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2021年中考数学专题复习 专题24矩形(教师版含解析)

1、 专题专题 24 矩形问题矩形问题 1 1矩形的定义:矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2 2矩形的性质矩形的性质 (1)矩形的四个角都是直角; (2)矩形的对角线平分且相等。 3 3矩形判定定理矩形判定定理 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)对角线相等的平行四边形是矩形; (3)有三个角是直角的四边形是矩形。 4 4矩形的面积:矩形的面积:S=ab(a、b 分别表示矩形的长、宽) 【例题【例题 1 1】(2020(2020湘西州湘西州) )如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,矩形的 另一个顶点D在y轴的正半轴上,矩形的边ABa,

2、BCb,DAOx,则点C到x轴的距离等于( ) Aacosx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dasinx+bsinx 【答案】A 【解析】作CEy轴于E,由矩形的性质得出CDABa,ADBCb,ADC90,证出CDEDAO x,由三角函数定义得出ODbsinx,DEacosx,进而得出答案 作CEy轴于E,如图: 四边形ABCD是矩形, CDABa,ADBCb,ADC90, CDE+ADO90, AOD90,DAO+ADO90, CDEDAOx, sinDAO= ,cosCDE= , ODADsinDAObsinx,DEDcosCDEacosx, OEDE+O

3、Dacosx+bsinx, 点C到x轴的距离等于acosx+bsinx. 【对点练习】【对点练习】 (2019(2019贵州省铜仁市贵州省铜仁市) )如图为矩形ABCD, 一条直线将该矩形分割成两个多边形, 若这两个多边 形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是( ) A360 B540 C630 D720 【答案】C 【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,每一个多边形的内角和都是 180的 倍数,都能被 180 整除,分析四个答案, 只有 630 不能被 180 整除,所以a+b不可能是 630 【例题【例题 2 2】(2020(2020菏泽菏泽) )如图,矩形ABCD中,AB5

4、,AD12,点P在对角线BD上,且BPBA,连接AP并 延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为 【答案】317 【解析】根据矩形的性质可得BD13,再根据BPBA可得DQDP8,所以得CQ3,在 RtBCQ中,根 据勾股定理即可得BQ的长 矩形ABCD中,AB5,AD12,BADBCD90, BD= 2+ 2=13, BPBA5, PDBDBP8, BABP, BAPBPADPQ, ABCD, BAPDQP, DPQDQP, DQDP8, CQDQCDDQAB853, 在 RtBCQ中,根据勾股定理,得 BQ= 2+ 2= 153 =317 【对点练习】【对点练习】(2019(20

5、19 内蒙古通辽内蒙古通辽) )如图,在矩形ABCD中,AD8,对角线AC与BD相交于点O,AEBD,垂 足为点E,且AE平分BAC,则AB的长为 【答案】 【解答】四边形ABCD是矩形 AOCOBODO, AE平分BAO BAEEAO,且AEAE,AEBAEO, ABEAOE(ASA) AOAB,且AOOB AOABBODO, BD2AB, AD 2+AB2BD2, 64+AB 24AB2, AB 【例题【例题 3 3】 (2020(2020聊城聊城) )如图, 在ABCD中,E为BC的中点, 连接AE并延长交DC的延长线于点F, 连接BF, AC,若ADAF,求证:四边形ABFC是矩形 【

6、答案】见解析。 【解析】 根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等, 利用AAS判定ABEFCE, 从而得到ABCF; 由已知可得四边形ABFC是平行四边形,BCAF,根据对角线相等的平行四边形是矩形,可得到四边形 ABFC是矩形 证明:四边形ABCD是平行四边形, ABCD,ABCD, BAECFE,ABEFCE, E为BC的中点, EBEC, ABEFCE(AAS), ABCF ABCF, 四边形ABFC是平行四边形, BCAF, 四边形ABFC是矩形 【对点练习】【对点练习】(2019(2019湖北省鄂州市湖北省鄂州市) )如图,矩形ABCD中,AB8,AD6,点O是对角线BD的中点,过

