1、 专题专题 23 平行四边形问题平行四边形问题 1.1.平行四边形定义平行四边形定义 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形用符号 “ABCD” 表示， 读作 “平行四边形 ABCD” 。 2.2.平行四边形的性质平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边平行且相等； (2)平行四边形的对角相等； (3)平行四边形的对角线互相平分。 3.3.平行四边形的判定平行四边形的判定 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (5)两组对角分别相等的
2、四边形是平行四边形。 4.4.平行四边形的面积：平行四边形的面积：S平行四边形=底边长高=ah 【例题【例题 1 1】(2020(2020温州温州) )如图，在ABC中，A40，ABAC，点D在AC边上，以CB，CD为边作BCDE， 则E的度数为( ) A40 B50 C60 D70 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质可求C，再根据平行四边形的性质可求E 【解析】在ABC中，A40，ABAC， C(18040)270， 四边形BCDE是平行四边形， E70 【对点练习】【对点练习】(2019(2019山东临沂山东临沂) )如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BMDN，连接A
3、M、MC、 CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( ) AOMAC BMBMO CBDAC DAMBCND 【答案】A 【解析】由平行四边形的性质可知：OAOC，OBOD，再证明OMON即可证明四边形AMCN是平行四边形 证明：四边形ABCD是平行四边形， OAOC，OBOD 对角线BD上的两点M、N满足BMDN， OBBMODDN，即OMON， 四边形AMCN是平行四边形， OMAC， MNAC， 四边形AMCN是矩形 【例题【例题 2 2】(2020(2020凉山州凉山州) )如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OEAB交AD于点E，若OA1，AOE 的周长
4、等于 5，则ABCD的周长等于 16 【答案】16 【解析】由平行四边形的性质得ABCD，ADBC，OBOD，证OE是ABD的中位线，则AB2OE，AD 2AE，求出AE+OE4，则AB+AD2AE+2OE8，即可得出答案 四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ADBC，OBOD， OEAB， OE是ABD的中位线， AB2OE，AD2AE， AOE的周长等于 5， OA+AE+OE5， AE+OE5OA514， AB+AD2AE+2OE8， ABCD的周长2(AB+AD)2816； 【对点练习】【对点练习】 (2019(2019湖北武汉湖北武汉) )如图所示， 在ABCD中，E.F是对角线
5、AC上两点，AEEFCD， ADF90， BCD63，则ADE的大小为 【答案】21 【解析】设ADEx， AEEF，ADF90， DAEADEx，DEAFAEEF， AEEFCD， DECD， DCEDEC2x， 四边形ABCD是平行四边形， ADBC， DAEBCAx， DCEBCDBCA63x， 2x63x， 解得：x21， 即ADE21。 【例题【例题 3 3】(2020(2020扬州扬州) )如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EFAC，分别交AB、DC于点 E、F，连接AF、CE (1)若OE= 3 2，求 EF的长； (2)判断四边形AECF的形状，并说明理由 【
6、答案】见解析。 【分析】(1)判定AOECOF(ASA)，即可得OEOF= 3 2，进而得出 EF的长； (2)先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EFAC，即可得到四边形AECF是菱形 【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形， ABCD，AOCO， FCOEAO， 又AOECOF， AOECOF(ASA)， OEOF= 3 2， EF2OE3； (2)四边形AECF是菱形， 理由：AOECOF， AECF， 又AECF， 四边形AECF是平行四边形， 又EFAC， 四边形AECF是菱形 【对点练习】【对点练习】( (湖南省永州市湖南省永州市) )如图，四边形ABCD为平行四边形，BAD
7、的角平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E (1)求证：BE=CD (2)连接BF，若BFAE，BEA=60，AB=4，求平行四边形ABCD的面积 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，AB=CD，ADBE，DAE=AEB又AE平分BAD， DAE=BAE BAE=AEB BE=AB又AB=CD，BE=CD (2)BE=AB，BFAE，AF=EF，ADBE，D=DCE，DAF=FEC， ADFECF(AAS)S平行四边形ABCD=SABEBE=AB，BEA=60， ABE为等边三角形 SABE= 2 1 AEBF= 2 1 44sin60= 2 1 44 2
8、 3 =34 S平行四边形ABCD=34 一、选择题一、选择题 1(2020(2020衡阳衡阳) )如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平 行四边形的是( ) AABDC，ADBC BABDC，ADBC CABDC，ADBC DOAOC，OBOD 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组 对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据 对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；
