1、 专题专题 20 20 相似三角形问题相似三角形问题 一、比例一、比例 1成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的 长度的比相等，即 d c b a (或 a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为 比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a 或 a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a，c 的比例中项。 2黄金分割：用一点 P 将一条线段 AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之 比，则可得出这一比值等于 0618。这种分割称为黄金分割，分割点 P 叫做线段 AB 的黄金分割
2、点，较长 线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 3平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 4两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 二、相似、相似三二、相似、相似三角形及其基本的理论角形及其基本的理论 1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。 2相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相 似比。 3三角形相似的判定方法 (1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 (2)
3、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。 (3)两个三角形相似的判定定理 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述 为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角 形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简 述为三边对应成比例，两三角形相似。 4直角三角形相似判定定理: 以上各种判定方法均适用 定理
4、：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 5相似三角形的性质: (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 (3)相似三角形周长的比等于相似比 (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 【例题【例题 1 1】(2020(2020河北河北) )在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( ) A四边形NPMQ B四边形NPMR C四边形NHMQ D四边形NHMR
5、 【答案】A 【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为 1，则OC= 5，OM 25，OD= 2，OB= 10，OA= 13，OR= 5，OQ22，OP210，OH35，ON213， 由 =2， 得点D 对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果 【解析】以点O为位似中心， 点C对应点M， 设网格中每个小方格的边长为 1， 则OC= 22+ 12= 5，OM= 42+ 22=25，OD= 2，OB= 32+ 12= 10，OA= 32+ 22= 13，OR= 22+ 12= 5，OQ22，OP= 62+ 22=210，OH= 62+ 32=35，ON=
6、 62+ 42 =213， = 25 5 =2， 点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N， 以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ。 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 广西北海广西北海) )如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(4， 1)，C(2，3) (1)画出ABC关于点O成中心对称的A1B1C1； (2)以点A为位似中心，将ABC放大为原来的 2 倍得到AB2C2，请在第二象限内画出AB2C2； (3)直接写出以点 A1，B1，C1为顶点，以 A1B1为的平行四边形的第四个顶点D的坐标 【答案】见解析。 【解析】(1)根据关于
7、原点对称的点坐标特征写出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点 即可.如图，A1B1C1为所作. (2)延长AB到B2使AB22AB，延长AC到C2使AC22AC，连接B2C2，则AB2C2满足条件.第四个顶点D的坐 标为(1，3)或(5，3) (3)另一条平行四边形的性质，把C1点向左或右平移 3 个单位得到D点坐标 第四个顶点D的坐标为(1，3)或(5，3) 【例题【例题 2 2】(2019(2019广西贺州广西贺州) )如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DEBC，若 AD2，AB3，DE4，则BC等于( ) A5 B6 C7 D8 【答案】B 【解析】
