1、第 1 页 / 共 27 页 专题专题 28 求几何图形面积及面积法解题的问题求几何图形面积及面积法解题的问题 一、几何图形面积公式一、几何图形面积公式 1.三角形的面积:设三角形底边长为 a，底边对应的高为 h，则面积 S=ah/2 2.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为 a，高为 h，则面积 S=ah 3.矩形的面积:设矩形的长为 a，宽为 b，则面积 S=ab 4.正方形的面积:设正方形边长为 a，对角线长为 b ，则面积 S= 2 2 2 b a 5.菱形的面积:设菱形的底边长为 a，高为 h，则面积 S=ah 若菱形的两条对角线长分别为 m、n，则面积 S=mn/2 也就是说菱
2、形的面积等于两条对角线乘积的一半。 6.梯形的面积:设梯形的上底长为 a,下底长为 b，高为 h，则面积 S=(a+b)h/2 7.圆的面积:设圆的半径为 r,则面积 S=r2 8.扇形面积计算公式 9圆柱侧面积和表面积公式 (1)圆柱的侧面积公式 S侧=2rh (2)圆柱的表面积公式：S表=2S底+S侧=2r2+2rh 2 360 r n slrs 2 1 或 第 2 页 / 共 27 页 10.圆锥侧面积公式 从右图中可以看出，圆锥的母线 L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长 2r，这样， 圆锥侧面积计算公式:S圆锥侧=S扇形=rL 注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧
3、长的公式的应用。 (1)圆的周长计算公式为：C=2r (2)扇形弧长的计算公式为： (3)其他几何图形周长容易计算，不直接给出。 二、用面积法解题的理论知识二、用面积法解题的理论知识 1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来 解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置 辅助线，也很容易考虑到。 三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容 1.证明面积相等的理论
4、依据 (1)三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 (2)同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 (3)平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 (4)同底(等底)的两个三角形面积的比等于高的比。 (5)同高(或等高)的两个三角形面积的比等于底的比。 180 2 360 rn r n l 第 3 页 / 共 27 页 (6)三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 (7)三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的 1/4 (8)三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的 1/4 (9)有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的
5、乘积的比。 2.用面积法解几何问题的解题思路 (1)分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 (2)作平行线法：通过平行线找出同高(或等高)的三角形。 (3)利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 (4)还可以利用面积解决其它问题。 【例题【例题 1】(2020咸宁咸宁)如图，在O 中，OA2，C45，则图中阴影部分的面积为( ) A B C2 D2 【答案】D 【解析】由C45根据圆周角定理得出AOB90，根据 S阴影S扇形AOBSAOB可得出结论 C45， AOB90， 第 4 页 / 共 27 页 S阴影S扇形AOBSAOB 2 【对点练习】【对点练习】如图，在 ABCD
6、 中，B=60，C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是( ) A B2 C3 D6 【答案】C 【解析】根据平行四边形的性质可以求得C 的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积 在 ABCD 中，B=60，C 的半径为 3， C=120， 图中阴影部分的面积是：=3， 【点拨】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计 算公式解答 【例题【例题 2】(2020重庆重庆)如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，分别以点 A，C 为圆 心，以 AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为
