1、 专题专题 29 几何问题辅助线添加技巧几何问题辅助线添加技巧 全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题 设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的 数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重 要途径。所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。 一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略 1.三角形问题 方法 1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种
2、方 法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法 2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角 形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法 3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法 4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法 就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形问题 平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅 助线方法上也有共同之处
3、，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问 题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： (1)连对角线或平移对角线： (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形； (3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线； (4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形； (5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 3.梯形问题 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题 化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成
4、为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线 有： (1)在梯形内部平移一腰； (2)梯形外平移一腰； (3)梯形内平移两腰； (4)延长两腰； (5)过梯形上底的两端点向下底作高； (6)平移对角线； (7)连接梯形一顶点及一腰的中点； (8)过一腰的中点作另一腰的平行线； (9)作中位线。 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥 梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 4.圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从 而使问题化难为易，顺其自然地
5、得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生 分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 (1)见弦作弦心距。有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来沟通 题设与结论间的联系。 (2)见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是 直角这一特征来证明问题。 (3)见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用切线与半径垂直这一性 质来证明问题。 (4)两圆相切作公切线。对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切 线可以找到与圆有关的角的关系。 (5)两
6、圆相交作公共弦。对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又 可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。 二、添加辅助线的重要方法总结二、添加辅助线的重要方法总结 1.中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线 作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到 应用某个定理或造成全等的目的。 2.垂线、分角线，翻转全等。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其 他条件，而旋转 180 度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴是垂线或角的
7、平分线。 3. 边边若相等，旋转。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转 一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中 心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 4. 造角、平移、相似，和、差、积、商。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和 差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于 已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀： “造角、平、相似，和差积商见。 ” 5.两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心
8、线或公共弦。 6.两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切(外切，内切)，或相离(内含、外离)，那么， 辅助线往往是连心线或内外公切线。 7. 切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角； 相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那 么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 8. 弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇 平行线，则
9、平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等， 所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆 内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。 9.面积找底高，多边变三边。如遇求面积，(在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积)， 往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之， 亦成立。 三、初中几何常见辅助线作法歌诀三、初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 辅助线，