7、点O 的直线分别交AB、CD边于点E、F (1)求证:四边形DEBF是平行四边形; (2)当DEDF时,求EF的长 【答案】见解析。 【解析】根据矩形的性质得到ABCD,由平行线的性质得到DFOBEO,根据全等三角形的性质得到DF BE,于是得到四边形BEDF是平行四边形;推出四边形BEDF是菱形,得到DEBE,EFBD,OEOF,设 AEx,则DEBE8x根据勾股定理即可得到结论 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ABCD, DFOBEO, 又因为DOFBOE,ODOB, DOFBOE(ASA), DFBE, 又因为DFBE, 四边形BEDF是平行四边形; (2)解:DEDF,四边形BED

8、F是平行四边形 四边形BEDF是菱形, DEBE,EFBD,OEOF, 设AEx,则DEBE8x 在RtADE中,根据勾股定理,有AE 2+AD2DE2 x 2+62(8x)2, 解之得:x, DE8, 在RtABD中,根据勾股定理,有AB 2+AD2BD2 BD, OD BD5, 在RtDOE中,根据勾股定理,有DE 2 OD2OE2, OE, EF2OE 一、选择题一、选择题 1(2020(2020怀化怀化) )在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,若AOB的面积为 2,则矩形ABCD的面积为( ) A4 B6 C8 D10 【答案】C 【解析】根据矩形的性质得到OAOBOCOD,推出S

9、ADOSBCOSCDOSABO2,即可求出矩形ABCD的面 积 四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O, ACBD,且OAOBOCOD, SADOSBCOSCDOSABO2, 矩形ABCD的面积为 4SABO8, 2(2020(2020达州达州) )如图,BOD45,BODO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、BD交于点E, 连接OE交AD于点F下列 4 个判断:OE平分BOD;OFBD;DF= 2AF;若点G是线段OF的中 点,则AEG为等腰直角三角形正确判断的个数是( ) A4 B3 C2 D1 【答案】A 【解析】由矩形得EBEDEA,BAD为直角,再由等腰三角形的

10、三线合一性质可判断的正误;证明 AOFABD, 便可判断的正误; 连接BF, 由线段的垂直平分线得BFDF, 由前面的三角形全等得AFAB, 进而便可判断的正误;由直角三角形斜边上的中线定理得AGOG,进而求得AGE45,由矩形性质得 EDEA,进而得EAD22.5,再得EAG90,便可判断的正误 四边形ABCD是矩形, EBED, BODO, OE平分BOD, 故正确; 四边形ABCD是矩形, OADBAD90, ABD+ADB90, OBOD,BEDE, OEBD, BOE+OBE90, BOEBDA, BOD45,OAD90, ADO45, AOAD, AOFABD(ASA), OFBD

11、, 故正确; AOFABD, AFAB, 连接BF,如图 1, BF= 2, BEDE,OEBD, DFBF, DF= 2, 故正确; 根据题意作出图形,如图 2, G是OF的中点,OAF90, AGOG, AOGOAG, AOD45,OE平分AOD, AOGOAG22.5, FAG67.5,ADBAOF22.5, 四边形ABCD是矩形, EAED, EADEDA22.5, EAG90, AGEAOG+OAG45, AEG45, AEAG, AEG为等腰直角三角形, 故正确; 故选:A 3.(20193.(2019广东广州广东广州) )如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC

12、,AD于点E,F,若 BE3,AF5,则AC的长为( ) A4 B4 C10 D8 【答案】A 【解析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OAOC,AECE,证明AOFCOE得出AFCE5, 得出AECE5,BCBE+CE8,由勾股定理求出AB4,再由勾股定理求出AC即可 连接AE,如图: EF是AC的垂直平分线, OAOC,AECE, 四边形ABCD是矩形, B90,ADBC, OAFOCE, 在AOF和COE中, AOFCOE(ASA), AFCE5, AECE5,BCBE+CE3+58, AB4, AC4; 故选:A 4 4(2019(2019山东泰安山东泰安) )如图,矩形ABCD中

13、,AB4,AD2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点, 连接PB,则PB的最小值是( ) A2 B4 C D 【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当BPP1P2时,PB 取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2,故BP的最小值为BP1的长,由勾股定理求解 即可 如图: 当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1DP1, 当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2DP2, P1P2CE且P1P2CE 当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DPFP 由中位线定理可知:P1PCE且P1PCF 点P的运动轨迹是线段P1P

