1、 专题专题 37 37 二次函数问题二次函数问题 1.二次函数的概念二次函数的概念： 一般地，自变量 x 和 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a0，a、b、c 为常数)，则称 y 为 x 的二次函 数。抛物线)0,( 2 acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。 2.2.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2 +bx+c(a +bx+c(a0)0)的图像与性质的图像与性质 (1)对称轴： 2 b x a (2)顶点坐标： 2 4 (,) 24 bacb aa (3)与 y 轴交点坐标(0，c) (4)增减性： 当 a0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴
2、右边，y 随 x 增大而增大； 当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 x 轴有两个交点； 2 4bac=0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x 轴有一个交点； 2 4bac 。 它与 x 轴的两个交点分别为(1，0)，(3，0)，对称轴是 x=1， b =1 2a 。b+2a=0。故命题错误。 a0， b 0 2a ，b0。 又 c0，abc0。故命题正确。 b+2a=0，a2b+4c=a+2b4b+4c=4b+4c。 ab+c=0，4a4b+4c=0。4b+4c=4a。 a0，a2b+4c=4b+4c=4a0。故命题正
3、确。 根据图示知，当 x=4 时，y0，16a+4b+c0。 由知，b=2a，8a+c0。故命题正确。 正确的命题为：三个。故选 A。 【点拨】二次函数图象与系数的关系。 【例题【例题 2】(2020无锡无锡)二次函数 yax23ax+3 的图象过点 A(6，0)，且与 y 轴交于点 B，点 M 在该抛物线 的对称轴上，若ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，则点 M 的坐标为 【答案】(3 2，9)或( 3 2，6) 【分析】把点 A(6，0)代入 yax23ax+3 得，036a18a+3，得到 y= 1 6x 2+1 2x+3，求得 B(0，3)，抛物 线的对称轴为 x= 1 2 2
4、(1 6) = 3 2，设点 M 的坐标为：( 3 2，m)，当ABM90，过 B 作 BD对称轴于 D， 当MAB90，根据三角函数的定义即可得到结论 【解析】把点 A(6，0)代入 yax23ax+3 得，036a18a+3， 解得：a= 1 6， y= 1 6x 2+1 2x+3， B(0，3)，抛物线的对称轴为 x= 1 2 2(1 6) = 3 2， 设点 M 的坐标为：(3 2，m)， 当ABM90， 过 B 作 BD对称轴于 D， 则123， tan2tan1= 6 3 =2， =2， DM3，M(3 2，6)， 当MAB90，tan3= =tan1= 6 3 =2， MN9，M
5、(3 2，9)， 综上所述，点 M 的坐标为(3 2，9)或( 3 2，6) 【对点练习】【对点练习】已知抛物线 y=ax23x+c(a0)经过点(2，4)，则 4a+c1= 【答案】-3 【解析】二次函数图象上点的坐标特征将点(2，4)代入 y=ax23x+c(a0)，即可求得 4a+c 的值，进一 步求得 4a+c1 的值 把点(2，4)代入 y=ax23x+c，得 4a+6+c=4， 4a+c=2， 4a+c1=3， 故答案为3 【例题【例题 3】(2020河南河南)如图，抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA OB，点 G 为抛物线的顶点
6、(1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标； (2)点 M， N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)， 且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度， 点 Q 为抛物线上点 M，N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围 【答案】见解析。 【分析】(1)先求出点 B，点 A 坐标，代入解析式可求 c 的值，即可求解； (2)先求出点 M，点 N 坐标，即可求解 【解析】(1)抛物线 yx2+2x+c 与 y 轴正半轴分别交于点 B， 点 B(0，c)， OAOBc，点 A(c，0)，0c2+2c+c，c3 或 0(舍去)， 抛物线解析式为：yx2+2
7、x+3， yx2+2x+3(x1)2+4， 顶点 G 为(1，4)； (2)yx2+2x+3(x1)2+4， 对称轴为直线 x1， 点 M， N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)， 且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度， 点 M 的横坐标为2 或 4，点 N 的横坐标为 6， 点 M 坐标为(2，5)或(4，5)，点 N 坐标(6，21)， 点 Q 为抛物线上点 M，N 之间(含点 M，N)的一个动点， 21yQ4 【对点练习】【对点练习】如图，抛物线 y=x2bx+c 交 x 轴于点 A(1，0)，交 y 轴于点 B，对称轴 是 x=2 (1)求抛物线的解析式；
