1、 专题专题 11 11 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 1一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫 做一元二次方程。 2一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a0)。其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是 一次项系数；c是常数项。 3一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。 4一元二次方程的解法 (1)直接开方法：适用形式：x 2=p、(x+n)2=p 或(mx+n) 2=p。 (2)配方法：套用公式a 2+2ab+b2=
2、(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： 将已知方程化为一般形式； 化二次项系数为 1； 常数项移到右边； 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p) 2=q 的形式，如果 q 0，方程的根是 x=-pq；如果 q0,方程无实根 (3)公式法： 当b 2-4ac0 时，方程 ax 2+bx+c=0 的实数根可写为： a acbb x 2 4 2 的形式，这个式子叫做一元二次 方程ax 2+bx+c=0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 其中：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0 的
3、根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。 =b 2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根。 a acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 =b 2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。 a b xx 2 21 =b 2-4ac0 时，方程无实数根。 定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。 (4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一 元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤 第
4、 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系； 第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数； 第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程； 第 4 步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法； 第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步：答。 【例题【例题 1 1】(2020(2020临沂临沂) )一元二次方程x 24x80 的解是( ) Ax12+2，x222 Bx12+2，x222 Cx12+2，x222 Dx123，x22 【答案】B 【分析】方程利用配方法求出解即可 【解析】一元二次方程x 24x80， 移项得：x 24x8， 配方得：x 24x+4
5、12，即(x2)212， 开方得：x22， 解得：x12+2，x222 【对点练习】【对点练习】(2019(2019浙江金华浙江金华) )用配方法解方程x 2-6x-8=0 时，配方结果正确的是( ) A. (x-3) 2=17 B. (x-3)2=14 C. (x-6)2=44 D. (x-3)2=1 【答案】A 【解析】配方法解一元二次方程 x 2-6x-8=0， x 2-6x+9=8+9， (x-3) 2=17. 【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 年山东省威海市年山东省威海市) )一元二次方程 3x 242x 的解是 【答案】x1，
6、x2 【解析】直接利用公式法解方程得出答案 3x 242x 3x 2+2x40， 则b 24ac443(4)520， 故x， 解得：x1，x2 【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程。 【例题 2】(2020(2020菏泽菏泽) )等腰三角形的一边长是 3，另两边的长是关于x的方程x 24x+k0 的两个根，则 k 的值为( ) A3 B4 C3 或 4 D7 【答案】C 【分析】当 3 为腰长时，将x3 代入原一元二次方程可求出k的值；当 3 为底边长时，利用等腰三角形的 性质可得出根的判别式0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与 3 比较后可 得知该结论符合题意 【
7、解析】当 3 为腰长时，将x3 代入x 24x+k0，得：3243+k0， 解得：k3； 当 3 为底边长时，关于x的方程x 24x+k0 有两个相等的实数根， (4) 241k0， 解得：k4，此时两腰之和为 4，43，符合题意 k的值为 3 或 4 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 内蒙古包头市内蒙古包头市) )已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次 方程x 2-12x+m+2=0 的两根，则 m的值是( ) A. 34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36 【答案】A. 【解析】分两种情况讨论： 若 4 为等腰三角形底边长，则a，b是两
