1、 专题专题 44 44 构建方程的思想构建方程的思想 方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所 研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决方程思想在数学解题中所 占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活 1.利用勾股定理建立一元二次方程。 2.利用三角形三边关系可建立不等式。 3.利用圆的内接四边形内角和等于 360建立一元一次方程。 4.利用绝对值、根式建立方程组。 5.其它许多情况建立的方程、函数关系式等。 【例题 1】(2020(2020内江内江) )如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿B
2、E、BF所在直线折叠，使点A 落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF已知AB3，BC4，则EF的长为( ) A3 B5 C513 6 D13 【答案】C 【解析】求出BD5，AEEM，ABME90，证明EDMBDA，由相似三角形的性质得出 = ， 设DEx，则AEEM4x，得出 5 = 4 3 ，解得x= 5 2，同理DNFDCB，得出 = ，设 DFy，则CF NF3y，则 5 = 3 4 ，解得y= 5 3由勾股定理即可求出 EF的长 解：四边形ABCD是矩形， ABCD3，ADBC4，ACEDF90， BD= 2+ 2= 32+ 42=5， 将矩形ABCD沿BE所在直线折叠
3、，使点A落在BD上的点M处， AEEM，ABME90， EMD90， EDMADB， EDMBDA， = ， 设DEx，则AEEM4x， 5 = 4 3 ， 解得x= 5 2， DE= 5 2， 同理DNFDCB， = ， 设DFy，则CFNF3y， 5 = 3 4 ， 解得y= 5 3 DF= 5 3 EF= 2+ 2= (5 2) 2+ (5 3) 2 = 513 6 【对点练习】【对点练习】若正多边形的一个内角是 150，则该正多边形的边数是( ) A6 B12 C16 D18 【答案】B 【解析】根据多边形的内角和，可得答案 设多边形为 n 边形，由题意，得 (n2)180=150n，
4、 解得 n=12 【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键 【例题【例题 2 2】(2020(2020天水天水) )如图，在边长为 6 的正方形ABCD内作EAF45，AE交BC于点E，AF交CD于点 F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转 90得到ABG若DF3，则BE的长为 【答案】2 【解析】根据旋转的性质可知，ADFABG，然后即可得到DFBG，DAFBAG，然后根据题目中的 条件，可以得到EAGEAF，再根据DF3，AB6 和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决 解：由题意可得， ADFABG， DFBG，DAFBAG， DAB90，EAF45， DAF+E
5、AB45， BAG+EAB45， EAFEAG， 在EAG和EAF中， = = = ， EAGEAF(SAS)， GEFE， 设BEx，则GEBG+BE3+x，CE6x， EF3+x， CD6，DF3， CF3， C90， (6x) 2+32(3+x)2， 解得，x2， 即CE2 【对点练习】【对点练习】 如图， 在圆内接四边形ABCD中， 若A， B， C的度数之比为4： 3： 5， 则D的度数是 【答案】120 【解析】A，B，C 的度数之比为 4：3：5， 设A=4x，则B=3x，C=5x 四边形 ABCD 是圆内接四边形， A+C=180，即 4x+5x=180，解得 x=20， B=
6、3x=60， D=18060=120 【例题【例题 3 3】(2020(2020常德常德) )如图，已知抛物线yax 2过点 A(3，9 4) (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线l过点A，M(3 2，0)且与抛物线交于另一点 B，与y轴交于点C，求证：MC 2MAMB； (3)若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形， 求所有符合条件的P点坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题 (2)构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可 (3)如图 2 中，设P(t，1 4t 2)，根据 PDC
7、D构建方程求出t即可解决问题 【解析】(1)把点A(3，9 4)代入 yax 2， 得到9 4 =9a，a= 1 4， 抛物线的解析式为y= 1 4x 2 (2)设直线l的解析式为ykx+b，则有 9 4 = 3 + 0 = 3 2 + ， 解得 = 1 2 = 3 4 ， 直线l的解析式为y= 1 2x+ 3 4， 令x0，得到y= 3 4，C(0， 3 4)， 由 = 1 4 2 = 1 2 + 3 4 ，解得 = 1 = 1 4 或 = 3 = 9 4 ， B(1，1 4)， 如图 1 中，过点A作AA1x轴于A1，过B作BB1x轴于B1，则BB1OCAA1， = 1 = 3 21 3
8、2 = 1 3， = 1 = 3 2 3 2(3) = 1 3， = ， 即MC 2MAMB (3)如图 2 中，设P(t，1 4t 2) OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形， PDOC，PDOC， D(t， 1 2t+ 3 4)， |1 4t 2(1 2t+ 3 4)|= 3 4， 整理得：t 2+2t60 或 t 2+2t0， 解得t17或1+7或2 或 0(舍弃)， P(17，2+ 7 2 )或(1+7，2 7 2 )或(2，1) 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 江苏徐州江苏徐州) )如图，有一块矩形硬纸板，长 30cm，宽 20cm在其四角各剪去一个同样
