1、 专题专题 24 矩形问题矩形问题 1 1矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2 2矩形的性质矩形的性质 (1)矩形的四个角都是直角； (2)矩形的对角线平分且相等。 3 3矩形判定定理矩形判定定理 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)对角线相等的平行四边形是矩形； (3)有三个角是直角的四边形是矩形。 4 4矩形的面积：矩形的面积：S=ab(a、b 分别表示矩形的长、宽) 【例题【例题 1 1】(2020(2020湘西州湘西州) )如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的 另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边ABa，
2、BCb，DAOx，则点C到x轴的距离等于( ) Aacosx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dasinx+bsinx 【答案】A 【解析】作CEy轴于E，由矩形的性质得出CDABa，ADBCb，ADC90，证出CDEDAO x，由三角函数定义得出ODbsinx，DEacosx，进而得出答案 作CEy轴于E，如图： 四边形ABCD是矩形， CDABa，ADBCb，ADC90， CDE+ADO90， AOD90，DAO+ADO90， CDEDAOx， sinDAO= ，cosCDE= ， ODADsinDAObsinx，DEDcosCDEacosx， OEDE+O
3、Dacosx+bsinx， 点C到x轴的距离等于acosx+bsinx. 【对点练习】【对点练习】 (2019(2019贵州省铜仁市贵州省铜仁市) )如图为矩形ABCD， 一条直线将该矩形分割成两个多边形， 若这两个多边 形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是( ) A360 B540 C630 D720 【答案】C 【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是 180的 倍数，都能被 180 整除，分析四个答案， 只有 630 不能被 180 整除，所以a+b不可能是 630 【例题【例题 2 2】(2020(2020菏泽菏泽) )如图，矩形ABCD中，AB5
4、，AD12，点P在对角线BD上，且BPBA，连接AP并 延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 【答案】317 【解析】根据矩形的性质可得BD13，再根据BPBA可得DQDP8，所以得CQ3，在 RtBCQ中，根 据勾股定理即可得BQ的长 矩形ABCD中，AB5，AD12，BADBCD90， BD= 2+ 2=13， BPBA5， PDBDBP8， BABP， BAPBPADPQ， ABCD， BAPDQP， DPQDQP， DQDP8， CQDQCDDQAB853， 在 RtBCQ中，根据勾股定理，得 BQ= 2+ 2= 153 =317 【对点练习】【对点练习】(2019(20
5、19 内蒙古通辽内蒙古通辽) )如图，在矩形ABCD中，AD8，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂 足为点E，且AE平分BAC，则AB的长为 【答案】 【解答】四边形ABCD是矩形 AOCOBODO， AE平分BAO BAEEAO，且AEAE，AEBAEO， ABEAOE(ASA) AOAB，且AOOB AOABBODO， BD2AB， AD 2+AB2BD2， 64+AB 24AB2， AB 【例题【例题 3 3】 (2020(2020聊城聊城) )如图， 在ABCD中，E为BC的中点， 连接AE并延长交DC的延长线于点F， 连接BF， AC，若ADAF，求证：四边形ABFC是矩形 【
6、答案】见解析。 【解析】 根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等， 利用AAS判定ABEFCE， 从而得到ABCF； 由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BCAF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形 ABFC是矩形 证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ABCD， BAECFE，ABEFCE， E为BC的中点， EBEC， ABEFCE(AAS)， ABCF ABCF， 四边形ABFC是平行四边形， BCAF， 四边形ABFC是矩形 【对点练习】【对点练习】(2019(2019湖北省鄂州市湖北省鄂州市) )如图，矩形ABCD中，AB8，AD6，点O是对角线BD的中点，过
7、点O 的直线分别交AB、CD边于点E、F (1)求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)当DEDF时，求EF的长 【答案】见解析。 【解析】根据矩形的性质得到ABCD，由平行线的性质得到DFOBEO，根据全等三角形的性质得到DF BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；推出四边形BEDF是菱形，得到DEBE，EFBD，OEOF，设 AEx，则DEBE8x根据勾股定理即可得到结论 (1)证明：四边形ABCD是矩形， ABCD， DFOBEO， 又因为DOFBOE，ODOB， DOFBOE(ASA)， DFBE， 又因为DFBE， 四边形BEDF是平行四边形； (2)解：DEDF，四边形BED
8、F是平行四边形 四边形BEDF是菱形， DEBE，EFBD，OEOF， 设AEx，则DEBE8x 在RtADE中，根据勾股定理，有AE 2+AD2DE2 x 2+62(8x)2， 解之得：x， DE8， 在RtABD中，根据勾股定理，有AB 2+AD2BD2 BD， OD BD5， 在RtDOE中，根据勾股定理，有DE 2 OD2OE2， OE， EF2OE 一、选择题一、选择题 1(2020(2020怀化怀化) )在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AOB的面积为 2，则矩形ABCD的面积为( ) A4 B6 C8 D10 【答案】C 【解析】根据矩形的性质得到OAOBOCOD，推出S