14、2, 当BPP1P2时,PB取得最小值 矩形ABCD中,AB4,AD2,E为AB的中点, CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形,CP12 ADECDECP1B45,DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90,即BP1P1P2, BP的最小值为BP1的长 在等腰直角BCP1中,CP1BC2 BP12 PB的最小值是 2 5.5.(2019(2019 湖北荆州湖北荆州) )如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在MON的边OM,ON上,若OAOC,要求只用 无刻度的直尺作MON的平分线 小明的作法如下: 连接AC,BD交于点E, 作射线OE, 则射线OE平分MON 有 以下几

15、条几何性质: 矩形的四个角都是直角, 矩形的对角线互相平分, 等腰三角形的 “三线合一” 小 明的作法依据是( ) A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】四边形ABCD为矩形, AECE, 而OAOC, OE为AOC的平分线 二、填空题二、填空题 6(2020(2020绍兴绍兴) )将两条邻边长分别为2,1 的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪 出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 (填序号) 2, 1, 2 1, 3 2 , 3 【答案】 【解析】首先作出图形,再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解 如图所示: 则其中一个等腰三角形

16、的腰长可以是2,1,2 1, 3 2 ,不可以是3 7(2020(2020泸州泸州) )如图,在矩形ABCD中,E,F分别为边AB,AD的中点,BF与EC、ED分别交于点M,N已 知AB4,BC6,则MN的长为 【解析】4 3 【分析】延长CE、DA交于Q,延长BF和CD,交于W,根据勾股定理求出BF,根据矩形的性质求出AD,根 据全等三角形的性质得出AQBC,ABCW,根据相似三角形的判定得出QMFCMB,BNEWND,根 据相似三角形的性质得出比例式,求出BN和BM的长,即可得出答案 【解析】延长CE、DA交于Q,如图 1, 四边形ABCD是矩形,BC6, BAD90,ADBC6,ADBC

17、, F为AD中点, AFDF3, 在 RtBAF中,由勾股定理得:BF= 2+ 2= 42+ 32=5, ADBC, QECB, E为AB的中点,AB4, AEBE2, 在QAE和CBE中 = = = QAECBE(AAS), AQBC6, 即QF6+39, ADBC, QMFCMB, = = 9 6, BF5, BM2,FM3, 延长BF和CD,交于W,如图 2, 同理ABDM4,CW8,BFFM5, ABCD, BNEWND, = , 5+5 = 2 4, 解得:BN= 10 3 , MNBNBM= 10 3 2= 4 3 8(2020(2020黔东南州黔东南州) )如图,矩形ABCD中,

18、AB2,BC= 2,E为CD的中点,连接AE、BD交于点P,过点P 作PQBC于点Q,则PQ 【解析】4 3 【分析】根据矩形的性质得到ABCD,ABCD,ADBC,BAD90,根据线段中点的定义得到DE= 1 2CD= 1 2AB,根据相似三角形的性质即可得到结论 【解析】四边形ABCD是矩形, ABCD,ABCD,ADBC,BAD90, E为CD的中点, DE= 1 2CD= 1 2AB, ABPEDP, = , 2 1 = , = 2 3, PQBC, PQCD, BPQDBC, = = 2 3, CD2, PQ= 4 3 9.9.(2019(2019湖南娄底湖南娄底) )如图,要使平行

19、四边形 ABCD 是矩形,则应添加的条件是 (添加一个条 件即可) 【答案】ABC=90或 AC=BD 【解析】根据矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形; 故添加条件:ABC=90或 AC=BD 故答案为:ABC=90或 AC=BD 10.(201910.(2019 黑龙江省龙东地区黑龙江省龙东地区) )如图,矩形ABCD中,AB4,BC6,点P是矩形ABCD内一动点,且SPAB 1 2 SPCD,则PCPD的最小值是_ 【答案】4 5. 【解析】结合已知条件,根据SPAB 1 2 SPCD可判断出点 P 在平行于 AB,与 AB 的距离为 2、与 C

