1、 专题专题 05 因式分解因式分解 一、因式分解及其方法一、因式分解及其方法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个 有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中 学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、 换元、待定系数等等。 1提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法比如：am+an=a(m+n) 2运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来
2、把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运 用公式法 (1)平方差公式 两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式： 22 ababab (2)完全平方公式 两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或者差)的平方 字母表达式： 2 22 2aabbab (3)立方和与立方差公式 两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和) a 3+b3(a+b)(a2-ab+b2) a 3b3(a-b)(a2+ab+b2) 3十字相乘法分解因式：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. (1
3、)对于二次三项式，若存在 ，则 (2)首项系数不为 1 的十字相乘法 在二次三项式(0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常 数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数， 即， 那 么 二 次 三 项 式 就 可 以 分 解 为 两 个 因 式与之 积 ， 即 . 4.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分 步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解分组分 解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.比如： amanbm+bn
4、=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)=(mn)(ab) 二、因式分解策略二、因式分解策略 1.因式分解的一般步骤： (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 2 xbxc pqc pqb 2 xbxcxpxq 2 axbxcaa 12 aa a c 1 2 cc c 1212 aacc， ， ， 1 22 1 a ca c 2 axb
5、xcb 1 22 1 aca cb 11 a xc 22 a xc 2 1122 axbxca xca xc 若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式a 2b2(ab)(ab),完全平方公式 a 2 2abb 2(ab)2)或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止. 2.从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式 (1)如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式 (2)如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法 (3)如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法 3.因式分解要注意的几个问题： (1)每个因式分解到不能
6、再分为止 (2)相同因式写成乘方的形式 (3)因式分解的结果不要中括号 (4)如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数 (5)因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面 【例题【例题 1 1】(2019(2019江苏无锡江苏无锡) )分解因式 4x 2y2的结果是( ) A(4x+y)(4xy) B4(x+y)(xy) C(2x+y)(2xy) D2(x+y)(xy) 【答案】C 【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键直接利用平方差公式分解因式得出 答案 4x 2y2(2x)2y2 =(2x+y)(2xy) 【对点
7、练习】【对点练习】(2019(2019 广西贺州广西贺州) )把多项式 2 41a 分解因式，结果正确的是( ) A(41)(41)aa B(21)(21)aa C 2 (21)a D 2 (21)a 【答案】B 【解析】运用公式法 2 41(21)(21)aaa ，故选：B 【例题【例题 2 2】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )多项式 3 4aa分解因式的结果是_. 【答案】(2)(2)a aa 【解析】先提出公因式 a，再利用平方差公式因式分解 解：a 3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2) 【点拨】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟记提公因式
8、法和公式法 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 宁夏宁夏) )分解因式：2a 38a 【答案】2a(a+2)(a2) 【解析】先提取公因式，再利用二数平方差公式。 原式2a(a 24)2a (a+2)(a2) 【例题【例题 3 3】(2020(2020聊城聊城) )因式分解：x(x2)x+2 【答案】(x2)(x1) 【解析】利用提取公因式法因式分解即可 原式x(x2)(x2)(x2)(x1) 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 齐齐哈尔齐齐哈尔) )因式分解：a 2+12a+4(a1) 【答案】(a1)(a+3) 【解析】根据因式分解分组分解法分解因式即可 a 2+12a
