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2021年中考数学专题复习 专题44 构建方程的思想(教师版含解析)

1、 专题专题 44 44 构建方程的思想构建方程的思想 方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所 研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决方程思想在数学解题中所 占比重较大,综合知识强、题型广、应用技巧灵活 1.利用勾股定理建立一元二次方程。 2.利用三角形三边关系可建立不等式。 3.利用圆的内接四边形内角和等于 360建立一元一次方程。 4.利用绝对值、根式建立方程组。 5.其它许多情况建立的方程、函数关系式等。 【例题 1】(2020(2020内江内江) )如图,矩形ABCD中,BD为对角线,将矩形ABCD沿B

2、E、BF所在直线折叠,使点A 落在BD上的点M处,点C落在BD上的点N处,连结EF已知AB3,BC4,则EF的长为( ) A3 B5 C513 6 D13 【答案】C 【解析】求出BD5,AEEM,ABME90,证明EDMBDA,由相似三角形的性质得出 = , 设DEx,则AEEM4x,得出 5 = 4 3 ,解得x= 5 2,同理DNFDCB,得出 = ,设 DFy,则CF NF3y,则 5 = 3 4 ,解得y= 5 3由勾股定理即可求出 EF的长 解:四边形ABCD是矩形, ABCD3,ADBC4,ACEDF90, BD= 2+ 2= 32+ 42=5, 将矩形ABCD沿BE所在直线折叠

3、,使点A落在BD上的点M处, AEEM,ABME90, EMD90, EDMADB, EDMBDA, = , 设DEx,则AEEM4x, 5 = 4 3 , 解得x= 5 2, DE= 5 2, 同理DNFDCB, = , 设DFy,则CFNF3y, 5 = 3 4 , 解得y= 5 3 DF= 5 3 EF= 2+ 2= (5 2) 2+ (5 3) 2 = 513 6 【对点练习】【对点练习】若正多边形的一个内角是 150,则该正多边形的边数是( ) A6 B12 C16 D18 【答案】B 【解析】根据多边形的内角和,可得答案 设多边形为 n 边形,由题意,得 (n2)180=150n,

4、 解得 n=12 【点拨】本题考查了多边形的内角与外角,利用内角和公式是解题关键 【例题【例题 2 2】(2020(2020天水天水) )如图,在边长为 6 的正方形ABCD内作EAF45,AE交BC于点E,AF交CD于点 F,连接EF,将ADF绕点A顺时针旋转 90得到ABG若DF3,则BE的长为 【答案】2 【解析】根据旋转的性质可知,ADFABG,然后即可得到DFBG,DAFBAG,然后根据题目中的 条件,可以得到EAGEAF,再根据DF3,AB6 和勾股定理,可以得到DE的长,本题得以解决 解:由题意可得, ADFABG, DFBG,DAFBAG, DAB90,EAF45, DAF+E

5、AB45, BAG+EAB45, EAFEAG, 在EAG和EAF中, = = = , EAGEAF(SAS), GEFE, 设BEx,则GEBG+BE3+x,CE6x, EF3+x, CD6,DF3, CF3, C90, (6x) 2+32(3+x)2, 解得,x2, 即CE2 【对点练习】【对点练习】 如图, 在圆内接四边形ABCD中, 若A, B, C的度数之比为4: 3: 5, 则D的度数是 【答案】120 【解析】A,B,C 的度数之比为 4:3:5, 设A=4x,则B=3x,C=5x 四边形 ABCD 是圆内接四边形, A+C=180,即 4x+5x=180,解得 x=20, B=

6、3x=60, D=18060=120 【例题【例题 3 3】(2020(2020常德常德) )如图,已知抛物线yax 2过点 A(3,9 4) (1)求抛物线的解析式; (2)已知直线l过点A,M(3 2,0)且与抛物线交于另一点 B,与y轴交于点C,求证:MC 2MAMB; (3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形, 求所有符合条件的P点坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题 (2)构建方程组确定点B的坐标,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可 (3)如图 2 中,设P(t,1 4t 2),根据 PDC