8、 (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)由题意得， 解得 b=4，c=3， 抛物线的解析式为y=x24x+3； (2)点 A 与点 C 关于 x=2 对称， 连接 BC 与 x=2 交于点 P，则点 P 即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点 C 的坐标为(3，0)， y=x24x+3 与 y 轴的交点为(0，3)， 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b， ， 解得，k=1，b=3， 直线 BC 的解析式为：y=x+3， 则直线 BC 与 x=2 的交点坐标为：(2，
9、1) 点 P 的交点坐标为：(2，1) 【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般 步骤和轴对称的性质是解题的关键 一、选择题一、选择题 1(2020鄂州)如图，抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)和 B，与 y 轴交于点 C下列结论： abc0，2a+b0，4a2b+c0，3a+c0，其中正确的结论个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称 轴求出 2a 与 b 的关系 【解析】
10、由抛物线的开口向上知 a0， 对称轴位于 y 轴的右侧， b0 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0， abc0； 故错误；对称轴为 x= 2 1，得 2ab，即 2a+b0， 故错误； 如图，当 x2 时，y0，4a2b+c0， 故正确； 当 x1 时，y0， 0ab+ca+2a+c3a+c，即 3a+c0 故正确 综上所述，有 2 个结论正确 2 (2020株洲)二次函数 yax2+bx+c， 若 ab0， ab20， 点 A(x1， y1)， B(x2， y2)在该二次函数的图象上， 其中 x1x2，x1+x20，则( ) Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1、y2的大小无法确定 【
11、答案】B 【分析】首先分析出 a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示 y1，y2，再作差法比较 y1，y2的大小 【解析】ab20，b20， a0 又ab0， b0， x1x2，x1+x20， x2x1，x10 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在该二次函数 yax2+bx+c 的图象上， 1= 12+ 1+ ，2= 22+ 2+ = 12 1+ y1y22bx10 y1y2 3(2020襄阳)二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ac0；3a+c0；4acb20；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 其中正确的有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个
12、【答案】B 【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可 【解析】抛物线开口向上，且与 y 轴交于负半轴， a0，c0， ac0，结论正确； 抛物线对称轴为直线 x1， 2 =1， b2a， 抛物线经过点(1，0)， ab+c0， a+2a+c0，即 3a+c0，结论正确； 抛物线与 x 轴由两个交点， b24ac0，即 4acb20，结论正确； 抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，结论错误； 4(2020广东)把函数 y(x1)2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的的数解析式为( ) Ayx2+2 By(x
13、1)2+1 Cy(x2)2+2 Dy(x1)23 【答案】C 【分析】先求出 y(x1)2+2 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐 标，然后利用顶点式解析式写出即可 【解析】二次函数 y(x1)2+2 的图象的顶点坐标为(1，2)， 向右平移 1 个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2，2)， 所得的图象解析式为 y(x2)2+2 5(2020菏泽)一次函数 yacx+b 与二次函数 yax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A B C D 【答案】B 【分析】先由二二次函数 yax2+bx+c 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数 yac
