1、数学试题（第1页，共6页） 福州市福州市 2021 届高三届高三 5 月调研卷月调研卷 数学数学 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 注意事项 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡 上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项
2、是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 全集1,2,3,4,5,6U =，集合|39 x AxU=，则 UA= A1,2 B1,2,3 C4,5,6 D3,4,5,6 2. 已知z为复数， 2 10z + =，则|1|z 等于 A0 B1 C2 D2 3. 在 6 ()xyz+的展开式中， 4 xyz的系数是 A15 B30 C36 D60 4. 某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体 得到的，如图所示如果一张石凳的体积是 3 0.18 m，那么原正方体石料的体积是 A0.196 m3 B0.216 m3 C0.225 m3 D0.234 m3 5. 已知
3、 2 log0.50.2 ab a =，则 A1ab B1ab C1ba D1ba 数学试题（第2页，共6页） 6. 已知直线1yx=与抛物线 2 4yx=交于,A B两点若点( 1,)Cm满足90ACB=，则 m = A1 B1 C2 D3 7. 经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量 Q（单位：L）与速度 v（单位：km/h） （40v120）的数据如下表： 为描述 Q 与 v的关系， 现有以下三种模型供选择：( ) 0.043.6Q vv=+ ，( )0.5Q va =+， ( ) 32 0.0000250.0040.25Q vvvv=+ 选出最符合实际的函数模型， 解决下列问题： 某
4、高 速公路共有三个车道， 分别是外侧车道、 中间车道、 内侧车道， 车速范围分别是 )60,90， )90,110 ， 110,120（单位：km/h） 为使百公里耗油量 W（单位：L） 最小，该型号 汽车行驶的车道与速度为 A在外侧车道以 80 km/h 行驶 B在中间车道以 90 km/h 行驶 C在中间车道以 95 km/h 行驶 D在内侧车道以 115 km/h 行驶 8. 为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问 题：你的学号尾数是奇数吗？你是否需要心理疏导？某校高三全体学生 870 人参 加了该项问卷调查被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，
5、当出现 1 点或 2 点时， 回答问题， 否则回答问题 由于不知道被调查者回答的是哪一个问题， 因此， 当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能 得到诚实的问卷反应问卷调查结束后，发现该校高三学生中有 155 人回答“是”，由此 可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为 A10 B15 C29 D58 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得
6、分，部分选对的得 2 分分 9. 已知向量(1,0)=a，(0,1)=b，(1,1)=c，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量 的一个基底的是 Aa，c Ba，bc C c，+ab D+ab，bc v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 数学试题（第3页，共6页） 10. 已知( )sin()(0)f xx =+，直线 5 12 x =, 11 12 x =是( )f x的图象的相邻两条对称 轴，则下列说法正确的是 A函数 5 () 12 yf x=+为偶函数 B( )f x的图象的一个对称中心为 ,0 6 C( )f x在区间 5 0, 6 上有
7、 2 个零点 D( )f x在区间, 6 6 上为单调函数 11. 在棱长为2的正四面体ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则下列说法正 确的是 AMNCD B正四面体ABCD外接球的表面积等于6 CMNBC D正四面体ABCD外接球的球心在MN上 12. 在ABC中，4AB =，M为AB的中点，且CACBCM=，则下列说法中正确的是 A动点C的轨迹是双曲线 B动点C的轨迹关于点M对称 CABC是钝角三角形 DABC面积的最大值为2 3 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知() 3 tan 4 = ，则sin2的
8、值为_ 14. 已知正项等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 2 +1 1 2 n nn a a + =，则 n S=_ 15. 购买某种意外伤害保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保险费 20 元，若被保险人 在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金 50 万元已知该保险每一份保单需要赔付 的概率为 5 10，某保险公司一年能销售 10 万份保单，且每份保单相互独立，则一年度 内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为_；一年度内盈利的期望 为_万元 （参考数据： 5 5 10 1 10 )0.37 （） （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 16. 函数( ) 2 (1026)ex
9、f xxx=+，若 12 ,x xI， 12 xx，都有 ()() 12 12 22 f xf xxx f + 成立， 则满足条件的一个区间I可以是_ （填写一个符合题意的区间即可） . 数学试题（第4页，共6页） 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （10 分） ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， sincos() 6 bAaB = （1）求 B； （2）若 D 是ABC的外接圆的劣弧AC上一点，且3a =，4c =，AD = 1，求CD 18.
