1、 专题专题 39 39 中考函数综合类问题中考函数综合类问题 1.一次函数与二次函数的综合。 2.一次函数与反比例函数的综合。 3.二次函数与反比例函数的综合。 4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。 5.其他情况下的综合。 【例题【例题 1】 (2020青岛青岛)已知在同一直角坐标系中， 二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y= 的图象如图所示， 则一次函数 y= xb 的图象可能是( ) A B C D 【答案】B 【分析】 根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限， 即可得出a0、 b0、 c0， 由此即可得出 0， b0，即可得出一次函数 y= xb 的图象经过二三四象限，再
2、对照四个选项中的图象即可得出结论 【解析】观察函数图象可知：a0，b0，c0， 0，b0， 一次函数 y= xb 的图象经过二三四象限 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 内蒙古呼和浩特内蒙古呼和浩特) )二次函数yax2与一次函数yax+a在同一坐标系中的大致图象可能 是( ) AB CD 【答案】D 【解析】由一次函数yax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点(1，0)，排除A、B； 当a0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四 象限，当a0 时，二次函数开口向下，一次函 数经过二、三、四象限，排除C. 【例题【例题 2】(2020安徽安徽)如图，一次函数 yx+k(k0
3、)的图象与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B与反比例函 数 y= 的图象在第一象限内交于点 C，CDx 轴，CEy 轴垂足分别为点 D，E当矩形 ODCE 与OAB 的面积相等时，k 的值为 【答案】2 【分析】分别求出矩形 ODCE 与OAB 的面积，即可求解 【解析】一次函数 yx+k(k0)的图象与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B，令 x0，则 yk，令 y0，则 x k， 故点 A、B 的坐标分别为(k，0)、(0，k)， 则OAB 的面积= 1 2OAOB= 1 2k 2，而矩形 ODCE 的面积为 k， 则1 2k 2k，解得：k0(舍去)或 2， 【对点练习】【
4、对点练习】(2019 吉林长春吉林长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+ 8 3 (a0)与 y 轴交于点 A， 过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，P 为抛物线的顶点，若直线 OP 交直线 AM 于点 B，且 M 为线段 AB 的中点，则 的值为 【答案】2. 【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点 A 和点 M 的坐标，然后 将二次函数的解析式配方写出 y=a(x-1)2+ 8 3 -a 的形式，得出点 P 的坐标，进而得出 OP 的方程，进而得出点 B 的坐标，最后根据 M 为线段 AB 的中点，可得 8 83a =4，进而
5、得出答案. 令 x=0，可得 y= 8 3 ， 点 A 的坐标为(0， 8 3 )， 点 M 的坐标为(2， 8 3 ). y=ax2-2ax+ 8 3 =a(x-1)2+ 8 3 -a， 抛物线的顶点 P 的坐标为(1， 8 3 -a)， 直线 OP 的方程为 y=( 8 3 -a)x， 令 y= 8 3 ，可得 x= 8 83a ， 点 B 的坐标为( 8 83a ， 8 3 ). M 为线段 AB 的中点， 8 83a =4，解得 a=2。 【例题【例题 3】(2020菏泽菏泽)如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象相交于 A(1，2)，B(n， 1)两点 (1)求