14、x+b 的图象相比较 看是否一致 【解析】A.由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误； B.由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项正确； C.由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误； D.由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误 6 (2020天津)已知抛物线 yax2+bx+c(a， b， c 是常数， a0， c1)经过点(2， 0)， 其对称轴是直线 x= 1 2 有 下列结论： abc0； 关于 x 的方程 ax2+b
15、x+ca 有两个不等的实数根； a 1 2 其中，正确结论的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【答案】C 【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴 2 = 1 2，ba，判断 a，b 与 0 的关系，得到 abc0， 即可判断； 根据题意得到抛物线开口向下，顶点在 x 轴上方，即可判断； 根据抛物线 yax2+bx+c 经过点(2，0)以及 ba，得到 4a2a+c0，即可判断 【解析】抛物线的对称轴为直线 x= 1 2， 而点(2，0)关于直线 x= 1 2的对称点的坐标为(1，0)， c1， 抛物线开口向下， a0， 抛物线对称轴为直线 x= 1 2， 2 = 1 2， ba0， a
16、bc0，故错误； 抛物线开口向下，与 x 轴有两个交点， 顶点在 x 轴的上方， a0， 抛物线与直线 ya 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根；故正确； 抛物线 yax2+bx+c 经过点(2，0)， 4a+2b+c0， ba， 4a2a+c0，即 2a+c0， 2ac， c1， 2a1， a 1 2，故正确， 7(2020陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2(m1)x+m(m1)沿 y 轴向下平移 3 个单位则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶
17、点坐标，然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的 象限即可 【解析】yx2(m1)x+m(x 1 2 )2+m (1)2 4 ， 该抛物线顶点坐标是(1 2 ，m (1)2 4 )， 将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是(1 2 ，m (1)2 4 3)， m1， m10， 1 2 0， m (1)2 4 3= 4(22+1)12 4 = (3)24 4 = (3)2 4 10， 点(1 2 ，m (1)2 4 3)在第四象限； 8.(2019 哈尔滨哈尔滨)将抛物线 2 2xy 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得到的抛物线 为( ) A
18、3)2(2 2 xy B3)2(2 2 xy C3)2(2 2 xy D3)2(2 2 xy 【答案】B 【解析】将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y 2(x2)2+3，故选 B 9.(2019 年陕西省年陕西省)已知抛物线 2 (1)yxmxm，当1x 时，0y ，且当2x时， y 的值随 x 值 的增大而减小，则 m 的取值范围是( ) A1m B3m C13m D34m 【答案】C 【解析】根据“当1x 时，0y ” ，得到一个关于 m 不等式，在根据抛物线 2 (1)yxmxm，可知 抛物线开口向上， 再在根据 “当2x时，
19、 y 的值随 x 值的增大而减小” ， 可知抛物线的对称轴在直线2x 的右侧或者是直线2x，从而列出第二个关于 m 的不等式，两个不等式联立，即可解得答案 因为抛物线 2 (1)yxmxm， 所以抛物线开口向上 因为当1x 时，0y ， 所以 2 1(1) 10mm ， 因为当2x时， y 的值随 x 值的增大而减小， 所以可知抛物线的对称轴在直线2x的右侧或者是直线2x， 所以 1 2 2 1 m ， 联立不等式，解得13m 10.(2019 广西梧州广西梧州)已知0m ，关于x的一元二次方程(1)(2)0 xxm的解为 1 x， 212 ()xxx，则下列 结论正确的是( ) A 12 1
20、2xx B 12 12xx C 12 12xx D 12 12xx 【答案】A 【解析】关于x的一元二次方程(1)(2)0 xxm的解为 1 x， 2 x，可以看作二次函数(1)(2)mxx与x 轴交点的横坐标， 二次函数(1)(2)mxx与x轴交点坐标为( 1,0)，(2,0)，如图： 当0m 时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时1x ，或2x ； 又 12 xx 1 1x ， 2 2x ； 12 12xx ， 故选：A 二、填空题二、填空题 11(2020南京)下列关于二次函数 y(xm)2+m2+1(m 为常数)的结论：该函数的图象与函数 yx2 的图象形状相同；该函数的图象一定经过点
