1、 专题专题 08 08 一元一次方程及其应用一元一次方程及其应用 一、方程与整式、等式的区别一、方程与整式、等式的区别 (1)从概念来看： 整式：单项式和多项式统称整式。 等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如 2+3=5，mnnm 等都叫做等式，而像3a+2b，3 m 2n 不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。 方程：含有未知数的等式叫做方程。如 5x311。理解方程的概念必须明确两点：是等式；含有未知 数。两者缺一不可。 (2)从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用 运算符号连接起来，不含有等号。 (3)从是否含有未知量来看：等式
2、必含有“” ，但不一定含有未知量；方程既含有“” ，又必须含有未知 数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。 二、一元一次方程的概念二、一元一次方程的概念 1.一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a0)。 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的次数是 1 次； (3)整式方程 注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 2.方程的解：判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等 三、一元一次方程的解法三、一元一次方程的解法 1.方程的同解原理(等
3、式的基本性质) 性质 1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 性质 2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式。 注意：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。 2.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母。在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质 2，注意防止漏乘(尤其整数项)， 注意添括号。 (2)去括号。一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏 乘。 (3)移项。把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式
4、 基本性质 1，移项要变号，不移不变号。 (4)合并同类项。把方程化成 axb(a0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。 (5)系数化为 1。在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 xb/a ,依据等式基本性质 2，计算要 仔细，分子分母勿颠倒。 说明：理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: a0 时，方程有唯一解 xb/a ； a=0，b=0 时，方程有无数个解； a=0，b0 时，方程无解。 四、列一元一次方程解应用题四、列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤： (1)审审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义
5、的相等关系。 (2)设设出未知数：根据提问，巧设未知数 (3)列列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。 (4)解解方程：解所列的方程，求出未知数的值 (5)答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案，注意带上单位。 2.常见的一些等量关系 (1)行程问题：距离=速度时间 (2)工程问题：工作量=工效工时 (3)比率问题：部分=全体比率 (4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度 (5)商品价格问题：售价=定价折 10 1 ，利润=售价-成本，%100 成本 成本售价 利润率 (6)周长、面积、体积问题
6、： C圆=2R，C长方形=2(a+b)，C正方形=4a， S圆=R 2，S 长方形=ab， S正方形=a 2，S 环形=(R 2-r2), V长方体=abc，V正方体=a 3，V 圆柱=R 2h ，V 圆锥= 3 1 R 2h. 【例题【例题 1 1】(2020(2020重庆重庆) )解一元一次方程1 2(x+1)1 1 3x 时，去分母正确的是( ) A3(x+1)12x B2(x+1)13x C2(x+1)63x D3(x+1)62x 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以 6 可得答案 【解析】方程两边都乘以 6，得：3(x+1)62x， 【对点练习】解方程：【对点练习】
7、解方程： (1)4x=3(2x)； (2) 【答案】见解析。 【解析】(1)去括号得：4x=63x， 移项得：x+3x=64， 合并得：2x=2， 系数化为 1 得：x=1 (2)去分母得：5(x1)2(x+1)=2， 去括号得：5x52x2=2， 移项得：5x2x=2+5+2， 合并得：3x=9， 系数化 1 得：x=3 【点拨】按照解一元一次方程的步骤解就可以，注意移项时正负号的变化。 【例题【例题 2 2】(2020(2020杭州杭州) )以下是圆圆解方程+1 2 3 3 =1 的解答过程 解：去分母，得 3(x+1)2(x3)1 去括号，得 3x+12x+31 移项，合并同类项，得x3
8、 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程 【答案】见解析。 【解析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案 圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 去分母，得：3(x+1)2(x3)6 去括号，得 3x+32x+66 移项，合并同类项，得x3 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 湖南湘西湖南湘西) )若关于x的方程 3xkx+20 的解为 2，则k的值为 【答案】4 【解析】考查一元一次方程的解 关于x的方程 3xkx+20 的解为 2， 322k+20， 解得：k4 【点拨】将解带入方程，得到含有 k 的方程，再解这个方程即可。 【例题【例题 3 3】(