7、D构建方程求出t即可解决问题 【解析】(1)把点A(3,9 4)代入 yax 2, 得到9 4 =9a,a= 1 4, 抛物线的解析式为y= 1 4x 2 (2)设直线l的解析式为ykx+b,则有 9 4 = 3 + 0 = 3 2 + , 解得 = 1 2 = 3 4 , 直线l的解析式为y= 1 2x+ 3 4, 令x0,得到y= 3 4,C(0, 3 4), 由 = 1 4 2 = 1 2 + 3 4 ,解得 = 1 = 1 4 或 = 3 = 9 4 , B(1,1 4), 如图 1 中,过点A作AA1x轴于A1,过B作BB1x轴于B1,则BB1OCAA1, = 1 = 3 21 3

8、2 = 1 3, = 1 = 3 2 3 2(3) = 1 3, = , 即MC 2MAMB (3)如图 2 中,设P(t,1 4t 2) OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形, PDOC,PDOC, D(t, 1 2t+ 3 4), |1 4t 2(1 2t+ 3 4)|= 3 4, 整理得:t 2+2t60 或 t 2+2t0, 解得t17或1+7或2 或 0(舍弃), P(17,2+ 7 2 )或(1+7,2 7 2 )或(2,1) 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 江苏徐州江苏徐州) )如图,有一块矩形硬纸板,长 30cm,宽 20cm在其四角各剪去一个同样

9、的正 方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子当剪去正方形的边长取何值时,所得长方 体盒子的侧面积为 200cm 2? 【答案】见解析。 【解析】设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为(302x)cm,宽为(202x)cm,高 为xcm, 依题意,得:2(302x)+(202x)x200, 整理,得:2x 225x+500, 解得:x1,x210 当x10 时,202x0,不合题意,舍去 答:当剪去正方形的边长为cm时,所得长方体盒子的侧面积为 200cm 2 一、选择题一、选择题 1(2020(2020绍兴绍兴) )如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与

10、其投影的相似比为 2:5,且三角板的一边 长为 8cm则投影三角板的对应边长为( ) A20cm B10cm C8cm D3.2cm 【答案】A 【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解 【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm, 三角尺与投影三角尺相似, 8:x2:5, 解得x20 2(2019 湖北黄冈)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,AB40m,点 C是的中点,且CD10m,则这段弯路所在圆的半径为( ) A25m B24m C30m D60m 【答案】A 【解析】根据题意,可以推出ADBD20,若设半径为r,则ODr10,OBr,结合勾股定理可

11、推出半 径r的值 OCAB, ADDB20m, 在 RtAOD中,OA 2OD2+AD2, 设半径为r得:r 2(r10)2+202, 解得:r25m, 这段弯路的半径为 25m 【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用,关键在于设出半径为r后,用r表示出OD、OB 的长度 3 3(2019(2019 贵州贵阳贵州贵阳) )数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a,9,点M为线段AB的中点,则a的值是( ) A3 B4.5 C6 D18 【答案】C 【解析】根据题意列方程即可得到结论 数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a,9,点M为线段AB的中点, 9a2a9, 解得:a6 4.

12、 (2020 桂林模拟)若|3x2y1|+=0,则 x,y 的值为( ) A B C D 【答案】D 【解析】根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案 由题意可知:解得:故选:D 二、填空题二、填空题 5(2020(2020常德常德) )如图 1,已知四边形ABCD是正方形,将DAE,DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图 2,此 时DA与DC重合(A、C都落在G点),若GF4,EG6,则DG的长为 【答案】12 【解析】设正方形ABCD的边长为x,由翻折及已知线段的长,可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的 长;在 RtBEF中,由勾股定理得关于x的方程,解得x的值,即为DG的

13、长 设正方形ABCD的边长为x,由翻折可得: DGDADCx, GF4,EG6, AEEG6,CFGF4, BEx6,BFx4,EF6+410,如图 1 所示: 在 RtBEF中,由勾股定理得: BE 2+BF2EF2, (x6) 2+(x4)2102, x 212x+36+x28x+16100, x 210 x240, (x+2)(x12)0, x12(舍),x212 DG12 6(2020(2020长沙长沙) )如图,点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M,N重合),PQMN,NE平分MNP,交 PM于点E,交PQ于点F (1) + = (2)若PN 2PMMN,则 = 【解析】(1)