21、(0，1)；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；该函数的图 象的顶点在函数 yx2+1 的图象上其中所有正确结论的序号是 【答案】 【分析】利用二次函数的性质一一判断即可 【解析】二次函数 y(xm)2+m+1(m 为常数)与函数 yx2的二次项系数相同， 该函数的图象与函数 yx2的图象形状相同，故结论正确； 在函数 y(xm)2+m2+1 中，令 x0，则 ym2+m2+11， 该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论正确； y(xm)2+m2+1， 抛物线开口向下，对称轴为直线 xm，当 xm 时，y 随 x 的增大而减小，故结论错误； 抛物线开口向下，当 xm 时，函数 y 有最大
22、值 m2+1， 该函数的图象的顶点在函数 yx2+1 的图象上故结论正确. 12(2020连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x(单位：min)满足函数表达式 y0.2x2+1.5x2，则最佳加工时间为 min 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的性质可得 【解析】根据题意：y0.2x2+1.5x2， 当 x= 1.5 2(0.2) =3.75 时，y 取得最大值， 则最佳加工时间为 3.75min 13(2020泰安)已知二次函数 yax2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)的 y 与 x 的部分对应值如下表： x 5
23、 4 2 0 2 y 6 0 6 4 6 下列结论： a0； 当 x2 时，函数最小值为6； 若点(8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则 y1y2； 方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 其中，正确结论的序号是 (把所有正确结论的序号都填上) 【答案】 【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系 进行判断即可 【解析】将(4，0)(0，4)(2，6)代入 yax2+bx+c 得， 16 4 + = 0 = 4 4 + 2 + = 6 ，解得， = 1 = 3 = 4 ， 抛物线的关系式为 yx2+3x4， a10，因此正确；
24、 对称轴为 x= 3 2，即当 x= 3 2时，函数的值最小，因此不正确； 把(8，y1)(8，y2)代入关系式得，y16424436，y264+24484，因此正确； 方程 ax2+bx+c5，也就是 x2+3x45，即方 x2+3x+10，由 b24ac9450 可得 x2+3x+10 有两个不相等的实数根，因此正确； 正确的结论有： 14(2020哈尔滨)抛物线 y3(x1)2+8 的顶点坐标为 【答案】(1，8) 【分析】已知抛物线顶点式 ya(xh)2+k，顶点坐标是(h，k) 【解析】抛物线 y3(x1)2+8 是顶点式， 顶点坐标是(1，8) 15(2020无锡)请写出一个函数表
25、达式，使其图象的对称轴为 y 轴： 【答案】yx2(答案不唯一) 【分析】根据形如 yax2的二次函数的性质直接写出即可 【解析】图象的对称轴是 y 轴， 函数表达式 yx2(答案不唯一)， 故答案为：yx2(答案不唯一) 16(2020上海)如果将抛物线 yx2向上平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达式是 【答案】yx2+3 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解 【解析】抛物线 yx2向上平移 3 个单位得到 yx2+3 17(2020黔东南州)抛物线 yax2+bx+c(a0)的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为(3，0)， 对称轴为 x1，则当 y0 时，x 的取值范
26、围是 【答案】3x1 【分析】根据物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交点，再 根据抛物线的增减性可求当 y0 时，x 的取值范围 【解析】物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为(1，0)， 由图象可知，当 y0 时，x 的取值范围是3x1 18(2020灌南县一模)二次函数 yx22x+3 的图象的顶点坐标为 【答案】(1，4) 【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可 【解析】yx22x+3 (x2+2x+11)+3 (x+1)2+4， 顶点坐