9、+4(a1)(a1)2+4(a1)(a1)(a1+4)(a1)(a+3) 一、选择题一、选择题 1.(20201.(2020金华金华) )下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( ) Aa 2+b2 B2ab 2 Ca 2b2 Da 2b2 【答案】C 【解析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相 反进行分析即可 A.a 2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B.2ab 2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C.a 2b2能运用平方差公式分解，故此选项正确； D.a 2b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 2.(20202
10、.(2020 湖北荆州模拟湖北荆州模拟) )把多项式 4x 22xy2y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( ) A. (4x 2y)(2x+y2) B. (4x2y2)(2x+y) C. 4x 2(2x+y2+y) D. (4x22x)(y2+y) 【答案】B 【解析】把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式法分解 因式即可 原式=4x 22xy2y =(4x 2y2)(2x+y) =(2xy)(2x+y)(2x+y) =(2x+y)(2xy1) 3.(20193.(2019 广西贺州广西贺州) )把多项式 2 41a 分解因式，结果正确的是(
11、 ) B(41)(41)aa B(21)(21)aa C 2 (21)a D 2 (21)a 【答案】B 【解析】运用公式法 2 41(21)(21)aaa ，故选：B 4.(20194.(2019 四川泸州四川泸州) )把 2a 28 分解因式，结果正确的是( ) A2(a 24) B2(a2)2 C2(a+2)(a2) D2(a+2) 2 【答案】C 【解析】提公因式法与公式法的综合运用 原式2(a 24)2(a+2)(a2)，故选：C 5.(20205.(2020 山东潍坊模拟山东潍坊模拟) )下列因式分解正确的是( ) A x 24=(x+4)(x4) B x2+2x+1=x(x+2)
12、+1 C 3mx6my=3m(x6y) D 2x+4=2(x+2) 【答案】D 【解析】A.原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断； 原式=(x+2)(x2)，错误； B.原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断； 原式=(x+1) 2，错误； C.原式提取公因式得到结果，即可做出判断； 原式=2m(x2y)，错误； D.原式提取公因式得到结果，即可做出判断 原式=2(x+2)，正确。 6.(20206.(2020 齐齐哈尔模拟齐齐哈尔模拟) )把多项式 x 26x+9 分解因式，结果正确的是( ) A(x3) 2 B(x9) 2 C(x+3)(x3) D(x+9)(x9) 【答案
13、】A 【解析】原式利用完全平方公式分解即可 x 26x+9=(x3)2 7. (20197. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) ) 下列因式分解正确的是( ) A.x 2xx(x+1) B.a 23a4(a+4)(a1) C.a 2+2abb2(ab)2 D.x 2y2(x+y)(xy) 【答案】D 【解析】 A.x 2xx(x1),错误; B.a 23a4(a4)(a+1),错误; C.a 2+2abb2不能因式分解,故错误; D.x 2y2(x+y)(xy),是平方差公式; 故选 D 二、填空题二、填空题 8(2020(2020聊城聊城) )因式分解：x(x2)x+2 【答案】(x2)(
14、x1) 【解析】利用提取公因式法因式分解即可 原式x(x2)(x2)(x2)(x1) 9.(20209.(2020株洲模拟株洲模拟) )分解因式：x 2+3x(x3)9= 【答案】(x3)(4x+3) 【解析】x 2+3x(x3)9 =x 29+3x(x3) =(x3)(x+3)+3x(x3) =(x3)(x+3+3x) =(x3)(4x+3) 【点拨】首先将首尾两项分解因式，进而提取公因式合并同类项得出即可。此题主要考查了分组分解法分 解因式，正确分组得出是解题关键 10(2020(2020绥化绥化) )因式分解：m 3n2m 【答案】m(mn+1)(mn1) 【解析】直接提取公因式m，再利
15、用公式法分解因式得出答案 m 3n2mm(m2n21) m(mn+1)(mn1) 11(2020(2020哈尔滨哈尔滨) )把多项式m 2n+6mn+9n 分解因式的结果是 【答案】n(m+3) 2 【解析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案 原式n(m 2+6m+9) n(m+3) 2 12(2020(2020黔东南州黔东南州) )在实数范围内分解因式：xy 24x 【答案】x(y+2)(y2) 【解析】本题可先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解 xy 24x x(y 24) x(y+2)(y2) 13(2020(2020济宁济宁) )分解因式a 34a 的结果是
16、 【答案】a(a+2)(a2) 【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 原式a(a 24) a(a+2)(a2) 14(2020(2020宁波宁波) )分解因式：2a 218 【答案】2(a+3)(a3) 【解析】首先提取公因式 2，再利用平方差公式分解因式得出答案 2a 2182(a29) 2(a+3)(a3) 15(2020(2020温州温州) )分解因式：m 225 【答案】(m5)(m+5) 【解析】直接利用平方差进行分解即可 原式(m5)(m+5) 16(2020(2020铜仁市铜仁市) )因式分解：a 2+aba 【答案】a(a+b1) 【解析】原式提取公因式即可 原式a