8、本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键由平行 线得出ADEABC，得出对应边成比例，即可得出结果 DEBC， ADEABC， ， 即， 解得：BC6 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 年内蒙古赤峰市年内蒙古赤峰市) )如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADEACB， 若AD2， AB6，AC4，则AE的长是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】ADEACB，AA， ADEACB， ，即， 解得，AE3 【点拨】证明ADEACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 【例题【例题 3 3】(2020(2020山东泰安模
9、拟山东泰安模拟) )如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点， 将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 【答案】2 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当 的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果 连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分DCF，再证FEC90，最后证FEC EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度 如图，连接EC， 四边形ABCD为矩形， AD90，BCAD12，DCAB3， E为AD中点， AEDEAD6 由翻折知，AEFG
10、EF， AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90D， GEDE， EC平分DCG， DCEGCE， GEC90GCE，DEC90DCE， GECDEC， FECFEG+GEC18090， FECD90， 又DCEGCE， FECEDC， ， EC3， ， FE2 【对点练习】【对点练习】20192019 黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区) )一张直角三角形纸片ABC，ACB90，AB10，AC6，点D为BC 边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时， 则CD的长为_ 【答案】3 或 24 7 . 【解析】在BDE 中，B 是锐角，有两种可能
11、，DEB 或EDB 是直角，由此画出示意图，逐步求解即 可. 如下图，DEB 是直角时，ACB90，AB10，AC6， BC= 22 106=8,设 CD=x，则 BD=8-x， 由折叠知 CD=ED=x，ACBDEB=90， BEDBCA， ACDE ABDB ，即 6 108 x x ，解得 x=3; 如下图，EDB 是直角时，EDAC， BEDBAC， ACED CBDB ,即 6 88 x x ，解得 x= 24 7 ， 综上，CD 的长为 3 或 24 7 . 【点拨】在BDE 中，B 是锐角，有两种可能，DEB 或EDB 是直角，由此画出示意图，逐步求解即可. 【例题【例题 4 4
12、】(2020(2020杭州杭州) )如图，在ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DEAC，EFAB (1)求证：BDEEFC E D A B C D E F A C B (2)设 = 1 2， 若BC12，求线段BE的长； 若EFC的面积是 20，求ABC的面积 【解析】见解析。 【分析】(1)由平行线的性质得出DEBFCE，DBEFEC，即可得出结论； (2)由平行线的性质得出 = = 1 2，即可得出结果； 先求出 = 2 3，易证EFCBAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果 【解答】(1)证明：DEAC， DEBFCE， EFAB， DBEFEC， BDE
13、EFC； (2)解：EFAB， = = 1 2， ECBCBE12BE， 12 = 1 2， 解得：BE4； = 1 2， = 2 3， EFAB， EFCBAC， = ( ) 2(2 3) 2=4 9， SABC= 9 4SEFC= 9 4 2045 【对点练习】【对点练习】(2019(2019四川省凉山州四川省凉山州) )如图，ABDBCD90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于 M连接CM交DB于N (1)求证：BD 2ADCD； (2)若CD6，AD8，求MN的长 【答案】见解析。 【解析】证明：(1)通过证明ABDBCD，可得，可得结论； DB平分ADC， ADBCDB，且AB
14、DBCD90， ABDBCD BD 2ADCD (2)由平行线的性质可证MBDBDC，即可证AMMDMB4，由BD 2ADCD 和勾股定理可求MC的长， 通过证明MNBCND，可得，即可求MN的长BMCD MBDBDC ADBMBD，且ABD90 BMMD，MABMBA BMMDAM4 BD 2ADCD，且 CD6，AD8， BD 248， BC 2BD2CD212 MC 2MB2+BC228 MC2 BMCD MNBCND ，且MC2 MN 【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键 一、选择题一、选择题 1(2020(2020重庆重庆) )
15、如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心已知OA：OD1：2，则ABC与DEF的面 积比为( ) A1：2 B1：3 C1：4 D1：5 【答案】C 【解析】根据位似图形的概念求出ABC与DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可 ABC与DEF是位似图形，OA：OD1：2， ABC与DEF的位似比是 1：2 ABC与DEF的相似比为 1：2， ABC与DEF的面积比为 1：4。 2.(20202.(2020 浙江绍兴浙江绍兴) )如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 2：5，且三角板的 一边长为 8cm则投影三角板的对应边长为( ) A20cm B10cm C8cm