27、标为(1，4) 19.(2019 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨)二次函数8)6( 2 xy的最大值是 【答案】8 【解析】a10，y 有最大值， 当 x6 时，y 有最大值 8故答案为 8 20.(2019 江苏镇江江苏镇江)已知抛物线 yax24ax4a1(a0)过点 A(m，3)，B(n，3)两点，若线段 AB 的长不大 于 4，则代数式 a2a1 的最小值是 【答案答案】 7 4 【解析】【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段 AB 的长不大于 4，求出 a 的取值范围，再利 用二次函数的增减性求代数式 a2a1 的最小值 yax24ax4a1a(x2)21， 该抛物线的顶点
28、坐标为(2，1)，对称轴为直线 x2 抛物线过点 A(m，3)，B(n，3)两点， 当 y3 时，a(x2)213，(x2)2 2 a ，当 a0 时，x2 2 a A(2 2 a ，3)，B(2 2 a ，3) AB2 2 a 线段 AB 的长不大于 4， 2 2 a 4 a 1 2 a2a1(a 1 2 )2 3 4 ， 当 a 1 2 ，(a2a1)min(a 1 2 )2 3 4 7 4 21.(2019 内蒙古赤峰内蒙古赤峰)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0； 一元二次方程 ax2+bx+c+10(a0)有两个不相等的实数根；当 x1 或
29、 x3 时，y0上述结论中正 确的是 (填上所有正确结论的序号) 【答案】 【解析】由图可知，对称轴 x1，与 x 轴的一个交点为(3，0)， b2a，与 x 轴另一个交点(1，0)， a0， b0； 错误； 当 x1 时，y0， ab+c0； 正确； 一元二次方程 ax2+bx+c+10 可以看作函数 yax2+bx+c 与 y1 的交点， 由图象可知函数 yax2+bx+c 与 y1 有两个不同的交点， 一元二次方程 ax2+bx+c+10(a0)有两个不相等的实数根； 正确； 由图象可知，y0 时，x1 或 x3 正确； 故答案为 三、解答题三、解答题 22(2020陕西陕西)如图，抛物
30、线 yx2+bx+c 经过点(3，12)和(2，3)，与两坐标轴的交点分别为 A，B，C， 它的对称轴为直线 l (1)求该抛物线的表达式； (2)P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点要使以 P、D、E 为顶点的三角形 与AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)将点(3，12)和(2，3)代入抛物线表达式，即可求解； (2)由题意得：PDDE3 时，以 P、D、E 为顶点的三角形与AOC 全等，分点 P 在抛物线对称轴右侧、 点 P 在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可 【解析】(1)将点(3，12)和(
31、2，3)代入抛物线表达式得12 = 9 + 3 + 3 = 4 2 + ，解得 = 2 = 3， 故抛物线的表达式为：yx2+2x3； (2)抛物线的对称轴为 x1，令 y0，则 x3 或 1，令 x0，则 y3， 故点 A、B 的坐标分别为(3，0)、(1，0)；点 C(0，3)， 故 OAOC3， PDEAOC90， 当 PDDE3 时，以 P、D、E 为顶点的三角形与AOC 全等， 设点 P(m，n)，当点 P 在抛物线对称轴右侧时，m(1)3，解得：m2， 故 n22+2255，故点 P(2，5)， 故点 E(1，2)或(1，8)； 当点 P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可
32、得，点 P(4，5)，此时点 E 坐标同上， 综上，点 P 的坐标为(2，5)或(4，5)；点 E 的坐标为(1，2)或(1，8) 23(2020凉山州凉山州)如图，二次函数 yax2+bx+x 的图象过 O(0，0)、A(1，0)、B(3 2， 3 2 )三点 (1)求二次函数的解析式； (2)若线段 OB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与二次函数的图象在 x 轴上方的部分相交于点 D，求直线 CD 的解析式； (3)在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P 作 PQx 轴，交直线 CD 于 Q，当线段 PQ 的 长最大时，求点 P 的坐标 【答案】见解析。 【分析】(
33、1)将点 O、A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)由点 B 的坐标知，直线 BO 的倾斜角为 30，则 OB 中垂线(CD)与 x 负半轴的夹角为 60，故设 CD 的 表达式为：y= 3x+b，而 OB 中点的坐标为(3 4， 3 4 )，将该点坐标代入 CD 表达式，即可求解； (3)过点 P 作 y 轴额平行线交 CD 于点 H，PH= 3x+3 (2 3 3 x2 23 3 x)= 23 3 x2 3 3 x+3，即可求解 【解析】(1)将点 O、A、B 的坐标代入抛物线表达式得 = 0 + + = 0 3 2 = 9 4 + 3 2 + ，解得 = 23 3 = 23