6、一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线 AB 交 x 轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若ACP 的面积是 4，求点 P 的坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，再求出点 B 的坐标，继而根据点 A、B 坐标可得直线 解析式； (2)先根据直线解析式求出点 C 的坐标，再设 P(m，0)，知 PC|1m|，根据 SACP= 1 2PCyA4 求出 m 的值即可得出答案 【解析】(1)将点 A(1，2)代入 y= ，得：m2， y= 2 ， 当 y1 时，x2， B(2，1)， 将 A(1，2)、B(2，1)代入 ykx+b， 得： + = 2 2
7、 + = 1， 解得 = 1 = 1， yx+1； 一次函数解析式为 yx+1，反比例函数解析式为 y= 2 ； (2)在 yx+1 中，当 y0 时，x+10， 解得 x1， C(1，0)， 设 P(m，0)， 则 PC|1m|， SACP= 1 2PCyA4， 1 2 |1m|24， 解得 m3 或 m5， 点 P 的坐标为(3，0)或(5，0) 【对点练习】【对点练习】(2019 广西省贵港市广西省贵港市)如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点(4,4)D在 反比例函数(0) k yx x 的图象上，直线 2 3 yxb经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE (
8、1)求k，b的值； (2)求ACE的面积 【答案】将解析。 【解析】由菱形的性质可知(6,0)B，(9,4)C，点(4,4)D代入反比例函数 k y x ，求出k；将点(9,4)C代入 2 3 yxb，求出b；求出直线 2 2 3 yx与x轴和y轴的交点，即可求AEC的面积； (1)由已知可得5AD ， 菱形ABCD， (6,0)B，(9,4)C， 点(4,4)D在反比例函数(0) k yx x 的图象上， 16k， 将点(9,4)C代入 2 3 yxb， 2b ； (2)(0, 2)E， 直线 2 2 3 yx与x轴交点为(3,0)， 1 2(24)6 2 AEC S 【例题【例题 4 4】
9、(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )已知抛物线 yax 2bx6(a0)交 x 轴于点 A(6，0)和点 B(1，0)，交 y 轴于点 C (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图(1)，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交直线 AC 于点 D，E，当 PDPE 取最大值时，求点 P 的坐标； (3)如图(2)，点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂直平分AMN 的边 MN 时， 求点 N 的坐标 【答案】(1)yx 25x6，顶点坐标为(5 2 ， 49 4 )；(2)P(3，12)
10、；(3)( 535 2 ， 7 2 )或( 535 2 ， 7 2 ) 【解析】(1)将点 A，B 坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； (2)先求出 OA=OC=6，进而得出OAC=45，进而判断出 PD=PE，即可得出当 PE 的长度最大时，PE+PD 取最 大值，设出点 E 坐标，表示出点 P 坐标，建立 PE=-t 2+6t=-(t-3)2+9，即可得出结论； (3)先判断出 NFx 轴，进而求出点 N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论 【详解】解：(1)抛物线 yax 2bx6 经过点 A(6，0)，B(1，0)， 06 03666 ab ab ， ， 解得 a1，b5，
11、 抛物线的解析式为 yx 25x6 yx 25x6(x 5 2 ) 249 4 ， 抛物线的解析式为 yx 25x6，顶点坐标为(5 2 ， 49 4 ) (2)由(1)知，抛物线的解析式为 yx 25x6， C(0，6)，OC6 A(6，0)， OA6，OAOC，OAC45 PD 平行于 x 轴，PE 平行于 y 轴， DPE90，PDEDAO45， PED45， PDEPED， PDPE， PDPE2PE， 当 PE 的长度最大时，PEPD 取最大值 设直线 AC 的函数关系式为 ykxd， 把 A(6，0)，C(0，6)代入得 06 6 kd d ， ， 解得 k1，d6， 直线 AC
