lnx0 x|x1, 则 BA,ABA,ABB,(UA)B, 故选:C 2已知复数 z12+i,在复平面内,复数 z1和 z2所对应的两点之间的距离是( ) A B C5 D10 解:z12+i, , 复数 z1和 z2所对应的两点的坐标分别为(2,1),(1,2), 两点间的距离为 d 故选:B 3已知向量 (1,),| |2,| |,则 与 的夹角为( ) A B C D 解:根据题意,设 与 的夹角为 , 因为,所以,即, 向量 (1,),则| |, 则有,解得, 又由 0,则 , 故 与 的夹角为; 故选:D 4已知ABC 三个顶点

13、都在抛物线 x28y 上,且 F 为抛物线的焦点,若,则 |( ) A6 B8 C10 D12 解:抛物线 x28y 的焦点 F(0,2),准线方程为 y2, 设 A,B,C 的纵坐标分别是 y1,y2,y3, 由, 可得 2y1(y2y1+y3y2), 化为 y1+y2+y36, 由抛物线的定义可得, |y1+y2+y3+66+612 故选:D 5已知函数 f(x)2sin(x+)(0,|)的部分图象如图所示,将 f(x)的图象向右平移 a(a0)个单位后,得到函数 g(x)的图象,若对于任意的 xR,g(x)|g()|,则 a 的值可以 为( ) A B C D 解:由函数的部分图象知,f

14、(x)的图象过点(0,2), (,0), 所以 f(0)2sin2,可得 sin, 因为|, 所以 , 所以 f()2sin(+)0,解得+k,kZ, 所以 ,kZ, 又 0,所以不妨当 k1 时,可得 2, 可得 f(x)2sin(2x+), 因为 g(x)f(xa)2sin2(xa)+, 所以 g()2sin2(a)+2sin(2a), 又对于任意的 xR,g(x)|g()|, 所以 g()2sin(2a)2,可得2ak+,kZ, 解得 ak,kZ, 所以当 k1 时,可得 a 故选:C 6算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠, 每珠作数

15、五,梁下五珠,每珠作数一算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠例如,在十位档拨上一 颗上珠和两颗下珠,个位档拨上四颗下珠,则表示数字 74,若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨 上一颗下珠,再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,则所表示的数字大于 300 的概率为( ) A B C D 解:在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠,再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠, 基本事件总数 n24, 所表示的数字大于 300 包含的基本事件个数为: m 21, 则所表示的数字大于 300 的概率为 P 故选:A 7中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用,但由于中药材长期的过度开采,本来蕴藏丰富的中

16、药材 量在不断减少研究发现,t 期中药材资源的再生量,其中 xt为 t 期中药材资源的 存量,r,N 为正常数,而 t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度当 t 期的再生量达到最大,且 利用量等于最大再生量时,中药材资源的采挖强度为( ) A B C D 解:由题意得, 所以当时,f(xt)有最大值, 所以当利用量与最大再生量相同时,采挖强度为, 故选:A 8已知数列an,其中 f(n)为最接近的整数,若an的前 m 项和为 20,则 m( ) A15 B30 C60 D110 解:由题意可得 f(1)1,f(2)1,f(3)2,f(4)2,f(5)2,f(6)2,f(7)3,f (8)3

17、,f(9)3,f(10)3,f(11)3,f(12)3, .,可得依次为 2 个 1,4 个 2,6 个 3,8 个 4,10 个 5,., 因此 a1+a2212,a3+a4+a5+a64 2,a7+a8+.+a126 2,a13+a14+.+a208 2,., 由 20102,可得 m2+4+6+8+.+2010(2+20)110 故选:D 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0

18、 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分分. 9已知0,则下列结论一定正确的是( ) Aa2b2 B Clga2lgab D|a|a|a|b 解:因为0,则有 ba0, 对于 A,因为 ba0,所以 a2b2,故选项 A 正确; 对于 B,因为 ba0,所以且,故,故选项 B 正确; 对于 C,因为 ba0,所以 a2ab,故 lga2lg(ab),故选项 C 错误; 对于 D,因为|a|与 1 的大小关系不确定,故函数 y|a|x的单调性不确定,故|a|a与|a|b的大小不确定,故 选项 D 错误 故选:AB 10已知双曲线 C:1 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 是 C 上的任意一点