9、ADOSBCOSCDOSABO2，即可求出矩形ABCD的面 积 四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O， ACBD，且OAOBOCOD， SADOSBCOSCDOSABO2， 矩形ABCD的面积为 4SABO8， 2(2020(2020达州达州) )如图，BOD45，BODO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E， 连接OE交AD于点F下列 4 个判断：OE平分BOD；OFBD；DF= 2AF；若点G是线段OF的中 点，则AEG为等腰直角三角形正确判断的个数是( ) A4 B3 C2 D1 【答案】A 【解析】由矩形得EBEDEA，BAD为直角，再由等腰三角形的
10、三线合一性质可判断的正误；证明 AOFABD， 便可判断的正误； 连接BF， 由线段的垂直平分线得BFDF， 由前面的三角形全等得AFAB， 进而便可判断的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AGOG，进而求得AGE45，由矩形性质得 EDEA，进而得EAD22.5，再得EAG90，便可判断的正误 四边形ABCD是矩形， EBED， BODO， OE平分BOD， 故正确； 四边形ABCD是矩形， OADBAD90， ABD+ADB90， OBOD，BEDE， OEBD， BOE+OBE90， BOEBDA， BOD45，OAD90， ADO45， AOAD， AOFABD(ASA)， OFBD
11、， 故正确； AOFABD， AFAB， 连接BF，如图 1， BF= 2， BEDE，OEBD， DFBF， DF= 2， 故正确； 根据题意作出图形，如图 2， G是OF的中点，OAF90， AGOG， AOGOAG， AOD45，OE平分AOD， AOGOAG22.5， FAG67.5，ADBAOF22.5， 四边形ABCD是矩形， EAED， EADEDA22.5， EAG90， AGEAOG+OAG45， AEG45， AEAG， AEG为等腰直角三角形， 故正确； 故选：A 3.(20193.(2019广东广州广东广州) )如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC
12、，AD于点E，F，若 BE3，AF5，则AC的长为( ) A4 B4 C10 D8 【答案】A 【解析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OAOC，AECE，证明AOFCOE得出AFCE5， 得出AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出AB4，再由勾股定理求出AC即可 连接AE，如图： EF是AC的垂直平分线， OAOC，AECE， 四边形ABCD是矩形， B90，ADBC， OAFOCE， 在AOF和COE中， AOFCOE(ASA)， AFCE5， AECE5，BCBE+CE3+58， AB4， AC4； 故选：A 4 4(2019(2019山东泰安山东泰安) )如图，矩形ABCD中
13、，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点， 连接PB，则PB的最小值是( ) A2 B4 C D 【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解 即可 如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2， P1P2CE且P1P2CE 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP 由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF 点P的运动轨迹是线段P1P
14、2， 当BPP1P2时，PB取得最小值 矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点， CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12 ADECDECP1B45，DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90，即BP1P1P2， BP的最小值为BP1的长 在等腰直角BCP1中，CP1BC2 BP12 PB的最小值是 2 5.5.(2019(2019 湖北荆州湖北荆州) )如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在MON的边OM，ON上，若OAOC，要求只用 无刻度的直尺作MON的平分线 小明的作法如下： 连接AC，BD交于点E， 作射线OE， 则射线OE平分MON 有 以下几
15、条几何性质： 矩形的四个角都是直角， 矩形的对角线互相平分， 等腰三角形的 “三线合一” 小 明的作法依据是( ) A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】四边形ABCD为矩形， AECE， 而OAOC， OE为AOC的平分线 二、填空题二、填空题 6(2020(2020绍兴绍兴) )将两条邻边长分别为2，1 的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪 出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 (填序号) 2， 1， 2 1， 3 2 ， 3 【答案】 【解析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解 如图所示： 则其中一个等腰三角形
16、的腰长可以是2，1，2 1， 3 2 ，不可以是3 7(2020(2020泸州泸州) )如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N已 知AB4，BC6，则MN的长为 【解析】4 3 【分析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根 据全等三角形的性质得出AQBC，ABCW，根据相似三角形的判定得出QMFCMB，BNEWND，根 据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案 【解析】延长CE、DA交于Q，如图 1， 四边形ABCD是矩形，BC6， BAD90，ADBC6，ADBC
