1、专题专题 07 绝对值绝对值 1.绝对值的定义：绝对值的定义： 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的性质：绝对值的性质： (1)绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|0，这是绝对值非常重要的性质； a (a0) (2)|a|= 0 (a=0) -a (a0) (3)若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0； (4)任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|a， 且|a|-a； (5)若|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；(几何意义) (6)|ab|=|a| |b|；| b a |= | | b a (b0)；
2、(7)|a| 2 =|a 2 |=a 2 ； (8)|a+b|a|+|b| |a-b|a|-|b| |a|+|b|a+b| |a|+|b|a-b| 3.拓展：拓展： |a|0 b 2 0 (1)若(x-a) 2 +(x-b) 2 =0,则 x-a=0 且 x-b=0； (2)若|x-a|+(x-b) 2 =0,则 x-a=0 且 x-b=0； (3)若|x-a|+|x-b|=0，则 x-a=0 且 x-b=0。 4.绝对值问题总结绝对值问题总结 (1)利用绝对值的定义及性质解决的问题 (2)简单的绝对值方程问题 (3)化简绝对值式，分类讨论(零点分段法)问题 (4) 绝对值几何意义的使用问题
3、【例题【例题 1】(2020 成都模拟成都模拟)巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值 【答案】2 或 10 【解析】因为|x|=4，所以 x= 4，因为|y|=6，所以 y= 6 当 x=4，y=6 时，|x+y|=|10|=10； 当 x=4，y=-6 时，|x+y|=|-2|=2; 当 x=-4，y=6 时，|x+y|=|2|=2； 当 x=-4，y=-6 时，|x+y|=|10|=10 【对点练习】【对点练习】如果 x，y 表示有理数，且 x，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么 x+y 的值是多少？ 【答案】3 或-7 【解析】x= 5，y= 2，
4、 因为|x-y|=y-x，所以 x-y0。 当 x=5，y=2 时不满足题意； 当 x=5，y=-2 时不满足题意； 当 x=-5，y=2 时满足题意，x+y=-3； 当 x=-5，y=-2 时满足题意，x+y=-7。 【点拨】分类讨论是关键，不然得不到正确结论。 【例题【例题 2】(2020 海南模拟海南模拟)解方程：|4x+8|=12 【答案】x=1，x=-5 【解析】4x+8= 12， 当 4x+8=12，x=1； 当 4x+8=-12，x=-5 【对点练习】【对点练习】解方程：(1)05|5| 2 3 x 【答案】x=- 3 5 ，- 3 25 ； 【解析】原方程可变形为：|x+5|=
5、 3 10 ，所以有 x+5= 3 10 ， 进而可得：x=- 3 5 ，- 3 25 。 【点拨】熟练理解 a0，则|a|=a；a0，|a|=-a。 1.已知 x 是有理数，且|x|=|-4|，那么 x=_。 【答案】4，-4 【解析】|x|=|-4|=4 所以 x= 4 2.解答下列问题： (1)若 3|x-2|+|y+3|=0，则 x y 的值是多少？ (2)若|x+3|+(y-1) 2 =0，求 n xy ) 4 ( 的值 【答案】(1)-3/2 (2)n 为偶数时，原式=1；n 为奇数时，原式=-1 【解析】(1)|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3， x y = 2 3
6、 （2）由|x+3|+(y-1) 2 =0，可得 x=-3，y=1。 xy 4 = 31 4 =-1 n 为偶数时，原式=1； n 为奇数时，原式=-1 3.已知|x-1|=2，|y|=3，且 x 与 y 互为相反数，求yxyx4 3 1 2 的值 【答案】24 【解析】|x-1|=2，x-1= 2，x=3，x=-1，|y|=3，y= 3， 且 x 与 y 互为相反数，所以 x=3，y=-3， 244 3 1 2 yxyx 4.若已知 a 与 b 互为相反数，且|a-b|=4，求 1 2 aba baba 的值。 【答案】4 【解析】a 与 b 互为相反数，那么 a+b=0。 1 2 aba
7、baba =, 4, 4| , 10 0 1)( babaab a ab baa abba 当 a-b=4 时，且 a+b=0，那么 a=2，b=-2，-ab=4； 当 a-b=-4 时，且 a+b=0，那么 a=-2，b=2，-ab=4； 综上可得 1 2 aba baba =4 5.若|a|=b，求|a+b|的值 【答案】见解析。 【解析】|a|=b，我们可以知道 b0， 当 a0 时，a=-b，|a+b|=0； 当 a0 时，a=b，|a+b|=2b 6.化简：|a-b| 【答案】见解析。 【解析】分类讨论。 当 a-b0 时，即 ab，|a-b|=a-b； 当 a-b=0 时，即 a=
8、b，|a-b|=0； 当 a-b0 时，即 ab，|a-b|=b-a。 7.数 a，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a| 【答案】b 【解析】|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-(a+b)+(b-a)+b-(-2a)=b 8.如果 0m10 并且 mx10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| a 0 b 【答案】20-x 【解析】|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x 9.已知 x-3,化简|3+|2-|1+x| 【答案】-x 【解析】当 x0，所以原式可以表示为：(a+b) 2
9、+b+5=b+5，(a+b) 2 =0， a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而 2a-b-1=0，进而 2a-b-1=0,3a=1，a= 3 1 ，b=- 3 1 ，ab=- 9 1 12.已知|x|=2，|y|=3 且 x-y0，则 x+y 的值为多少？ 【答案】-1，-5 【解析】x= 2，y= 3， 当 x=2，y=3 时，不满足 x-y0； x=2，y=-3 时，满足 x-y0，那么 x+y=-1； x=-2，y=3 时，不满足 x-y0； x=-2，y=-3 时，满足 x-y0，那么 x+y=-5。 综上可得 x+y 的值为-1，-5 13.有理数 a，b，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c| 【答案】3b 【解析】a-b0，b-c0，a+b0 |a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-(a-b)+(a+b)+(b-c)+c=3b a c 0 b