9、的正 方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子当剪去正方形的边长取何值时，所得长方 体盒子的侧面积为 200cm 2？ 【答案】见解析。 【解析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(302x)cm，宽为(202x)cm，高 为xcm， 依题意，得：2(302x)+(202x)x200， 整理，得：2x 225x+500， 解得：x1，x210 当x10 时，202x0，不合题意，舍去 答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为 200cm 2 一、选择题一、选择题 1(2020(2020绍兴绍兴) )如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与
10、其投影的相似比为 2：5，且三角板的一边 长为 8cm则投影三角板的对应边长为( ) A20cm B10cm C8cm D3.2cm 【答案】A 【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解 【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm， 三角尺与投影三角尺相似， 8：x2：5， 解得x20 2(2019 湖北黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，AB40m，点 C是的中点，且CD10m，则这段弯路所在圆的半径为( ) A25m B24m C30m D60m 【答案】A 【解析】根据题意，可以推出ADBD20，若设半径为r，则ODr10，OBr，结合勾股定理可
11、推出半 径r的值 OCAB， ADDB20m， 在 RtAOD中，OA 2OD2+AD2， 设半径为r得：r 2(r10)2+202， 解得：r25m， 这段弯路的半径为 25m 【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB 的长度 3 3(2019(2019 贵州贵阳贵州贵阳) )数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是( ) A3 B4.5 C6 D18 【答案】C 【解析】根据题意列方程即可得到结论 数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点， 9a2a9， 解得：a6 4.
12、 (2020 桂林模拟)若|3x2y1|+=0，则 x，y 的值为( ) A B C D 【答案】D 【解析】根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案 由题意可知：解得：故选：D 二、填空题二、填空题 5(2020(2020常德常德) )如图 1，已知四边形ABCD是正方形，将DAE，DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图 2，此 时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF4，EG6，则DG的长为 【答案】12 【解析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的 长；在 RtBEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的
13、长 设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得： DGDADCx， GF4，EG6， AEEG6，CFGF4， BEx6，BFx4，EF6+410，如图 1 所示： 在 RtBEF中，由勾股定理得： BE 2+BF2EF2， (x6) 2+(x4)2102， x 212x+36+x28x+16100， x 210 x240， (x+2)(x12)0， x12(舍)，x212 DG12 6(2020(2020长沙长沙) )如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M，N重合)，PQMN，NE平分MNP，交 PM于点E，交PQ于点F (1) + = (2)若PN 2PMMN，则 = 【解析】(1)
14、1(2)51 2 【分析】(1)证明PENQFN，得 = ，证明NPQPMQ，得 = ，再得 = ，再 变形比例式便可求得结果； (2)证明NPQNMP，得PN 2NQMN，结合已知条件得 PMNQ，再根据三角函数得 = ，进而得 MQ 与NQ的方程，再解一元二次方程得答案 【解析】(1)MN为O的直径， MPN90， PQMN， PQNMPN90， NE平分PNM， MNEPNE， PENQFN， = ，即 = ， PNQ+NPQPNQ+PMQ90， NPQPMQ， PQNPQM90， NPQPMQ， = ， 得 = ， QFPQPF， = =1 ， + =1， 故答案为：1； (2)PNQ
15、MNP，NQPNPQ， NPQNMP， = ， PN 2QNMN， PN 2PMMN， PMQN， = ， tanM= = ， = ， = +， NQ 2MQ2+MQNQ，即1 =2 2 + ， 设 = ，则x 2+x10， 解得，x= 51 2 ，或x= 5+1 2 0(舍去)， = 51 2 ， 故答案为：51 2 7(2020湘潭)若 = 3 7，则 = 【解析】4 7 【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可 【解析】由 = 3 7可设 y3k，x7k，k是非零整数， 则 = 73 7 = 4 7 = 4 7 8 8(2019(2019 宁夏宁夏) )如图，AB是O的弦，OCAB，