8、腰， 方程x 2-12x+m+2=0 有两个相等实根， =(-12) 2-41(m+2)=136-4m=0, m=34. 此时方程为x 2-12x+36=0，解得 x1=x2=6. 三边为 6，6，4，满足三边关系，符合题意. 若 4 为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为 4， 方程x 2-12x+m+2=0 有一根为 4. 4 2-124+m+2=0， 解得，m=30. 此时方程为x 2-12x+32=0，解得 x1=4，x2=8. 三边为 4，4，8，不满足三边关系，故舍去. 综上，m的值为 34. 【例题【例题 3 3】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )已知关于 x 的
9、一元二次方程(m1)x 22x10 有实数根，则 m 的取值范围 是( ) A. m2 B. m2 C. m2 且 m1 D. m2 且 m1 【答案】D 【解析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围 解： 因为关于 x 的一元二次方程 x 22xm0 有实数根， 所以 b24ac224(m1)10， 解得 m2 又 因为(m1)x 22x10 是一元二次方程，所以 m10综合知，m 的取值范围是 m2 且 m1，因此本 题选 D 【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式0，找出 关于 m
10、 的一元一次不等式组是解题的关键 【对点练习】【对点练习】 (2019(2019湖北咸宁湖北咸宁) )若关于x的一元二次方程x 22x+m0有实数根， 则实数m的取值范围是( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【答案】 【解析】关于x的一元二次方程x 22x+m0 有实数根， (2) 24m0， 解得：m1 【例题【例题 4 4】(2020(2020衡阳衡阳) )如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形为便于管 理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米，则小道的宽为多少米？若设小 道的宽为x米，则根据题意，列方程为( ) A352
11、035x20 x+2x 2600 B352035x220 x600 C(352x)(20 x)600 D(35x)(202x)600 【答案】C 【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为(352x)米，宽为(20 x)米的矩形，利用矩形的面 积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解 【解析】依题意，得：(352x)(20 x)600 【对点练习】【对点练习】( (20192019 哈尔滨哈尔滨) )某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每 次降价的百分率为( ) A20% B40% C18% D36% 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方
12、程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式 a(1x) 2b 对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键 设降价的百分率为x 根据题意可列方程为 25(1x) 216 解方程得，(舍) 每次降价得百分率为 20% 【点拨】本题体现直接开方法解一元二次方程。 一、选择题一、选择题 1(2020(2020凉山州凉山州) )一元二次方程x 22x 的根为( ) Ax0 Bx2 Cx0 或x2 Dx0 或x2 【答案】C 【分析】移项后利用因式分解法求解可得 【解析】x 22x， x 22x0， 则x(x2)0， x0 或x20， 解得x10，x22， 2(2020(2020怀化怀化)
13、 )已知一元二次方程x 2kx+40 有两个相等的实数根，则 k的值为( ) Ak4 Bk4 Ck4 Dk2 【答案】C 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值 【解析】一元二次方程x 2kx+40 有两个相等的实数根， (k) 24140， 解得：k4 3 (2020(2020黑龙江黑龙江) )已知关于x的一元二次方程x 2(2k+1)x+k2+2k0 有两个实数根 x1，x2， 则实数k的取值 范围是( ) Ak1/4 Bk1/4 Ck4 Dk1/4 且k0 【答案】B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可
14、得出k的取 值范围 【解析】关于x的一元二次方程x 2(2k+1)x+k2+2k0 有两个实数根 x1，x2， (2k+1) 241(k2+2k)0， 解得：k1/4 4 (2020(2020泰安泰安) )将一元二次方程x 28x50 化成(x+a)2b(a， b为常数)的形式， 则a，b的值分别是( ) A4，21 B4，11 C4，21 D8，69 【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案 【解析】x 28x50， x 28x5， 则x 28x+165+16，即(x4)221， a4，b21， 5(2020(2020黑龙江黑龙江
15、) )已知 2+是关于x的一元二次方程x 24x+m0 的一个实数根，则实数 m的值是( ) A0 B1 C3 D1 【答案】B 【分析】把x2+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值 【解析】根据题意，得 (2+) 24(2+ )+m0， 解得m1 6(2020(2020滨州滨州) )对于任意实数k，关于x的方程x 2/2-(k+5)x+k2+2k+250 的根的情况为( ) A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判定 【答案】B 【分析】先根据根的判别式求出“”的值，再根据根的判别式的内容判断即可 【解析】x 2/2-(k+5)x+k2+2k+250，