12、的解析式为 yx6 设 E(t，t6)(0t6)，则 P(t，t 25t6)， PEt 25t6(t6)t26t(t3)29 10，当 t3 时，PE 最大，此时t 25t612， P(3，12) (3)如答图，设直线 AC 与抛物线的对称轴 l 的交点为 F，连接 NF 点 F 在线段 MN 的垂直平分线 AC 上， FMFN，NFCMFC ly 轴， MFCOCA45， MFNNFCMFC90， NFx 轴 由(2)知直线 AC 的解析式为 yx6， 当 x 5 2 时，y 7 2 ， F( 5 2 ， 7 2 )， 点 N 的纵坐标为 7 2 点 N 在抛物线上， x 25x67 2 ，
13、解得，x1 535 2 或 x2 535 2 ， 点 N坐标为( 535 2 ， 7 2 )或( 535 2 ， 7 2 ) 【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，(2)中判断出 PD=PE，(3)中 NFx 轴是解本题的关键 【对点练习】【对点练习】(2019 湖北咸宁湖北咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 1 2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y= 1 2x 2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC 时，
14、求点 D 的坐标； (3)已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写 出所有符合条件的 E 点的坐标 【答案】见解析。 【解析】求得 A、B 两点坐标，代入抛物线解析式，获得 b、c 的值，获得抛物线的解析式 通过平行线分割 2 倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标 B、O、E、F 四点作平行四边形，以已知线段 OB 为边和对角线分类讨论，当 OB 为边时，以 EFOB 的 关系建立方程求解，当 OB 为对角线时，OB 与 EF 互相平分，利用直线相交获得点 E 坐标 (1)在 = 1 2 + 2中，令
15、 y0，得 x4，令 x0，得 y2 A(4，0)，B(0，2) 把 A(4，0)，B(0，2)，代入 = 1 2 2+ + ，得 = 2 1 2 16 + 4 + = 0，解得 = 3 2 = 2 抛物线得解析式为 = 1 2 2 + 3 2 + 2 (2)如图，过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点 E，过点 D 作 BE 得垂线，垂足为 F BEx 轴，BACABE ABD2BAC，ABD2ABE 即DBE+ABE2ABE DBEABE DBEBAC 设 D 点的坐标为(x， 1 2 2+ 3 2 + 2)，则 BFx，DF= 1 2 2+ 3 2 tanDBE= ，tanBAC= =
16、 ，即 ;1 2 2:3 2 = 2 4 解得 x10(舍去)，x22 当 x2 时， 1 2 2+ 3 2 + 2 =3 点 D 的坐标为(2，3) (3) 当 BO 为边时，OBEF，OBEF 设 E(m， 1 2 + 2)，F(m， 1 2 2 + 3 2 + 2) EF|( 1 2 + 2)( 1 2 2 + 3 2 + 2)|2 解得 m12，2= 2 22，3= 2 + 22 当 BO 为对角线时，OB 与 EF 互相平分 过点 O 作 OFAB，直线 OF = 1 2交抛物线于点 F(2 + 22， 1 2)和(2 22， 1 + 2) 求得直线 EF 解析式为 = 2 2 +
17、1或 = 2 2 + 1 直线 EF 与 AB 的交点为 E，点 E 的横坐标为22 2或22 2 E点的坐标为(2， 1)或(2 22， 1 + 2)或(2 + 22，1 2)或(2 22，3 + 2)或(2 + 22，3 2) 一、选择题一、选择题 1.(2020无锡无锡)反比例函数 y= 与一次函数 y= 8 15 + 16 15的图形有一个交点 B( 1 2，m)，则 k 的值为( ) A1 B2 C2 3 D4 3 【答案】C 【分析】将点 B 坐标代入一次函数解析式可求点 B 坐标，再代入反比例函数解析式，可求解 【解析】一次函数 y= 8 15 + 16 15的图象过点 B( 1
