1、 专题专题 13 13 一元一次不等式一元一次不等式( (组组) )及其应用及其应用 1 1不等式的定义：不等式的定义：用不等号“”“”“”“”表示不相等关系的式子叫做不等式。 2 2不等式的解：不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成 这个不等式的解集。 3 3一元一次不等式的定义：一元一次不等式的定义：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1， 像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 4.4.一元一次不等式组：一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次 不等式组。
2、5 5不等式的性质：不等式的性质： 性质 1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。 性质 2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 性质 3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 6.6.一元一次不等式的解法的一般步骤：一元一次不等式的解法的一般步骤： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1. 7 7一元一次不等式组的解法一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 8 8求不等式组解集的规律：求不等式组
3、解集的规律： 不等式解集在数轴上的表示方法：含或，用实心圆点，含或用空心圆圈。 不等式组的解集有四种情况: 若 ab， (1)当 xa xb 时,则不等式的公共解集为 xa; (2) xa xb 时,不等式的公共解集为 bxa; (3) xa xb 时,不等式的公共解集为 x6，由第 2 个不等式得 x8，它们的公共部分是 6x8 ，故选 B 8.(20198.(2019山东省德州市山东省德州市) )不等式组的所有非负整数解的和是( ) A10 B7 C6 D0 【答案】A 【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知 不等式组的非负整数解 ，
4、解不等式得：x2.5， 解不等式得：x4， 不等式组的解集为：2.5x4， 不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， 不等式组的所有非负整数解的和是 0+1+2+3+410 9.(20199.(2019江苏无锡江苏无锡) )某工厂为了要在规定期限内完成 2160 个零件的任务， 于是安排 15 名工人每人每天加工 a个零件(a为整数)，开工若干天后，其中 3 人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工 2 个零件，则不能 按期完成这次任务，由此可知a的值至少为( ) A10 B9 C8 D7 【答案】B 【解析】根据 15 名工人的前期工作量+12 名工人的后期工作量2160 列出不等式并
5、解答 设原计划n天完成，开工x天后 3 人外出培训， 则 15an2160， 得到an144 所以 15ax+12(a+2)(nx)2160 整理，得 4x+4an+8n8x720 an144 将其代入化简，得ax+8n8x144，即ax+8n8xan， 整理，得 8(nx)a(nx) nx， nx0， a8 a至少为 9 1010(2019(2019浙江宁波浙江宁波) )不等式x的解为( ) Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【答案】A 【解析】去分母、移项，合并同类项，系数化成 1 即可 x， 3x2x， 33x， x1 11.(2019.(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )不等式组 10
6、 842 x xx 的解集在数轴上表示正确的是( ) 【答案】B 【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集 解得,x1, 解得,x2, 原不等式组的解集为 1x2,故选 B. 1212(2019(2019绵阳绵阳) )红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品 共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完若所获利润大 于 750 元，则该店进货方案有( ) A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 【答案】C 【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50 x)件，根据“购进甲乙商品不超
7、过 4200 元的资 金、两种商品均售完所获利润大于 750 元”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案 设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50 x)件， 根据题意，得：， 解得：20 x25， x为整数， x20、21、22、23、24， 该店进货方案有 5 种。 二、填空题二、填空题 13(2020(2020黔西南州黔西南州) )不等式组2 63， +2 5 1 4 0 的解集为 【答案】6x13 【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可 2 63 +2 5 1 4 0， 解得：x6， 解得：x13， 不等式组的解集为：6x13 14(2020(