17、， F为AD中点， AFDF3， 在 RtBAF中，由勾股定理得：BF= 2+ 2= 42+ 32=5， ADBC， QECB， E为AB的中点，AB4， AEBE2， 在QAE和CBE中 = = = QAECBE(AAS)， AQBC6， 即QF6+39， ADBC， QMFCMB， = = 9 6， BF5， BM2，FM3， 延长BF和CD，交于W，如图 2， 同理ABDM4，CW8，BFFM5， ABCD， BNEWND， = ， 5+5 = 2 4， 解得：BN= 10 3 ， MNBNBM= 10 3 2= 4 3 8(2020(2020黔东南州黔东南州) )如图，矩形ABCD中，
18、AB2，BC= 2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P 作PQBC于点Q，则PQ 【解析】4 3 【分析】根据矩形的性质得到ABCD，ABCD，ADBC，BAD90，根据线段中点的定义得到DE= 1 2CD= 1 2AB，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解析】四边形ABCD是矩形， ABCD，ABCD，ADBC，BAD90， E为CD的中点， DE= 1 2CD= 1 2AB， ABPEDP， = ， 2 1 = ， = 2 3， PQBC， PQCD， BPQDBC， = = 2 3， CD2， PQ= 4 3 9.9.(2019(2019湖南娄底湖南娄底) )如图，要使平行
19、四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 (添加一个条 件即可) 【答案】ABC=90或 AC=BD 【解析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故添加条件：ABC=90或 AC=BD 故答案为：ABC=90或 AC=BD 10.(201910.(2019 黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区) )如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且SPAB 1 2 SPCD，则PCPD的最小值是_ 【答案】4 5. 【解析】结合已知条件，根据SPAB 1 2 SPCD可判断出点 P 在平行于 AB，与 AB 的距离为 2、与 C
20、D 的距离为 4 的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可. 过点 P 作直线 lAB， 作点 D 关于直线 l 的对称点 D1， 连接 CD1， 矩形ABCD中，AB4，BC6， CD=4,DD1=8, 在 RtCDD1中，由勾股定理得 CD1=4 5，PCPD的最小值是4 5. 11.(201911.(2019 贵州省安顺市贵州省安顺市) ) 如图，在 RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点D为斜边BC上的一个动 点，过D分别作DMAB于点M，作DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 . D A BC P B D M N C A 【答案】 5 12 【解析】连接AD，即
21、可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MNAD，再由三角形的面积关系求出AD 的最小值，即可得出结果 连接AD，如图所示： DMAB，DNAC，AMDAND90， 又BAC90，四边形AMDN是矩形；MNAD， BAC90，AB3，AC4，BC5， 当ADBC时，AD最短， 此时ABC的面积 2 1 BCAD 2 1 ABAC， AD的最小值 12 5 AB AC BC ， 线段MN的最小值为 5 12 。 12.(201912.(2019湖北省咸宁市湖北省咸宁市) )如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB4，BC8，点M，N分别在矩形的边AD，BC 上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C
22、落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于 点Q，连接CM下列结论： CQCD； 四边形CMPN是菱形； B D M N C A P，A重合时，MN2； PQM的面积S的取值范围是 3S5 其中正确的是 (把正确结论的序号都填上) 【答案】 【解析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CNNP，然后根据邻边相等的平行四 边形是菱形证明，判断出正确；假设CQCD，得RtCMQCMD，进而得DCMQCMBCP30， 这个不一定成立，判断错误；点P与点A重合时，设BNx，表示出ANNC8x，利用勾股定理列出 方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出正确
23、；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面 积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可 如图 1， PMCN， PMNMNC， MNCPNM，PMNPNM，PMPN， NCNP，PMCN， MPCN， 四边形CNPM是平行四边形， CNNP，四边形CNPM是菱形，故正确； CPMN，BCPMCP， MQCD90， CPCP， 若CQCD，则RtCMQCMD， DCMQCMBCP30，这个不一定成立， 故错误； 点P与点A重合时，如图 2， 设BNx，则ANNC8x， 在RtABN中，AB 2+BN2AN2， 即 4 2+x2(8x)2， 解得x3， CN835，AC，
24、， ， MN2QN2 故正确； 当MN过点D时，如图 3， 此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S， 当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S， 4S5，故错误故答案为： 13.(201913.(2019贵州贵阳贵州贵阳) )如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接 DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动 过程中，点E的运动路径长是 【答案】 【解析】E的运动路径是EE的长； AB4，DCA30， BC， 当F与A点重合时， 在RtADE中，AD，DAE
