1、专题专题 17 17 全等三角形判定与性质定理全等三角形判定与性质定理 1.1.基本概念基本概念 (1)全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. (2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (注意对应的顶点写在对应的位置上) (3)对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. (4)对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. (5)对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2 2全等三角形的表示全等三角形的表示 全等用符号“”表示，读作“全等于” 。如ABCDEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF” 。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写
2、在对应的位置上。 3 3全等三角形的性质：全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。 4 4三角形全等的判定三角形全等的判定定理定理 (1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”) (2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”) (3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 (4)角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成 AAS). 5 5直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定： HL 定理：有斜边和一条直角边对应相等
3、的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 【例题【例题 1】(2020甘孜州甘孜州)如图，等腰ABC 中，点 D，E 分别在腰 AB，AC 上，添加下列条件，不能判定 ABEACD 的是( ) AADAE BBECD CADCAEB DDCBEBC 【答案】B 【解析】利用等腰三角形的性质得ABCACB，ABAC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进 行判断 ABC 为等腰三角形， ABCACB，ABAC， 当 ADAE 时，则根据“SAS”可判断ABEACD； 当AEBADC，则根据“AAS”可判断ABEACD； 当DCBEBC，则ABEACD，根据“ASA”可判断ABE
4、ACD 【对点练习】【对点练习】如图，已知ABC=DCB，添加以下条件，不能判定ABCDCB 的是( ) AA=D BACB=DBC CAC=DB DAB=DC 【答案】C 【解析】全等三角形的判定方法有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可 AA=D，ABC=DCB，BC=BC，符合 AAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误； BABC=DCB，BC=CB，ACB=DBC，符合 ASA，即能推出ABCDCB，故本选项错误； CABC=DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABCDCB，本选项正确； DAB=DC，ABC=DCB，BC=BC，符
5、合 SAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误。 【例题【例题 2】(2020北京北京)如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上(不与点 B，C 重合)只需添加一个条 件即可证明ABDACD，这个条件可以是 (写出一个即可) 【答案】BDCD 【解析】由题意可得ABCACD，ABAC，即添加一组边对应相等，可证ABD 与ACD 全等 ABAC， ABDACD， 添加 BDCD， 在ABD 与ACD 中 = = = ， ABDACD(SAS)， 【对点练习】【对点练习】( (20192019 齐齐哈尔齐齐哈尔) )如图，已知在ABC和DEF中，BE，BFCE，点B、F、C、E在同一 条
6、直线上，若使ABCDEF，则还需添加的一个条件是 (只填一个即可) 【答案】ABDE 【解析】添加ABDE； BFCE， BCEF， 在ABC和DEF中， ABCDEF(SAS) 【例题【例题 3】(2020菏泽菏泽)如图，在ABC 中，ACB90，点 E 在 AC 的延长线上，EDAB 于点 D，若 BCED，求证：CEDB 【答案】见解析。 【解析】由“AAS”可证ABCAED，可得 AEAB，ACAD，由线段的和差关系可得结论 证明：EDAB， ADEACB90，AA，BCDE， ABCAED(AAS)， AEAB，ACAD， CEBD 【对点练习】【对点练习】如图，点 A、D、C、F