10、是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 三角形三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平
11、行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切
12、点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 【例题【例题 1 1】(2020(2020 广东梅州模拟广东梅州模拟) )如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB，若 EC=1，则 EF= 【答案】【答案】2 【分析】【分析】作 EGOA 于 F， EFOB，OEF=COE=15， AOE=15，EFG=15+15=30。 EG=CE=1，EF=21=2。 【点拨】【点拨】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含 30 度角的直角三角形的性质。 【对点练习】【对点练习】如图，在ABC 中，AB=AC,BDAC 于 D。求证：DBC= 1 2 BAC. 【答案】 见解析。 【解析】
13、证明：如图，作 AEBC 于 E，则EAC+C=90 AB=AC EAG=1 2 BAC BDAC 于 D DBC+C=90 EAC=DBC(同角的余角相等) 即DBC= 1 2 BAC。 E C A B D C A B D 【点拨】 DBC、 BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中， 由所证的结论 “DBC= BAC” 中含有角的倍、 半关系，因此，可以做A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把A 放在直角三角形中求解； 也可以把DBC 沿 BD 翻折构造 2DBC 求解。 【例题【例题 2 2】(2019(2019 江苏常熟江苏常熟) )如图，在矩形ABCD中，AD3AB3，点P是A
14、D的中点，点E在BC上，CE 2BE，点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN 【答案】6 【解析】作PFMN于F，如图所示： 则PFMPFN90， 四边形ABCD是矩形， ABCD，BCAD3AB3，AC90， ABCD，BD10， 点P是AD的中点， PDAD， PDFBDA， PDFBDA， ，即， 解得：PF， CE2BE， BCAD3BE， BECD， CE2CD， PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，PFMN， MFNF，PNFDEC， PFNC90， PNFDEC， 2， NF2PF3， MN2NF6 【对点练习】【对点练习】已知，如图，在ABCD 中
15、，AB = 2BC，M 为 AB 中点 求证：CMDM 【答案】见解析。 【解析】证明：延长 DM、CB 交于 N 四边形 ABCD 为平行四边形 3 2 1 N M B A D C AD = BC，ADBC A = NBA ADN =N 又AM = BM AMDBMN AD = BN BN = BC AB = 2BC，AM = BM BM = BC = BN 1 =2，3 =N 123N = 180 o， 13 = 90 o CMDM 【点拨】有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 【例题【例题 3 3】(2020(2020金华金华) )如图，O是等边ABC的内切圆，分别切AB，
16、BC，AC于点E，F，D，P是 上一 点，则EPF的度数是( ) A65 B60 C58 D50 【答案】B 【解析】如图，连接OE，OF求出EOF的度数即可解决问题 如图，连接OE，OF O是ABC的内切圆，E，F是切点， OEAB，OFBC， OEBOFB90， ABC是等边三角形， B60， EOF120， EPF= 1 2EOF60. 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 江苏徐州江苏徐州) )如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为的中点过点D作直线AC 的垂线，垂足为E，连接OD (1)求证：ADOB； (2)DE与O有怎样的位置关系？请说明理由 【答案】见解析。 【解析】
17、(1)证明：连接OC， D为的中点，BCDBOC， BACBOC，ADOB； (2)解：DE与O相切， 理由：ADOB，AEOD， DEAE，ODDE，DE与O相切 【点拨】涉及圆的直径的问题，辅助线一般是连接半径。 一、选择题一、选择题 1(2020(2020黔东南州黔东南州) )如图，O的直径CD20，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，OM：OC3：5，则AB 的长为( ) A8 B12 C16 D291 【答案】C 【解析】连接OA，先根据O的直径CD20，OM：OD3：5 求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM 的长，进而得出结论 连接OA， O的直径CD20，OM：OD3：5，
18、 OD10，OM6， ABCD， AM= 2 2= 102 62=8， AB2AM16 2(2020(2020滨州滨州) )在O中，直径AB15，弦DEAB于点C，若OC：OB3：5，则DE的长为( ) A6 B9 C12 D15 【答案】C 【解析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案 如图所示：直径AB15， BO7.5， OC：OB3：5， CO4.5， DC= 2 2=6， DE2DC12 3(2020(2020天水天水) )如图所示，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连接AC、BC，若P 70，则ACB的度数为( ) A50 B55 C60 D6
19、5 【答案】B 【分析】 连接OA、OB， 如图， 根据切线的性质得OAPA，OBPB， 则利用四边形内角和计算出AOB110， 然后根据圆周角定理得到ACB的度数 【解析】连接OA、OB，如图， PA、PB分别与O相切于A、B两点， OAPA，OBPB， OAPOBP90， AOB+P180， P70， AOB110， ACB= 1 2AOB55 4如图，直线ab，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若152，则2 的度数为( ) A38 B52 C48 D62 【答案】A 【解析】先利用平行线的性质得出3，进而利用三角板的特征求出4，最后利用平行线的性质即可 如图，过点A作ABb， 31
20、52， 3+490， 490338， ab，ABb， ABa， 2438 5.(20205.(2020 浙江金华模拟浙江金华模拟) )如图， 正方形ABCD和正三角形AEF都内接于O，EF与BC，CD分别相交于点G，H， 则 EF GH 的值是( ) A. 2 6 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】C. 【解析】如答图，连接AC, EC ，AC与EF交于点M. 则根据对称性质，AC经过圆心O， AC垂直 平分EF， 0 1 EACFACEAF30 2 . 不妨设正方形ABCD的边长为 2，则AC2 2. AC是O的直径， 0 AEC90. 在Rt ACE中， 3 AEAC cosEAC2