19、,则( ) A双曲线 C 的离心率为 B焦点到渐近线的距离为 3 C点 P 到两条渐近线的距离之积为 D当 P 与 A、B 不重合时,直线 PA,PB 的斜率之积为 3 解:双曲线 C:1 的 a,b3,c2,则 e2,故 A 错误; 焦点(2,0)到渐近线 3xy0,的距离为 3,故 B 正确; 设 P(m,n),可得 3m2n29, 则点 P 到两条渐近线的距离之积为,故 C 正确; 设 P(m,n),可得 3m2n29,又 A(,0),B(,0), 可得 kPAkPB 3,故 D 正确 故选:BCD 11如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,P,M,N 分别为棱 CC

20、1,CB,CD 上的动点(点 P 不与点 C,C1重合),若 CPCMCN,则下列说法正确的是( ) A存在点 P,使得点 A1到平面 PMN 的距离为 B用过 P,M,D1三点的平面去截正方体,得到的截面一定是梯形 CBD1平面 PMN D用平行于平面 PMN 的平面 去截正方体,得到的截面为六边形时,该六边形周长一定为 解:对于 A:连接 A1C1,BC1,A1B,BD,C1D,A1D,B1C,如图示: CPCMCN,MNBD,NPC1D,MPBC1,且平面 MNP平面 BC1D, 又已知三棱锥 A1BC1D 各条棱长均为,则三棱锥 A1BC1D 为正四面体, 故 A1到平面 BC1D 的

21、距离为: , A1B1平面 BCC1B1,A1B1BC1,又 BC1B1C,且 A 1B1B1CB1, BC1平面 A1B1C,又 A1C平面 A1B1C,B1A1C, 同理可得 C1DA1C,且 BC1C1DC1,A1C平面 BC1D, 又A1 C ,A1到平面 PMN 的距离( ,),且,故 A 正确; 对于 B:连接 D1P 并延长交 DC 的延长线于点 Q,连接 QM 并将其延长与 AD 相交于点 A,如图示: CPCM,且 CPDD1,CMAD,则,DADD1,故 A即为 A,连接 AD1, 过点 P,M,D1的截面为四边形 AD1PM, 由条件可知 MPBC1,BC1AD1,且|M

22、P|AD1|, 四边形 AD1PM 为梯形,故 B 正确; 对于 C:连接 BD1,由 A 可知平面 MNP平面 BC1D,如图示: 又B平面 BC1D,D1平面 BC1D,故 BD1不平行于平面 BC1D, 故 BD1平面 PMN 不成立,故 C 错误; 对于 D:在 BB1上取点 P1,过点 P1作 P1P2MP 交 B1C1于点 P2, 过 P2作 P2N1MN 交 C1D1于 N1,以此类推,如图示: 依次可得点 N2,M1,M2,此时截面为六边形, 根据题意可知:平面 P1P2N1N2M1M2平面 MNP, 不妨设 BP1x,则 P1M2P2N1N2M1 x, 故 P1P2N1N2M

23、1M2 (1x), 故六边形的周长为:3x+(1x)3,故 D 正确; 故选:ABD 12用符号x表示不超过 x 的最大整数,例如:0.60,2.32设 f(x)(1lnx)(ax2+2lnx)有 3 个不同的零点 x1,x2,x3,则( ) Axe 是 f(x)的一个零点 Bx1+x2+x32+e Ca 的取值范围是(,0) D若x1+x2+x36,则 a 的范围是,) 解:令 f(x)0,则 1lnx0 或 ax2+2lnx0,由 1lnx0 解得 x1e,故选项 A 正确; 又 f(x)有 3 个不同的零点,故 ax2+2lnx0 有两个不同的零点,即有两个不同的零点,不妨 设这两个零点

24、为 x2,x3(x2x3), 函数的图象与直线 ya 有两个不同的交点, 由得,令 g(x)0,解得,易知 g(x)在单减,在 单增,且, 作出 g(x)的大致图象如下, 由图象可知,显然 g(x)不关于对称,故, ,选项 B 错误; 又要使函数的图象与直线 ya 有两个不同的交点,则,注意到 e 不是此时 的零点, ae2+2lne0,即 , ,选项 C 错误; 又x1e2,x21, x33, 3x34, g(3)g(x3)g(4),即 ,选项 D 正确 故选:AD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 的展开式中各项系数的

25、和为 3,那么展开式中的常数项为 320 解:的展开式中各项系数的和为(a+1)(12)63,a2, 故的展开式的通项公式为 Tr+1(2)6 r x 62r, 令 62r0,求得 r3,令 62r1,求得 r 无整数解 那么的展开式中的常数项为 a(2)3220(8)320, 故答案为:320 14如图是某商业小区的平面设计图,初步设计该小区为半径是 200 米,圆心角是 120的扇形 AOBO 为南门位置,C 为东门位置,小区里有一条平行于 AO 的小路 CD,若 OD米,则圆弧的长 为 50 米 解:连结 OC,因为 CDOA,所以DCOCOA,CDO180DOA18012060, 在O