18、 2，m)， m= 8 15 1 2 + 16 15 = 4 3， 点 B(1 2， 4 3)， 反比例函数 y= 过点 B， k= 1 2 4 3 = 2 3 2.(2019 广东深圳广东深圳)已知函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则函数 y=ax+b 与 y= c x 的图象为( ) 【答案】C 【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系； 符号判断。先根据二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象确定 a，b，c 的正负，则判断一次函数与反比例函数的 图象所在的象限 由二次函数的图象可知，a0，c0当 a0，c0 时，一
19、次函数 y=ax+b 经过第一、二、四象限； 反比例函数 y= c x 位于第二、四象限，选项 C 符合故选 C 3 3( (20192019 齐齐哈尔齐齐哈尔) )“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童战士们从营地出发，匀速步行 前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院(营地、文具店、福利院三地依次在同 一直线上)到达后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地(赠送礼物的时间忽略不计)，下列图象能 大致反映战士们离营地的距离S与时间t之间函数关系的是( ) A B C D 【答案】B 【解析】根据题意，可以写出各段过程中，S与t的关系，从而可以解答本题 由题意可
20、得， 战士们从营地出发到文具店这段过程中，S随t的增加而增大，故选项A错误， 战士们在文具店选购文具的过程中，S随着t的增加不变， 战士们从文具店去福利院的过程中，S随着t的增加而增大，故选项C错误， 战士们从福利院跑回营地的过程中，S随着t的增大而减小，且在单位时间内距离的变化比战士们从营地出 发到文具店这段过程中快，故选项B正确，选项D错误。 4.(2020无锡无锡)反比例函数 y= 与一次函数 y= 8 15 + 16 15的图形有一个交点 B( 1 2，m)，则 k 的值为( ) A1 B2 C2 3 D4 3 【答案】C 【分析】将点 B 坐标代入一次函数解析式可求点 B 坐标，再代
21、入反比例函数解析式，可求解 【解析】一次函数 y= 8 15 + 16 15的图象过点 B( 1 2，m)， m= 8 15 1 2 + 16 15 = 4 3， 点 B(1 2， 4 3)， 反比例函数 y= 过点 B， k= 1 2 4 3 = 2 3， 二、填空题二、填空题 5(2020北京北京)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx 与双曲线 y= 交于 A，B 两点若点 A，B 的纵坐标 分别为 y1，y2，则 y1+y2的值为 【答案】0 【分析】联立方程组，可求 y1，y2的值，即可求解 【解析】直线 yx 与双曲线 y= 交于 A，B 两点， 联立方程组得： = = ， 解得
22、：1 1= ， 2= 2= ， y1+y20 6.(2020菏泽菏泽)从1， 2， 3， 4 这四个数中任取两个不同的数分别作为 a， b 的值， 得到反比例函数 y= ， 则这 些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 【答案】2 3 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求 得答案 【解析】画树状图得： 则共有 12 种等可能的结果， 反比例函数 y= 中，图象在二、四象限， ab0， 有 8 种符合条件的结果， P(图象在二、四象限)= 8 12 = 2 3， 7(2020自贡)如图，直线 y= 3x+b 与 y 轴交于点 A，与双曲
23、线 y= 在第三象限交于 B、C 两点，且 AB AC16下列等边三角形OD1E1，E1D2E2，E2D3E3，的边 OE1，E1E2，E2E3，在 x 轴上，顶点 D1，D2，D3，在该双曲线第一象限的分支上，则 k ，前 25 个等边三角形的周长之和为 【答案】43，60 【分析】设直线 y= 3x+b 与 x 轴交于点 D，作 BEy 轴于 E，CFy 轴于 F首先证明ADO60， 可得AB2BE， AC2CF， 由直线 y= 3x+b与双曲线y= 在第一象限交于点 B、 C两点， 可得3x+b= ， 整理得，3x2+bxk0，由韦达定理得：x1x2= 3 3 k，即 EBFC= 3 3
