1、 专题专题 26 菱形问题菱形问题 1.1.菱形的定义菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.2.菱形的性质菱形的性质 （1）菱形的四条边都相等； (2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3.3.菱形的判定定理菱形的判定定理 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)四条边相等的四边形是菱形。 4 4菱形的面积：菱形的面积：S=ah=mn/2(菱形底边长为 a，高为 h，两条对角线长分别为 m 和 n) 【例题【例题 1 1】 (2020(2020牡丹江牡丹江) )如图， 在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD
2、对角线BD的中点，ADx轴且AD4， A60，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是( ) A(0，23) B(2，4) C(23，0) D(0，23)或(0，23) 【答案】D 【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解 根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时， A、B、C均在坐标轴上，如图， BAD60，AD4， OAD30， OD2， AO= 42 22= 23 =OC， 点C的坐标为(0，23)， 同理：当点C旋转到y轴正半轴时， 点C的坐标为(0，23)， 点C的坐标为(0，23)或(0，23). 【对点练习】【对
3、点练习】(2019(2019 泸州泸州) )一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A8 B12 C16 D32 【答案】C 【解析】如图所示： 四边形ABCD是菱形， AOCO= 1 2AC，DOBO= 1 2BD，ACBD， 面积为 28， 1 2ACBD2ODAO28 菱形的边长为 6， OD 2+OA236 ， 由两式可得：(OD+AO) 2OD2+OA2+2ODAO36+2864 OD+AO8， 2(OD+AO)16，即该菱形的两条对角线的长度之和为 16 【例题【例题 2 2】(2020(2020营口营口) )如图，在菱形ABCD中，对角线AC，
4、BD交于点O，其中OA1，OB2，则菱形ABCD 的面积为 【答案】4 【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案 OA1，OB2， AC2，BD4， 菱形ABCD的面积为1 2 244 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 湖北十堰湖北十堰) )如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE3， 则菱形的周长为 【答案】24 【解析】四边形ABCD是菱形， ABBCCDAD，BODO， 点E是BC的中点， OE是BCD的中位线， CD2OE236， 菱形ABCD的周长4624 【例题【例题 3 3】(2020(2020福建福建) )如图，点E，F分别
5、在菱形ABCD的边BC，CD上，且BEDF求证：BAEDAF 【答案】见解析。 【解析】根据菱形的性质可得BD，ABAD，再证明ABEADF，即可得BAEDAF 证明：四边形ABCD是菱形， BD，ABAD， 在ABE和ADF中， = = = ， ABEADF(SAS)， BAEDAF 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 湖南岳阳湖南岳阳) )如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DEDF， 求证：12 【答案】见解析 【解析】证明：四边形ABCD是菱形， ADCD， 在ADF和CDE中， ADFCDE(SAS)， 12 一、选择题一、选择题 1(2020(202
6、0黄冈黄冈) )若菱形的周长为 16，高为 2，则菱形两邻角的度数之比为( ) A4：1 B5：1 C6：1 D7：1 【答案】B 【解析】 如图，AH为菱形ABCD的高，AH2， 利用菱形的性质得到AB4， 利用正弦的定义得到B30， 则C150，从而得到C：B的比值 如图，AH为菱形ABCD的高，AH2， 菱形的周长为 16， AB4， 在 RtABH中，sinB= = 2 4 = 1 2， B30， ABCD， C150， C：B5：1 2(2020(2020盐城盐城) )如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC6，BD8则线段 OH的长为( ) A12 5
7、 B5 2 C3 D5 【答案】B 【解析】先根据菱形的性质得到ACBD，OBOD= 1 2BD4，OCOA= 1 2AC3，再利用勾股定理计算出 BC， 然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长 四边形ABCD为菱形， ACBD，OBOD= 1 2BD4，OCOA= 1 2AC3， 在 RtBOC中，BC= 32+ 42=5， H为BC中点， OH= 1 2BC= 5 2 3(2020(2020乐山乐山) )如图，在菱形ABCD中，AB4，BAD120，O是对角线BD的中点，过点O作OECD于 点E，连结OA则四边形AOED的周长为( ) A9+23 B9+3 C7+23 D8 【答案