9、2020(2020内江内江) )我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索，索 比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿， 绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长x尺则符合题意的方程 是( ) A1 2x(x5)5 B1 2x(x+5)+5 C2x(x5)5 D2x(x+5)+5 【答案】A 【分析】设绳索长x尺，则竿长(x5)尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺” ，即可得出关 于x的一元一次方程，此题得解 【解析】设绳索长x尺，则竿长(x5)尺， 依题意，得：1 2x
10、(x5)5 【对点练习】【对点练习】(2019(2019襄阳襄阳) )九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合 伙买羊，每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是( ) A5x457x3 B5x+457x+3 C D 【答案】B 【解析】设合伙人数为x人， 依题意，得：5x+457x+3 【点拨】以养总价格为不变量列含有未知数的等式。 【例题【例题 4 4】(2019(2019 湖北黄石湖北黄石) )“今有善行者行一百步，不善行者行六十步 ”(出自九章算术)意思是：同 样时间段内，走路快的
11、人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路 慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？ (2)今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步，请问走路快的人走 多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步 (2)走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 【解析】 (1)设当走路慢的人再走 600
12、 步时， 走路快的人的走x步， 根据同样时间段内， 走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步列方程求解即可。 由题意得 x：600100：60 x1000 1000600100300 所以当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步 (2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只 能走 60 步，及追及问题可列方程求解 由题意得 y200+y y500 所以走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 【对点练习】【对点练习】(2019(2019湖南岳阳湖南岳阳) )岳阳市整治农村“空心房”新模式，获
13、评全国改革开放 40 年地方改革创新 40 案例据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地 1200 亩用于复耕和改造，其中复耕 土地面积比改造土地面积多 600 亩 (1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？ (2)该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积 不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【答案】见解析。 【解析】(1)设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是(600+x)亩根据“复耕土地面积+改造土地面积 1200 亩”列出方程并解答； 由题意，得x+(600+x)1200,解得x300 则 600+x90
14、0 所以改造土地面积是 300 亩，则复耕土地面积是 900 亩。 (2)设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是(300y)亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总 面积的”列出不等式并解答 由题意，得y(300y) 解得y75 故休闲小广场总面积最多为 75 亩 所以休闲小广场总面积最多为 75 亩 【点拨】根据“复耕土地面积+改造土地面积1200 亩”列出方程并解答是正确思路。 一、选择题一、选择题 1(2020(2020金华金华) )如图，在编写数学谜题时， “”内要求填写同一个数字，若设“”内数字为x则列出 方程正确的是( ) A32x+52x B320 x+510 x2 C320
15、+x+520 x D3(20+x)+510 x+2 【答案】D 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可 【解析】设“”内数字为x，根据题意可得： 3(20+x)+510 x+2 2.(20192.(2019 贵州毕节贵州毕节) )如果 3ab 2m1与 9abm+1是同类项，那么 m等于( ) A2 B1 C1 D0 【答案】A 【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可 根据题意可得：2m1m+1， 解得：m2 3.(20193.(2019杭州杭州) )已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设男生有x 人，则( ) A2x+3(7
16、2x)30 B3x+2(72x)30 C2x+3(30 x)72 D3x+2(30 x)72 【答案】D 【解析】设男生有x人，则女生(30 x)人，根据题意可得： 3x+2(30 x)72 4 4(2020(2020 湖南长沙模拟湖南长沙模拟) )某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母，1 个螺钉需要 配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是 ( ) A21000(26x)=800 x B1000(13x)=800 x C1000(26x)=2800 x D1000(26x)=800 x 【答案】
17、C 【解析】题目已经设出安排 x 名工人生产螺钉，则(26x)人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的 个数是螺钉个数的 2 倍从而得出等量关系，就可以列出方程由题意得 1000(26x)=2800 x，故 C 答案正确。 二、填空题二、填空题 5(2020(2020衢州衢州) )一元一次方程 2x+13 的解是x 【答案】1 【分析】将方程移项，然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解 【解答】解；将方程移项得， 2x2， 系数化为 1 得， x1 6(2020(2020株洲株洲) )关于x的方程 3x8x的解为x 【答案】4 【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为 1，即可求出