7、(结果保留) 【答案】4 第 5 页 / 共 27 页 【解析】据勾股定理求出 AC，得到 OA、OC 的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案 四边形 ABCD 为正方形， ABBC2，DABDCB90， 由勾股定理得，AC2， OAOC， 图中的阴影部分的面积2224 【对点练习】【对点练习】(2020 铜仁模拟)已知一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm，则这个菱形的面积 为 cm2 【答案】24 【解析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可 一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm， 这个菱形的面积 S= 68=24(cm2) 【点拨】本题
8、考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键。 【例题【例题 3】(2019湖南邵阳湖南邵阳)如图，在等腰ABC 中，BAC120，AD 是BAC 的角平分线，且 AD6， 以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧 EF，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F (1)求由弧 EF 及线段 FC.CB.BE 围成图形(图中阴影部分)的面积； (2)将阴影部分剪掉，余下扇形 AEF，将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与 AF 正好重合，圆锥侧面无重 叠，求这个圆锥的高 h 【答案】见解析。 第 6 页 / 共 27 页 【解析】(1)利用等腰三角形的性质得到 ADB
9、C，BDCD，则可计算出 BD6，然后利用扇形的面积 公式，利用由弧 EF 及线段 FC.CB.BE 围成图形(图中阴影部分)的面积SABCS扇形EAF进行计算； 在等腰ABC 中，BAC120， B30， AD 是BAC 的角平分线， ADBC，BDCD， BDAD6， BC2BD12， 由弧 EF 及线段 FC.CB.BE 围成图形(图中阴影部分)的面积 SSABCS扇形EAF6123612； (2)设圆锥的底面圆的半径为 r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2r，解得 r2，然后利用勾股定理计算这个圆 锥的高 h
10、 根据题意得 2r，解得 r2， 这个圆锥的高 h4 【对点练习】【对点练习】(2019湖北省荆门市湖北省荆门市)如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB5，BC3，AC2 (1)求平行四边形 ABCD 的面积； (2)求证：BDBC 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合 第 7 页 / 共 27 页 性较强 (1)作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，如图： 设 BEx，CEh 在 RtCEB 中：x2+h29 在 RtCEA 中：(5+x)2+h252 联立解得：x，h 平行四边形 ABCD 的面积ABh12； (
11、2)作 DFAB，垂足为 F DFACEB90 平行四边形 ABCD ADBC，ADBC DAFCBE 又DFACEB90，ADBC ADFBCE(AAS) AFBE，BF5，DFCE 在 RtDFB 中：BD2DF2+BF2()2+()216 BD4 BC3，DC5 CD2DB2+BC2 第 8 页 / 共 27 页 BDBC 一、选择题一、选择题 1(2020株洲株洲)如图所示，点 A、B、C 对应的刻度分别为 0、2、4、将线段 CA 绕点 C 按顺时针方向旋转， 当点 A 首次落在矩形 BCDE 的边 BE 上时，记为点 A1，则此时线段 CA 扫过的图形的面积为( ) A4 B6 C
12、4 D 【答案】D 【解析】求线段 CA 扫过的图形的面积，即求扇形 ACA1的面积 由题意，知 AC4，BC422，A1BC90 由旋转的性质，得 A1CAC4 在 RtA1BC 中，cosACA1 ACA160 扇形 ACA1的面积为 即线段 CA 扫过的图形的面积为 2(2020攀枝花攀枝花)如图，直径 AB6 的半圆，绕 B 点顺时针旋转 30，此时点 A 到了点 A，则图中阴影部 分的面积是( ) 第 9 页 / 共 27 页 A B C D3 【答案】D 【解析】由半圆 AB 面积+扇形 ABA的面积空白处半圆 AB 的面积即可得出阴影部分的面积 半圆 AB，绕 B 点顺时针旋转