9、选 项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形 【解析】ABDC，ADBC， 四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形； ABDC，ADBC， 四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形； ABDC，ADBC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是 平行四边形； OAOC，OBOD， 四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形. 2 (2020(2020临沂临沂) )如图所示，P是面积为S的ABCD内任意一点， PAD的面积为S1， PBC的面
10、积为S2， 则( ) AS1+S2 2 BS1+S2 2 CS1+S2= 2 DS1+S2的大小与 P点位置有关 【答案】C 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S 和S1、S2之间的关系，本题得以解决 【解析】过点P作EFAD交AD于点E，交BC于点F， 四边形ABCD是平行四边形， ADBC， SBCEF，1= 2 ，2= 2 ， EFPE+PF，ADBC， S1+S2= 2 3 (2020(2020陕西陕西) )如图， 在ABCD中，AB5，BC8E是边BC的中点，F是ABCD内一点， 且BFC90 连 接AF并延长，交CD于点G若E
11、FAB，则DG的长为( ) A5 2 B3 2 C3 D2 【答案】D 【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的 长，进而得出DG的长 【解析】E是边BC的中点，且BFC90， RtBCF中，EF= 1 2BC4， EFAB，ABCG，E是边BC的中点， F是AG的中点， EF是梯形ABCG的中位线， CG2EFAB3， 又CDAB5， DG532 4.(20194.(2019 广西池河广西池河) )如图，在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使 四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( ) ABF B
12、BBCF CACCF DADCF 【答案】B 【解析】利用三角形中位线定理得到DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择 在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点， DE是ABC的中位线， DEAC A.根据BF不能判定ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误 B.根据BBCF可以判定CFAB，即CFAD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到 四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确 C.根据ACCF不能判定ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误 D.根据ADCF，FDAC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误 二、填空题二、填空题
13、 5(2020(2020武汉武汉) )在探索数学名题 “尺规三等分角” 的过程中，有下面的问题：如图，AC是ABCD的对角线， 点E在AC上，ADAEBE，D102，则BAC的大小是 【答案】26 【解析】根据平行四边形的性质得到ABCD102，ADBC，根据等腰三角形的性质得到EAB EBA，BECECB，根据三角形外角的性质得到ACB2CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论 四边形ABCD是平行四边形， ABCD102，ADBC， ADAEBE， BCAEBE， EABEBA，BECECB， BECEAB+EBA2EAB， ACB2CAB， CAB+ACB3CAB180ABC180102
14、， BAC26 6(2020(2020天津天津) )如图，ABCD的顶点C在等边BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点， 连接CG若AD3，ABCF2，则CG的长为 【答案】3 2 【解析】 根据平行四边形的性质和等边三角形的性质， 可以得到BF和BE的长， 然后可以证明DCG和EHG 全等，然后即可得到CG的长 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，CDAB，DCAB， AD3，ABCF2， CD2，BC3， BFBC+CF5， BEF是等边三角形，G为DE的中点， BFBE5，DGEG， 延长CG交BE于点H， DCAB， CDGHEG， 在DCG和EHG中， = = =
15、 ， DCGEHG(ASA)， DCEH，CGHG， CD2，BE5， HE2，BH3， CBH60，BCBH3， CBH是等边三角形， CHBC3， CG= 1 2CH= 3 2 7 7(2019(2019湖南娄底湖南娄底) )如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，BCD 的周 长为 18，则DEO 的周长是 【答案】9 E O B A C D 【解析】E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形， DE= 1 2 AD= 1 2 BC，DO= 1 2 BD，AO=CO， OE= 1 2 CD， BCD 的周长为 18， BD+DC+B=
16、18， DEO 的周长是 DE+OE+DO= 1 2 (BC+DC+BD)= 1 2 18=9 8 8.( .( 20192019河南省河南省) )如图，在ABCD中，BEAB交对角线AC于点E，若1=20，则2的度数是_. 【答案】110 【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四 边形性质或三角形外角的有关知识思路：首先利用平行四边形的性质求出BAE 的度数，再由2 是ABE 的外角求出2 的大小. 四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD， BAE=1=20 BEAB ABE=90 2 是ABE 的外角 2=ABE+BAE=90+20=1