8、】B 【解析】先利用菱形的性质得ADAB4，ABCD，ADBCDB30，AOBD，利用含 30 度的直角三 角形三边的关系得到AO2，OD23，然后计算出OE、DE的长，最后计算四边形AOED的周长 四边形ABCD为菱形， ADAB4，ABCD， BAD120，ADBCDB30， O是对角线BD的中点，AOBD， 在 RtAOD中，AO= 1 2AD2， OD= 3OA23， OECD，DEO90， 在 RtDOE中，OE= 1 2OD= 3， DE= 3OE3， 四边形AOED的周长4+2+3 +39+3 4(2020(2020甘孜州甘孜州) )如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
9、O，E为AB的中点若菱形ABCD的周长为 32，则OE的长为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】由菱形的性质得出ABBCCDAD8，ACBD，则AOB90，由直角三角形斜边上的中线性 质即可得出答案 四边形ABCD是菱形， ABBCCDAD，ACBD， AOB90， 菱形ABCD的周长为 32， AB8， E为AB边中点， OE= 1 2AB4 5(2020(2020遵义遵义) )如图，在菱形ABCD中，AB5，AC6，过点D作DEBA，交BA的延长线于点E，则线段 DE的长为( ) A12 5 B18 5 C4 D24 5 【答案】D 【解析】由在菱形ABCD中，AB5，AC
10、6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD 的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长如图 四边形ABCD是菱形，AC6， ACBD，OA= 1 2AC3，BD2OB， AB5， OB= 2 2=4， BD2OB8， S菱形ABCDABDE= 1 2ACBD， DE= 1 2 = 1 268 5 = 24 5 6.(20196.(2019 内蒙古赤峰内蒙古赤峰) )如图，菱形ABCD周长为 20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长 是( ) A2.5 B3 C4 D5 【答案】A 【解析】四边形ABCD为菱形， CDBC= 20 4 =5，且O为BD的中
11、点， E为CD的中点， OE为BCD的中位线， OE= 1 2CB2.5 7.7.(2019(2019四川省绵阳市四川省绵阳市) )如图， 在平面直角坐标系中， 四边形OABC为菱形，O(0， 0)，A(4， 0)， AOC=60， 则对角线交点E的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】过点E作EFx轴于点F， 四边形OABC为菱形，AOC=60， =30，FAE=60， A(4，0)， OA=4， =2， ，EF=， OF=AO-AF=4-1=3， 8.8.( (20192019四川省广安市四川省广安市) )如图，在边长为 3 的菱形ABCD中， 30B ，过点A作 BC
12、AE 于点E， 现将ABE 沿直线 AE 翻折至AFE的位置，AF与CD交于点 G 则CG等于( ) A. 13 B.1 C. 2 1 D. . 2 3 【答案】A 【解析】因为B=30，AB=3，AEBC， G FE D A BC 所以BE= 2 3 ，所以EC=3- 2 3 ， 则CF=3-3， 又因为CGAB， 所以 CGCF ABBF , 所以CG=13 . 9.(20199.(2019 四川省雅安市四川省雅安市) )如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，AC、BD 是对角线 ，E、F、G、H 分别是 AD、BD、 BC、AC 的中点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFG
13、H 的形状是( ) A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 【答案】C 【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得 EFGHAB，EHFGCD，又由 AB=CD，得EFFGGHEH时，四边形EFGH是菱形 点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，EFGHAB，EHFGCD， AB=CD，EFFGGHEH时，四边形EFGH是菱形，故选 C 10. (201910. (2019贵州安顺贵州安顺) )如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图： 分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N
14、两点； 作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE 则下列说法错误的是( ) F G E H A B C D AABC60 BSABE2SADE C若AB4，则BE4 DsinCBE 【答案】C 【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CEDE，AECD， 四边形ABCD为菱形， ADCD2DE，ABDE， 在RtADE中，cosD， D60， ABC60，所以A选项的结论正确； SABEABAE，SADEDEAE， 而AB2DE， SABE2SADE，所以B选项的结论正确； 若AB4，则DE2， AE2， 在RtABE中，BE2，所以C选项的结论错误； 作EHBC交BC的延长线于H