16、 (k+5) 24(k2+2k+25)/2k2+6k25(k3)216， 不论k为何值，(k3) 20， 即(k3) 2160， 所以方程没有实数根. 7. (20197. (2019湖南衡阳湖南衡阳) )国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区 2016 年底 有贫困人口 9 万人，通过社会各界的努力，2018 年底贫困人口减少至 1 万人设 2016 年底至 2018 年底该 地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得( ) A9(12x)1 B9(1x) 21 C9(1+2x)1 D9(1+x) 21 【答案】B 【解析】等量关系为：2016 年贫困人口(1
17、下降率) 22018 年贫困人口，把相关数值代入计算即可 设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得： 二、填空题二、填空题 8(2020(2020辽阳辽阳) )若关于x的一元二次方程x 2+2xk0 无实数根，则 k的取值范围是 【答案】k1 【分析】根据根的判别式即可求出答案 【解析】由题意可知：4+4k0， k1 9(2020(2020烟台烟台) )关于x的一元二次方程(m1)x 2+2x10 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围 是 【答案】m0 且m1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m10 且2 24(m1)(1)0，然后求出 两个不等式的公共部分即可 【
18、解析】根据题意得m10 且2 24(m1)(1)0， 解得m0 且m1 10(2020(2020扬州扬州) )方程(x+1) 29 的根是 【答案】x12，x24 【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可 【解析】(x+1) 29， x+13， x12，x24 11(2020(2020上海上海) )如果关于x的方程x 24x+m0 有两个相等的实数根，那么 m的值是 【答案】4 【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式b 24ac0，即可求 m值 【解析】依题意， 方程x 24x+m0 有两个相等的实数根， b 24ac(4)24m0，解得 m4， 12(2
19、020(2020天水天水) )一个三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程x 28x+120 的根，则该三角形的周 长为 【答案】13 【分析】先利用因式分解法解方程x 28x+120，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角 形的周长可求 【解析】x 28x+120， (x2)(x6)0， x12，x26， 三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程x 28x+120 的根，2+25，2+56， 三角形的第三边长是 6， 该三角形的周长为：2+5+613 13.(201913.(2019 年江苏省扬州市年江苏省扬州市) )一元二次方程x(x2)x2 的根是 【答案】1
20、或 2 【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 x(x2)x2， x(x2)(x2)0， (x2)(x1)0， x20，x10， x12，x21 14.14.(2019(2019 湖北十堰湖北十堰) )对于实数a，b，定义运算“” 如下：ab(a+b) 2(ab)2若(m+2)(m3)24， 则m 【答案】3 或 4 【解析】根据题意得(m+2)+(m3) 2(m+2)(m3)224， (2m1) 2490， (2m1+7)(2m17)0， 2m1+70 或 2m170， 所以m13，m24 15. (201915. (2019 吉林长春吉林长春) )一元二次方程x
21、 2-3x+1=0 根的判别式的值为_. 【答案】5 【解析】a=1，b=-3，c=1， =b 2-4ac=(-3)2-411=5 16.(2019.(2019 年甘肃省天水市年甘肃省天水市) )中国 “一带一路” 给沿线国家和地区带来很大的经济效益， 沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元则该地区居民年人均收入平均增长率 为 (用百分数表示) 【答案】40% 【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决 设该地区居民年人均收入平均增长率为x， 20000(1+x) 239200，
22、解得，x10.4，x22.4(舍去)， 该地区居民年人均收入平均增长率为 40% 17.(201917.(2019 年江苏省连云港市年江苏省连云港市) )已知关于x的一元二次方程ax 2+2x+2c0 有两个相等的实数根，则 +c的 值等于 【答案】2 【解析】根据“关于x的一元二次方程ax 2+2x+2c0 有两个相等的实数根” ，结合根的判别式公式，得到 关于a和c的等式，整理后即可得到的答案 根据题意得： 44a(2c)0， 整理得：4ac8a4， 4a(c2)4， 方程ax 2+2x+2c0 是一元二次方程， a0， 等式两边同时除以 4a得：c2， 则+c2 三、解答题三、解答题 1
23、8(2020(2020河北河北) )有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a 2，同时 B区就会自动减去 3a， 且均显示化简后的结果已知A，B两区初始显示的分别是 25 和16，如图 如，第一次按键后，A，B两区分别显示： (1)从初始状态按 2 次后，分别求A，B两区显示的结果； (2)从初始状态按 4 次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)根据题意列出代数式即可； (2)根据题意得到 25+4a 2+(1612a)，根据整式加减的法则计算，然后配方，根据非负数的性质即可得到 结论 【解析】(1)A区显示的结果为：25