13、30， S阴影S半圆AB+S扇形ABAS半圆AB S扇形ABA 3， 3(2020武威武威)如图，A 是O 上一点，BC 是直径，AC2，AB4，点 D 在O 上且平分，则 DC 的长 为( ) A2 B C2 D 【答案】D 【解析】先根据圆周角得：BACD90，根据勾股定理即可得结论 点 D 在O 上且平分， ， 第 10 页 / 共 27 页 BC 是O 的直径， BACD90， AC2，AB4， BC2， RtBDC 中，DC2+BD2BC2， 2DC220， DC 4(2020泰州泰州)如图，半径为 10 的扇形 AOB 中，AOB90，C 为上一点，CDOA，CEOB，垂 足分别为
14、 D、E若CDE 为 36，则图中阴影部分的面积为( ) A10 B9 C8 D6 【答案】A 【分析】 连接 OC， 易证得四边形 CDOE 是矩形， 则DOECEO， 得到COBDEOCDE36， 图中阴影部分的面积扇形 OBC 的面积，利用扇形的面积公式即可求得 【解析】连接 OC， AOB90，CDOA，CEOB， 四边形 CDOE 是矩形， CDOE， DEOCDE36， 由矩形 CDOE 易得到DOECEO， 第 11 页 / 共 27 页 COBDEO36 图中阴影部分的面积扇形 OBC 的面积， S扇形OBC10 图中阴影部分的面积10 5(2020连云港连云港)10 个大小相
15、同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正六边形的顶点则点 O 是下列哪个三角形的外心( ) AAED BABD CBCD DACD 【答案】D 【解析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，进行判断即可 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 从 O 点出发，确定点 O 分别到 A，B，C，D，E 的距离，只有 OAOCOD， 点 O 是ACD 的外心. 6(2020苏州苏州)如图，在扇形 OAB 中，已知AOB90，OA，过的中点 C 作 CDOA，CEOB， 垂足分别为 D、E，则图中阴影部分的面积为( ) 第 12 页 / 共 27 页 A
16、1 B1 C D 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理得到四边形 CDOE 是矩形，连接 OC，根据全等三角形的性质得到 ODOE， 得到矩形 CDOE 是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论 【解析】CDOA，CEOB， CDOCEOAOB90， 四边形 CDOE 是矩形， 连接 OC， 点 C 是的中点， AOCBOC， OCOC， CODCOE(AAS)， ODOE， 矩形 CDOE 是正方形， OCOA， OE1， 图中阴影部分的面积111 第 13 页 / 共 27 页 7(2020聊城聊城)如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 M，连接 OC，DB如果 OC
17、DB，OC 2，那么图中阴影部分的面积是( ) A B2 C3 D4 【答案】B 【分析】连接 OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到 DMCM，COBBOD，推出BOD 是等边三角形，得到BOC60，根据扇形的面积公式即可得到结论 【解析】连接 OD，BC， CDAB，OCOD， DMCM，COBBOD， OCBD， COBOBD， BODOBD， ODDB， BOD 是等边三角形， BOD60， BOC60， DMCM， 第 14 页 / 共 27 页 SOBCSOBD， OCDB， SOBDSCBD， SOBCSDBC， 图中阴影部分的面积2 8(2020聊城聊城)如图，有一块半
18、径为 1m，圆心角为 90的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略 不计)，那么这个圆锥形容器的高为( ) A m B m Cm Dm 【答案】C 【解析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可 设底面半径为 rm，则 2r， 解得：r， 所以其高为：m， 9(2020济宁济宁)如图，在ABC 中，点 D 为ABC 的内心，A60，CD2，BD4则DBC 的面积 第 15 页 / 共 27 页 是( ) A4 B2 C2 D4 【答案】B 【分析】过点 B 作 BHCD 于点 H由点 D 为ABC 的内心，A60，得BDC120，则BDH 60，由 BD4，求得 B
19、H，根据三角形的面积公式即可得到结论 【解析】过点 B 作 BHCD 于点 H 点 D 为ABC 的内心，A60， DBC+DCB(ABC+ACB)(180A)， BDC90A9060120， 则BDH60， BD4， DH2，BH2， CD2， DBC 的面积CDBH2 10 (2020重庆重庆)如图， AB 是O 的切线， A 为切点， 连接 OA， OB 若B35， 则AOB 的度数为( ) 第 16 页 / 共 27 页 A65 B55 C45 D35 【答案】B 【解析】根据切线的性质得到OAB90，根据直角三角形的两锐角互余计算即可 AB 是O 的切线， OAAB， OAB90，