7、在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF (1)求证：ABCDEF； (2)若A=55，B=88，求F 的度数 【答案】见解析。 【解析】求出 AC=DF，根据 SSS 推出ABCDEF由(1)中全等三角形的性质得到：A=EDF，进而得出 结论即可 证明：(1)AC=AD+DC，DF=DC+CF，且 AD=CF AC=DF 在ABC 和DEF 中， ABCDEF(SSS) (2)由(1)可知，F=ACB A=55，B=88 ACB=180(A+B)=180(55+88)=37 F=ACB=37 一、选择题一、选择题 1(2020鄂州鄂州)如图，在AOB 和COD 中，OAOB，OCO
8、D，OAOC，AOBCOD36连 接 AC，BD 交于点 M，连接 OM下列结论： AMB36，ACBD，OM 平分AOD，MO 平分AMD其中正确的结论个数有( )个 A4 B3 C2 D1 【答案】B 【分析】由 SAS 证明AOCBOD 得出OCAODB，ACBD，正确； 由全等三角形的性质得出OCAODB，由三角形的外角性质得：CMD+OCACOD+ODB，得 出CMDCOD36，AMBCMD36，正确； 作 OGAM 于 G， OHDM 于 H， 如图所示： 则OGAOHB90， 由 AAS 证明OGAOHB(AAS)， 得出 OGOH，由角平分线的判定方法得出 OM 平分AMD，正
9、确； 假设 OM 平分AOD， 则DOMAOM， 由全等三角形的判定定理可得AMOOMD， 得 AOOD， 而 OCOD，所以 OAOC，而 OAOC，故错误；即可得出结论 【解析】AOBCOD36， AOB+BOCCOD+BOC， 即AOCBOD， 在AOC 和BOD 中， = = = AOCBOD(SAS)， OCAODB，ACBD，故正确； OCAODB， 由三角形的外角性质得： CMD+OCACOD+ODB， 得出CMDCOD36，AMBCMD36，故正确； 作 OGAM 于 G，OHDM 于 H，如图所示， 则OGAOHB90， 在OGA 和OHB 中， = = 90 = = ， O
10、GAOHB(AAS)， OGOH， OM 平分AMD，故正确； 假设 OM 平分AOD，则DOMAOM， 在AMO 与DMO 中， = = = ， AMOOMD(ASA)， AOOD， OCOD， OAOC， 而 OAOC，故错误； 正确的个数有 3 个. 2.如图，若ABCDEF，A=45，F=35，则E 等于( ) A35 B45 C60 D100 【答案】D 【解析】ABCDEF，A=45，F=35 D=A=45 E=180DF=100 3.(2020 安顺模拟)如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB=AC，现添加以下的 哪个条件仍不能判
11、定ABEACD( ) AB=C BAD=AE CBD=CE DBE=CD 【答案】D 【解析】欲使ABEACD，已知 AB=AC，可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA 添加条件，逐一证明 即可 AB=AC，A 为公共角， A如添加B=C，利用 ASA 即可证明ABEACD； B如添 AD=AE，利用 SAS 即可证明ABEACD； C如添 BD=CE，等量关系可得 AD=AE，利用 SAS 即可证明ABEACD； D如添 BE=CD，因为 SSA，不能证明ABEACD，所以此选项不能作为添加的条件 4 如图， ABCD， 且 AB=CD E、 F 是 AD 上两点， CEAD， B
12、FAD 若 CE=a， BF=b， EF=c， 则 AD 的长为( ) Aa+c Bb+c Cab+c Da+bc 【答案】D 【解析】只要证明ABFCDE，可得 AF=CE=a，BF=DE=b，推出 AD=AF+DF=a+(bc)=a+bc； ABCD，CEAD，BFAD， AFB=CED=90，A+D=90，C+D=90， A=C，AB=CD， ABFCDE， AF=CE=a，BF=DE=b， EF=c， AD=AF+DF=a+(bc)=a+bc 5如图，ACB=90，AC=BCADCE，BECE，垂足分别是点 D、E，AD=3，BE=1，则 DE 的长是( ) A B2 C2 D 【答案
13、】B 【解析】根据条件可以得出E=ADC=90，进而得出CEBADC，就可以得出 BE=DC，就可以求出 DE 的值 BECE，ADCE， E=ADC=90， EBC+BCE=90 BCE+ACD=90， EBC=DCA 在CEB 和ADC 中， ， CEBADC(AAS)， BE=DC=1，CE=AD=3 DE=ECCD=31=2 6如图，ABCAEF，AB=AE，B=E，则对于结论AC=AF，FAB=EAB，EF=BC，EAB= FAC，其中正确结论的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】ABCAEF， AC=AF，故正确； EAF=BAC， FAC=E
14、ABFAB，故错误； EF=BC，故正确； EAB=FAC，故正确； 综上所述，结论正确的是共 3 个 二、填空题二、填空题 7(2020齐齐哈尔齐齐哈尔)如图，已知在ABD 和ABC 中，DABCAB，点 A、B、E 在同一条直线上，若 使ABDABC，则还需添加的一个条件是 (只填一个即可) 【答案】ADAC(DC 或ABDABC 等) 【解析】利用全等三角形的判定方法添加条件 DABCAB，ABAB， 当添加 ADAC 时，可根据“SAS”判断ABDABC； 当添加DC 时，可根据“AAS”判断ABDABC； 当添加ABDABC 时，可根据“ASA”判断ABDABC 8(2020辽阳辽阳