18、解 【解析】方程 3x8x， 移项，得 3xx8， 合并同类项，得 2x8 解得x4 7(2020(2020武威武威) )暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填 上原价 原价： 元 暑假八折优惠，现价：160 元 【答案】200 【分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价原价折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即 可得出结论 【解析】设广告牌上的原价为x元， 依题意，得：0.8x160， 解得：x200 8.(20198.(2019张家界张家界) )田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题： “直田积八 百六十四步，只云长阔共六十
19、步，问长多阔几何” 意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它 的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步 【答案】12 【解析】设长为x步，宽为(60 x)步， x(60 x)864， 解得，x136，x224(舍去)， 当x36 时，60 x24， 长比宽多：362412(步) 9.9.方程 (12x)= (3x+1)的解为_. 【答案】x= 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方程的解 7(12x)=32(3x+1) 7+14x=18x+6 4x=13 x= 10.10.(2019(2019 贵州黔
20、西南州贵州黔西南州) )某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销 该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元 【答案】2000 【解析】一元一次方程的应用。 设这种商品的进价是x元， 由题意，得(1+40%)x0.82240 解得x2000 11.(201911.(2019 贵州毕节贵州毕节) )某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商 品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元 【答案】2000 【解析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为 224
21、0 元，列方程解答即可 由题意得，(1+40%)x0.82240 解得：x2000 12.(201912.(2019湖南湘西州湖南湘西州) )若关于x的方程 3xkx+20 的解为 2，则k的值为 【答案】4 【解析】关于x的方程 3xkx+20 的解为 2， 322k+20， 解得：k4 三、解答题三、解答题 13.13.解方程： 【答案】x= 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方程的解 左右同乘 12 可得：32x(x1)=8(x1)， 化简可得：3x+3=8x8， 移项可得：5x=11， 解可得 x= 故原方程的解为 x= 1414解
22、方程 (1)4(x1)3(20 x)=5(x2)； (2)x=2 【答案】见解析。 【解析】(1)去括号得：4x460+3x=5x10 移项得：4x+3x5x=4+6010 合并得：2x=54 系数化为 1 得：x=27； (2)去分母得：6x3(x1)=122(x+2) 去括号得：6x3x+3=122x4 移项得：6x3x+2x=1243 合并得：5x=5 系数化为 1 得：x=1 15(2020(2020攀枝花攀枝花) )课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组 6 人，后来重新编组，每组 8 人，这样就 比原来减少 2 组，问这些学生共有多少人？ 【答案】见解析。 【分析】设这些学生共有
23、x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少 2 组，根 据此列方程求解 【解析】设这些学生共有x人， 根据题意得 6 8 = 2， 解得x48 答：这些学生共有 48 人 16(2020(2020凉山州凉山州) )解方程：x 2 2 =1+ 21 3 【答案】见解析。 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可 【解析】去分母，得：6x3(x2)6+2(2x1)， 去括号，得：6x3x+66+4x2， 移项，得：6x3x4x662， 合并同类项，得：x2， 系数化为 1，得：x2 17.(201917.(2019甘肃甘肃) )中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学
24、问题，其中孙子算经中有个 问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车， 每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人，多少 辆车？ 【答案】共有 39 人，15 辆车 【解析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果 根据题意得：+2， 去分母得：2x+123x27，解得：x39， 15， 则共有 39 人，15 辆车 18.(201918.(2019 安徽安徽) )为实施乡村振兴战略， 解决某山区老百姓出行难的问题， 当地政府决定修建一条高速公路 其 中一段长为 146 米
25、的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队 加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此 速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作 10 天 【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进(x2)米根据“甲工程队独立工作 2 天后，乙 工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米”列出方程，然后求工作时间 由题意，得 2x+(x+x2)26， 解得x7， 所以乙工程队每天掘进 5 米， (天) 所以甲乙两个工程队还需联合工作 10 天