21、26 2 ， 1 CEAC sinEAC2 22 2 . 在Rt MCE中， 0 FECFAC30， 12 CMCE sinEAC2 22 . 易知GCH是等腰直角三角形，GF2CM2. 又AEF是等边三角形，EFAE6. EF6 3 GH2 . 二、填空题二、填空题 6 6(2019(2019 内蒙古呼和浩特内蒙古呼和浩特) )已知正方形ABCD的面积是 2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的 一点，若CE，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG 的长为 【答案】 【解析】如图：延长AD、BG相交于点H， 正方形ABCD的面积是 2， A
22、BBCCDA， 又CE，EFCEAB， ， 即：F是CD的中点， AHBE， HFBC， BCFHDF90 BCFHDF (AAS)， DHBC， AHBE， HFBC，H DGBEG HDGBEG， ， 在 RtABH中，BH， BG 7 7(2019(2019 江苏常熟江苏常熟) )如图，半径为的O与边长为 8 的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC， 则 tanOCB 【答案】 【解析】根据切线长定理得出OBCOBAABC30，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然后 解直角三角形OCD即可求得 tanOCB的值 连接OB，作ODBC于D， O与等边三角形ABC的两边AB、B
23、C都相切， OBCOBAABC30， tanOBC， BD3， CDBCBD835， tanOCB 8 8 (2019(2019 湖北咸宁湖北咸宁) )如图， 半圆的直径AB6， 点C在半圆上， BAC30， 则阴影部分的面积为 (结 果保留) 【答案】3 【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的 面积减去AOC和扇形BOC的面积 解：连接OC、BC，作CDAB于点D， 直径AB6，点C在半圆上，BAC30， ACB90，COB60， AC3， CDA90， CD， 阴影部分的面积是：3 三、解答题三、解答题 9(2020(2020菏泽菏泽
24、) )如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与BC相交于点D，过点D作O的切线交 AC于点E (1)求证：DEAC； (2)若O的半径为 5，BC16，求DE的长 【答案】见解析。 【分析】(1)连接AD、OD先证明ADB90，EDO90，从而可证明EDAODB，由ODOB可得 到EDAOBD，由等腰三角形的性质可知CADBAD，故此EAD+EDA90，由三角形的内角和定 理可知DEA90，于是可得到DEAC (2)由等腰三角形的性质求出BDCD8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案 【解析】(1)证明：连接AD、OD AB是圆O的直径，ADB90ADO+ODB90 DE是
25、圆O的切线，ODDEEDA+ADO90EDAODB ODOB，ODBOBDEDAOBD ACAB，ADBC， CADBAD DBA+DAB90， EAD+EDA90 DEA90DEAC (2)解：ADB90，ABAC，BDCD， O的半径为 5，BC16，AC10，CD8， AD= 2 2= 102 82=6， SADC= 1 2 = 1 2ACDE， DE= = 68 10 = 24 5 10(2020(2020福建福建) )如图，AB与O相切于点B，AO交O于点C，AO的延长线交O于点D，E是 上不与 B，D重合的点，sinA= 1 2 (1)求BED的大小； (2)若O的半径为 3，点F
26、在AB的延长线上，且BF33，求证：DF与O相切 【答案】见解析。 【分析】(1)连接OB，由切线求出ABO的度数，再由三角函数求出A，由三角形的外角性质求得BOD， 最后由圆周解与圆心角的关系求得结果； (2)连接OF，OB，证明BOFDOF，得ODFOBF90，便可得结论 【解析】(1)连接OB，如图 1， AB与O相切于点B， ABO90， sinA= 1 2， A30， BODABO+A120， BED= 1 2BOD60； (2)连接OF，OB，如图 2， AB是切线， OBF90， BF33，OB3， = = 3， BOF60， BOD120， BOFDOF60， 在BOF和DOF
27、中， = = = ， BOFDOF(SAS)， OBFODF90， DF与O相切 11.在等腰直角ABC 中， ACB=90， P 是线段 BC 上一动点(与点 B、 C 不重合)， 连接 AP， 延长 BC 至点 Q， 使得 CQ=CP，过点 Q 作 QHAP 于点 H，交 AB 于点 M (1)若PAC=，求AMQ 的大小(用含的式子表示) (2)用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明 【答案】见解析。 【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出BAC=B=45，PAB=45，由直角三角形的性质即可得 出结论； (2)连接 AQ，作 MEQB，由 AAS 证明APCQME，得
28、出 PC=ME，AEB 是等腰直角三角形，由等腰直角三 角形的性质即可得出结论 解：(1)AMQ=45+；理由如下： PAC=，ACB 是等腰直角三角形， BAC=B=45，PAB=45， QHAP， AHM=90， AMQ=180AHMPAB=45+； (2)PQ=MB；理由如下： 连接 AQ，作 MEQB，如图所示： ACQP，CQ=CP， QAC=PAC=， QAM=45+=AMQ， AP=AQ=QM， 在APC 和QME 中， APCQME(AAS)， PC=ME， AEB 是等腰直角三角形， PQ=MB， PQ=MB 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性
29、质、勾股定理；熟练掌握等腰 直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键 12(2020 铜仁模拟)已知，如图，点 D 在等边三角形 ABC 的边 AB 上，点 F 在边 AC 上，连接 DF 并延长交 BC 的延长线于点 E，EF=FD 求证：AD=CE 【答案】见解析。 【解析】 作 DGBC 交 AC 于 G， 先证明DFGEFC， 得出 GD=CE， 再证明ADG 是等边三角形， 得出 AD=GD， 即可得出结论 证明：作 DGBC 交 AC 于 G，如图所示： 则DGF=ECF， 在DFG 和EFC 中， DFGEFC(AAS)，GD=CE， ABC 是等边三角形，A=B=
30、ACB=60， DGBC， ADG=B，AGD=ACB， A=ADG=AGD， ADG 是等边三角形，AD=GD，AD=CE 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与 性质，并能进行推理论证是解决问题的关键 13.(202013.(2020 江苏镇江模拟江苏镇江模拟) )如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线 于点 F，点 G 在 BC 边上，且GDF=ADF。 (1)求证：ADEBFE； (2)连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系，并说明理由。 【答案】见解析。【答案】见解
31、析。 【解析】(1)证明：ADBC，ADE=BFE(两直线平行，内错角相等)。 E 是 AB 的中点，AE=BE。 又AED=BEF，ADEBFE(AAS)。 (2)EG 与 DF 的位置关系是 EGDF。理由如下： ADE=BFE，GDF=ADF， GDF=BFE(等量代换)。 GD=GF(等角对等边)。 又ADEBFE， DE=EF(全等三角形对应边相等)。 EGDF(等腰三角形三线合一)。 【点拨】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。 (1)由已知，应用 AAS 即可证明ADEBFE。 (2)由ADE=BFE，GDF=ADF 可得GDF=BFE，从而根据等角对等边得 GD=GF；由(1)ADEBFE 可 得 DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得 EGDF。