25、30，ADE60， DE，CDE30， 当F与C重合时，EDC60， EDE90，DEE30， 在RtDEE中，EE . 1414(2019(2019山东潍坊山东潍坊) )如图，在矩形ABCD中，AD2将A向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为 DE若将B沿EA向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B，则AB 【答案】 【解析】利用矩形的性质，证明ADEADEADC30，CABD90，推出DBA DCA，CDBD，设ABDCx，在RtADE中，通过勾股定理可求出AB的长度 四边形ABCD为矩形， ADCCB90，ABDC， 由翻折知，AEDAED，ABEABE，ABEBABD90， AEDAED
26、，AEBAEB，BEBE， AEDAEDAEB18060， ADE90AED30，ADE90AEB30， ADEADEADC30， 又CABD90，DADA， DBADCA(AAS)， DCDB， 在RtAED中， ADE30，AD2， AE， 设ABDCx，则BEBEx AE 2+AD2DE2， () 2+22(x+x ) 2， 解得，x1(负值舍去)，x2 15.(201915.(2019 北京市北京市) )在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点(不与端点重合)对于任 意矩形 ABCD，下面四个结论中， 存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； 存
27、在无数个四边形 MNPQ 是矩形； 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； 至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点， 图中任过点 O 的两条线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是平行四边形；显然有无数个.本结论正确. 图中任过点 O 的两条相等的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是矩形；显然有无数个.本结论正确. 图中任过点 O 的两条垂直的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是菱形；显然有无数个.本结论正确. 图中过点 O 的两条相等且垂直的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是正方形；显然有一个.本
28、结论错误. 故填： . 三、解答题三、解答题 16(2020(2020苏州苏州) )如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DFAE，垂足为F (1)求证：ABEDFA； (2)若AB6，BC4，求DF的长 【解析】见解析。 【分析】(1)由矩形性质得ADBC，进而由平行线的性质得AEBDAF，再根据两角对应相等的两个三角 形相似； (2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF 【解析】(1)四边形ABCD是矩形， ADBC，B90， DAFAEB， DFAE， AFDB90， ADFEAB， ABEDFA； (2)E是BC的中点，BC4， BE2，
29、 AB6， AE= 2+ 2= 62+ 22= 210， 四边形ABCD是矩形， ADBC4， ABEDFA， = ， = = 64 210 = 6 510 17(2020(2020贵阳贵阳) )如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CFBE (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； (2)连接ED，若AED90，AB4，BE2，求四边形AEFD的面积 【解析】见解析。 【分析】(1)先根据矩形的性质得到ADBC，ADBC，然后证明ADEF可判断四边形AEFD是平行四边形； (2)连接DE，如图，先利用勾股定理计算出AE25，再证明ABEDEA，利用相似比求出A
30、D，然后根 据平行四边形的面积公式计算 【解答】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ADBC，ADBC， BECF， BE+ECEC+EF，即BCEF， ADEF， 四边形AEFD是平行四边形； (2)解：连接DE，如图， 四边形ABCD是矩形， B90， 在 RtABE中，AE= 42+ 22=25， ADBC， AEBEAD， BAED90， ABEDEA， AE：ADBE：AE， AD= 2525 2 =10， 四边形AEFD的面积ABAD21020 18(2020(2020遂宁遂宁) )如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交 BE的延长线
31、于点F，连接CF (1)求证：BDEFAE； (2)求证：四边形ADCF为矩形 【答案】见解析。 【解析】(1)根据平行线的性质得到AFEDBE，根据线段中点的定义得到AEDE，根据全等三角形 的判定定理即可得到结论； (2)根据全等三角形的性质得到AFBD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到 ADC90，于是得到结论 证明：(1)AFBC， AFEDBE， E是线段AD的中点， AEDE， AEFDEB， BDEFAE(AAS)； (2)BDEFAE， AFBD， D是线段BC的中点，BDCD，AFCD， AFCD， 四边形ADCF是平行四边形， ABAC， ADBC，ADC90， 四边形ADCF为矩形 1919(2019(2019 湖南怀化湖南怀化) )已知：如图，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F分别为垂足 (1)求证：ABECDF； (2)求证：四边形AECF是矩形 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， BD，ABCD，ADBC， AEBC，CFAD， AEBAECCFDAFC90， 在ABE和CDF中， ABECDF(AAS)； (2)证明：ADBC， EAFAEB90， EAFAECAFC90， 四边形AECF是矩形