1、 专题专题 25 正方形正方形问题问题 1 1正方形定义：正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2 2正方形的性质：正方形的性质： (1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等； (3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； (4)正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴； (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小 等腰直角三角形； (6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3 3正方形的判定正方形的判定 判定一
2、个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。 二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。 4 4正方形的面积：正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为 b ，S= 2 2 2 b a 【例题【例题 1 1】(2020(2020台州台州) )用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形 地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD则正方形ABCD 的面积为 (用含a，b的代数式表示) 【答案】a+b 【解析】如图，连接DK，
3、DN，证明S四边形DMNTSDKN= 1 4a 即可解决问题 如图，连接DK，DN， KDNMDT90， KDMNDT， DKDN，DKMDNT45， DKMDNT(ASA)， SDKMSDNT， S四边形DMNTSDKN= 1 4a， 正方形ABCD的面积4 1 4a+ba+b 【对点练习】【对点练习】(2019(2019广西贺州广西贺州) )如图，正方形ABCD的边长为 4，点E是CD的中点，AF平分BAE交BC于 点F，将ADE绕点A顺时针旋转 90得ABG，则CF的长为 【答案】62 【解析】作FMAD于M，FNAG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM4， 正方形ABCD的边长
4、为 4，点E是CD的中点， DE2， AE2， ADE绕点A顺时针旋转 90得ABG， AGAE2，BGDE2，34，GAE90，ABGD90， 而ABC90， 点G在CB的延长线上， AF平分BAE交BC于点F， 12， 2+41+3，即FA平分GAD， FNFM4， ABGFFNAG， GF2， CFCGGF4+2262 故答案为 62 【例题【例题 2 2】(2020(2020青岛青岛) )如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接 AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G若DE2，OF3，则点A到DF的距离为 【答案】45 5 【解析】根据正方形
5、的性质得到AODO，ADC90，求得ADE90，根据直角三角形的性质得到DF AFEF= 1 2AE，根据三角形中位线定理得到 FG= 1 2DE1，求得 ADCD4，过A作AHDF于H，根据相似 三角形的性质和勾股定理即可得到结论 在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， AODO，ADC90， ADE90， 点F是AE的中点， DFAFEF= 1 2AE， OF垂直平分AD， AGDG，FG= 1 2DE1， OF2，OG2， AOCO，CD2OG4，ADCD4， 过A作AHDF于H，HADE90， AFDF，ADFDAE，ADHAED， = ， AE= 2+ 2= 42+ 22=2
6、5， 2 = 4 25，AH= 45 5 ， 即点A到DF的距离为45 5 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 内蒙古包头内蒙古包头) )如图，在正方形ABCD中，AB1，点E，F分别在边BC和CD上，AEAF， EAF60，则CF的长是( ) A B C1 D 【答案】C 【解析】四边形ABCD是正方形， BDBAD90，ABBCCDAD1， 在 RtABE和 RtADF中， RtABERtADF(HL)， BAEDAF， EAF60， BAE+DAF30， DAF15， 在AD上取一点G，使GFADAF15，如图所示： AGFG，DGF30， DFFGAG，DGDF， 设DFx，
7、则DGx，AGFG2x， AG+DGAD， 2x+x1， 解得：x2， DF2， CFCDDF1(2)1； 故选：C 【例题【例题 3 3】(2020(2020湘西州湘西州) )如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE (1)求证：BAECDE； (2)求AEB的度数 【答案】见解析。 【解析】利用等边三角形的性质得到ADAEDE，EADEDA60，利用正方形的性质得到ABAD CD，BADCDA90，所以EABEDC150，然后根据“SAS”判定BAECDE； 先证明ABAE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算ABE的度数 (1)证明：ADE为等边三角形， A