26、CD 中,由正弦定理可得, 所以,解得, 因为DCOCOA,且 0COA120, 所以DCOCOA45, 故圆弧的长为50 故答案为:50 15请你举出与函数 f(x)e2x1 在(0,0)处具有相同切线的一个函数 yx2+2x,或 ysin2x,或 y 2ex2 解:函数 f(x)e2x1 的导数为 f(x)2e2x, 可得在(0,0)处切线的斜率为 2, 切线的方程为 y2x, 可取 yx2+2x,其导数为 y2x+2,满足在(0,0)处的切线的斜率为 2, ysin2x,其导数为 y2cos2x,满足在(0,0)处的切线的斜率为 2, y2ex2,其导数为 y2ex,满足在(0,0)处的

27、切线的斜率为 2, 故答案为:yx2+2x,或 ysin2x,或 y2ex2 16如图所示,平面中两条直线 l1与 l2相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p,q 分别是 M 到直线 l1 与 l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点 M 的“距离坐标”,给出下列四个命题: “距离坐标”为(1,0)的两点间距离为 2; 若 pq,则点 M 的轨迹是一条过 O 点的直线; 若 pq0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 4 个; 若直线 l1与 l2的夹角是 60,则|OM| 或|OM| 其中所有正确命题的序号为 解:对于,如图(1), P1(1,0),P2(1,0),|OP1|1

28、,|OP2|1,则|P1P2|1+12,故错误; 对于,pq,则 M 在两直线 l1,l2夹角的平分线上,如图(1)中 l3,l4,故错误; 对于,如图(2), 若 pq0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 4 个,故正确; 对于,建立如图(1)中平面直角坐标系,则 l1:,l2:y0, 设 M(x,y),则 p,q|y|,yq,x, |OM|2x2+y2, 则或, |OM|或|OM|,故正确 故答案为: 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在 (cosB,2cb),

29、(cosA,a),且 ,bacosC+csinA,cos2A+cosAcos(C B)sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答 已知ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c (1)求 A 的值; (2)若 a,ABC 的面积是,点 M 是 BC 的中点,求 AM 的长度 解:选:由 mn 得 acosB(2cb)cosA, 得 sinAcosB2sinCcosAsinBcosA,得 sin(B+A)2sinCcosA, 又 sin(B+A)sinC,sinC0,所以,又 0A,所以 因为, 根据正弦定理得, 所以, 所以, 所以因为 sinC0,所以,

30、 又 0A,所以 因为 cos2A+cosAcos(CB)sinBsinC, 所以 cosAcos(B+C)+cos(CB)sinBsinC, 所以 2cosAsinBsinCsinBsinC 因为 B(0,),C(0,),所以 sinBsinC0,所以, 又 0A,所以 (2)在ABC 中,由,得 b2+c2bc3 由ABC 的面积为,得 bc2,所以 b2+c25 因为 M 是 BC 的中点,所以, 从而, 所以 18数列an满足 a11,点(n,an+an+1)在函数 ykx+1 图象上,其中 k 为常数,且 k0 (1)若 a1,a2,a4成等比数列,求 k 的值; (2)当 k3 时

31、,求数列an的前 n 项和 Sn 解:(1)由 an+an+1kn+1,可得 a1+a2k+1,a2+a32k+1,a3+a43k+1, 因为 a11, 所以 a2k,a3k+1,a42k 又 a1,a2,a4成等比数列,所以 ,则 k22k, 又 k0,故 k2 (2)当 k3 时,an+an+13n+1 当 n 为偶数时,Sn(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+ +(an1+an) ; 当 n 为奇数时,Sna1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+ +(an1+an) 综上所述,Sn 192020 年是全面建成小康社会之年,是脱贫攻坚收官之年上坝村是乡扶贫办的科学

32、养鱼示范村,为了 调查上坝村科技扶贫成果,乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次,上午进行第一次捕捞,捕捞 到 60 条鱼,共 105kg,称重后计算得出这 60 条鱼质量(单位 kg)的平方和为 200.41,下午进行第二次 捕捞,捕捞到 40 条鱼,共 66kg称重后计算得出这 40 条鱼质量(单位 kg)的平方和为 117 (1)请根据以上信息,求所捕捞 100 条鱼儿质量的平均数 和方差 s2; (2)根据以往经验,可以认为该鱼塘鱼儿质量 X 服从正态分布 N(,2),用 作为 的估计值,用 s2作为2的估计值随机从该鱼塘捕捞一条鱼,其质量在1.21,2.71的概率是多少? (3)