34、3 = 0 ， 故抛物线的表达式为：y= 23 3 x2 23 3 x； (2)由点 B 的坐标知，直线 BO 的倾斜角为 30，则 OB 中垂线(CD)与 x 负半轴的夹角为 60， 故设 CD 的表达式为：y= 3x+b，而 OB 中点的坐标为(3 4， 3 4 )， 将该点坐标代入 CD 表达式并解得：b= 3， 故直线 CD 的表达式为：y= 3x+3； (3)设点 P(x，23 3 x2 23 3 x)，则点 Q(x，3x+3)， 则 PQ= 3x+3 (2 3 3 x2 23 3 x)= 23 3 x2 3 3 x+3， 23 3 0，故 PQ 有最大值，此时点 P 的坐标为( 1
35、 4， 273 16 ) 24(2020黑龙江黑龙江)如图，已知二次函数 yx2+(a+1)xa 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 位于点 B 的左侧)， 与 y 轴交于点 C，已知BAC 的面积是 6 (1)求 a 的值； (2)在抛物线上是否存在一点 P，使 SABPSABC若存在请求出 P 坐标，若不存在请说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)由 yx2+(a+1)xa，令 y0，即x2+(a+1)xa0，可求出 A、B 坐标结合三角形的面积， 解出 a3； (2)根据题意 P 的纵坐标为3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得 P 的坐标 【解析】(1)yx2+(a+1)xa
36、， 令 x0，则 ya， C(0，a)， 令 y0，即x2+(a+1)xa0 解得 x1a，x21 由图象知：a0 A(a，0)，B(1，0) SABC6 1 2(1a)(a)6 解得：a3，(a4 舍去)； (2)a3， C(0，3)， SABPSABC P 点的纵坐标为3， 把 y3 代入 yx22x+3 得x22x+33，解得 x0 或 x2， 把 y3 代入 yx22x+3 得x22x+33，解得 x1+7或 x17， P 点的坐标为(2，3)或(1+7，3)或(17，3) 25(2020衡阳衡阳)在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 yx2+px+q 的图象过点(1，0
37、)，(2，0) (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当2x1 时，y 的最大值与最小值的差； (3)一次函数 y(2m)x+2m 的图象与二次函数 yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b，且 a3 b，求 m 的取值范围 【答案】见解析。 【分析】(1)由二次函数的图象经过(1，0)和(2，0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式； (2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当 x2，函数有最大值 4；当 x= 1 2是函数有最小值 9 4，进而 求得它们的差； (3)由题意得 x2x2(2m)x+2m，整理得 x2+(m3)x+m40，因为 a2b，ab，(m3)
38、2 4(m4)(m5)20，把 x3 代入(2m)x+2mx2x2，解得 m 1 2 【解析】(1)由二次函数 yx2+px+q 的图象经过(1，0)和(2，0)两点， 1 + = 0 4 + 2 + = 0，解得 = 1 = 2， 此二次函数的表达式 yx2x2； (2)抛物线开口向上，对称轴为直线 x= 1+2 2 = 1 2， 在2x1 范围内，当 x2，函数有最大值为：y4+224；当 x= 1 2是函数有最小值： y= 1 4 1 2 2= 9 4， 的最大值与最小值的差为：4( 9 4) = 25 4 ； (3)y(2m)x+2m 与二次函数 yx2x2 图象交点的横坐标为 a 和
39、 b， x2x2(2m)x+2m，整理得 x2+(m3)x+m40 a3b ab (m3)24(m4)(m5)20 m5 a3b 当 x3 时，(2m)x+2mx2x2， 把 x3 代入(2m)x+2mx2x2，解得 m 1 2 m 的取值范围为 m 1 2 26(2020甘孜州甘孜州)某商品的进价为每件 40 元，在销售过程中发现，每周的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之 间的关系可以近似看作一次函数 ykx+b，且当售价定为 50 元/件时，每周销售 30 件，当售价定为 70 元/ 件时，每周销售 10 件 (1)求 k，b 的值； (2)求销售该商品每周的利润 w(元)与销售单价
40、x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最 大利润 【答案】见解析。 【分析】(1)利用待定系数法可求解析式； (2)由销售该商品每周的利润 w销售单价销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解 【解析】(1)由题意可得：30 = 50 + 10 = 70 + ， = 1 = 80 ， 答：k1，b80； (2)w(x40)y(x40)(x+80)(x60)2+400， 当 x60 时，w 有最大值为 400 元， 答：销售该商品每周可获得的最大利润为 400 元 27(2020安徽安徽)在平面直角坐标系中，已知点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线 yx+m 经
