1、 专题专题 32 32 中考几何平移类问题中考几何平移类问题 1.1.平移的定义：平移的定义：平面图形的每个点沿着某一方向移动相同的距离，这样的图形运动称为平移.平移是由移动 的方向和移动的距离所决定.平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样 的两个点叫做对应点。 2.2.平移的特点：平移的特点：经平移运动后的图形图形的位置发生变化, 形状和大小不变. 3.3.理解并掌握平移的三个特征：理解并掌握平移的三个特征： (1)对应线段平行(或在一条直线上)且相等；对应角相等. (2)对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等. (3)图形在平移后形状和大小都不变. 4.
2、4.图形平移的画法：图形平移的画法： (1)确定点；(2)定方向；(3)定距离。 【例题【例题 1 1】(2020(2020广东广东) )在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为( ) A(3，2) B(2，3) C(2，3) D(3，2) 【答案】D 【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可 点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为(3，2) 【对点练习】【对点练习】(2019 湖南邵阳)一次函数 y1=k1x+b1的图象 l1如图所示，将直线 l1向下平移若干个单位后得直 线 l2，l2的函数表达式为 y2=k2x+b2下列说法中错误的是( ) A
3、k1=k2 Bb1b2 Cb1b2 D当 x=5 时，y1y2 【答案】B 【解析】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断 将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2， 直线l1直线l2， k1k2， 直线l1向下平移若干个单位后得直线l2， b1b2， 当x5 时，y1y2 【点拨】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上 某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减平移后解析 式有这样一个规律“左加右减，上加下减” 关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系 【例题【例题 2 2】(2019(2019 桂林
4、桂林) )如图，在平面直角坐标系中，反比例y(k0)的图象和ABC都在第一象限内， ABAC，BCx轴，且BC4，点A的坐标为(3，5)若将ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同 时落在反比例函数图象上，则m的值为 【答案】； 【解析】ABAC，BC4，点A(3，5) B(1，)，C(5，)， 将ABC向下平移m个单位长度， A(3，5m)，C(5，m)， A，C两点同时落在反比例函数图象上， 3(5m)5(m)， m 【对点练习】【对点练习】(2020 枣庄模拟)已知：ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A(0，3)、B(3，4)、 C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长
5、是一个单位长度) (1)画出ABC 向下平移 4 个单位长度得到的A1B1C1，点 C1的坐标是 ； (2)以点 B 为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC 位似，且位似比为 2：1，点 C2的坐标 是 ； (3)A2B2C2的面积是 平方单位 【答案】见解析。 【解析】(1)如图所示：C1(2，2)； 故答案为：(2，2)； (2)如图所示：C2(1，0)； 故答案为：(1，0)； (3)A2C2 2=20，B 2C2 2=20，A 2B2=40， A2B2C2是等腰直角三角形， A2B2C2的面积是： 20=10 平方单位 故答案为：10 【点拨】此题主要考查了位似图
6、形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解 题关键。 【例题【例题 3 3】 (2020(2020北京北京) )在平面直角坐标系xOy中， 一次函数ykx+b(k0)的图象由函数yx的图象平移 得到，且经过点(1，2) (1)求这个一次函数的解析式； (2)当x1 时，对于x的每一个值，函数ymx(m0)的值大于一次函数ykx+b的值，直接写出m的取值 范围 【答案】见解析。 【分析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k1，再将点A(1，2)代入yx+b，求出b的值，即可得到 一次函数的解析式； (2)根据点(1，2)结合图象即可求得 【解析】(1)一次函数ykx+b(
7、k0)的图象由直线yx平移得到， k1， 将点(1，2)代入yx+b， 得 1+b2，解得b1， 一次函数的解析式为yx+1； (2)把点(1，2)代入ymx求得m2， 当x1 时，对于x的每一个值，函数ymx(m0)的值大于一次函数yx+1 的值， m2 一、选择题一、选择题 1(2020(2020菏泽菏泽) )在平面直角坐标系中，将点P(3，2)向右平移 3 个单位得到点P，则点P关于x轴的对 称点的坐标为( ) A(0，2) B(0，2) C(6，2) D(6，2) 【答案】A 【解析】先根据向右平移 3 个单位，横坐标加 3，纵坐标不变，求出点P的坐标，再根据关于x轴对称， 横坐标不变
8、，纵坐标相反解答 将点P(3，2)向右平移 3 个单位得到点P， 点P的坐标是(0，2)， 点P关于x轴的对称点的坐标是(0，2) 2.(2019 哈尔滨)将抛物线 2 2xy 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得到的抛物线 为( ) A3)2(2 2 xy B3)2(2 2 xy C3)2(2 2 xy D3)2(2 2 xy 【答案】B 【解析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可 将抛物线y2x 2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y2(x2) 2+3 【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移