14、1(2)51 2 【分析】(1)证明PENQFN,得 = ,证明NPQPMQ,得 = ,再得 = ,再 变形比例式便可求得结果; (2)证明NPQNMP,得PN 2NQMN,结合已知条件得 PMNQ,再根据三角函数得 = ,进而得 MQ 与NQ的方程,再解一元二次方程得答案 【解析】(1)MN为O的直径, MPN90, PQMN, PQNMPN90, NE平分PNM, MNEPNE, PENQFN, = ,即 = , PNQ+NPQPNQ+PMQ90, NPQPMQ, PQNPQM90, NPQPMQ, = , 得 = , QFPQPF, = =1 , + =1, 故答案为:1; (2)PNQ

15、MNP,NQPNPQ, NPQNMP, = , PN 2QNMN, PN 2PMMN, PMQN, = , tanM= = , = , = +, NQ 2MQ2+MQNQ,即1 =2 2 + , 设 = ,则x 2+x10, 解得,x= 51 2 ,或x= 5+1 2 0(舍去), = 51 2 , 故答案为:51 2 7(2020湘潭)若 = 3 7,则 = 【解析】4 7 【分析】根据比例的基本性质变形,代入求值即可 【解析】由 = 3 7可设 y3k,x7k,k是非零整数, 则 = 73 7 = 4 7 = 4 7 8 8(2019(2019 宁夏宁夏) )如图,AB是O的弦,OCAB,

16、垂足为点C,将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D,若AB 2,则O的半径为 【答案】3 【解析】连接OA,设半径为x, 将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D, OC,OCAB, AC, OA 2OC2AC2, , 解得,x3 9(2020 毕节市模拟)一个容器盛满纯药液 40L,第一次倒出若干升后,用水加满;第二次又倒出同样体积 的溶液,这时容器里只剩下纯药液 10L,则每次倒出的液体是 L 【答案】20 【解析】设每次倒出液体 xL,由题意得: 40 xx=10, 解得:x=60(舍去)或 x=20 答:每次倒出 20 升 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中

17、的等量关系,列出方程 10.(202010.(2020衢州衢州) )如图,将一把矩形直尺ABCD和一块含 30角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中,AB 在x轴上,点G与点A重合,点F在AD上,三角板的直角边EF交BC于点M,反比例函数y= (x0)的图 象恰好经过点F,M若直尺的宽CD3,三角板的斜边FG83,则k 【答案】403 【分析】通过作辅助线,构造直角三角形,求出MN,FN,进而求出AN、MB,表示出点F、点M的坐标,利 用反比例函数k的意义,确定点F的坐标,进而确定k的值即可 【解析】过点M作MNAD,垂足为N,则MNCD3, 在 RtFMN中,MFN30, FN= 3MN33

18、, ANMB83 33 =53, 设OAx,则OBx+3, F(x,83),M(x+3,53), 83x(x+3)53, 解得,x5, F(5,83), k583 =403 故答案为:403 11一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60方向距小岛 80 海里的 B 处,沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北偏 西 45的 C 处,则该船行驶的速度为 海里/小时 【答案】 【解析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含 30角的直角三角 形的性质等知识;通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键 设该船行驶的速度为 x 海里/时,由已知可得 BC=3x,AQBC,BAQ=6

19、0,CAQ=45,AB=80 海里,在 直角三角形 ABQ 中求出 AQ、BQ,再在直角三角形 AQC 中求出 CQ,得出 BC=40+40=3x,解方程即可如图 所示: 设该船行驶的速度为 x 海里/时, 3 小时后到达小岛的北偏西 45的 C 处, 由题意得:AB=80 海里,BC=3x 海里, 在直角三角形 ABQ 中,BAQ=60, B=9060=30, AQ=AB=40,BQ=AQ=40, 在直角三角形 AQC 中,CAQ=45, CQ=AQ=40, BC=40+40=3x, 解得:x= 即该船行驶的速度为海里/时; 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形

20、的性质、含 30角的直角三角 形的性质等知识;通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键 12.(2019湖北天门)矩形的周长等于 40,则此矩形面积的最大值是 【答案】100 【解答】解:设矩形的宽为x,则长为(20 x), Sx(20 x)x 2+20 x(x10)2+100, 当x10 时,S最大值为 100 故答案为 100 三、解答题三、解答题 13(2020(2020天津天津) )如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC,BC测得BC221m,ACB 45,ABC58根据测得的数据,求AB的长(结果取整数) 参考数据:sin580.85,cos580.53,tan581