20、AOB90B55 11 (2020重庆重庆)如图， AB 是O 的切线， A 为切点， 连接 OA， OB， 若B20， 则AOB 的度数为( ) A40 B50 C60 D70 【答案】D 【解析】根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论 AB 是O 的切线，A 为切点， A90， B20， AOB902070 12(2020遂宁遂宁)如图，在 RtABC 中，C90，ACBC，点 O 在 AB 上，经过点 A 的O 与 BC 相切 于点 D，交 AB 于点 E，若 CD，则图中阴影部分面积为( ) 第 17 页 / 共 27 页 A4 B2 C2 D1 【答案】B 【分析】连接 OD，O
21、HAC 于 H，如图，根据切线的性质得到 ODBC，则四边形 ODCH 为矩形，所以 OHCD，则 OAOH2，接着计算出BOD45，BDOD2，然后利用扇形的面积公式， 利用图中阴影部分面积SOBDS扇形DOE进行计算 【解析】连接 OD，过 O 作 OHAC 于 H，如图， C90，ACBC， BCAB45， O 与 BC 相切于点 D， ODBC， 四边形 ODCH 为矩形， OHCD， 在 RtOAH 中，OAH45， OAOH2， 在 RtOBD 中，B45， BOD45，BDOD2， 图中阴影部分面积SOBDS扇形DOE 22 第 18 页 / 共 27 页 2 13(2020常德
22、常德)一个圆锥的底面半径 r10，高 h20，则这个圆锥的侧面积是( ) A100 B200 C100 D200 【答案】C 【解析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积 这个圆锥的母线长10， 这个圆锥的侧面积21010100 14 (2020黔东南州黔东南州)如图， 正方形 ABCD 的边长为 2， O 为对角线的交点， 点 E、 F 分别为 BC、 AD 的中点 以 C 为圆心，2 为半径作圆弧，再分别以 E、F 为圆心，1 为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积 为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B 【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以
23、 2 为半径的四分之一个圆的面积减去以 1 为半径的半 圆的面积再减去 2 个以边长为 1 的正方形的面积减去以 1 半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决 【解析】由题意可得， 第 19 页 / 共 27 页 阴影部分的面积是： 222(1112)2， 二、填空题二、填空题 15(2020绥化绥化)已知圆锥的底面圆的半径是 2.5，母线长是 9，其侧面展开图的圆心角是 度 【答案】100 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的 母线长，然后根据扇形的面积公式得到 22.5，再解关于 n 的方程即可 【解析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为
24、 n， 根据题意得 22.5，解得 n100， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 100 16(2020徐州徐州)如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC3若以 AC 所在直线为轴，把ABC 旋 转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 【答案】15 【解析】运用公式 slr(其中勾股定理求解得到的母线长 l 为 5)求解 由已知得，母线长 l5，底面圆的半径 r 为 3， 圆锥的侧面积是 slr5315 第 20 页 / 共 27 页 17(2020荆门荆门)如图所示的扇形 AOB 中，OAOB2，AOB90，C 为上一点，AOC30，连 接 BC，过 C 作 OA 的垂线交 AO
25、 于点 D，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【解析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积S扇形BOCSOBC+SCOD进行计算 AOB90，AOC30，BOC60， 扇形 AOB 中，OAOB2，OBOC2，BOC 是等边三角形， 过 C 作 OA 的垂线交 AO 于点 D，ODC90， AOC30， ODOC，CDOC1， 图中阴影部分的面积S扇形BOCSOBC+SCOD 18(2020武威武威)若一个扇形的圆心角为 60，面积为 cm2，则这个扇形的弧长为 cm(结果保留) 【答案】 【解析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积lR，即可得出弧长 第 21 页 /