16、D3.2cm 【答案】A 【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解 【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm， 三角尺与投影三角尺相似， 8：x2：5， 解得x20 3(2020(2020遂宁遂宁) )如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线 于点G，若AF2FD，则 的值为( ) A1 2 B1 3 C2 3 D3 4 【答案】C 【分析】由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，证明ABAF2k，DFDGk，再利用平行线 分线段成比例定理即可解决问题 【解析】由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k， 四边形A
17、BCD是平行四边形， ADBC，ABCD，ABCD， AFBFBCDFG，ABFG， BE平分ABC， ABFCBG， ABFAFBDFGG， ABCD2k，DFDGk， CGCD+DG3k， ABDG， ABECGE， = = 2 3 = 2 3。 4(2020(2020遂宁遂宁) )如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q， 过点P作PFAE交CB的延长线于F，下列结论： AED+EAC+EDB90， APFP， AE= 10 2 AO， 若四边形OPEQ的面积为 4，则该正方形ABCD的面积为 36， CEEFEQDE 其中正确的结论有(
18、) A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【答案】B 【分析】正确证明EOBEOC45，再利用三角形的外角的性质即可解决问题 正确利用四点共圆证明AFPABP45即可 正确设BEECa，求出AE，OA即可解决问题 错误，通过计算正方形ABCD的面积为 48 正确利用相似三角形的性质证明即可 【解析】如图，连接OE 四边形ABCD是正方形， ACBD，OAOCOBOD， BOC90， BEEC， EOBEOC45， EOBEDB+OED，EOCEAC+AEO， AED+EAC+EDOEAC+AEO+OED+EDB90，故正确， 连接AF PFAE， APFABF90， A，P，B，F四点共圆，
19、 AFPABP45， PAFPFA45， PAPF，故正确， 设BEECa，则AE= 5a，OAOCOBOD= 2a， = 5 2 = 10 2 ，即AE= 10 2 AO，故正确， 根据对称性可知，OPEOQE， SOEQ= 1 2S 四边形OPEQ2， OBOD，BEEC， CD2OE，OECD， = = 1 2，OEQCDQ， SODQ4，SCDQ8， SCDO12， S正方形ABCD48，故错误， EPFDCE90，PEFDEC， EPFECD， = ， EQPE， CEEFEQDE，故正确， 故选：B 5(2020(2020潍坊潍坊) )如图，点E是ABCD的边AD上的一点，且 =
20、1 2，连接 BE并延长交CD的延长线于点F， 若DE3，DF4，则ABCD的周长为( ) A21 B28 C34 D42 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得ABCD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进 而根据平行四边形的周长公式求得结果 【解析】四边形ABCD是平行四边形， ABCF，ABCD， ABEDFE， = = 1 2， DE3，DF4， AE6，AB8， ADAE+DE6+39， 平行四边形ABCD的周长为：(8+9)234 故选：C 6(2020(2020天水天水) )如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高 1.5m，
21、测得 AB1.2m，BC12.8m，则建筑物CD的高是( ) A17.5m B17m C16.5m D18m 【答案】A 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题 【解析】EBAC，DCAC， EBDC， ABEACD， = ， BE1.5m，AB1.2m，BC12.8m， ACAB+BC14m， 1.2 14 = 1.5 ， 解得，DC17.5， 即建筑物CD的高是 17.5m， 7.(2019(2019海南省海南省) )如图，在RtABC中，C90，AB5，BC4点P是边AC上一动点，过点P作PQ AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分ABC时
22、，AP的长度为( ) A. B C D 【答案】B 【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到QBQD，根据相似三 角形的性质列出比例式，计算即可 C90，AB5，BC4， AC3， PQAB， ABDBDQ，又ABDQBD， QBDBDQ， QBQD， QP2QB， PQAB， CPQCAB， ，即， 解得，CP， APCACP 二、填空题二、填空题 8(2020(2020郴州郴州) )在平面直角坐标系中，将AOB以点O为位似中心，2 3为位似比作位似变换，得到A 1
23、OB1， 已知A(2，3)，则点A1的坐标是 【解析】(4 3，2) 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可 【解析】将AOB以点O为位似中心，2 3为位似比作位似变换，得到A 1OB1，A(2，3)， 点A1的坐标是：(2 3 2，2 3 3)， 即A1(4 3，2) 9 (2020(2020乐山乐山) )把两个含 30角的直角三角板按如图所示拼接在一起， 点E为AD的中点，连结BE交AC于 点F则 = 【解析】3 5 【分析】连接CE，解直角三角形，用AD表示AB，根据直角三角形的性质，用AD表示CE，再证明CEAB 得ABFCEF，由相似三角形的性质得 ，进而得 便可 【解
