1、 专题专题 21 21 多边形内角和定理的应用多边形内角和定理的应用 一、三角形一、三角形 1.三角形的内角和：三角形的内角和为 180 2.三角形外角的性质： 性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 二、多边形二、多边形 1多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 3多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 4多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 5正多边形：在平面内，各个角都相等
2、，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 6多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(n-2)180 7多边形的外角和：多边形的内角和为 360。 8.多边形对角线的条数： (1)从 n 边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形。 (2)n 边形共有 2 3)-n(n 条对角线。 【例题 1】(2020济宁济宁)一个多边形的内角和是 1080，则这个多边形的边数是( ) A9 B8 C7 D6 【答案】B 【分析】多边形的内角和可以表示成(n2)180，依此列方程可求解 【解析】设所求正 n 边形边数为 n， 则 1080(n2)180， 解得 n8 【对点练习】【
3、对点练习】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 1080，那么原多边形的边数 为( ) A7 B7 或 8 C8 或 9 D7 或 8 或 9 【答案】D 【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加 1，可能减少 1，或 不变 首先求得内角和为 1080的多边形的边数，即可确定原多边形的边数 设内角和为 1080的多边形的边数是 n，则(n2)180=1080， 解得：n=8 则原多边形的边数为 7 或 8 或 9 【例题【例题 2】(2020湘西州湘西州)若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 【答案】6 【解析】任何多边形的
4、外角和是 360，内角和等于外角和的 2 倍则内角和是 720n 边形的内角和是 (n2)180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形 的边数 设该多边形的边数为 n， 根据题意，得，(n2)180720， 解得：n6 故这个多边形的边数为 6 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 江苏徐州江苏徐州) )如图，A、B、C、D为一个外角为 40的正多边形的顶点若O为正多边形的 中心，则OAD 【答案】140 【解析】利用任意凸多边形的外角和均为 360，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据 多边形的内角和公式计算即可 多边形的每个外角
5、相等，且其和为 360， 据此可得多边形的边数为：， OAD 一、选择题一、选择题 1(2020北京北京)正五边形的外角和为( ) A180 B360 C540 D720 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和等于 360，即可求解 【解析】任意多边形的外角和都是 360， 故正五边形的外角和的度数为 360 2(2020无锡无锡)正十边形的每一个外角的度数为( ) A36 B30 C144 D150 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和为 360，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数 【解析】正十边形的每一个外角都相等， 因此每一个外角为：3601036， 3 (202
6、0德州德州)如图， 小明从 A 点出发， 沿直线前进 8 米后向左转 45， 再沿直线前进 8 米， 又向左转 45 照这样走下去，他第一次回到出发点 A 时，共走路程为( ) A80 米 B96 米 C64 米 D48 米 【答案】C 【分析】根据多边形的外角和等于 360，即可求解 【解析】根据题意可知，他需要转 360458 次才会回到原点， 所以一共走了 8864(米) 4.若一个正 n 边形的每个内角为 144，则正 n 边形的所有对角线的条数是( ) A7 B10 C35 D70 【答案】C 【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正 n 边形的边数本题属
7、于基 础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键 由正 n 边形的每个内角为 144结合多边形内角和公式，即可得出关于 n 的一元一次方程，解方程即可求出 n 的值，将其代入中即可得出结论 一个正 n 边形的每个内角为 144， 144n=180(n2)，解得：n=10 这个正 n 边形的所有对角线的条数是： =35 5六边形的内角和是( ) A540 B720 C900 D1080 【答案】B 【解析】此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式： (n2)180(n3，且 n 为整数) 多边形内角和定理：n 变形的内角和等于(n2)180(n
8、3，且 n 为整数)，据此计算可得 由内角和公式可得：(62)180=720 6内角和为 540的多边形是( ) A B C D 【答案】C 【解析】根据多边形的内角和公式(n2)180列式进行计算即可求解 设多边形的边数是 n，则 (n2)180=540， 解得 n=5 7一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于( ) A108 B90 C72 D60 【答案】C 【解析】首先设此多边形为 n 边形，根据题意得：180(n2)=540，即可求得 n=5，再由多边形的外角 和等于 360，即可求得答案 设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180(n2)=540， 解得：