24、+2a 2，B 区显示的结果为：166a； (2)这个和不能为负数， 理由：根据题意得，25+4a 2+(1612a)25+4a21612a4a212a+9； (2a3) 20， 这个和不能为负数 19(2020(2020孝感孝感) )已知关于x的一元二次方程x 2(2k+1)x+1 2k 220 (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1x23，求k的值 【答案】见解析。 【分析】(1)根据根的判别式得出(2k+1) 241(1 2k 22)2(k+1)2+70，据此可得答案； (2)先根据根与系数的关系得出x1+x22k+1，x1x
25、2= 1 2k 22，由 x1x23 知(x1x2) 29，即(x 1+x2) 24x 1x2 9，从而列出关于k的方程，解之可得答案 【解析】(1)(2k+1) 241(1 2k 22) 4k 2+4k+12k2+8 2k 2+4k+9 2(k+1) 2+70， 无论k为何实数，2(k+1) 20， 2(k+1) 2+70， 无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)由根与系数的关系得出x1+x22k+1，x1x2= 1 2k 22， x1x23， (x1x2) 29， (x1+x2) 24x 1x29， (2k+1) 24(1 2k 22)9， 化简得k 2+2k0， 解得k0
26、或k2 20(2020(2020重庆重庆) )为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产 量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究去年A、B两个品种各种植了 10 亩收 获后A、B两个品种的售价均为 2.4 元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高 100 千克，A、B两个品种全 部售出后总收入为 21600 元 (1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ (2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均 亩产量将在去年的基础上分别增加a%和 2a%由于B品种深受市场欢迎，预计每千克
27、售价将在去年的基础 上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加20 9 a%求a的值 【答案】见解析。 【分析】(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论； (2)根据题意列方程即可得到结论 【解析】(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克； 根据题意得， = 100 10 2.4( + ) = 21600， 解得： = 400 = 500， 答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是 400 千克和 500 千克； (2)2.440010(1+a%)+2.4(1+a%)50010(1+2a%)21600(1
28、+ 20 9 a%)， 解得：a10， 答：a的值为 10 21.(201921.(2019 北京市北京市) )关于 x 的方程 2 2210 xxm 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根 【答案】m=1，此方程的根为 12 1xx 【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式 2 40bac进而求出 m 的范围；结合 m 的值为正整数，求 出 m 的值，进而得到一元二次方程求解即可. 关于 x 的方程 2 2210 xxm 有实数根， 2 2 424 121484880bacmmm 1m 又m 为正整数，m=1， 此时方程为 2 210 xx 解得根为1 2 1xx， m=1
29、，此方程的根为 12 1xx 22.(201922.(2019湖南衡阳湖南衡阳) )关于x的一元二次方程x 23x+k0 有实数根 (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m1)x 2+x+m30 与方程 x 23x+k0 有一个相同的 根，求此时m的值 【答案】见解析。 【解析】(1)根据题意得(3) 24k0， 解得k； (2)k的最大整数为 2， 方程x 23x+k0 变形为 x 23x+20，解得 x11，x22， 一元二次方程(m1)x 2+x+m30 与方程 x 23x+k0 有一个相同的根， 当x1 时，m1+1+m30，解得m； 当x2 时，4
30、(m1)+2+m30，解得m1， 而m10， m的值为 23. (201923. (2019湖南长沙湖南长沙) )近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教师参 与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益 课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次 (1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； (2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【答案】见解析。 【解析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次”可 列方程求解；用 2.42(1+增长率)，计算即可求解 (1)设增长率为x，根据题意，得 2(1+x) 22.42， 解得x12.1(舍去)，x20.110% 答：增长率为 10% (2)2.42(1+0.1)2.662(万人) 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次