17、(a+b1) 17(2020(2020黔西南州黔西南州) )把多项式a 34a 分解因式，结果是 【答案】a(a+2)(a2) 【解析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可 原式a(a 24)a(a+2)(a2) 18.(2019(2019湖北天门湖北天门) )分解因式：x 44x2 【答案】x 2(x+2)(x2) 【解答】x 44x2x2(x24)x2(x+2)(x2)； 【点拨】先提取公因式，再用二数平方差公式。 19.(201919.(2019 山东东营山东东营) )因式分解：x(x3)x+3=_ 【答案】(x3)(x1) 【解析】分组分解法 x(x3)x+3= x(x3)(x
18、3)=(x3)(x1) 20.20.(2019(2019 贵州省毕节市贵州省毕节市) ) 分解因式：x 416 【答案】(x 2+4)(x+2)(x2) 【解析】运用公式法 x 416(x2+4)(x24)(x2+4)(x+2)(x2) 21.(201921.(2019 广东深圳广东深圳) )分解因式：ab 2a=_ 【答案】a(b+1)(b1) 【解析】提公因式法与公式法的综合运用 原式=a(b 21)=a(b+1)(b1) 22.(201922.(2019 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨) )分解因式： 223 96abbaa= 【答案】a(a3b) 2 【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。
19、 a 36a2b+9ab2 a(a 26ab+9b2) a(a3b) 2 23.23.(2019(2019 贵州黔西南州贵州黔西南州) )分解因式：9x 2y2 【答案】(3x+y)(3xy) 【解析】运用公式法 原式(3x) 2y2 =(3x+y)(3xy) 24.(201924.(2019湖南张家界湖南张家界) )因式分解：x 2yy 【答案】y(x1)(x1) 【解析】x 2yyy(x21)y(x1)(x1) 25.(201925.(2019 年陕西省年陕西省) )因式分解： 33 9x yxy 【答案】(3)(3)xy xx 【解析】 332 9(9)(3)(3)x yxyxy xxy
20、 xx 26. (201926. (2019 黑龙江大庆黑龙江大庆) )分解因式:a 2b+ab2ab_. 【答案】【答案】(a+b)(ab1) 【解析】【解析】a 2b+ab2abab(a+b)(a+b)(a+b)(ab1). 27.(201927.(2019江苏常州江苏常州) )分解因式：ax 24a_ 【答案】a(x2)(x-2) 【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解， ax 24aa(x24)a(x2)(x-2)，因此本题答案为 a(x2)(x-2) 28.28.(2019(2019 内蒙古赤峰内蒙古赤峰) )因式分解：x 32x2
21、y+xy2 【答案】x(xy) 2 【解析】提公因式法与公式法的综合运用 原式x(x 22xy+y2)x(xy)2，故答案为：x(xy)2 三、解答题三、解答题 29.(201929.(2019 湖北咸宁湖北咸宁) )若整式x 2+my2(m 为常数，且m0)能在有理数范围内分解因式，则m的值可以多少(写 一个即可) 【答案】1 【解析】令m1，整式为x 2y2(x+y)(xy)故答案为：1(答案不唯一) 只要 m 取负值，其绝对值一个有理数的平方数即可。比如：m=-4，-9，-16，-25 等。 30.30.把 abab+1 分解因式。 【答案】(b1)(a1) 【解析】当被分解的式子是四项
22、时，应考虑运用分组分解法进行分解本题可采用两两分组的方法，一、 三，二、四或一、二，三、四分组均可，然后再用提取公因式法进行二次分解。 abab+1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)=(b1)(a1) 31.(201931.(2019 广西河池广西河池) )分解因式： 2 (1)2(5)xx 【答案】见解析。 【解析】直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可 原式 2 21210 xxx 2 9x(3)(3)xx 32.32.若|m4|与 n 28n+16 互为相反数，把多项式 a2+4b2mabn 因式分解 【答案】见解析。 【解析】|m4|与 n 28n+16 互为相
23、反数， |m4|+n 28n+16=0， |m4|+(n4) 2=0， m4=0，n4=0， m=4，n=4， a 2+4b2mabn=a2+4b24ab4=(a2+4b24ab)4=(a2b)222=(a2b+2)(a2b2) 33.(202033.(2020 河北模拟河北模拟) )先阅读以下材料，然后解答问题 分解因式 mx+nxmy+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)； 也可以 mx+nxmy+ny=(mx+my)+( nx+ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y) 以上分解因式的方法称为分组分解法请用分组分解法分解因式
24、：a 3b3+a2bab2 【答案】见解析。 【解析】a 3b3+a2bab2 =(a 3+a2b)(b3+ab2) =a 2(a+b)b2(b+a) =(a+b)(a 2b2) =(a+b) 2(ab) 34. 阅读理解题由多项式乘法：(xa)(xb)x 2(ab)xab，将该式从右到左使用，即可得到“十字 相乘法”进行因式分解的公式：x 2(ab)xab(xa)(xb). 示例：分解因式：x 25x6x2(23)x23(x2)(x3) (1)尝试：分解因式：x 26x8(x_)(x_)； (2)应用：请用上述方法解方程：x 23x40. 【答案】(1)2 4 (2)x1 或 x4. 【解析】(1)x 26x8(x2)(x4)； (2)x 23x40， (x1)(x4)0， 则 x10 或 x40， 解得 x1 或 x4.