10、（12 分） 已知数列 n a满足 1 3a =， 1 1 2 n n a a + =. （1）证明：存在等差数列bn，当 n1 时， 1 n n n b a b =成立； （2）求 n a的通项公式. 19. （12 分） 在三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，平面ABC 平面 11 ABB A， 平面ABC 平面 11 ACC A （1）证明： 1 AA 平面ABC； （2）在1ABAC=， 1 BC与平面 11 ABB A所成的角为30，异面直线 1 C C与 1 AB 所成角的余弦值为 6 3 这三个条件中任选两个，求二面角 111 ABCB的余弦值 C1 B1 A1 C B A
11、 数学试题（第5页，共6页） 20. （12 分） 某种病菌在某地区人群中的带菌率为 10%，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准 确检测出个体是否带菌的方法现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测 , x y 两项指标， 若指标 x 的值大于 4 且指标 y 的值大于 100， 则检验结果呈阳性， 否则呈阴性 为 考查该检测方法的准确度，随机抽取 50 位带菌者（用“*”表示）和 50 位不带菌者（用“+”表 示）各做 1 次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图： （1）从这 100 名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率； （2）能否在犯错误概率不超过 0.0
12、01 的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性” 有关？ （2）现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检 者“带菌”且“检测结果呈阳性”的概率 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd = + 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 数学试题（第6页，共6页） 21. （12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab +=（0ab）的左、右顶点分别为A,B，O为原点以OB为 对角线的正方形OPBQ的顶点P,Q在C上 （1）求C的离心率； （2）当2a =时，过(1
13、,0)作与x轴不重合的直线l与C交于,M N两点，直线AM,BN 的斜率分别为 1 k， 2 k，试判断 1 2 k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请 说明理由 22. （12 分） （1）若01a，判断函数( )sin(1)lnf xaxx=+在区间()0,1内的单调性； （2）证明：对任意2n， * nN， 222 2 111 sinsinsinln2 5101n + + . 数学参考答案及评分细则（第1页 共13页） 福州市 2021 届高三 5 月调研卷 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根
14、据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给 分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分 1D 2C 3B 4B 5C 6C 7A 8B 二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分每小题全部选对 的得 5 分，有
15、选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9AD 10ABC 11BCD 12BD 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 13 24 25 14 1 22 n+ 150.63；150 16(2,3)等（注：2,4的任意一个非空子区间均可） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识；考查运算求解能力； 考查函数与方程思想，化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核 心素养；体现基础性满分 10 分 解法一： （1）由题设及正弦定理得，sinsinsinco
16、s() 6 BAAB =， 1 分 从而 31 sinsinsin(cossin) 22 BAABB=+， 2 分 化简得， 13 sinsinsincos 22 ABAB= 3 分 数学参考答案及评分细则（第2页 共13页） 因为0,sin0AA ， 4 分 所以tan3B =， 又0B,故 3 B = 5 分 （2）在ABC中，由余弦定理知， 22222 2cos =3 +42 3 4 cos=13 3 bacacB =+ ， 即13b = 6 分 又由于A B C D ， ， ，四点共圆，从而 2 3 ADCB= =， 7 分 在ADC中，设DCx=，由余弦定理得， 222 2cosAC
17、ADDCAD DCADC=+， 8 分 即得 22 2 131 +2 1cos 3 xx = ， 化简得， 2 120 xx+=，解得3x =或4x = （舍去） ， 故3DC = 10 分 解法二： （1）由题设及正弦定理得，sinsinsincos() 6 BAAB =， 1 分 从而 31 sinsinsin(cossin) 22 BAABB=+， 2 分 化简得 13 sinsinsincos 22 ABAB= 3 分 因为0,sin0AA ， 所以 13 sincos0 22 BB=， 所以sin 0 3 B = ， 4 分 又0B,故 3 B = 5 分 （2）在ABC中，由余弦定