20、D 的距离为 4 的直线上,再根据“将军饮马问题”的解法解之即可. 过点 P 作直线 lAB, 作点 D 关于直线 l 的对称点 D1, 连接 CD1, 矩形ABCD中,AB4,BC6, CD=4,DD1=8, 在 RtCDD1中,由勾股定理得 CD1=4 5,PCPD的最小值是4 5. 11.(201911.(2019 贵州省安顺市贵州省安顺市) ) 如图,在 RtABC中,BAC90,AB3,AC4,点D为斜边BC上的一个动 点,过D分别作DMAB于点M,作DNAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为 . D A BC P B D M N C A 【答案】 5 12 【解析】连接AD,即

21、可证明四边形AMDN是矩形;由矩形AMDN得出MNAD,再由三角形的面积关系求出AD 的最小值,即可得出结果 连接AD,如图所示: DMAB,DNAC,AMDAND90, 又BAC90,四边形AMDN是矩形;MNAD, BAC90,AB3,AC4,BC5, 当ADBC时,AD最短, 此时ABC的面积 2 1 BCAD 2 1 ABAC, AD的最小值 12 5 AB AC BC , 线段MN的最小值为 5 12 。 12.(201912.(2019湖北省咸宁市湖北省咸宁市) )如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB4,BC8,点M,N分别在矩形的边AD,BC 上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C

22、落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于 点Q,连接CM下列结论: CQCD; 四边形CMPN是菱形; B D M N C A P,A重合时,MN2; PQM的面积S的取值范围是 3S5 其中正确的是 (把正确结论的序号都填上) 【答案】 【解析】先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CNNP,然后根据邻边相等的平行四 边形是菱形证明,判断出正确;假设CQCD,得RtCMQCMD,进而得DCMQCMBCP30, 这个不一定成立,判断错误;点P与点A重合时,设BNx,表示出ANNC8x,利用勾股定理列出 方程求解得x的值,进而用勾股定理求得MN,判断出正确

23、;当MN过D点时,求得四边形CMPN的最小面 积,进而得S的最小值,当P与A重合时,S的值最大,求得最大值便可 如图 1, PMCN, PMNMNC, MNCPNM,PMNPNM,PMPN, NCNP,PMCN, MPCN, 四边形CNPM是平行四边形, CNNP,四边形CNPM是菱形,故正确; CPMN,BCPMCP, MQCD90, CPCP, 若CQCD,则RtCMQCMD, DCMQCMBCP30,这个不一定成立, 故错误; 点P与点A重合时,如图 2, 设BNx,则ANNC8x, 在RtABN中,AB 2+BN2AN2, 即 4 2+x2(8x)2, 解得x3, CN835,AC,

24、, , MN2QN2 故正确; 当MN过点D时,如图 3, 此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为S, 当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S, 4S5,故错误故答案为: 13.(201913.(2019贵州贵阳贵州贵阳) )如图,在矩形ABCD中,AB4,DCA30,点F是对角线AC上的一个动点,连接 DF,以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动 过程中,点E的运动路径长是 【答案】 【解析】E的运动路径是EE的长; AB4,DCA30, BC, 当F与A点重合时, 在RtADE中,AD,DAE

25、30,ADE60, DE,CDE30, 当F与C重合时,EDC60, EDE90,DEE30, 在RtDEE中,EE . 1414(2019(2019山东潍坊山东潍坊) )如图,在矩形ABCD中,AD2将A向内翻折,点A落在BC上,记为A,折痕为 DE若将B沿EA向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B,则AB 【答案】 【解析】利用矩形的性质,证明ADEADEADC30,CABD90,推出DBA DCA,CDBD,设ABDCx,在RtADE中,通过勾股定理可求出AB的长度 四边形ABCD为矩形, ADCCB90,ABDC, 由翻折知,AEDAED,ABEABE,ABEBABD90, AEDAED