24、析】连接CE，CAD30，ACD90，E是AD的中点， AC= 3 2 AD，CE= 1 2ADAE， ACECAE30 BAC30，ABC90， AB= 3 2 AC= 3 4AD，BACACE， ABCE， ABFCEF， = = 3 4 1 2 = 3 2， = 3 5 10(2020(2020绥化绥化) )在平面直角坐标系中，ABC和A1B1C1的相似比等于1 2，并且是关于原点 O的位似图形， 若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是 【解析】(4，8)或(4，8) 【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以 2 或2 得到其对应点A1的坐标 【解析】ABC和
25、A1B1C1的相似比等于1 2，并且是关于原点 O的位似图形， 而点A的坐标为(2，4)， 点A对应点A1的坐标为(22，24)或(22，24)， 即(4，8)或(4，8) 三、解答题三、解答题 11(2020(2020泰安泰安) )小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形， ACB与ECD恰好为对顶角，ABCCDE90，连接BD，ABBD，点F是线段CE上一点 探究发现： (1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2)，小明经过探究，得到结论：BDDF你认为此结论是否 成立？ (填“是”或“否”) 拓展延伸： (2)将(1)中的条件与结论互换，
26、即：BDDF，则点F为线段CE的中点请判断此结论是否成立若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理由 问题解决： (3)若AB6，CE9，求AD的长 【答案】见解析。 【分析】(1)证明FDC+BDC90可得结论 (2)结论成立：利用等角的余角相等证明EEDF，推出EFFD，再证明FDFC即可解决问题 (3)如图 3 中，取EC的中点G，连接GD则GDBD利用(1)中即可以及相似三角形的性质解决问题即可 【解析】(1)如图(2)中， EDC90，EFCF， DFCF， FCDFDC， ABC90， A+ACB90， BABD， AADB， ACBFCDFDC， ADB+FDC90， FDB9
27、0， BDDF 故答案为是 (2)结论成立： 理由：BDDF，EDAD， BDC+CDF90，EDF+CDF90， BDCEDF， ABBD， ABDC， AEDF， A+ACB90，E+ECD90，ACBECD， AE， EEDF， EFFD， E+ECD90，EDF+FDC90， FCDFDC， FDFC， EFFC， 点F是EC的中点 (3)如图 3 中，取EC的中点G，连接GD则GDBD DG= 1 2EC= 9 2， BDAB6， 在 RtBDG中，BG= 2+ 2=(9 2) 2+ 62 = 15 2 ， CB= 15 2 9 2 =3， 在 RtABC中，AC= 2+ 2= 62
28、+ 32=35， ACBECD，ABCEDC， ABCEDC， = ， 35 9 = 3 ， CD= 95 5 ， ADAC+CD35 + 95 5 = 245 5 12 (2020(2020达州达州) )如图， 在梯形ABCD中，ABCD， B90，AB6cm，CD2cmP为线段BC上的一动点， 且和B、C不重合，连接PA，过点P作PEPA交射线CD于点E聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进 行了研究： (1)通过推理，他发现ABPPCE，请你帮他完成证明 (2)利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值： 当BC6cm时，得表 1： BP/cm 1
29、2 3 4 5 CE/cm 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 当BC8cm时，得表 2： BP/cm 1 2 3 4 5 6 7 CE/cm 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制 填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中， BP 的长度为自变量， EC 的长度为因变量； 设BCmcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围 【解析】见解析。 【分析】(1)根据两角对应相等两三角形相似证明即可 (2)根据函数的定义判断
30、即可 设BPxcm，CEycm利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求出y的最大值即可 解决问题 【解答】(1)证明：ABCD， B+C90， B90， BC90， APPE， APE90， APB+EPC90， EPC+PEC90， APBPEC， ABPPCE (2)解：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的 长度为因变量， 故答案为：BP，EC 设BPxcm，CEycm ABPPCE， = ， 6 = ， y= 1 6x 2+1 6mx= 1 6(x 1 2m) 2+2 24， 1 6 0， x= 1 2m 时，y有最大值
31、2 24 ， 点E在线段CD上，CD2cm， 2 24 2， m43， 0m43 13 (2020(2020枣庄枣庄) )在ABC中， ACB90，CD是中线，ACBC， 一个以点D为顶点的 45角绕点D旋转， 使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N (1)如图 1，若CECF，求证：DEDF； (2)如图 2，在EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD 2CECF 恒成立； (3)若CD2，CF= 2，求DN的长 【解析】见解析。 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到ACDBCD45，证明DCFDCE，根据全等三角形的 对应边相等