15、)如图，在ABC 中，M，N 分别是 AB 和 AC 的中点，连接 MN，点 E 是 CN 的中点，连接 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D若 BC4，则 CD 的长为 【答案】2 【解析】依据三角形中位线定理，即可得到 MN= 1 2BC2，MNBC，依据MNEDCE(AAS)，即可得 到 CDMN2 M，N 分别是 AB 和 AC 的中点， MN 是ABC 的中位线， MN= 1 2BC2，MNBC， NMED，MNEDCE， 点 E 是 CN 的中点， NECE， MNEDCE(AAS)， CDMN2 9(2020黑龙江黑龙江)如图，RtABC 和 RtEDF 中，BD，在不添加任
16、何辅助线的情况下，请你添加一 个条件 ，使 RtABC 和 RtEDF 全等 【答案】ABED 【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是 ABED 或 BCDF 或 ACEF 或 AECF 等， 只要符合全等三角形的判定定理即可 添加的条件是：ABED， 理由是：在ABC 和EDF 中 = = = ， ABCEDF(ASA) 1010.(2019.(2019 四川成都四川成都) )如图，在ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，BAD=CAE，若BD=9，则CE的长 为_. 【答案】9 【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为ABC是等腰三角形，所以有AB=AC，BAD=
17、CAE， ABD=ACE，所以ABDACE(ASA)，所以BD=二次，EC=9. 1111. .( (20192019湖南邵阳湖南邵阳) )如图， 已知ADAE， 请你添加一个条件， 使得ADCAEB， 你添加的条件是 (不 添加任何字母和辅助线) 【答案】ABAC 或ADCAEB或ABEACD。 【解析】根据图形可知证明ADCAEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA.SAS、 AAS证明两三角形全等 AA，ADAE， 可以添加ABAC，此时满足SAS； 添加条件ADCAEB，此时满足ASA； 添加条件ABEACD，此时满足AAS， 故答案为ABAC或ADCAEB或ABEAC
18、D。 1212( (20192019山东临沂山东临沂) )如图，在ABC中，ACB120，BC4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面积 是 【答案】8 【解析】根据垂直的定义得到BCD90，得到长CD到H使DHCD，由线段中点的定义得到ADBD，根 据全等三角形的性质得到AHBC4，HBCD90，求得CD2，于是得到结论 DCBC， BCD90， ACB120，ACD30， 延长CD到H使DHCD， D为AB的中点， ADBD， 在ADH与BCD中， ADHBCD(SAS)， AHBC4，HBCD90， ACH30， CHAH4， CD2， ABC的面积2SBCD2428， 故答案为：8
19、三、解答题三、解答题 13(2020南充南充)如图，点 C 在线段 BD 上，且 ABBD，DEBD，ACCE，BCDE求证：ABCD 【答案】见解析。 【解析】证明ABCCDE(ASA)，可得出结论 证明：ABBD，EDBD，ACCE， ACEABCCDE90， ACB+ECD90，ECD+CED90， ACBCED 在ABC 和CDE 中， = = = ， ABCCDE(ASA)， ABCD 14(2020硚口区模拟硚口区模拟)如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ABAC，BC，求证：BDCE 【答案】见解析。 【解析】要证 BDCE 只要证明 ADAE 即可，而证明ABEA
20、CD，则可得 ADAE 证明：在ABE 与ACD 中 = = = ， ABEACD ADAE BDCE 15(2020铜仁市铜仁市)如图，BE，BFEC，ACDF求证：ABCDEF 【答案】见解析。 【解析】 首先利用平行线的性质得出ACBDFE， 进而利用全等三角形的判定定理 ASA， 进而得出答案 证明：ACDF， ACBDFE， BFCE， BCEF， 在ABC 和DEF 中， = = = ， ABCDEF(ASA) 16(2020无锡无锡)如图，已知 ABCD，ABCD，BECF 求证：(1)ABFDCE； (2)AFDE 【答案】见解析。 【分析】(1)先由平行线的性质得BC，从而利
21、用 SAS 判定ABFDCE； (2)根据全等三角形的性质得AFBDEC，由等角的补角相等可得AFEDEF，再由平行线的判定可 得结论 【解答】证明：(1)ABCD， BC， BECF， BEEFCFEF， 即 BFCE， 在ABF 和DCE 中， = = = ， ABFDCE(SAS)； (2)ABFDCE， AFBDEC， AFEDEF， AFDE 17(2020温州温州)如图，在ABC 和DCE 中，ACDE，BDCE90，点 A，C，D 依次在同一直 线上，且 ABDE (1)求证：ABCDCE (2)连结 AE，当 BC5，AC12 时，求 AE 的长 【答案】见解析。 【分析】(1