26、,AEBAEB,BEBE, AEDAEDAEB18060, ADE90AED30,ADE90AEB30, ADEADEADC30, 又CABD90,DADA, DBADCA(AAS), DCDB, 在RtAED中, ADE30,AD2, AE, 设ABDCx,则BEBEx AE 2+AD2DE2, () 2+22(x+x ) 2, 解得,x1(负值舍去),x2 15.(201915.(2019 北京市北京市) )在矩形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与端点重合)对于任 意矩形 ABCD,下面四个结论中, 存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形; 存

27、在无数个四边形 MNPQ 是矩形; 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形; 至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】如图,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, 图中任过点 O 的两条线段 PM,QN,则四边形 MNPQ 是平行四边形;显然有无数个.本结论正确. 图中任过点 O 的两条相等的线段 PM,QN,则四边形 MNPQ 是矩形;显然有无数个.本结论正确. 图中任过点 O 的两条垂直的线段 PM,QN,则四边形 MNPQ 是菱形;显然有无数个.本结论正确. 图中过点 O 的两条相等且垂直的线段 PM,QN,则四边形 MNPQ 是正方形;显然有一个.本

28、结论错误. 故填: . 三、解答题三、解答题 16(2020(2020苏州苏州) )如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DFAE,垂足为F (1)求证:ABEDFA; (2)若AB6,BC4,求DF的长 【解析】见解析。 【分析】(1)由矩形性质得ADBC,进而由平行线的性质得AEBDAF,再根据两角对应相等的两个三角 形相似; (2)由E是BC的中点,求得BE,再由勾股定理求得AE,再由相似三角形的比例线段求得DF 【解析】(1)四边形ABCD是矩形, ADBC,B90, DAFAEB, DFAE, AFDB90, ADFEAB, ABEDFA; (2)E是BC的中点,BC4, BE2,

29、 AB6, AE= 2+ 2= 62+ 22= 210, 四边形ABCD是矩形, ADBC4, ABEDFA, = , = = 64 210 = 6 510 17(2020(2020贵阳贵阳) )如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CFBE (1)求证:四边形AEFD是平行四边形; (2)连接ED,若AED90,AB4,BE2,求四边形AEFD的面积 【解析】见解析。 【分析】(1)先根据矩形的性质得到ADBC,ADBC,然后证明ADEF可判断四边形AEFD是平行四边形; (2)连接DE,如图,先利用勾股定理计算出AE25,再证明ABEDEA,利用相似比求出A

30、D,然后根 据平行四边形的面积公式计算 【解答】(1)证明:四边形ABCD是矩形, ADBC,ADBC, BECF, BE+ECEC+EF,即BCEF, ADEF, 四边形AEFD是平行四边形; (2)解:连接DE,如图, 四边形ABCD是矩形, B90, 在 RtABE中,AE= 42+ 22=25, ADBC, AEBEAD, BAED90, ABEDEA, AE:ADBE:AE, AD= 2525 2 =10, 四边形AEFD的面积ABAD21020 18(2020(2020遂宁遂宁) )如图,在ABC中,ABAC,点D、E分别是线段BC、AD的中点,过点A作BC的平行线交 BE的延长线

31、于点F,连接CF (1)求证:BDEFAE; (2)求证:四边形ADCF为矩形 【答案】见解析。 【解析】(1)根据平行线的性质得到AFEDBE,根据线段中点的定义得到AEDE,根据全等三角形 的判定定理即可得到结论; (2)根据全等三角形的性质得到AFBD,推出四边形ADCF是平行四边形,根据等腰三角形的性质得到 ADC90,于是得到结论 证明:(1)AFBC, AFEDBE, E是线段AD的中点, AEDE, AEFDEB, BDEFAE(AAS); (2)BDEFAE, AFBD, D是线段BC的中点,BDCD,AFCD, AFCD, 四边形ADCF是平行四边形, ABAC, ADBC,ADC90, 四边形ADCF为矩形 1919(2019(2019 湖南怀化湖南怀化) )已知:如图,在ABCD中,AEBC,CFAD,E,F分别为垂足 (1)求证:ABECDF; (2)求证:四边形AECF是矩形 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, BD,ABCD,ADBC, AEBC,CFAD, AEBAECCFDAFC90, 在ABE和CDF中, ABECDF(AAS); (2)证明:ADBC, EAFAEB90, EAFAECAFC90, 四边形AECF是矩形