17、10 ，故答案为 110. 9.9.(2019(2019 浙江金华浙江金华) )如图,已知ABCD，BCDE.若A20，C120，则AED的度数是 . 【答案】80 【解析】延长 DE 交 AB 于 F，根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定AED的度数 延长 DE 交 AB 于 F，因为ABCD，BCDE，所以四边形 BCDF 为平行四边形，因为C120，所以BFD 120，所以AFD60，又A20，所以AED60+2080，故答案为 80 . 三、解答题三、解答题 10(2020(2020广元广元) )已知ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F
18、(1)求证：AOECOF； (2)若AE：AD1：2，AOE的面积为 2，求ABCD的面积 【答案】见解析。 【分析】(1)由平行四边形的性质得出ADBC，得出EAOFCO，由ASA即可得出结论； (2)由于AE：AD1：2，O为对角线AC的中点，得出AEOADC，根据AOE的面积为 2，可得ADC的 面积，进而得到平行四边形ABCD的面积 【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形， ADBC， EAOFCO， O是AC的中点， OAOC， 在AOE和COF中， = = = ， AOECOF(ASA)； (2)AE：AD1：2，O为对角线AC的中点， AO：AC1：2， EAODAC， AEO
19、ADC， AOE的面积为 2， ADC的面积为 8， 平行四边形ABCD的面积为 16 11(2020(2020青岛青岛) )如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且 DEBF，连接AE，CF (1)求证：ADECBF； (2)连接AF，CE当BD平分ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由 【答案】见解析。 【分析】 (1)根据四边形ABCD是平行四边形， 可以得到ADCB， ADCCBA， 从而可以得到ADECBF， 然后根据SAS即可证明结论成立； (2)根据BD平分ABC和平行四边形的性质，可以证明ABCD是菱形，从而可以得到A
20、CBD，然后即可得 到ACEF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据ACEF，即可得到四边 形AFCE是菱形 【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ADCB，ADCCBA， ADECBF， 在ADE和CBF中， = = = ， ADECBF(SAS)； (2)当BD平分ABC时，四边形AFCE是菱形， 理由：BD平分ABC， ABDCBD， 四边形ABCD是平行四边形， OAOC，OBOD，ADBC， ADBCBD， ABDADB， ABAD， 平行四边形ABCD是菱形， ACBD， ACEF， DEBF， OEOF， 又OAOC， 四边形AFCE是平行
21、四边形， ACEF， 四边形AFCE是菱形 12(2020(2020重庆重庆) )如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AEBD，CF BD，垂足分别为E，FAC平分DAE (1)若AOE50，求ACB的度数； (2)求证：AECF 【答案】见解析。 【分析】(1)利用三角形内角和定理求出EAO，利用角平分线的定义求出DAC，再利用平行线的性质解决 问题即可 (2)证明AEOCFO(AAS)可得结论 【解答】(1)解：AEBD， AEO90， AOE50， EAO40， CA平分DAE， DACEAO40， 四边形ABCD是平行四边形， ADBC， ACBD
22、AC40， (2)证明：四边形ABCD是平行四边形， OAOC， AEBD，CFBD， AEOCFO90， AOECOF， AEOCFO(AAS)， AECF 13(2020(2020岳阳岳阳) )如图，点E，F在ABCD的边BC，AD上，BE= 1 3BC，FD= 1 3AD，连接 BF，DE 求证：四边形BEDF是平行四边形 【答案】见解析。 【分析】 根据平行四边形的性质得出ADBC，ADBC， 进而得出DFBE， 利用平行四边形的判定解答即可 【解析】四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ADBC， BE= 1 3BC，FD= 1 3AD， BEDF， DFBE， 四边形BEDF是平
23、行四边形 14(2020(2020淮安淮安) )如图，在ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AOCO (1)求证：AOFCOE； (2)连接AE、CF，则四边形AECF (填“是”或“不是”)平行四边形 【答案】见解析。 【分析】(1)由ASA证明AOFCOE即可； (2)由全等三角形的性质得出FOEO，再由AOCO，即可得出结论 【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC， OAFOCE， 在AOF和COE中， = = = ， AOFCOE(ASA) (2)解：四边形AECF是平行四边形，理由如下： 由(1)得：AOFCOE， FOEO， 又AOCO， 四边形AECF是平行四边形； 故答案为：是 15.(202015.(2020陕西陕西) )如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCE是边BC上一点，且DEDC 求证：ADBE 【答案】见解析。 【分析】根据等边对等角的性质求出DECC，在由BC得DECB，所以ABDE，得出四边形 ABCD是平行四边形，进而得出结论 【解答】证明：DEDC， DECC BC， BDEC， ABDE， ADBC， 四边形ABED是平行四边形 ADBE