16、垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB 2，则O的半径为 【答案】3 【解析】连接OA，设半径为x， 将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D， OC，OCAB， AC， OA 2OC2AC2， ， 解得，x3 9(2020 毕节市模拟)一个容器盛满纯药液 40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积 的溶液，这时容器里只剩下纯药液 10L，则每次倒出的液体是 L 【答案】20 【解析】设每次倒出液体 xL，由题意得： 40 xx=10， 解得：x=60(舍去)或 x=20 答：每次倒出 20 升 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中
17、的等量关系，列出方程 10.(202010.(2020衢州衢州) )如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含 30角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB 在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y= (x0)的图 象恰好经过点F，M若直尺的宽CD3，三角板的斜边FG83，则k 【答案】403 【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利 用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可 【解析】过点M作MNAD，垂足为N，则MNCD3， 在 RtFMN中，MFN30， FN= 3MN33
18、， ANMB83 33 =53， 设OAx，则OBx+3， F(x，83)，M(x+3，53)， 83x(x+3)53， 解得，x5， F(5，83)， k583 =403 故答案为：403 11一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60方向距小岛 80 海里的 B 处，沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北偏 西 45的 C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时 【答案】 【解析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含 30角的直角三角 形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键 设该船行驶的速度为 x 海里/时，由已知可得 BC=3x，AQBC，BAQ=6
19、0，CAQ=45，AB=80 海里，在 直角三角形 ABQ 中求出 AQ、BQ，再在直角三角形 AQC 中求出 CQ，得出 BC=40+40=3x，解方程即可如图 所示： 设该船行驶的速度为 x 海里/时， 3 小时后到达小岛的北偏西 45的 C 处， 由题意得：AB=80 海里，BC=3x 海里， 在直角三角形 ABQ 中，BAQ=60， B=9060=30， AQ=AB=40，BQ=AQ=40， 在直角三角形 AQC 中，CAQ=45， CQ=AQ=40， BC=40+40=3x， 解得：x= 即该船行驶的速度为海里/时； 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形
20、的性质、含 30角的直角三角 形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键 12.(2019湖北天门)矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是 【答案】100 【解答】解：设矩形的宽为x，则长为(20 x)， Sx(20 x)x 2+20 x(x10)2+100， 当x10 时，S最大值为 100 故答案为 100 三、解答题三、解答题 13(2020(2020天津天津) )如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC测得BC221m，ACB 45，ABC58根据测得的数据，求AB的长(结果取整数) 参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581
21、.60 【答案】见解析。 【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可 【解析】如图，过点A作ADBC，垂足为D， ACB45， ADCD， 设ABx， 在 RtADB中，ADABsin580.85x，BDABcos580.53x， 又BC221，即CD+BD221， 0.85x+0.53x221， 解得，x160， 答：AB的长约为 160m 14(2020(2020武威武威) )如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且MAN45把ADN绕点A顺时 针旋转 90得到ABE (1)求证：AEMANM (2)若BM3，DN2，求正方形ABCD的边长 【
22、答案】见解析。 【解析】(1)想办法证明MAEMAN45，根据SAS证明三角形全等即可 (2)设CDBCx，则CMx3，CNx2，在 RtMCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 (1)证明：ADNABE， DANBAE，DNBE， DAB90，MAN45， MAEBAE+BAMDAN+BAM45， MAEMAN， MAMA， AEMANM(SAS) (2)解：设CDBCx，则CMx3，CNx2， AEMANM， EMMN， BEDN， MNBM+DN5， C90， MN 2CM2+CN2， 25(x2) 2+(x3)2， 解得，x6 或1(舍弃)， 正方形ABCD的边长为 6 15(202
23、0(2020长沙长沙) )在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F (1)求证：ABFFCE； (2)若AB23，AD4，求EC的长； (3)若AEDE2EC，记BAF，FAE，求 tan+tan的值 【解析】见解析。 【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可 (2)设ECx，证明ABFFCE，可得 = ，由此即可解决问题 (3)首先证明 tan+tan= + = + = + = ，设 ABCDa，BCADb，DEx，解直角三 角形求出a，b之间的关系即可解决问题 【解答】(1)证明：四边形ABCD是矩形， BCD90， 由翻折可知，D