24、 k，由此构建方程求出 k 即可，第二 个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题 【解析】设直线 y= 3x+b 与 x 轴交于点 D，作 BEy 轴于 E，CFy 轴于 F y= 3x+b， 当 y0 时，x= 3 3 b，即点 D 的坐标为( 3 3 b，0)， 当 x0 时，yb，即 A 点坐标为(0，b)， OAb，OD= 3 3 b 在 RtAOD 中，tanADO= = 3， ADO60 直线 y= 3x+b 与双曲线 y= 在第三象限交于 B、C 两点， 3x+b= ， 整理得，3x2+bxk0， 由韦达定理得：x1x2= 3 3 k，即 EB
25、FC= 3 3 k， =cos60= 1 2， AB2EB， 同理可得：AC2FC， ABAC(2EB)(2FC)4EBFC= 43 3 k16， 解得：k43 由题意可以假设 D1(m，m3)， m23 =43， m2 OE14，即第一个三角形的周长为 12， 设 D2(4+n，3n)， (4+n)3n43， 解得 n22 2， E1E242 4，即第二个三角形的周长为 122 12， 设 D3(42 +a，3a)， 由题意(42 +a)3a43， 解得 a23 22，即第三个三角形的周长为 123 122， ， 第四个三角形的周长为 124 123， 前 25 个等边三角形的周长之和 12
26、+122 12+123 122 +124 123 + +12251224 =1225 =60， 故答案为 43，60 8(2020甘孜州甘孜州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+1 的图象与反比例函数 y= 2 的图象交于 A，B 两点，若点 P 是第一象限内反比例函数图象上一点，且ABP 的面积是AOB 的面积的 2 倍，则点 P 的横坐标为 【答案】2 或;3:17 2 【分析】分点 P 在 AB 下方、点 P 在 AB 上方两种情况，分别求解即可 【解析】当点 P 在 AB 下方时 作 AB 的平行线 l，使点 O 到直线 AB 和到直线 l 的距离相等，则ABP 的面
27、积是AOB 的面积的 2 倍， 直线 AB 与 x 轴交点的坐标为(1，0)，则直线 l 与 x 轴交点的坐标 C(1，0)， 设直线 l 的表达式为：yx+b，将点 C 的坐标代入上式并解得：b1， 故直线 l 的表达式为 yx1，而反比例函数的表达式为：y= 2 ， 联立并解得：x2 或1(舍去)； 当点 P 在 AB 上方时， 同理可得，直线 l 的函数表达式为：yx+3， 联立并解得：x= 317 2 (舍去负值)； 故答案为：2 或;3:17 2 三、解答题三、解答题 9(2020成都成都)在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y= (x0)的图象经过点 A(3，4)，过点 A
28、的直线 y kx+b 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点 (1)求反比例函数的表达式； (2)若AOB 的面积为BOC 的面积的 2 倍，求此直线的函数表达式 【答案】见解析。 【分析】(1)把 A(3，4)代入 y= (x0)即可得到结论； (2)根据题意得到 B( ，0)，C(0，b)，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论 【解析】(1)反比例函数 y= (x0)的图象经过点 A(3，4)， k3412， 反比例函数的表达式为 y= 12 ； (2)直线 ykx+b 过点 A， 3k+b4， 过点 A 的直线 ykx+b 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点， B( ，0)，C
29、(0，b)， AOB 的面积为BOC 的面积的 2 倍， 1 2 4| |2 1 2 | |b|， b2， 当 b2 时，k= 2 3， 当 b2 时，k2， 直线的函数表达式为：y= 2 3x+2，y2x2 10(2020广元广元)如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A(3，4)，B(n，1) (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)在 x 轴上存在一点 C，使AOC 为等腰三角形，求此时点 C 的坐标； (3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 【答案】见解析。 【分析】(1)先把 A 点坐标代入反比例函数解析式求得反比例