32、证明结论； (2)证明FCDDCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论； (3)作DGBC，根据等腰直角三角形的性质求出DG，由(2)的结论求出CE，证明ENCDNG，根据相似三 角形的性质求出NG，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】(1)证明：ACB90，ACBC，CD是中线， ACDBCD45，ACFBCE90， DCFDCE135， 在DCF和DCE中， = = = ， DCFDCE(SAS) DEDF； (2)证明：DCF135， F+CDF45， FDE45， CDE+CDF45， FCDE， DCFDCE，FCDE， FCDDCE， = ， CD 2CECF； (3
33、)解：过点D作DGBC于G， DCB45， GCGD= 2 2 CD= 2， 由(2)可知，CD 2CECF， CE= 2 =22， ECNDGN，ENCDNG， ENCDNG， = ，即 2 = 22 2 ， 解得，NG= 2 3 ， 由勾股定理得，DN= 2+ 2= 25 3 14(2020(2020上海上海) )已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BEDF，CE的延长线交DA的 延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H (1)求证：BECBCH； (2)如果BE 2ABAE，求证：AGDF 【解析】见解析。 【分析】(1)想办法证明BCEH即可解决问题 (2
34、)利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可 【解答】(1)证明：四边形ABCD是菱形， CDCB，DB，CDAB， DFBE， CDFCBE(SAS)， DCFBCE， CDBH， HDCF， BCEH， BB， BECBCH (2)证明：BE 2ABAE， = ， AGBC， = ， = ， DFBE，BCAB， BEAGDF， 即AGDF 15(2020(2020甘孜州甘孜州) )如图，AB是O的直径，C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D (1)求证：CADCAB； (2)若 = 2 3，AC26，求 CD的长 【答案】见解析。 【分析】(1)连接OC，根据切线的性
35、质，判断出ADOC，再应用平行线的性质，即可推得AC平分DAB； (2)如图 2，连接BC，设AD2x，AB3x，根据圆周角定理得到ACBADC90，根据相似三角形的性 质即可得到结论 【解析】(1)证明：如图 1，连接OC， ， CD是切线，OCCD ADCD，ADOC，14 OAOC，24，12，AC平分DAB； (2)解：如图 2， 连接BC， = 2 3， 设AD2x，AB3x， AB是O的直径，ACBADC90， DACCAB，ACDABC， = ， 2 26 = 26 3 ， x2(负值舍去)， AD4， CD= 2 2=22 16(2020(2020宁波宁波) )【基础巩固】 (
36、1)如图 1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC 2ADAB 【尝试应用】 (2)如图 2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的 长 【拓展提高】 (3)如图 3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFAC，AC2EF，EDF= 1 2BAD，AE 2，DF5，求菱形ABCD的边长 【解析】见解析。 【分析】(1)证明ADCACB，得出 = ，则可得出结论； (2)证明BFEBCF，得出比例线段 = ，则 BF 2BEBC，求出 BC，则可求出AD (3)分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形
37、，得出ACEG，CGAE，EACG，证 明EDFEGD，得出比例线段 = ，则 DE= 2EF，可求出DG，则答案可求出 【解析】(1)证明：ACDB，AA， ADCACB， = ， AC 2ADAB (2)四边形ABCD是平行四边形， ADBC，AC， 又BFEA， BFEC， 又FBECBF， BFEBCF， = ， BF 2BEBC， BC= 2 = 42 3 = 16 3 ， AD= 16 3 (3)如图，分别延长EF，DC相交于点G， 四边形ABCD是菱形， ABDC，BAC= 1 2BAD， ACEF， 四边形AEGC为平行四边形， ACEG，CGAE，EACG， EDF= 1 2
38、BAD， EDFBAC， EDFG， 又DEFGED， EDFEGD， = ， DE 2EFEG， 又EGAC2EF， DE 22EF2， DE= 2EF， 又 = ， DG= 2 = 52， DCDGCG52 2 17.(201917.(2019湖北省荆门市湖北省荆门市) )如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退 到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的 顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)， 测得AC2m，BD2.1m， 如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为 1.6m， 试确定楼的高度OE 【答案】楼的高度OE为 32 米 【解析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M， 连接GF并延长交OE于点H， GFAC， MACMFG， ， 即：， ， OE32