8、2020黔东南州黔东南州) )不等式组5 13( + 1) 1 2 1 4 1 3 的解集为 【答案】2x6 【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组 的解集 解不等式 5x13(x+1)，得：x2， 解不等式1 2x14 1 3x，得：x6， 则不等式组的解集为 2x6 15.(2020 广东模拟)不等式组的解集是 【答案】1x2 【解析】， 解不等式得，x1， 解不等式得，x2， 所以不等式组的解集是1x2 16.(2020(2020 四川内江模拟四川内江模拟) )任取不等式组 30, 250 k k 的一个整数解，则能使关于x的方程：2
9、xk1 的解 为非负数的概率为_ 【答案】 1 3 【解析】不等式组 30, 250 k k 的解集为 5 2 k3，其整数解为k2，1，0，1，2，3 其中，当k2，1 时，方程 2xk1 的解为非负数 所以所求概率P 2 6 1 3 17.(201917.(2019河南河南) )不等式组的解集是 【答案】x2 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式1，得：x2， 解不等式x+74，得：x3， 则不等式组的解集为x2 18.(201918.(2019 内蒙古包头市内蒙古包头市) )已知不等式组的解集为x-
10、1，则k的取值范围是_. 【答案】k-2. 【解析】 不等式组 解不等式得，x-1; 解不等式得，xk+1; 原不等式组的解集为x-1， k+1-1 解得，k-2. 19.(201919.(2019 黑龙江大庆黑龙江大庆) )已知 x4 是不等式 ax3a10 的解,x2 不是不等式 ax3a10 的解,则实数 a 的取值范围是_. 【答案】a1 【解析】x4 是不等式 ax3a10 的解,所以 4a3a10,a1, 因为 x2 不是不等式 ax3a10 的解, 所以 2a3a10,所以 a1,所以 a1. 20.(201920.(2019铜仁铜仁) )如果不等式组的解集是xa4，则a的取值范
11、围是 【答案】a3 【解析】解这个不等式组为xa4， 则 3a+2a4， 解这个不等式得a3 故答案a3 三、解答题三、解答题 21(2020(2020枣庄枣庄) )解不等式组4( + 1) 7 + 13， 4 8 3 ， 并求它的所有整数解的和 【答案】见解析。 【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可 4( + 1) 7 + 13 4 8 3 ， 由得，x3， 由得，x2， 所以，不等式组的解集是3x2， 所以，它的整数解为：3，2，1，0，1， 所以，所有整数解的和为5 22(2020(2020哈尔滨哈尔滨) )昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若
12、购买 1 个大地球仪和 3 个小地 球仪需用 136 元；若购买 2 个大地球仪和 1 个小地球仪需用 132 元 (1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元； (2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共 30 个，总费用不超过 960 元，那么昌云中学最多可以购买多少个 大地球仪？ 【答案】见解析。 【分析】(1)设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据条件建立方程组求出其解即可； (2)设大地球仪为a台，则每个小地球仪为(30a)台，根据要求购买的总费用不超过 960 元，列出不等式 解答即可 【解析】(1)设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意可得： + 3 = 136 2 + =
13、 132， 解得： = 52 = 28， 答：每个大地球仪 52 元，每个小地球仪 28 元； (2)设大地球仪为a台，则每个小地球仪为(30a)台，根据题意可得： 52a+28(30a)960， 解得：a5， 答：最多可以购买 5 个大地球仪 23 (2020(2020辽阳辽阳) )某校计划为教师购买甲、 乙两种词典 已知购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元， 购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元 (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本，总费用不超过 1600 元，那么最多可购买甲种词典多少
14、本？ 【答案】见解析。 【分析】(1)设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买 1 本甲种词典和 2 本 乙种词典共需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元” ，即可得出关于x，y的二元一次方 程组，解之即可得出结论； (2)设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典(30m)本，根据总价单价数量结合总费用不超过 1600 元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论 【解析】(1)设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元， 依题意，得： + 2 = 170 2 + 3 = 290， 解得： = 70 = 50
15、 答：每本甲种词典的价格为 70 元，每本乙种词典的价格为 50 元 (2)设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典(30m)本， 依题意，得：70m+50(30m)1600， 解得：m5 答：学校最多可购买甲种词典 5 本 24.(202024.(2020 福州模拟福州模拟) )某次知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 5 分，答错或不答都扣 3 分 (1) 小明考了 68 分，那么小明答对了多少道题？ (2) 小亮获得二等奖(7090 分)，请你算算小亮答对了几道题？ 【答案】见解析。 【解析】(1) 设小明答对了x道题， 依题意得：5x3(20 x)68 解得：x16 答：小明答对了 1