8、DAEDE，EADEDA60， 四边形ABCD为正方形， ABADCD，BADCDA90， EABEDC150， 在BAE和CDE中 = = = ， BAECDE(SAS)； (2)ABAD，ADAE， ABAE， ABEAEB， EAB150， ABE= 1 2(180150)15 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 湖南株洲湖南株洲) )如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点， 连接CE、DG (1)求证：DOGCOE； (2)若DGBD，正方形ABCD的边长为 2，线段AD与线段OG相交于点M，AM 1 2 ，求正方形OEFG的边长 【答案】
9、(1)见解析；(2)2 【解析】解： (1)正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD DOOC DBAC，DOADOC90 GOE90，GOD+DOEDOE+COE90 GODCOE GOOE 在DOG和COE中 DOGCOE(SAS) (2)如图，过点M作MHDO交DO于点H AM 1 2 ，DA2，DM MDB45 MHDHsin45DM，DOcos45DA HODODH 在 RtMHO中，由勾股定理得 MO DGBD，MHDO，MHDG 易证OHMODG ，得GO2 则正方形OEFG的边长为 2 一、选择题一、选择题 1(2020(2020河南河南) )如图，在ABC中，ACB9
10、0，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(2，6)和(7， 0)将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( ) A(3 2，2) B(2，2) C(11 4 ，2) D(4，2) 【答案】B 【解析】根据已知条件得到AC6，OC2，OB7，求得BC9，根据正方形的性质得到DEOCOE2， 求得OEOC2，根据相似三角形的性质得到BO3，于是得到结论 如图，设正方形DCOE是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， 顶点A，B的坐标分别为(2，6)和(7，0)， AC6，OC2，OB7， BC9， 四边形OCDE是正方形， DEOCOE2， OEOC2， EOBC，
11、BOEBCA90， EOAC， BOEBCA， = ， 2 6 = 9 ， BO3， OC7232， 当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2，2). 2(2020(2020湖州湖州) )七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地由边长为 2 的正方形可以制作一副 中国七巧板或一副日本七巧板，如图 1 所示分别用这两副七巧板试拼如图 2 中的平行四边形或矩形，则 这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( ) A1 和 1 B1 和 2 C2 和 1 D2 和 2 【答案】D 【解析】根据要求拼平行四边形矩形即可 中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是 2，如图所示： 故选：D
12、 3 (2020(2020温州温州) )如图， 在 RtABC中， ACB90， 以其三边为边向外作正方形， 过点C作CRFG于点R， 再过点C作PQCR分别交边DE，BH于点P，Q若QH2PE，PQ15，则CR的长为( ) A14 B15 C83 D65 【答案】A 【分析】如图，连接EC，CH设AB交CR于J证明ECPHCQ，推出 = = = 1 2，由 PQ15，可 得PC5，CQ10，由EC：CH1：2，推出AC：BC1：2，设ACa，BC2a，证明四边形ABQC是平行四 边形，推出ABCQ10，根据AC 2+BC2AB2，构建方程求出 a即可解决问题 【解析】如图，连接EC，CH设A
13、B交CR于J 四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形， ACEBCH45， ACB90，BCI90， ACE+ACB+BCH180，ACB+BCI90 B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线， DEAIBH， CEPCHQ， ECPQCH， ECPHCQ， = = = 1 2， PQ15， PC5，CQ10， EC：CH1：2， AC：BC1：2，设ACa，BC2a， PQCR，CRAB， CQAB， ACBQ，CQAB， 四边形ABQC是平行四边形， ABCQ10， AC 2+BC2AB2， 5a 2100， a25(负根已经舍弃)， AC25，BC45， 1 2ACBC= 1 2
14、ABCJ， CJ= 2545 10 =4， JRAFAB10， CRCJ+JR14 4(2020(2020南京南京) )如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C，与BC相交于点D若P的半径为 5，点A的坐标是(0，8)则点D的坐标是( ) A(9，2) B(9，3) C(10，2) D(10，3) 【答案】A 【分析】设O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边 形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标 【解析】设O与x、y轴相切的切点分别是F、E