30、函数的解析，再把 B 点坐标代入所求得的反比 例函数的解析式，求得 B 点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可； (2)分三种情况：OAOC，AOAC，CACO，分别求解即可； (3)根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时 x 的取值范围即可 【解析】(1)把 A(3，4)代入 = ， m12， 反比例函数是 = 12 ； 把 B(n，1)代入 = 12 得 n12 把 A(3，4)、B(12，1)分别代入 ykx+b 中， 得3 + = 4 12 + = 1， 解得 = 1 3 = 3 ， 一次函数的解析式为 = 1 3 + 3； (2)A(3，4)， OA= 32+ 42
31、= 5， AOC 为等腰三角形， 分三种情况： 当 OAOC 时，OC5， 此时点 C 的坐标为(5，0)，(5，0)； 当 AOAC 时，A(3，4)，点 C 和点 O 关于过 A 点且垂直于 x 轴的直线对称， 此时点 C 的坐标为(6，0)； 当 CACO 时，点 C 在线段 OA 的垂直平分线上， 过 A 作 ADx 轴，垂足为 D， 由题意可得：OD3，AD4，AO5，设 OCx，则 ACx， 在ACD 中，42+(x3)2x2， 解得：x= 25 6 ， 此时点 C 的坐标为(25 6 ，0)； 综上：点 C 的坐标为：(6，0)，(5，0)，(25 6 ，0)，(5，0)； (3
32、)由图得： 当一次函数图象在反比例函数图象上方时， 12x0 或 x3， 即使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围是：12x0 或 x3 11.(2019 山东东营山东东营)如图，在平面直角坐标系中，直线 y=mx 与双曲线 y= n x 相交于 A(2，a) 、B 两点，BC x 轴，垂足为 C，AOC 的面积是2 (1)求 m、n的值； (2)求直线 AC的解析式 【答案】见解析。 【解析】根据反比例函数的对称性可得点 A 与点 B 关于原点中心对称，则 B(2，a)，由于 BCx 轴，所以 C(2，0)，先利用三角形面积公式得到 1 2 2a2，解得 a2，则可确定 A(2，
33、2)，然后把 A 点坐标代 入 ymxymx 和 y中即可求出 m，n；根据待定系数法即可得到直线 AC 的解析式 (1)直线 ymx 与双曲线 y相交于 A(2，a)、B 两点， 点 A 与点 B 关于原点中心对称， B(2，a)， C(2，0)； SAOC2， 1 2 2a2，解得 a2， A(2，2)， 把 A(2，2)代入 ymx 和 y得2m2，2，解得 m1，n4； (2)设直线 AC 的解析式为 ykx+b， 直线 AC 经过 A、C， ，解得 直线 AC 的解析式为 y 1 2 x+1 12(2020安徽安徽)在平面直角坐标系中，已知点 A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)
34、，直线 yx+m 经过点 A，抛物线 yax2+bx+1 恰好经过 A，B，C 三点中的两点 (1)判断点 B 是否在直线 yx+m 上，并说明理由； (2)求 a，b 的值； (3)平移抛物线 yax2+bx+1，使其顶点仍在直线 yx+m 上，求平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大 值 【答案】见解析。 【分析】(1)根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点 B(2，3)在直线 yx+m 上； (2)因为直线经过 A、B 和点(0，1)，所以经过点(0，1)的抛物线不同时经过 A、B 点，即可判断抛物线只能 经过 A、C 两点，根据待定系数法即可求得 a、b； (3)设平移后的
35、抛物线为 yx+px+q，其顶点坐标为( 2， 2 4 +q)，根据题意得出 2 4 +q= 2 +1，由抛物线 y x+px+q 与 y 轴交点的纵坐标为 q，即可得出 q= 2 4 2 1= 1 4(p1) 2+5 4，从而得出 q 的最大值 【解析】(1)点 B 是在直线 yx+m 上，理由如下： 直线 yx+m 经过点 A(1，2)， 21+m，解得 m1， 直线为 yx+1， 把 x2 代入 yx+1 得 y3， 点 B(2，3)在直线 yx+m 上； (2)直线 yx+1 与抛物线 yax2+bx+1 都经过点(0，1)，且 B、C 两点的横坐标相同， 抛物线只能经过 A、C 两点