22、)由“AAS”可证ABCDCE； (2)由全等三角形的性质可得 CEBC5，由勾股定理可求解 【解答】证明：(1)ABDE， BACD， 又BDCE90，ACDE， ABCDCE(AAS)； (2)ABCDCE， CEBC5， ACE90， AE= 2+ 2 = 25 + 144 =13 18(2020常德常德)已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，ACB90，ABC30，过点 D 作 RtDEF 使 DEF90，DFE30，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EPCE，连接 BE，FP，BP，设 BC 与 DE 交 于 M，PB 与 EF 交于 N (1)如图 1，当 D，B，F
23、共线时，求证： EBEP； EFP30； (2)如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：BFD+EFP30 【答案】见解析。 【分析】(1)证明CBP 是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论； 根据同位角相等可得 BCEF，由平行线的性质得 BPEF，可得 EF 是线段 BP 的垂直平分线，根据等 腰三角形三线合一的性质可得PFEBFE30； (2)如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQDE，连接 CD，PQ，FQ，证明QEPDEC(SAS)，则 PQDCDB， 由 QEDE，DEF90，知 EF 是 DQ 的垂直平分线，证明FQPFDB(SAS)，再由 EF 是 DQ 的
24、垂 直平分线，可得结论 【解答】证明(1)ACB90，ABC30， A903060， 同理EDF60， AEDF60， ACDE， DMBACB90， D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，ACDM， = = 1 2， 即 M 是 BC 的中点， EPCE，即 E 是 PC 的中点， EDBP， CBPDMB90， CBP 是直角三角形， BE= 1 2PCEP； ABCDFE30， BCEF， 由知：CBP90， BPEF， EBEP， EF 是线段 BP 的垂直平分线， PFBF， PFEBFE30； (2)如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQDE，连接 CD，PQ，FQ， ECEP，
25、DECQEP， QEPDEC(SAS)， 则 PQDCDB， QEDE，DEF90 EF 是 DQ 的垂直平分线， QFDF， CDAD， CDAA60， CDB120， FDB120FDC120(60+EDC)60EDC60EQPFQP， FQPFDB(SAS)， QFPBFD， EF 是 DQ 的垂直平分线， QFEEFD30， QFP+EFP30， BFD+EFP30 19(2020黔东南州黔东南州)如图 1，ABC 和DCE 都是等边三角形 探究发现 (1)BCD 与ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由 拓展运用 (2)若 B、C、E 三点不在一条直线上，ADC30
26、，AD3，CD2，求 BD 的长 (3)若 B、C、E 三点在一条直线上(如图 2)，且ABC 和DCE 的边长分别为 1 和 2，求ACD 的面积及 AD 的长 【答案】见解析。 【分析】(1)依据等式的性质可证明BCDACE，然后依据 SAS 可证明ACEBCD； (2)由(1)知：BDAE，利用勾股定理计算 AE 的长，可得 BD 的长； (3)如图 2， 过 A 作 AFCD 于 F， 先根据平角的定义得ACD60， 利用特殊角的三角函数可得 AF 的长， 由三角形面积公式可得ACD 的面积，最后根据勾股定理可得 AD 的长 【解析】(1)全等，理由是： ABC 和DCE 都是等边三角
27、形， ACBC，DCEC，ACBDCE60， ACB+ACDDCE+ACD， 即BCDACE， 在BCD 和ACE 中， = = = ， ACEBCD( SAS)； (2)如图 3，由(1)得：BCDACE， BDAE， DCE 都是等边三角形， CDE60，CDDE2， ADC30， ADEADC+CDE30+6090， 在 RtADE 中，AD3，DE2， AE= 2+ 2= 9 + 4 = 13， BD= 13； (3)如图 2，过 A 作 AFCD 于 F， B、C、E 三点在一条直线上， BCA+ACD+DCE180， ABC 和DCE 都是等边三角形， BCADCE60， ACD60， 在 RtACF 中，sinACF= ， AFACsinACF1 3 2 = 3 2 ， SACD= 1 2 = 1 2 2 3 2 = 3 2 ， CFACcosACF1 1 2 = 1 2， FDCDCF2 1 2 = 3 2， 在 RtAFD 中，AD2AF2+FD2= ( 3 2 )2+ (3 2) 2 =3， AD= 3