16、6 道题 (2) 设小亮答对了y道题， 依题意得： 5y3(20y)70 5y3(20y)90 因此不等式组的解集为 161 4y18 3 4 y是正整数， y17 或 18 答：小亮答对了 17 道题或 18 道题 25.(201925.(2019 广西省贵港市广西省贵港市) )解不等式组： 622(4) 23 323 xx xx ，并在数轴上表示该不等式组的解集 【答案】见解析。 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式622(4)xx，得： 3 2 x ， 解不等式 23 323 xx ，得：1x， 则
17、不等式组的解集为 3 1 2 x ， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 26.(201926.(2019 北京市北京市) )解不等式组： 4(1)2, 7 . 3 xx x x 【答案】2x . 【解析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按 照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可. 4(1)2 7 3 xx x x 由得442xx 36x 2x 由得73xx 72x 7 2 x 和的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为2x . 27.(201927.(2019江苏扬州江苏扬州) )解不等式组，并写出它的所有负整数
18、解 【答案】3x2，所有负整数解为3、2、1 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式 4(x+1)7x+13，得：x3， 解不等式x4，得：x2， 则不等式组的解集为3x2， 所以不等式组的所有负整数解为3、2、1 28.28.(2019(2019 贵州省安顺市贵州省安顺市) )先化简(1+ 3 2 x ) 96 1 2 2 xx x ， 再从不等式组 423 42 xx x 的整数解中选一个合 适的x的值代入求值 【答案】见解析。 【解析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不
19、等式组，得出x的值， 把已知数据代入即可 原式 32 3 x x 2 3 1 (1) x xx 3 1 x x 解不等式组 24 324 x xx 得2x4， 其整数解为1，0，1，2，3， 要使原分式有意义， x可取 0，2当x0 时，原式3， (或当x2 时，原式 3 1 ) 2929(2019(2019新疆新疆) )解不等式组：并把解集在数轴上表示出来 【答案】见解析。 【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案 解不等式得：x2， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为 1x2， 在数轴上表示不等式组的解集为： 30.(201930.(2019 四川巴中四川巴中)
20、 )在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户已知甲物品的单 价比乙物品的单价高 10 元，若用 500 元单独购买甲物品与 450 元单独购买乙物品的数量相同 请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ 如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件，总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元，通过计算得出共 有几种选购方案？ 【答案】见解析。 【解析】设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为(x+10)元，由题意得： 解得x90 经检验，x90 符合题意 甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元 设购买甲种物品y件，则乙种物品购进(55y)件 由题意得：5000
21、100y+90(55y)5050 解得 5y10 ,共有 6 种选购方案 31.(201931.(2019 湖北黄石湖北黄石) )若点P的坐标为(，2x9)，其中x满足不等式组，求点P所在 的象限 【答案】点P在的第四象限 【解析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限 ， 解得：x4， 解得：x4， 则不等式组的解是：x4， 1，2x91， 点P的坐标为(1，1)，点P在的第四象限 3232(2019(2019遵义遵义) )某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动旅游公司有A，B两种 客车可供租用，A型客车每辆载客量 45 人，B型客车每辆载客
22、量 30 人若租用 4 辆A型客车和 3 辆B型客 车共需费用 10700 元；若租用 3 辆A型客车和 4 辆B型客车共需费用 10300 元 (1)求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元； (2)为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 【答案】见解析。 【解析】(1)设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元， ， 解得， 答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元； (2)设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆， ， 解得， 共有三种租车方案， 方案一：租用A型客车 2 辆，B型客车 5 辆，费用为 9900 元， 方案二：租用A型客车 4 辆，B型客车 2 辆，费用为 9400 元， 方案三：租用A型客车 5 辆，B型客车 1 辆，费用为 9800 元， 由上可得，方案二：租用A型客车 4 辆，B型客车 2 辆最省钱