15、点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G， 则PEy轴，PFx轴， EOF90，四边形PEOF是矩形， PEPF，PEOF，四边形PEOF为正方形， OEPFPEOF5， A(0，8)，OA8，AE853， 四边形OACB为矩形，BCOA8，BCOA，ACOB， EGAC， 四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形， CGAE3，EGOB， PEAO，AOCB，PGCD，CD2CG6，DBBCCD862， PD5，DGCG3， PG4，OBEG5+49，D(9，2) 5.(20205.(2020天津天津) )如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，
16、(0，6)，点C在第一象限， 则点C的坐标是( ) A(6，3) B(3，6) C(0，6) D(6，6) 【答案】D 【解析】利用正方形的性质求出OB，BC，CD即可 四边形OBCD是正方形， OBBCCDOD，CDOCBO90， O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)， OD6， OBBCCD6， C(6，6) 二、填空题二、填空题 6(2020(2020连云港连云港) )如图，将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为(3， 9)、(12，9)，则顶点A的坐标为 【答案】(15，3) 【解析】由图形可得MNx轴，MN9，BNy轴，可求正方形的边长，即可
17、求解如图， 顶点M、N的坐标分别为(3，9)、(12，9)， MNx轴，MN9，BNy轴， 正方形的边长为 3， BN6， 点B(12，3)， ABMN， ABx轴， 点A(15，3) 7(2020(2020绍兴绍兴) )如图 1，直角三角形纸片的一条直角边长为 2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图 2 放入一个边长为 3 的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图 2 中阴影部分面积为 【答案】45 【解析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形 的另一条直角边长， 再根据图形， 可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积， 然后代入数据
18、计算即可 由 题意可得， 直角三角形的斜边长为 3，一条直角边长为 2， 故直角三角形的另一条直角边长为：32 22= 5， 故阴影部分的面积是：25 2 4 =45 8(2020(2020天水天水) )如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点 F的坐标为 【答案】(1，5) 【解析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标 如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O 四边形OEFG是正方形， OGEO，GOMOEH，OGMEOH， 在OGM与EOH中， =
19、 = = OGMEOH(ASA) GMOH2，OMEH3， G(3，2) O( 1 2， 5 2) 点F与点O关于点O对称， 点F的坐标为 (1，5) 9(2020(2020德州德州) )如图，在矩形ABCD中，AB= 3 +2，AD= 3把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上 的D处，再将AED绕点E顺时针旋转，得到AED，使得EA恰好经过BD的中点FAD交 AB于点G，连接AA有如下结论：AF的长度是6 2；弧DD的长度是53 12 ；AAFA EG；AAFEGF上述结论中，所有正确的序号是 【答案】 【解析】把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D处， DADE90DAD，ADAD
20、， 四边形ADED是矩形， 又ADAD= 3， 四边形ADED是正方形， ADADDEDE= 3，AE= 2AD= 6，EADAED45， DBABAD2， 点F是BD中点， DF1， EF= 2+ 2 = 3 + 1 =2， 将AED绕点E顺时针旋转， AEAE= 6，DED，EADEAD45， AF= 6 2，故正确； tanFED= = 1 3 = 3 3 ， FED30 30+4575， 弧DD的长度= 753 180 = 53 12 ，故正确； AEAE，AEA75， EAAEAA52.5， AAF7.5， AAFEAG，AAEEAG，AFA120EAG， AAF与AGE不全等，故错