9、的规律：左加右减，上加下减 3 3(2019(2019 海南海南) )如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，1)，平移线段AB，使点A落在点 A1(2，2)处，则点B的对应点B1的坐标为( ) A(1，1) B(1，0) C(1，0) D(3，0) 【答案】C 【解析】由点A(2，1)平移后A1(2，2)可得坐标的变化规律是：左移 4 个单位，上移 1 个单位， 点B的对应点B1的坐标(1，0) 4 4(2019(2019 广西梧州广西梧州) )直线y3x+1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是( ) Ay3x+3 By3x2 Cy3x+2 Dy3x1 【答案】D 【解
10、析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案 直线y3x+1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是：y3x+123x1 5(2019 广西百色)抛物线yx 2+6x+7 可由抛物线 yx 2如何平移得到的( ) A先向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位 B先向左平移 6 个单位，再向上平移 7 个单位 C先向上平移 2 个单位，再向左平移 3 个单位 D先回右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位 【答案】A 【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可 因为yx 2+6x+7(x+3)22 所以将抛物线yx 2先向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位即可得到抛物线 yx 2
11、+6x+7 【点拨】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 6(2020 济南模拟)如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将ABC 先向右 平移 4 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度，得到A1B1C1，那么点 A 的对应点 A1 的坐标为( ) A (4，3) B (2，4) C (3，1) D (2，5) 【答案】D 【解析】根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可 由坐标系可得 A(2，6)，将ABC 先向右平移 4 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度，点 A 的对应点 A1 的坐标为(2+4，61
12、)， 即(2，5)， 【点拨】此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律 7.将抛物线y=x 22x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式 为( ) A y=(x1) 2+4 B y=(x4) 2+4 C y=(x+2) 2+6 D y=(x4) 2+6 【答案】B 【解析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式 将y=x 22x+3 化为顶点式，得 y=(x1) 2+2 将抛物线y=x 22x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 y=(x 4) 2+4 【点拨】本题考
13、查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减 8(2020 咸宁模拟)如图，以点 O 为位似中心，将ABC 放大得到DEF若 AD=OA，则ABC 与DEF 的面 积之比为( ) A 1：2 B 1：4 C 1：5 D 1：6 【答案】B 【解析】以点 O 为位似中心，将ABC 放大得到DEF，AD=OA， OA：OD=1：2， ABC 与DEF 的面积之比为：1：4 【点拨】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键 9.如图， 两个全等的直角三角形重叠在一起， 将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到DEF的位置， AB=10，DO=4，平移距离为 6，则
14、阴影部分面积为( ) A48 B96 C84 D42 【答案】A 【解析】考点是平移的性质。根据平移的性质得出 BE=6，DE=AB=10，则 OE=6，则阴影部分面积=S四边形 ODFC=S 梯形 ABEO，根据梯形的面积公式即可求解 由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10， OE=DEDO=104=6， S四边形 ODFC=S梯形 ABEO= (AB+OE)BE= (10+6)6=48 10.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造 型，则所用铁丝的长度关系是( ) A甲种方案所用铁丝最长 B乙种方案所用铁丝最长 C丙种方案所用铁丝最长
15、 D三种方案所用铁丝一样长 【答案】D 【解析】考点是生活中的平移现象。分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案 由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b， 乙所用铁丝的长度为：2a+2b， 丙所用铁丝的长度为：2a+2b， 故三种方案所用铁丝一样长 二、填空题二、填空题 11(2020(2020武威武威) )如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，3)，(4，0)把OAB 沿x轴向右平移得到CDE，如果点D的坐标为(6，3)，则点E的坐标为 【答案】(7，0) 【解析】利用平移的性质解决问题即可 A(3，3)，D(6，3)， 点A向右平移 3 个单
16、位得到D， B(4，0)， 点B向右平移 3 个单位得到E(7，0)。 12(2020 枣庄模拟)如图，直线 y=2x+4 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，以 OB 为边在 y 轴右侧作等边三角 形 OBC，将点 C 向左平移，使其对应点 C恰好落在直线 AB 上，则点 C的坐标为 【答案】(1，2) 【解析】直线 y=2x+4 与 y 轴交于 B 点， x=0 时， 得 y=4， B(0，4) 以 OB 为边在 y 轴右侧作等边三角形 OBC， C 在线段 OB 的垂直平分线上， C 点纵坐标为 2 将 y=2 代入 y=2x+4，得 2=2x+4， 解得 x=1 故答案为：(1，2)