24、AFE90， AFB+EFC90，EFC+CEF90， AFBFEC， ABFFCE (2)设ECx， 由翻折可知，ADAF4， BF= 2 2= 16 12 =2， CFBCBF2， ABFFCE， = ， 23 2 = 2 ， x= 23 3 ， EC= 23 3 (3)ABFFCE， = ， tan+tan= + = + = + = ， 设ABCDa，BCADb，DEx， AEDE+2CEx+2(ax)2ax， ADAFb，DEEFx，BCD90， BF= 2 2，CF= 2 ( )2= 2 2， AD 2+DE2AE2， b 2+x2(2ax)2， a 2ax=1 4b 2， ABFF
25、CE， = ， 2()2 = 22 ， a 2ax= 2 22 2， 1 4b 2= 2 22 1 2 2， 整理得，16a 424a2b2+9b40， (4a 23b2)20， = 23 3 ， tan+tan= = 23 3 16(2020(2020广元广元) )在 RtABC中，ACB90，OA平分BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆 交BC于点D (1)如图 1，求证：AB为O的切线； (2)如图 2，AB与O相切于点E，连接CE交OA于点F 试判断线段OA与CE的关系，并说明理由 若OF：FC1：2，OC3，求 tanB的值 【答案】见解析。 【分析】(1)过点O作OGA
26、B，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OGOC，即可证明； (2)利用切线长定理，证明OEOC，结合OEOC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论； 根据OF：FC1：2，OC3 求出OF和CF，再证明OCFOAC，求出AC，再证明BEOBCA，得到 = = ，设 BOx，BEy，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果 【解析】(1)如图，过点O作OGAB，垂足为G， OA平分BAC交BC于点O， OGOC， 点G在O上， 即AB与O相切； (2)OA垂直平分CE，理由是： 连接OE， AB与O相切于点E，AC与O相切于点C， AEAC， OEOC， OA垂直平分CE
27、； OF：FC1：2，OC3， 则FC2OF，在OCF中，OF 2+(2OF)232， 解得：OF= 35 5 ，则CF= 65 5 ， 由得：OACE， 则OCF+COF90，又OCF+ACF90， COFACF，而CFOACO90， OCFOAC， = = ，即 3 = 35 5 3 = 65 5 ， 解得：AC6， AB与圆O切于点E， BEO90，ACAE6，而BB， BEOBCA， = = ，设 BOx，BEy， 则 3+ = 3 6 = +6， 可得：6 = 9 + 3 6 = 3 + 18， 解得： = 5 = 4，即 BO5，BE4， tanB= = 3 4 17某公司组织员工
28、到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线 ABCD 表示人均收费 y(元)与参加旅游的人数 x(人)之间的函数关系 (1)当参加旅游的人数不超过 10 人时，人均收费为 元； (2)如果该公司支付给旅行社 3600 元，那么参加这次旅游的人数是多少？ 【答案】见解析。 【解析】(1)观察图象可知：当参加旅游的人数不超过 10 人时，人均收费为 240 元故答案为 240 (2)3600240=15，3600150=24， 收费标准在 BC 段， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，则有， 解得， y=6x+300， 由题意(6x+300)x=3600， 解
29、得 x=20 或 30(舍弃) 答：参加这次旅游的人数是 20 人 18.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高 2 米(即 CD=2 米)，背水坡 DE 的坡度 i=1：1(即 DB：EB=1：1)，如图所示，已知 AE=4 米，EAC=130，求水坝原 来的高度 BC (参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.2) 【答案】见解析。 【解析】设 BC=x 米， 在 RtABC 中， CAB=180EAC=50， AB=x， 在 RtEBD 中， i=DB：EB=1：1， BD=BE， CD+BC=AE+AB， 即 2+x
30、=4+x， 解得 x=12， 即 BC=12， 答：水坝原来的高度为 12 米 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形， 利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般 1919(2019(2019 辽宁本溪辽宁本溪) )如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD 的延长线于点F，O是DEF的外接圆，连接DP (1)求证：DP是O的切线； (2)若 tanPDC，正方形ABCD的边长为 4，求O的半径和线段OP的长 【答案】见解析。 【解析】(1)连接OD， 正方形ABCD中，CDBC，CPCP，DCPBCP45， CDPCBP(SAS)， CDPCBP， BCD90， CBP+BEC90， ODOE，ODEOED， OEDBEC， BECOEDODE， CDP+ODE90，ODP90， DP是O的切线； (2)CDPCBE， tan， CE，DE2， EDF90，EF是O的直径， F+DEF90，FCDP， 在 RtDEF中， DF4， 2， ， FPDE，DPEFPD， DPEFPD， ， 设PEx，则PD2x， ， 解得x， OPOE+EP