36、， 把 A(1，2)，C(2，1)代入 yax2+bx+1 得 + + 1 = 2 4 + 2 + 1 = 1， 解得 a1，b2； (3)由(2)知，抛物线为 yx2+2x+1， 设平移后的抛物线为 yx+px+q，其顶点坐标为( 2， 2 4 +q)， 顶点仍在直线 yx+1 上， 2 4 +q= 2 +1， q= 2 4 2 1， 抛物线 yx+px+q 与 y 轴的交点的纵坐标为 q， q= 2 4 2 1= 1 4(p1) 2+5 4， 当 p1 时，平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大值为5 4 13(2020齐齐哈尔齐齐哈尔)综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线 y= 1
37、 2x 2+bx+c 经过点 A(4，0)，点 M 为抛物线的顶点，点 B 在 y 轴上，且 OAOB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C(2，6)，如图 (1)求抛物线的解析式； (2)直线 AB 的函数解析式为 ，点 M 的坐标为 ，cosABO ； 连接 OC， 若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P， 将AOC 的面积分成 1： 2 的两部分， 则点 P 的坐标为 ； (3)在 y 轴上找一点 Q，使得AMQ 的周长最小具体作法如图，作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 MA 交 y 轴于点 Q，连接 AM、AQ，此时AMQ 的周长最小请求出点 Q 的坐标； (4)在坐标平
38、面内是否存在点 N，使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式即可求解； (2)点 A(4，0)，OBOA4，故点 B(0，4)，即可求出 AB 的表达式；OP 将AOC 的面积分成 1：2 的两 部分，则 AP= 1 3AC 或 2 3AC，即可求解； (3)AMQ 的周长AM+AQ+MQAM+AM 最小，即可求解； (4)分 AC 是边、AC 是对角线两种情况，分别求解即可 【解析】(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得： 1 2 16 4 + =
39、0 1 2 4 + 2 + = 6 ，解得 = 2 = 0， 故直线 AB 的表达式为：y= 1 2x 2+2x； (2)点 A(4，0)，OBOA4，故点 B(0，4)， 由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的表达式为：yx+4； 则ABO45，故 cosABO= 2 2 ； 对于 y= 1 2x 2+2x，函数的对称轴为 x2，故点 M(2，2)； OP 将AOC 的面积分成 1：2 的两部分，则 AP= 1 3AC 或 2 3AC， 则 = 1 3 或 2 3，即 6 = 1 3 或 2 3，解得：yP2 或 4， 故点 P(2，2)或(0，4)； 故答案为：yx+4；(2，2)； 2
40、2 ；(2，2)或(0，4)； (3)AMQ 的周长AM+AQ+MQAM+AM 最小，点 A(4，0)， 设直线 AM 的表达式为：ykx+b，则4 + = 0 2 + = 2，解得 = 1 3 = 4 3 ， 故直线 AM 的表达式为：y= 1 3x 4 3， 令 x0，则 y= 4 3，故点 Q(0， 4 3)； (4)存在，理由： 设点 N(m，n)，而点 A、C、O 的坐标分别为(4，0)、(2，6)、(0，0)， 当 AC 是边时， 点 A 向右平移 6 个单位向上平移 6 个单位得到点 C，同样点 O(N)右平移 6 个单位向上平移 6 个单位得到点 N(O)， 即 06m，06n
41、，解得：mn6， 故点 N(6，6)或(6，6)； 当 AC 是对角线时， 由中点公式得：4+2m+0，6+0n+0， 解得：m2，n6， 故点 N(2，6)； 综上，点 N 的坐标为(6，6)或(6，6)或(2，6) 14(2020湖州湖州)如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c(c0)的顶点为 D，与 y 轴的交 点为 C过点 C 的直线 CA 与抛物线交于另一点 A(点 A 在对称轴左侧)，点 B 在 AC 的延长线上，连结 OA， OB，DA 和 DB (1)如图 1，当 ACx 轴时， 已知点 A 的坐标是(2，1)，求抛物线的解析式； 若四边形 AOBD