41、过点 A，抛物线 yax2+bx+1 恰好经过 A，B，C 三点中的两点 (1)判断点 B 是否在直线 yx+m 上，并说明理由； (2)求 a，b 的值； (3)平移抛物线 yax2+bx+1，使其顶点仍在直线 yx+m 上，求平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大 值 【答案】见解析。 【分析】(1)根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点 B(2，3)在直线 yx+m 上； (2)因为直线经过 A、B 和点(0，1)，所以经过点(0，1)的抛物线不同时经过 A、B 点，即可判断抛物线只能 经过 A、C 两点，根据待定系数法即可求得 a、b； (3)设平移后的抛物线为 yx+px
42、+q，其顶点坐标为( 2， 2 4 +q)，根据题意得出 2 4 +q= 2 +1，由抛物线 y x+px+q 与 y 轴交点的纵坐标为 q，即可得出 q= 2 4 2 1= 1 4(p1) 2+5 4，从而得出 q 的最大值 【解析】(1)点 B 是在直线 yx+m 上，理由如下： 直线 yx+m 经过点 A(1，2)， 21+m，解得 m1， 直线为 yx+1， 把 x2 代入 yx+1 得 y3， 点 B(2，3)在直线 yx+m 上； (2)直线 yx+1 与抛物线 yax2+bx+1 都经过点(0，1)，且 B、C 两点的横坐标相同， 抛物线只能经过 A、C 两点， 把 A(1，2)
43、，C(2，1)代入 yax2+bx+1 得 + + 1 = 2 4 + 2 + 1 = 1， 解得 a1，b2； (3)由(2)知，抛物线为 yx2+2x+1， 设平移后的抛物线为 yx+px+q，其顶点坐标为( 2， 2 4 +q)， 顶点仍在直线 yx+1 上， 2 4 +q= 2 +1， q= 2 4 2 1， 抛物线 yx+px+q 与 y 轴的交点的纵坐标为 q， q= 2 4 2 1= 1 4(p1) 2+5 4， 当 p1 时，平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大值为5 4 28(2020上海上海)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= 1 2x+5 与 x 轴、y 轴分
44、别交于点 A、B(如图)抛物线 y ax2+bx(a0)经过点 A (1)求线段 AB 的长； (2)如果抛物线 yax2+bx 经过线段 AB 上的另一点 C，且 BC= 5，求这条抛物线的表达式； (3)如果抛物线 yax2+bx 的顶点 D 位于AOB 内，求 a 的取值范围 【答案】见解析。 【分析】(1)先求出 A，B 坐标，即可得出结论； (2)设点 C(m， 1 2m+5)，则 BC= 5 2 |m，进而求出点 C(2，4)，最后将点 A，C 代入抛物线解析式中，即可得 出结论； (3)将点 A 坐标代入抛物线解析式中得出 b10a，代入抛物线解析式中得出顶点 D 坐标为(5，2
45、5a)，即 可得出结论 【解析】(1)针对于直线 y= 1 2x+5， 令 x0，y5，B(0，5)， 令 y0，则 1 2x+50，x10， A(10，0)， AB= 52+ 102=55； (2)设点 C(m， 1 2m+5)， B(0，5)， BC=2+ ( 1 2 + 5 5)2= 5 2 |m|， BC= 5， 5 2 |m|= 5，m2， 点 C 在线段 AB 上，m2，C(2，4)， 将点 A(10，0)，C(2，4)代入抛物线 yax2+bx(a0)中，得100 + 10 = 0 4 + 2 = 4 ， = 1 4 = 5 2 ， 抛物线 y= 1 4x 2+5 2x； (3)
46、点 A(10，0)在抛物线 yax2+bx 中，得 100a+10b0， b10a， 抛物线的解析式为 yax210axa(x5)225a， 抛物线的顶点 D 坐标为(5，25a)， 将 x5 代入 y= 1 2x+5 中，得 y= 1 2 5+5= 5 2， 顶点 D 位于AOB 内， 025a 5 2， 1 10 a0； 29(2020苏州苏州)如图，二次函数 yx2+bx 的图象与 x 轴正半轴交于点 A，平行于 x 轴的直线 l 与该抛物线 交于 B、C 两点(点 B 位于点 C 左侧)，与抛物线对称轴交于点 D(2，3) (1)求 b 的值； (2)设 P、 Q 是 x 轴上的点(点
47、 P 位于点 Q 左侧)， 四边形 PBCQ 为平行四边形 过点 P、 Q 分别作 x 轴的垂线， 与抛物线交于点 P(x1，y1)、Q(x2，y2)若|y1y2|2，求 x1、x2的值 【答案】见解析。 【分析】(1)抛物线的对称轴为 x2，即1 2b2，解得：b4，即可求解； (2)求出点 B、C 的坐标分别为(1，3)、(3，3)，则 BC2，而四边形 PBCQ 为平行四边形，则 PQBC 2，故 x2x12，即可求解 【解析】(1)直线与抛物线的对称轴交于点 D(2，3)， 故抛物线的对称轴为 x2，即1 2b2，解得：b4， 故抛物线的表达式为：yx24x； (2)把 y3 代入 yx24x 并解得 x1 或 3， 故点 B、C 的坐标分别为(1，3)、(3，3)，则 BC2， 四边形 PBCQ 为平行四边形， PQBC2，故 x2x12， 又y1x124x1，y2x224x2，|y1y2|2， 故|(x124x1)(x224x2