18、理知， 22222 2cos =3 +42 3 4 cos=13 3 bacacB =+ ， 即13b = 6 分 数学参考答案及评分细则（第3页 共13页） 又由于A B C D ， ， ，四点共圆，从而 2 3 ADCB= =， 7 分 在ACD中，设ACD=，则由正弦定理得 sinsinsin ADCDAC ACDCADADC = ，即 1132 13 sin 33 sin 3 2 CD = ， 8 分 所以 3 sin 2 13 =， 又 0 3 ， ，所以 7 cos 2 13 = ， 所以 313 3 sincossin 3222 13 = ， 9 分 所以 2 132 133 3
19、 sin3 3332 13 CD = 10 分 18本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识；考查 运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想；考查数学抽象、数学运算等核 心素养；体现基础性，综合性满分 12 分 解法一：（1）当 n1 时，由 1 1 2 n n a a + =，得 11 2 nn nn bb bb + =， 2 分 化简得 11 2 nnn bbb + =，即 11nnnn bbbb + =， 4 分 这说明 n b是等差数列，故存在一个等差数列bn，当 n1 时， 1 n n n b a b =成立 6 分 （2）依题意， 2 1 15 2
20、 3 a a =， 7 分 又由（1）知 2 2 1 b a b =，所以 2 1 5 3 b b =，即 21 5 3 bb=， 8 分 所以等差数列bn的公差 211 2 3 dbbb=， 9 分 所以 11 21 (1)() 32 n bbndnb=+=+， 11 分 数学参考答案及评分细则（第4页 共13页） 故 1 1 1 21 () 21 32 21 21 () 32 n n n nb bn a bn nb + + = 12 分 解法二： （1）由已知，当 n1 时，因为 1 3a =， 1 1 2 n n a a + =， 所以 2 5 3 a =， 3 7 5 a =， 2 分
21、 故令21 n bn=，则数列 n b是首项为 1，公差为 2 的等差数列 4 分 此时 21 21 n n a n + = ，代入验算满足 1 1 2 n n a a + =， 故存在一个等差数列 n b，当 n1 时， 1 n n n b a b =成立，命题得证 6 分 （2）由 1 1 2 n n a a + =，得 1 11 11 n n nn a a aa + = =， 7 分 由，得， 8 分 所以， 9 分 所以是首项为 1 2 ，公差为 1 的等差数列， 即， 11 分 所以 21 21 n n a n + = 12 分 19本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的
22、位置关系，直线与平面所 成的角，异面直线所成的角等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算 求解能力； 考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想；考查直观想 象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性满分 12 分 解法一： （1）证明：因为ABAC，平面ABC 平面 11 ABB A， 平面ABC平面 11 ABB AAB=，AB 平面ABC，所以AC 平面 11 ABB A 1 分 又因为 1 AA 平面 11 ABB A，所以 1 ACAA 2 分 同理： 1 ABAA， 4 分 1 3a =10 n a 1 11 1 111 n nnn a aaa + =+ 1
23、 1 n a 1121 (1) 122 n n n a =+= 数学参考答案及评分细则（第5页 共13页） 又因为ABACA=，所以 1 AA 平面ABC； 5 分 （2）选择； 由（1）知， 1 AA 平面ABC，所以三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱 因为ACAB，1ABAC=，所以2BC = 在直三棱柱 111 ABCABC中，AC 平面 11 ABB A， 11 ACAC， 所以 11 AC 平面 11 ABB A，所以 11 C BA为 1 BC与平面 11 ABB A所成的角， 所以 11=30 C BA 6 分 在Rt 11 C AB中， 11 1C A =， 1 2C B
24、=，所以 1 3AB =， 在Rt 1 ABA中，1AB =，所以 1 2AA = 7 分 以A为原点， 1 ,AB AA AC的方向分别为, ,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 所示 (1,0,0)B，(0,0,1)C， 1(1, 2,0) B， 1(0, 2,0) A， 1(0, 2,1) C 所以 1 ( 1, 2,0)BA = ， 11 (0,0,1)AC =， 1 ( 1, 2,1)BC = ， 1 (0, 2,0)BB = 8 分 设平面 11 A BC的法向量为( , , )x y z=m， 由 1 11 0 0 BA AC = = m m 得 20 0 xy z +
25、 = = ，令1y =得平面 11 A BC的一个法向量为( 2,1,0)=m 9 分 设平面 11 BC B的法向量为( , , )x y z=n， 由 1 1 0 0 BB BC = = n n 得 20 20 y xyz = + += ，令1x =得平面 11 BC B的一个法向量为(1,0,1)=n 10 分 所以cos, = m n m n m n 2 32 = 3 3 =， 11 分 A1 z y x C1 B1 C B A 数学参考答案及评分细则（第6页 共13页） 所以二面角 111 ABCB的余弦值为 3 3 12 分 解法二： （1）同解法一； 5 分 （2）选择； 因为A