26、 共 27 页 设扇形的半径为 R，弧长为 l， 根据扇形面积公式得；， 解得：R1， 扇形的面积lR， 解得：l 19(2020凉山州凉山州)如图，点 C、D 分别是半圆 AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是 ，则半圆的半 径 OA 的长为 【答案】3 【分析】连接 OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形 OCD 的面积，列式 计算就可 【解析】连接 OC、OD、CD COD 和CBD 等底等高， SCODSBCD 点 C，D 为半圆的三等分点， COD180360， 阴影部分的面积S扇形COD， 第 22 页 / 共 27 页 阴影部分的面积是 ， ， r3
27、， 20 (2020泰安泰安)如图， 点 O 是半圆圆心， BE 是半圆的直径， 点 A， D 在半圆上， 且 ADBO， ABO60， AB8，过点 D 作 DCBE 于点 C，则阴影部分的面积是 【答案】8 【分析】连接 OA，易求得圆 O 的半径为 8，扇形的圆心角的度数，然后根据 S阴影SAOB+S扇形OAD+S扇形ODE SBCD即可得到结论 【解析】连接 OA， ABO60，OAOB，AOB 是等边三角形， AB8，O 的半径为 8， ADOB，DAOAOB60， OAOD，AOD60， AOBAOD60，DOE60， DCBE 于点 C， CDOD4，OC4，BC8+412， S
28、阴影SAOB+S扇形OAD+S扇形ODESBCD 2 第 23 页 / 共 27 页 8 三、解答题三、解答题 21.(2019黑龙江省齐齐哈尔市黑龙江省齐齐哈尔市)如图，以ABC 的边 BC 为直径作O，点 A 在O 上，点 D 在线段 BC 的 延长线上，ADAB，D30 (1)求证：直线 AD 是O 的切线； (2)若直径 BC4，求图中阴影部分的面积 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：连接 OA，则COA2B， ADAB， BD30， COA60， OAD180603090， OAAD， 即 CD 是O 的切线； (2)解：BC4， OAOC2， 在 RtOAD 中，OA2，D30
29、， 第 24 页 / 共 27 页 OD2OA4，AD2， 所以 SOADOAAD222， 因为COA60， 所以 S扇形COA， 所以 S阴影SOADS扇形COA2 22. 已知： 如图，ABC中，ACAB， 点D是BC边上的任意一点，ABDE ，ACDF ，ACBG ， 垂足分别为E、F、G.猜想：线段DE、DF与BG间的数量关系，并证明. C B A E 图图 2 G F D 证明：猜想BGDFDE. 连接AD，则 ABCACDABD SSS ， 所以DEAB 2 1 DFAC 2 1 BGAC 2 1 ， 又ACAB， 有DEAC 2 1 DFAC 2 1 BGAC 2 1 ， 第 2
30、5 页 / 共 27 页 得BGDFDE. 23.如图，C 是线段 AB 上的一点，ACD、BCE 都是等边三角形，AE、BD 相交于 O。 求证：AOC=BOC 【答案】见解析。 【解析】证明：过点 C 作 CPAE，CQBD，垂足分别为 P、Q。 ACD、BCE 都是等边三角形， AC=CD，CE=CB，ACD=BCE， ACE=DCB，ACEDCB AE=BD， DCBACE SS 可得 CP=CQ，OC 平分AOB，即AOC=BOC 24.如图，过平行四边形 ABCD 的顶点 A 引直线，和 BC、DC 或其延长线分别交于 E、F. 求证： ADEABF SS . B A C 图图1
31、F E D 证明：连结AC,CF/AB， ABCDABCABF SSS 平行四边形 2 1 ， 第 26 页 / 共 27 页 又CE/AD， ABCDACDADE SSS 平行四边形 2 1 ADEABF SS . 25.已知一直角三角形两直角边为 a、b，斜边 c 上的高为 h，求证： 111 222 abh 【答案】见解析。 【解析】证明：abc 222 a hb hc h 222222 由三角形面积关系有a b c h 即ab ch 2 22 2 ()a bh a b 22 222 整理后，即得 111 222 abh 26.已知：如图，AD 是ABC 的中线，CFAD 于 F，BEAD 交 AD 的延长线于 E。 求证：CF=BE 证明：连结 EC，由 BD=DC 得， CDEBDEACDABD SS,SS ， 两式两边分别相加，得 第 27 页 / 共 27 页 ACEABE SS 故CFAE 2 1 BEAE 2 1 所以 BE=CF。 【点拨】本题直接由 ACDABD SS 得CFAD 2 1 BEAD 2 1 更简单。能用这种方法解决本题的学生具有创 造性和思维的敏捷性。