9、n=5， 故这个正多边形的每一个外角等于： 360/5=72 8如图的七边形 ABCDEFG 中，AB、DE 的延长线相交于 O 点若图中1、2、3、4 的外角的角度和 为 220，则BOD 的度数为何？( ) A40 B45 C50 D60 【答案】A 【解析】延长 BC 交 OD 与点 M，根据多边形的外角和为 360可得出OBC+MCD+CDM=140，再根据四 边形的内角和为 360即可得出结论 延长 BC 交 OD 与点 M，如图所示 多边形的外角和为 360， OBC+MCD+CDM=360220=140 四边形的内角和为 360， BOD+OBC+180+MCD+CDM=360，
10、 BOD=40 9.(20199.(2019 贵州铜仁贵州铜仁) )如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别 为a和b，则a+b不可能是( ) A360 B540 C630 D720 【答案】C 【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是 180的倍数，都能被 180 整除，分析四个答案，只有 630 不能被 180 整除，所以a+b不可能是 630 10.(201910.(2019 湖南湘西州湖南湘西州) )已知一个多边形的内角和是 1080，则这个多边形是( ) A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 【答案】D 【解
11、析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变 形和数据处理。 多边形的内角和可以表示成(n2)180，列方程可求解 设所求多边形边数为n， 则(n2)1801080， 解得n8 1111(2019(2019 湖北咸宁湖北咸宁) )若正多边形的内角和是 540，则该正多边形的一个外角为( ) A45 B60 C72 D90 【答案】C 【解析】 根据多边形的内角和公式(n2)180求出多边形的边数， 再根据多边形的外角和是固定的 360， 依此可以求出多边形的一个外角 正多边形的内角和是 540， 多边形的边数为 540180+25， 多边形的外角和都
12、是 360， 多边形的每个外角360572 1212(2019(2019 宁夏宁夏) )如图，正六边形ABCDEF的边长为 2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF， 扇形DCE则图中阴影部分的面积是( ) A6 B6 C12 D12 【答案】B 【解析】正六边形ABCDEF的边长为 2， 正六边形ABCDEF的面积是： 66， FABEDC120， 图中阴影部分的面积是： 6， 二、填空题二、填空题 13 (2020陕西陕西)如图， 在正五边形 ABCDE 中， DM 是边 CD 的延长线， 连接 BD， 则BDM 的度数是 【答案】144 【解析】根据正五边形的性质和内角和
13、为 540，求得每个内角的度数为 108，再结合等腰三角形和邻 补角的定义即可解答 因为五边形 ABCDE 是正五边形， 所以C= (52)180 5 =108，BCDC， 所以BDC= 180108 2 =36， 所以BDM18036144 14(2020烟台烟台)已知正多边形的一个外角等于 40，则这个正多边形的内角和的度数为 【答案】1260 【解析】利用任意多边形的外角和均为 360，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形 的内角和公式计算即可 正 n 边形的每个外角相等，且其和为 360， 据此可得360 =40， 解得 n9 (92)1801260， 即这个正多边形的
14、内角和为 1260 15.(202015.(2020 大连模拟大连模拟) )如图， 在ABC 中， A=40， D 点是ABC 和ACB 角平分线的交点， 则BDC= 【答案】110 【解析】由 D 点是ABC 和ACB 角平分线的交点可推出DBC+DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求 出BDC 的度数 D 点是ABC 和ACB 角平分线的交点， 有CBD=ABD=ABC，BCD=ACD=ACB， ABC+ACB=18040=140， OBC+OCB=70， BOC=18070=110 16一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是_边形 【答案】四 【解析】 任何多边形的外角和是360度，
15、 因而这个多边形的内角和是360度 n边形的内角和是(n2)180， 如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数 根据题意，得(n2)180=360， 解得 n=4，则它是四边形 17.(201917.(2019 海南海南) )如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角BOD 的大小为 度 【答案】144 【解析】根据正多边形内角和公式可求出E、D，根据切线的性质可求出OAE、OCD，从而可求出 AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题 五边形ABCDE是正五边形， EA108 AB、DE与O相切， OBAODE90，
16、 BOD(52)1809010810890144。 1818(2019(2019 江苏淮安江苏淮安) )若一个多边形的内角和是 540，则该多边形的边数是 【答案】5 【解析】n边形的内角和公式为(n2)180，由此列方程求n 设这个多边形的边数是n， 则(n2)180540， 解得n5 19.19.一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是_. 【答案】8 【解析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为 360，根据题意列出方程，解之即可. 设这个多边形边数为 n，(n-2)180=3603，n=8. 三、简答题三、简答题 20.(202020.(2020 江苏镇江模拟江苏
17、镇江模拟) )已知n边形的内角和=(n-2)180. (1)甲同学说，能取 360； 而乙同学说，也能取 630.甲、 乙的说法对吗？若对， 求出边数n.若不对， 说明理由； (2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了 360，用列方程的方法确定x. 【答案】(1)甲对，乙不对,理由见解析；(2)2. 【解析】(1)根据多边形的内角和公式判定即可；(2)根据题意列方程，解方程即可. 试题解析：(1)甲对，乙不对. =360，(n-2)180=360， 解得 n=4. =630，(n-2)180=630， 解得 n= 2 11 . n 为整数，不能取 630. (2)由题意得，(n-2)180+360=(n+x-2)180， 解得 x=2.