42、是平行四边形，求证：b24c (2)如图 2，若 b2， = 3 5，是否存在这样的点 A，使四边形 AOBD 是平行四边形？若存在，求出点 A 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)先确定出点 C 的坐标，再用待定系数法即可得出结论； 先确定出抛物线的顶点坐标，进而得出 DF= 2 4 ，再判断出AFDBCO，得出 DFOC，即可得出结 论； (2)先判断出抛物线的顶点坐标 D(1，c+1)，设点 A(m，m22m+c)(m0)， 判断出AFDBCO(AAS)，得出 AFBC，DFOC，再判断出ANFAMC，得出 = = = = 3 5，进而求出 m 的值，得出点 A
43、 的纵坐标为 c 5 4 c，进而判断出点 M 的坐标为(0，c 5 4)，N(1， c 5 4)，进而得出 CM= 5 4， DN= 9 4，FN= 9 4 c，进而求出 c= 3 2，即可得出结论 【解析】(1)ACx 轴，点 A(2，1)，C(0，1)， 将点 A(2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，得4 2 + = 1 = 1 ， = 2 = 1 ， 抛物线的解析式为 yx22x+1； 如图 1，过点 D 作 DEx 轴于 E，交 AB 于点 F， ACx 轴，EFOCc， 点 D 是抛物线的顶点坐标， D( 2，c+ 2 4 )， DFDEEFc+ 2 4 c= 2 4 ， 四
44、边形 AOBD 是平行四边形， ADBO，ADOB， DAFOBC， AFDBCO90， AFDBCO(AAS)， DFOC， 2 4 =c，即 b24c； (2)如图 2，b2 抛物线的解析式为 yx22x+c， 顶点坐标 D(1，c+1)， 假设存在这样的点 A 使四边形 AOBD 是平行四边形， 设点 A(m，m22m+c)(m0)， 过点 D 作 DEx 轴于点 E，交 AB 于 F， AFDEFCBCO， 四边形 AOBD 是平行四边形， ADBO，ADOB，DAFOBC，AFDBCO(AAS)， AFBC，DFOC， 过点 A 作 AMy 轴于 M，交 DE 于 N， DECO，
45、ANFAMC， = = = = 3 5， AMm，ANAMNMm1， ;1 ; = 3 5， = 5 2， 点 A 的纵坐标为( 5 2) 22(5 2)+cc 5 4 c， AMx 轴， 点 M 的坐标为(0，c 5 4)，N(1，c 5 4)， CMc(c 5 4) = 5 4， 点 D 的坐标为(1，c+1)， DN(c+1)(c 5 4) = 9 4， DFOCc，FNDNDF= 9 4 c， = 3 5， 9 4; 5 4 = 3 5，c= 3 2，c 5 4 = 1 4， 点 A 纵坐标为1 4，A( 5 2， 1 4)， 存在这样的点 A，使四边形 AOBD 是平行四边形 15(
46、2020南充南充)已知二次函数图象过点 A(2，0)，B(4，0)，C(0，4) (1)求二次函数的解析式 (2)如图，当点 P 为 AC 的中点时，在线段 PB 上是否存在点 M，使得BMC90？若存在，求出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 (3)点 K 在抛物线上， 点 D 为 AB 的中点， 直线 KD 与直线 BC 的夹角为锐角 ， 且 tan= 5 3， 求点 K 的坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)设二次函数的解析式为 ya(x+2)(x4)，将点 C 坐标代入可求解； (2)利用中点坐标公式可求 P(1， 2)， 点 Q(2， 2)， 由勾股定理可求 BC 的长， 由待
47、定系数法可求 PB 解析式， 设点 M(c， 2 5c+ 8 5)，由两点距离公式可得(c2) 2+(2 5c+ 8 5 2)28，可求 c4 或 24 29，即可求解； (3)过点 D 作 DEBC 于点 E，设直线 DK 与 BC 交于点 N，先求出 DEBE= 2 = 32 2 ，由锐角三角函数 可求 NE= = 92 10 ，分 DK 与射线 EC 交于点 N(m，4m)和 DK 与射线 EB 交于 N(m，4m)两种情况讨 论，求出直线 DK 解析式，联立方程组可求点 K 坐标 【解析】(1)二次函数图象过点 B(4，0)，点 A(2，0)， 设二次函数的解析式为 ya(x+2)(x4)， 二次函数图象过点 C(0，4)， 4a(0+2)(04)， a= 1 2， 二次函数的解析式为 y= 1 2(x+2)(x4)= 1 2x 2+x+4； (2)存在， 理由如下：如图 1，取 BC 中点 Q，连接