21、误； DEDE，EGEG， RtEDGRtEDG(HL)， DGEDGE， AGDAAG+AAG105， DGE52.5AAF， 又AFAEFG， AFAEFG，故正确， 故答案为： 10(2020(2020攀枝花攀枝花) )如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G， AF的中点为H，连接BG、DH给出下列结论： AFDE；DG= 8 5；HDBG；ABGDHF 其中正确的结论有 (请填上所有正确结论的序号) 【解析】故答案为： 【分析】证明ADFDCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到DGF90，可判断，再利 用三角形等积法ADDFA
22、F可算出DG，可判断；再证明HDFHFDBAG，求出AG，DH，HF，可判 定ABGDHF，可判断；通过ABAG，得到ABG和AGB不相等，则AGBDHF，可判断 【解析】四边形ABCD为正方形， ADCBCD90，ADCD， E和F分别为BC和CD中点， DFEC2， ADFDCE(SAS)， AFDDEC，FADEDC， EDC+DEC90， EDC+AFD90， DGF90，即DEAF，故正确； AD4，DF= 1 2CD2， AF= 42+ 22= 25， DGADDFAF= 45 5 ，故错误； H为AF中点， HDHF= 1 2AF= 5， HDFHFD， ABDC， HDFHFD
23、BAG， AG= 2 2= 85 5 ，AB4， = = 45 5 = ， ABGDHF，故正确； ABGDHF，而ABAG， 则ABG和AGB不相等， 故AGBDHF， 故HD与BG不平行，故错误。 11(2020(2020咸宁咸宁) )如图，四边形ABCD是边长为 2 的正方形，点E是边BC上一动点(不与点B，C重合)， AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论： ABEECG； AEEF； DAFCFE； CEF的面积的最大值为 1 其中正确结论的序号是 (把正确结论的序号都填上) 【解析】 【分析】由AEB+CEGAEB+BAE得BAECEG
24、，再结合两直角相等得ABEECG； 在BA上截取BMBE，易得BEM为等腰直角三角形，则BME45，所以AME135，再利用等角 的余角相等得到BAEFEC，于是根据“ASA”可判断AMEECF，则根据全等三角形的性质可对进 行判断； 由MAE+DAF45，CEF+CFE45，可得出DAF与CFE的大小关系，便可对判断； 设BEx，则BMx，AMABBM4x，利用三角形面积公式得到SAME= 1 2x(2x)，则根据二次函数 的性质可得SAME的最大值，便可对进行判断 【解析】四边形ABCD是正方形， BECG90， AEF90， AEB+CEGAEB+BAE， BAECEG， ABEECG，
25、 故正确； 在BA上截取BMBE，如图 1， 四边形ABCD为正方形， B90，BABC， BEM为等腰直角三角形， BME45， AME135， BABMBCBE， AMCE， CF为正方形外角平分线， DCF45， ECF135， AEF90， AEB+FEC90， 而AEB+BAE90， BAEFEC， 在AME和ECF中 = = = ， AMEECF， AEEF， 故正确； AEEF，AEF90， EAF45， BAE+DAF45， BAE+CFECEF+CFE45， DAFCFE， 故正确； 设BEx，则BMx，AMABBM4x， SECFSAME= 1 2x(2x)= 1 2(x1
26、) 2+1 2， 当x1 时，SECF有最大值1 2， 故错误 12(2020(2020河南河南) )如图，在边长为 22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD， 点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 【解析】1 【分析】设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到BDCF90，BCCDAB，根据线段中点的定义 得到BECF，根据全等三角形的性质得到CEDF，BCECDF，求得DFCE，根据勾股定理得到CE DF=(22)2+ (2)2= 10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论 【解析】设DF，CE交于O， 四边形ABCD是
27、正方形， BDCF90，BCCDAB， 点E，F分别是边AB，BC的中点， BECF， CBEDCF(SAS)， CEDF，BCECDF， CDF+CFD90， BCE+CFD90， COF90， DFCE， CEDF=(22)2+ (2)2= 10， 点G，H分别是EC，FD的中点， CGFH= 10 2 ， DCF90，CODF， CF 2OFDF， OF= 2 = (2)2 10 = 10 5 ， OH= 310 10 ，OD= 410 5 ， OC 2OFOD， OC= 10 5 410 5 = 210 5 ， OGCGOC= 10 2 210 5 = 10 10 ， HG= 2+ 2
28、= 1 10 + 9 10 =1 三、解答题三、解答题 13 (2020(2020遵义遵义) )如图， 在边长为 4 的正方形ABCD中， 点E为对角线AC上一动点(点E与点A、C不重合)， 连接DE，作EFDE交射线BA于点F，过点E作MNBC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于 点G (1)求证：EFDE； (2)当AF2 时，求GE的长 【答案】见解析。 【分析】(1)要证明EFDE，只要证明DMEENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以 得到DMEENF的条件，从而可以证明结论成立； (2)根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到G