17、 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化平移，得出 C 点纵坐标为 2 是解题的关键 13 (2020 咸宁模拟)如图， 在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为(0， 6)， 将OAB 沿 x 轴向左平移得到O AB，点 A 的对应点 A落在直线 y= x 上，则点 B 与其对应点 B间的距离为 【答案】8 【解析】由题意可知，点 A 移动到点 A位置时，纵坐标不变， 点 A的纵坐标为 6， x=6，解得 x=8， OAB 沿 x 轴向左平移得到OAB位置，移动了 8 个单位， 点 B 与其对应点 B间的距离为 8， 故答案为：8 【点拨】本题考查的是一
18、次函数图象上点的坐标特征和图形的平移，确定三角形 OAB 移动的距离是解题的 关键 14(2020 岳阳模拟)如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点 C 的纵坐标为2，现将抛 物线向右平移 2 个单位，得到抛物线 y=a1x 2+b 1x+c1，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序 号) b0 ab+c0 阴影部分的面积为 4 若 c=1，则 b 2=4a 【答案】 【解析】抛物线开口向上， a0， 又对称轴为 x=0， b0， 结论不正确； x=1 时，y0， ab+c0， 结论不正确； 抛物线向右平移了 2 个单位， 平行四边形的底是 2， 函数
19、 y=ax 2+bx+c 的最小值是 y=2， 平行四边形的高是 2， 阴影部分的面积是：22=4， 结论正确； ，c=1， b 2=4a， 结论正确 综上，结论正确的是： 故答案为： 【点拨】(1)此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由 于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原 抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出 解析式 (2)此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数 a 决定抛物线的开口方
20、向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系 数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时(即 ab0)，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异 号时(即 ab0)，对称轴在 y 轴右(简称：左同右异)常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴 交于(0，c) 15.如图所示，一座楼房的楼梯，高 1 米，水平距离是 2.8 米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买 这种地毯_米 【答案】3.8 【解析】根据楼梯高为 1m，楼梯的宽的和即为 2.8m 的长，再把高和宽的长相加即可 根据平移可得至少要买这种地毯 12.83
21、.8(米) 16.如图，是一块从一个边长为 20cm 的正方形 BCDM 材料中剪出的垫片，经测得 FG9cm，则这个剪出的图 形的周长是_cm 【答案】98 【解析】首先把 EF 平移到 MN 的位置，把 AH 平移到 MK 的位置，把 GH 平移到 AN 的位置，根据平移的性质 可得这个垫片的周长等于正方形的周长加 FG 这个垫片的周长：2049298(cm) 17如图，若DEF 是由ABC 经过平移后得到的，则平移的距离是_ 【答案】线段 BE 的长度 【解析】观察图形可知：DEF 是由ABC 沿 BC 向右移动 BE 的长度后得到的， 平移距离就是线段 BE 的长度 1818(2019
22、(2019 江苏徐州江苏徐州) )已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)将该图象向右平移，当它再次经 过点P时，所得抛物线的函数表达式为 【答案】y(x4) 2 【解析】设原来的抛物线解析式为：yax 2利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移 后的解析式，将点P的坐标代入即可 设原来的抛物线解析式为：yax 2(a0) 把P(2，2)代入，得 24a， 解得a 故原来的抛物线解析式是：yx 2 设平移后的抛物线解析式为：y(xb) 2 把P(2，2)代入，得 2(2b) 2 解得b0(舍去)或b4 所以平移后抛物线的解析式是：y(x4) 2 三、解答题三、解答
23、题 19(2020安顺)如图，一次函数yx+1 的图象与反比例函数y= 的图象相交，其中一个交点的横坐标是 2 (1)求反比例函数的表达式； (2)将一次函数yx+1 的图象向下平移 2 个单位，求平移后的图象与反比例函数y= 图象的交点坐标； (3)直接写出一个一次函数，使其过点(0，5)，且与反比例函数y= 的图象没有公共点 【分析】(1)将x2 代入yx+13，故其中交点的坐标为(2，3)，将(2，3)代入反比例函数表达式，即可 求解； (2)一次函数yx+1 的图象向下平移 2 个单位得到yx1，联立即可求解； (3)设一次函数的表达式为：ykx+5， 联立并整理得：kx 2+5x60
24、， 则25+24k0， 解得： k 25 24， 即可求解 【解析】(1)将x2 代入yx+13，故其中交点的坐标为(2，3)， 将(2，3)代入反比例函数表达式并解得：k236， 故反比例函数表达式为：y= 6 ； (2)一次函数yx+1 的图象向下平移 2 个单位得到yx1， 联立并解得： = 2 = 3或 = 3 = 2， 故交点坐标为(2，3)或(3，2)； (3)设一次函数的表达式为：ykx+5， 联立并整理得：kx 2+5x60， 两个函数没有公共点，故25+24k0，解得：k 25 24， 故可以取k2(答案不唯一)， 故一次函数表达式为：y2x+5(答案不唯一) 20(2020
25、 齐齐哈尔模拟)如图，在边上为 1 个单位长度的小正方形网格中： (1)画出ABC 向上平移 6 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后的A1B1C1 (2)以点 B 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，得到A2B2C2，请在网格中画出A2B2C2 (3)求CC1C2的面积 【答案】见解析。 【解析】(1)如图所示： ； (2)如图所示： ； (3)如图所示： CC1C2的面积为 36=9 【点拨】本题考查了平移的性质，位似的性质，三角形的面积公式的应用，能根据性质的特点进行画图是 解此题的关键，考查了学生的动手操作能力 21.(2020(2020 浙江宁波模拟浙江宁波模拟) )已知