15、，如图， 设AB4a，则CE2a，BC4a，BE2a， 在CHE中，ECHD60， CHa，EHa， sinCBE，所以D选项的结论正确 故选：C 二、填空题二、填空题 11(2020(2020陕西陕西) )如图，在菱形ABCD中，AB6，B60，点E在边AD上，且AE2若直线l经过点 E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 【答案】27 【解析】过点A和点E作AGBC，EHBC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB6，B 60， 可得BG3，AG33 =EH， 由题意可得，FHFCHC211， 进而根据勾股定理可得EF的长 如图，过点A和点E作A
16、GBC，EHBC于点G和H， 得矩形AGHE， GHAE2， 在菱形ABCD中，AB6，B60， BG3，AG33 =EH， HCBCBGGH6321， EF平分菱形面积， FCAE2， FHFCHC211， 在 RtEFH中，根据勾股定理，得 EF= 2+ 2= 27 + 1 =27 12(2020(2020哈尔滨哈尔滨) )如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD 2BE，DAEDEA，EO1，则线段AE的长为 【答案】22 【解析】设BEx，则CD2x，根据菱形的性质得ABADCD2x，OBOD，ACBD，再证明DEDA2x， 所以 1+x=
17、 3 2x，解得 x2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长 设BEx，则CD2x， 四边形ABCD为菱形， ABADCD2x，OBOD，ACBD， DAEDEA， DEDA2x， BD3x， OBOD= 3 2x， OE+BEBO， 1+x= 3 2x，解得 x2， 即AB4，OB3， 在 RtAOB中，OA= 42 32= 7， 在 RtAOE中，AE=12+ (7)2=22 13(2020(2020嘉兴嘉兴) )如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： ，使ABCD是菱 形 【答案】ADDC(答案不唯一) 【解析】根据菱形的定义得出答案即可 邻边相等的平行四边形是
18、菱形， 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：ADDC. 14.(201914.(2019 广西北部湾广西北部湾) )如图， 在菱形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 交与点 O， 过点 A 作 AHBC 于点 H， 已知 BO=4， S菱形 ABCD=24，则 AH= . 【答案】 24 5 . . 【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求 AC，再 根据勾股定理求出 BC，然后由菱形的面积即可得出结果 四边形 ABCD 是菱形， BO=DO=4，AO=CO，ACBD， BD=8. S菱形 ABCD= 1
19、2 ACBD=24，AC=6，OC= 1 2 AC=3， BC= 22 OBOC=5， S菱形 ABCD=BCAH=24，AH= 24 5 . 1515(2019(2019 内蒙古通辽内蒙古通辽) )如图，在边长为 3 的菱形ABCD中，A60，M是AD边上的一点，且AMAD， N是AB边上的一动点， 将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN， 连接AC 则AC长度的最小值是 【答案】1 【解析】过点M作MHCD交CD延长线于点H，连接CM， AMAD，ADCD3 AM1，MD2 CDAB， HDMA60 HDMD1，HMHD CH4 MC 将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN， AMAM1， 点
20、A在以M为圆心，AM为半径的圆上， 当点A在线段MC上时，AC长度有最小值 AC长度的最小值MCMA1 1616(2019(2019 湖南常德湖南常德) )规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四 边形为广义菱形根据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边 形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若M、N 的坐标分别为(0，1)，(0，1)，P是二次函数yx 2的图象上在第一象限内的任意一 点，PQ垂直直线y1 于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形其中正确的是 (填 序号) 【答案】 【解析】根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组