29、E的长 【解答】(1)证明：四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ECM45， MNBC，BCM90， NMC+BCM180，MNB+B180， NMC90，MNB90， MECMCE45，DMEENF90， MCME， CDMN， DMEN， DEEF，EDM+DEM90， DEF90， DEM+FEN90， EDMFEN， 在DME和ENF中 = = = ， DMEENF(ASA)， EFDE； (2)如图 1 所示，由(1)知，DMEENF， MENF， 四边形MNBC是矩形， MCBN， 又MEMC，AB4，AF2， BNMCNF1， EMC90， CE= 2， AFCD， DGCF
30、GA， = ， 4 2 = ， ABBC4，B90， AC42， ACAG+GC， AG= 42 3 ，CG= 82 3 ， GEGCCE= 82 3 2 = 52 3 ； 如图 2 所示， 同理可得，FNBN， AF2，AB4， AN1， ABBC4，B90， AC42， AFCD， GAFGCD， = ， 即2 4 = :42， 解得，AG42， ANNE1，ENA90， AE= 2， GEGA+AE52 1414(2019(2019 湖南湘西州湖南湘西州) )如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF CE (1)求证：ABFCBE； (2)若AB4，AF1，求四边形
31、BEDF的面积 【答案】(1)见解析；(2)12 【解答】(1)在ABF和CBE中 ， ABFCBE(SAS)； (2)由已知可得正方形ABCD面积为 16， ABF面积CBE面积 1 2 412 所以四边形BEDF的面积为 162212 15.(202015.(2020 湖北仙桃模拟湖北仙桃模拟) )如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BECF，过点E作 EGBF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF求证： (1)AEBF； (2)四边形BEGF是平行四边形 【答案】见解析。 【解析】由SAS证明ABEBCF得出AEBF，BAECBF，由平行线的性质得出CBFC
32、EG，证出 AEEG，即可得出结论；延长AB至点P，使BPBE，连接EP，则APCE，EBP90，证明APE ECG得出AEEG，证出EGBF，即可得出结论 证明：(1)四边形ABCD是正方形， ABBC，ABCBCD90， ABEBCF90， 在ABE和BCF中， ABEBCF(SAS)， AEBF，BAECBF， EGBF，CBFCEG， BAE+BEA90，CEG+BEA90， AEEG，AEBF； (2)延长AB至点P，使BPBE，连接EP，如图所示： 则APCE，EBP90，P45， CG为正方形ABCD外角的平分线，ECG45，PECG， 由(1)得BAECEG， 在APE和ECG
33、中， APEECG(ASA)，AEEG， AEBF，EGBF， EGBF，四边形BEGF是平行四边形 1616 (2019(2019山东泰安山东泰安) )如图， 四边形ABCD是正方形， EFC是等腰直角三角形， 点E在AB上， 且CEF90， FGAD，垂足为点 C (1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明； (2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由 【答案】见解析。 【解析】 过点F作FMAB交BA的延长线于点M， 可证四边形AGFM是矩形， 可得AGMF，AMFG， 由 “AAS” 可证EFMCEB，可得BEMF，MEBCAB，可得BEMAMFA
34、GFG； 延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CHFH，可得GHHN，NCFG，即 可求DGDN，由等腰三角形的性质可得DHHG (1)AGFG， 理由如下：如图，过点F作FMAB交BA的延长线于点M 四边形ABCD是正方形 ABBC，B90BAD FMAB，MAD90，FGAD 四边形AGFM是矩形,AGMF，AMFG， CEF90， FEM+BEC90，BEC+BCE90 FEMBCE，且MB90，EFEC EFMCEB(AAS) BEMF，MEBCMEABBC BEMAMFAGFG， (2)DHHG 理由如下：如图，延长GH交CD于点N， FGAD，CDAD FGCD ，且
35、CHFH， GHHN，NCFG，AGFGNC 又ADCD， GDDN，且GHHN，DHGH 17.(201917.(2019四川省凉山州四川省凉山州) )如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB过点 A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F求证：OEOF 【答案】见解析。 【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OBOA，根据AMBE，即可得出MEA+MAE90 AFO+MAE，从而证出RtBOERtAOF，得到OEOF 证明：四边形ABCD是正方形 BOEAOF90，OBOA 又AMBE， MEA+MAE90AFO+MAE， MEAAFO BOEAOF(AAS) OEOF