26、抛物线，其中是常数 (1)求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线， 求该抛物线的函数解析式； 把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？ 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：， 由得. ，不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点. (2)， 抛物线的对称轴为直线，解得. 抛物线的函数解析式为. . 该抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点. 22.如图，在一块长为 20m，宽为 14m 的草地上有一条宽为 2m 的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草 地的绿地面积吗？ )()( 2 mxmxym
27、 mx 2 5 x yx 2 ()()()(1)yxmxmxm xm ()(1)0yxm xm 12 ,1xmxm 1mmmx 22 ()()211yxmxmxmxm m 215 22 m x 2m 2 56yxx 2 2 51 56 24 yxxx y 1 4 x 【答案】240m 2 【解析】根据平移，可得路是矩形，根据面积的和差，可得答案 平移使路变直，路是长 20m 宽 2m 的矩形， 绿地的面积 2014202240(m 2) 23如图所示，将ABC 平移，可以得到DEF，点 B 的对应点为点 E，请画出点 A 的对应点 D、点 C 的对应 点 F 的位置，并作出DEF 【答案】见解
28、析。 【解析】连接 BE，过 A、C 分别做 BE 的平行线，并且在平行线上截取 CF=AD=BE，连接 ED，EF，DF，得到的 DEF 即为平移后的新图形如图 24如图，将边长为 4 个单位的等边ABC 沿边 BC 向右平移 2 个单位得到DEF，则四边形 ABFD 的周长? 【答案】16 【解析】将边长为 4 个单位的等边ABC 沿边 BC 向右平移 2 个单位得到DEF， AD=BE=2，各等边三角形的边长均为 4 四边形 ABFD 的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16 25如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 是 BC 边上的高，将ABE 沿 BC 方向平移，使点 E 与点
29、C 重合，得 GFC求证：BE=DG 【答案】见解析。 【解析】根据平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且 相等，对应线段平行且相等，对应角相等 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD AE 是 BC 边上的高，且 CG 是由 AE 沿 BC 方向平移而成 CGADAEB=CGD=90 AE=CG， RtABERtCDGBE=DG 26.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1 个单位长度，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( 1，3)，B(4，0)，C(0，0)。画出将ABC 向上平移 1 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后得到
30、的 A1B1C1。 【答案】见解析。 【解析】由 B 点坐标和 B1的坐标得到ABC 向右平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位得到A1B1C1 ， 则根 据点平移的规律写出 A1和 C1的坐标，然后描点即可得到A1B1C1。 27.如图，在一块长为 20m，宽为 14m 的草地上有一条宽为 2m 的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草 地的绿地面积吗？ 【答案】这块草地的绿地面积是 240m 2 【解析】根据平移，可得路是矩形，根据面积的和差，可得答案 平移使路变直，路是长 20m、宽 2m 的矩形， 绿地的面积 2014202240(m 2) 2828(2019(2019 宁夏宁夏)
31、)将直角三角板ABC按如图 1 放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x 轴和y轴重合，其中ABC30将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止设平移 的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象(如图 2 所示)与m轴相 交于点P(，0)，与s轴相交于点Q (1)试确定三角板ABC的面积； (2)求平移前AB边所在直线的解析式； (3)求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标 【答案】见解析。 【解析】(1)与m轴相交于点P(，0)， OB， ABC30， OA1， S； (2)B(0，)，A(1，0)， 设AB的解析式ykx+b，
32、， ， yx+； (3)在移动过程中OBm，则OAtan30OB(m)1m， s(m)(1m)m+，(0m) 当m0 时，s， Q(0，) 2929(2019(2019 江苏淮安江苏淮安) )如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点A、B都在格点上(两条网 格线的交点叫格点) (1)将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段 A1B1； (2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转 90，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2； (3)连接AB2、BB2，求ABB2的面积 【答案】见解析。 【解析】(1)根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可； (2)根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可； (3)利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解 解：(1)线段A1B1如图所示； (2)线段A1B2如图所示； (3)S442224246