21、对边平行，一组邻边相等，正确； 平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，错误； 由给出条件无法得到一组对边平行，错误； 设点P(m，m 2)，则 Q(m，1)， MP，PQ+1， 点P在第一象限， m0， MP+1， MPPQ， 又MNPQ， 四边形PMNQ是广义菱形 正确； 故答案为 17.(201917.(2019 广西梧州广西梧州) )如图， 在菱形ABCD中，2AB ，60BAD， 将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转， 对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是 【答案】31 【解析】连接BD交AC于O，如图所示： 四边形ABCD是菱形， 2CDAB，60
22、BCDBAD ， 1 30 2 ACDBACBAD ，OAOC，ACBD， 1 1 2 OBAB， 33OAOB， 2 3AC， 由旋转的性质得：2AEAB，60EAGBAD ， 2 32CEACAE， 四边形AEFG是菱形，/ /EFAG， 60CEPEAG ， 90CEPACD，90CPE， 1 31 2 PECE，333PCPE， 2(33)31DPCDPC 。 三、解答题三、解答题 18(2020(2020滨州滨州) )如图，过ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、 DA于点P、M、Q、N (1)求证：PBEQDE； (2)顺次连接点P、M、Q
23、、N，求证：四边形PMQN是菱形 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， EBED，ABCD， EBPEDQ， 在PBE和QDE中， = = = ， PBEQDE(ASA)； (2)证明：如图所示： PBEQDE， EPEQ， 同理：BMEDNE(ASA)， EMEN， 四边形PMQN是平行四边形， PQMN， 四边形PMQN是菱形 19(2020(2020郴州郴州) )如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AECF连接DE， DF，BE，BF求证：四边形BEDF是菱形 【答案】见解析。 【解析】四边形ABCD是菱形，可得ABBCCDDA
24、，DCABCA，DACBAC，可以证明CDF CBF，DAEBFC，DCFBEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形 证明：四边形ABCD是菱形， BCCD，DCABCA， DCFBCF， CFCF， CDFCBF(SAS)， DFBF， ADBC， DAEBCF， AECF，DAAB， DAEBFC(SAS)， DEBF， 同理可证：DCFBEA(SAS)， DFBE， 四边形BEDF是平行四边形， DFBF， 平行四边形BEDF是菱形 20. (201920. (2019海南省海南省) )如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D 不重合)，射线PE
25、与BC的延长线交于点Q (1)求证：PDEQCE； (2)过点E作EFBC交PB于点F，连结AF，当PBPQ时， 求证：四边形AFEP是平行四边形； 请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由 【解析】(1)由四边形ABCD是正方形知DECQ90，由E是CD的中点知DECE，结合DEP CEQ即可得证； (2)由PBPQ知PBQQ， 结合ADBC得APBPBQQEPD， 由PDEQCE知PEQE， 再由EFBQ知PFBF，根据RtPAB中AFPFBF知APFPAF，从而得PAFEPD，据此即可 证得PEAF，从而得证； 设APx，则PD1x，若四边形AFEP是菱形，则PEPAx，由PD 2+D
26、E2PE2得关于 x的方程，解 之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况 【解答】(1)四边形ABCD是正方形，DECQ90， E是CD的中点，DECE， 又DEPCEQ， PDEQCE(ASA)； (2)PBPQ，PBQQ， ADBC， APBPBQQEPD， PDEQCE，PEQE， EFBQ，PFBF， 在RtPAB中，AFPFBF， APFPAF， PAFEPD， PEAF， EFBQAD， 四边形AFEP是平行四边形； 当AP时，四边形AFEP是菱形 设APx，则PD1x， 若四边形AFEP是菱形，则PEPAx， CD1，E是CD中点，DE， 在RtPDE中，由PD 2+DE
27、2PE2得(1x)2+( ) 2x2，解得 x， 即当AP时，四边形AFEP是菱形 21. (201921. (2019 北京市北京市) )如图 1，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD 上，BE=DF，连接 EF (1)求证：ACEF； (2)如图 2，延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O，若 BD=4，tanG= 1 2 ，求 AO 的长 图 1 图 2 【答案】见解析。 【解析】【解析】由四边形 ABCD 为菱形易得 AB=AD，AC 平分BAD，结合 BE=DF，根据等腰AEF 中的三线合一，证 得 ACEF.；菱形 ABCD 中有 ACBD，结合 ACEF 得 BDEF.进而有 1 tantan 22 OCOC ODCG OD ； 得出 OA 的值. (1)证明：四边形 ABCD 为菱形 AB=AD，AC 平分BAD BE=DF ABBEADDF AE=AF AEF 是等腰三角形 AC 平分BAD ACEF (2)解：菱形 ABCD 中有 ACBD，结合 ACEF. BDEF. 又BD=4，tanG= 1 2 1 tantan 22 OCOC ODCG OD AO= 1 2 AC=OC=1.