33、某批发商从该村鱼塘购买了 5000 条鱼, 若从该鱼塘随机捕捞, 记 为捕捞的鱼儿质量在1.21, 2.71 的条数,利用(2)的结果,求 的数学期望 附:(1)数据 t1,t2,tn的方差 , (2)若随机变量 X 服从正态分布 N(,2),则 P(X+)0.6827;P(2X+2 )0.9545;P(3X+3)0.9973 解:(1), (2)该鱼塘鱼儿质量 XN(,2),其中 1.71,20.25, 所以 (3)由题意可知 B(5000,0.8186), 所以 的数学期望为 E()50000.81864093 20如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成,点 G 为弧的中点,且

34、 C、E、D、G 四 点共面 (1)证明:平面 BFD平面 BCG; (2)若平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为,求直线 DF 与平面 ABF 所成角的大小 【解答】(1)证明:连接 CE,因为ECDDCG45,所以ECG90,即 CECG 因为 BCEF,且 BCEF,所以四边形 BCEF 为平行四边形,所以 BFEC, 因此,BFCG 因为 BC平面 ABF,BF平面 ABF,所以 BCBF 又因为 BCCGC,所以 BF平面 BCG, 又因为 BF平面 BFD,所以平面 BFD平面 BCG (2)解:以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设 AF2,ADt,

35、则 A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,t),G(1,1,t), 于是, 设平面 BDF 的一个法向量为, 由, 令 z2,得 设平面 ABG 的一个法向量为, 由, 令 z1,得 由平面 BDF 与平面 ABG 所成的锐二面角的余弦值为,得, 解得 t2,即 AD2 因为 DA平面 ABF,所以DFA 就是直线 DF 与平面 ABF 所成的角, 在ADF 中,因为DAF90,ADAF2,所以DFA45, 因此直线 DF 与平面 ABF 所成的角为 45 21已知 F1,F2分别为椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点,M 为 C 上的动点,其中 M 到 F1 的最短

36、距离为 1,且当MF1F2的面积最大时,MF1F2恰好为等边三角形 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)斜率为 k 的动直线 l 过点 F2,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P, 那么,是否为定值?若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由 解:(1)设|F1F2|2c,则由题意可知 , 解得 a2,c1,所以, 故椭圆 C 的方程为 (2)为定值 证明:由题意可知,动直线 l 的方程为 yk(x1), 由, 得(3+4k2)x28k2x+4(k23)0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 , 设 AB 的中点为 Q(x0,y0),则, 当 k

37、0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为, 令 y0,得, 所以 所以 当 k0 时,l 的方程为 y0, 此时,|AB|2a4,|PF2|c1, 综上,为定值 22已知函数 f(x)cosx+2,g(x) (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若关于 x 的不等式 f(x)g(x)在 x0,+)恒成立,求实数 b 的取值范围 解:(1),f(x)xsinx 令 h(x)xsinx,则 h(x)1cosx h(x)0 在 R 上恒成立,h(x)在 R 上单调递增 又h(0)0,当 x0 时,h(x)0;当 x0 时,h(x)0 即 f(0)0,当 x0 时,f(x)0;当 x0 时,f(x)

38、0, f(x)在(,0上单调递减,在0,+)上单调递增, 因此,f(x)的最小值为 f(0)1; (2)不等式 f(x)g(x),即 cosx+2, 等价于 ebxsinx+cosx20 设 p(x)ebxsinx+cosx2,则由题意得 p(x)0 在 x0,+)内恒成立 p(x)bebxcosxsinx,p(0)b1 当 b1 时,p(0)0,这时x00,使当 x(0,x0)时,p(x)0, 从而 p(x)在0,x0上单调递减, 又p(0)0,当 x(0,x0)时,p(x)0,这与 p(x)0 在0,+)内恒成立不符 当 b1 时,对于任意的 x0,bxx,从而 ebxex,这时 p(x)exsinx+cosx2 设 q(x)exsinx+cosx2,则 q(x)excosxsinx, 设 (x)exx1,则 (x)ex1 当 x0 时,(x)0,(x)在0,+)上单调递增 又(0)0,当 x0 时,(x)0,即 exx+1 因此,q(x)1cosx+xsinx0,q(x)在0,+)上单调递增 又q(0)0,当 x0 时,q(x)0,从而 p(x)0 综上,实数 b 的取值范围为1,+)