26、CAB，1ABAC=，所以2BC = 由（1）知， 1 AA 平面ABC，故 1 AAAB， 在三棱柱 111 ABCABC中， 11 C CA A， 所以异面直线 1 C C与 1 AB所成角为 1 AAB，所以 1 6 cos 3 AAB= 6 分 在Rt 1 ABA中，因为1AB =， 1 AAAB， 1 6 cos 3 AAB=， 所以 1 2AA = 7 分 下同解法一； 12 分 解法三： （1）同解法一； 5 分 选择； 由（）知， 1 AA 平面ABC，所以三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱， 在直三棱柱 111 ABCABC中，AC 平面 11 ABB A， 11 ACA
27、C， 所以 11 AC 平面 11 ABB A，所以 11 C BA为 1 BC与平面 11 ABB A所成的角， 所以 11=30 C BA 6 分 在直三棱柱 111 ABCABC中， 11 C CA A，且 1 AAAB， 所以异面直线 1 C C与 1 AB所成角为 1 AAB，所以 1 6 cos 3 AAB= 7 分 在 11 RtABC中，设 11 1C A =，则 1 2C B =，所以 1 3AB =， 在Rt 1 ABA中，因为 1 3AB =， 1 6 cos 3 AAB=， 所以 1 2AA =，1AB = 8 分 数学参考答案及评分细则（第7页 共13页） 下同解法一
28、 12 分 20本题主要考查用样本估计总体，独立性检验，条件概率等基础知识；考查数学建模 能力，运算求解能力，推理论证能力，创新能力以及应用意识；考查统计与概率思 想，化归与转化思想；考查数学建模，数据分析，数学运算等核心素养；体现综合 性、应用性和创新性满分 12 分 解法一： （1）设A =“从这 100 名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈 阳性” ， 1 分 根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有 5 人， 2 分 所以 51 ( ) 5010 P A = 3 分 （2）假设 H0： “带菌”与“检测结果呈阳性”无关， 4 分 可作出22列联表如下： 5 分 阳性 阴
29、性 合计 带菌 35 15 50 不带菌 5 45 50 合计 40 60 100 进一步计算得， 2 K的观测值 2 100(3545155) 37.510.828 40605050 k = ； 6 分 因为 2 (10.828)0.001P K =， 7 分 所以，能够在犯错误概率不超过 0.001 的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性” 有关 8 分 （3）设B =“被检测者带菌” ，C =“被检测者检测结果呈阳性” ， 则BC =“被检者带菌且检测结果呈阳性 ” ， 9 分 用频率估计概率，根据题意可知：( )0.1P B =， 35 (|)0.7 50 P C B =， 11 分
30、所以由条件概率公式可知()( )(|)0.1 0.70.07P BCP BP C B= 12 分 解法二： （1）设A =“从这 100 名被检测者中，随机抽取一名为不带菌者” ，D = “从 这 100 名被检测者中，随机抽取一名检测结果呈阳性” ， 数学参考答案及评分细则（第8页 共13页） 则“从这 100 名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性”的概率就是 “在事件A发生的条件下，事件D发生”的概率，记为(|)P D A 1 分 根据题意， 1 ( ) 2 P A =， 5 () 100 P AD =， 2 分 利用条件概率公式，得 5 ()1 100 (|) 1 ( )1
31、0 2 P AD P D A P A = 3 分 （2）下同解法一 12 分 21 本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质， 直线与椭圆的位置关系等基础知识； 考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转 化思想；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性满 分 12 分 解法一：（1） 以OB为对角线的正方形OPBQ的顶点 坐标分别为( ,0)B a,(,) 2 2 a a P,(,) 22 aa Q 1 分 因为,P Q在椭圆上，所以 22 22 44 1 aa ab +=， 2 分 所以 2 2 3 a b =， 3 分 所以 222
32、2 2cabb=， 4 分 所以椭圆的离心率 6 3 c e a =； 5 分 （2）当2a =时， 2 3 3 b =，所以椭圆的方程为 22 34xy+= 6 分 1 2 k k 为定值 1 3 ，理由如下： 当直线l的斜率不存在时，l的方程为1x =，则(1,1),(1, 1)MN， 所以 1 1 1 11 21( 2)3 y k x = + ， 2 2 2 1 1 212 y k x = ，所以 1 2 1 3 k k = 7 分 当直线l的斜率存在时，设l的方程为1xmy=+，0m， 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， Q P B A O y x 1 N M B
33、AO y x 数学参考答案及评分细则（第9页 共13页） 不妨设 21 0yy，且 12 0yy+ 由 22 1 34 xmy xy =+ += 可得 22 (3)230mymy+=， 8 分 2 =16360m+， 12 2 2 3 m yy m += + ， 12 2 3 3 y y m = + 9 分 要证 1 2 1 3 k k =，只要证明： 1 1 2 2 21 3 2 y x y x + = ， 只要证： 1221 3(2)(2)y xyx=+， 只要证： 1221 3(1)(3)y myy my=+， 只要证： 1212 23()my yyy=+， 因为 12 0yy+，0m，即证 12 12 3 2 y y yym = + ， 10 分 因为 12 2 2 3 m yy m += + ， 12 2 3 3 y y m = + ，所以 12 12 3 2 y y yym = + 所以 1 2 1 3 k k =成立， 11 分 综上所述： 1 2 1 = 3 k k 12 分 解法二： （1）同解法一； 5 分 （2）当2a =时， 2 3 3 b =，所以椭圆