21、.60 【答案】见解析。 【分析】通过作高,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,列方程求解即可 【解析】如图,过点A作ADBC,垂足为D, ACB45, ADCD, 设ABx, 在 RtADB中,ADABsin580.85x,BDABcos580.53x, 又BC221,即CD+BD221, 0.85x+0.53x221, 解得,x160, 答:AB的长约为 160m 14(2020(2020武威武威) )如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且MAN45把ADN绕点A顺时 针旋转 90得到ABE (1)求证:AEMANM (2)若BM3,DN2,求正方形ABCD的边长 【

22、答案】见解析。 【解析】(1)想办法证明MAEMAN45,根据SAS证明三角形全等即可 (2)设CDBCx,则CMx3,CNx2,在 RtMCN中,利用勾股定理构建方程即可解决问题 (1)证明:ADNABE, DANBAE,DNBE, DAB90,MAN45, MAEBAE+BAMDAN+BAM45, MAEMAN, MAMA, AEMANM(SAS) (2)解:设CDBCx,则CMx3,CNx2, AEMANM, EMMN, BEDN, MNBM+DN5, C90, MN 2CM2+CN2, 25(x2) 2+(x3)2, 解得,x6 或1(舍弃), 正方形ABCD的边长为 6 15(202

23、0(2020长沙长沙) )在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F (1)求证:ABFFCE; (2)若AB23,AD4,求EC的长; (3)若AEDE2EC,记BAF,FAE,求 tan+tan的值 【解析】见解析。 【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可 (2)设ECx,证明ABFFCE,可得 = ,由此即可解决问题 (3)首先证明 tan+tan= + = + = + = ,设 ABCDa,BCADb,DEx,解直角三 角形求出a,b之间的关系即可解决问题 【解答】(1)证明:四边形ABCD是矩形, BCD90, 由翻折可知,D

24、AFE90, AFB+EFC90,EFC+CEF90, AFBFEC, ABFFCE (2)设ECx, 由翻折可知,ADAF4, BF= 2 2= 16 12 =2, CFBCBF2, ABFFCE, = , 23 2 = 2 , x= 23 3 , EC= 23 3 (3)ABFFCE, = , tan+tan= + = + = + = , 设ABCDa,BCADb,DEx, AEDE+2CEx+2(ax)2ax, ADAFb,DEEFx,BCD90, BF= 2 2,CF= 2 ( )2= 2 2, AD 2+DE2AE2, b 2+x2(2ax)2, a 2ax=1 4b 2, ABFF

25、CE, = , 2()2 = 22 , a 2ax= 2 22 2, 1 4b 2= 2 22 1 2 2, 整理得,16a 424a2b2+9b40, (4a 23b2)20, = 23 3 , tan+tan= = 23 3 16(2020(2020广元广元) )在 RtABC中,ACB90,OA平分BAC交BC于点O,以O为圆心,OC长为半径作圆 交BC于点D (1)如图 1,求证:AB为O的切线; (2)如图 2,AB与O相切于点E,连接CE交OA于点F 试判断线段OA与CE的关系,并说明理由 若OF:FC1:2,OC3,求 tanB的值 【答案】见解析。 【分析】(1)过点O作OGA

26、B,垂足为G,利用角平分线的性质定理可得OGOC,即可证明; (2)利用切线长定理,证明OEOC,结合OEOC,再利用垂直平分线的判定定理可得结论; 根据OF:FC1:2,OC3 求出OF和CF,再证明OCFOAC,求出AC,再证明BEOBCA,得到 = = ,设 BOx,BEy,可得关于x和y的二元一次方程组,求解可得BO和BE,从而可得结果 【解析】(1)如图,过点O作OGAB,垂足为G, OA平分BAC交BC于点O, OGOC, 点G在O上, 即AB与O相切; (2)OA垂直平分CE,理由是: 连接OE, AB与O相切于点E,AC与O相切于点C, AEAC, OEOC, OA垂直平分CE

27、; OF:FC1:2,OC3, 则FC2OF,在OCF中,OF 2+(2OF)232, 解得:OF= 35 5 ,则CF= 65 5 , 由得:OACE, 则OCF+COF90,又OCF+ACF90, COFACF,而CFOACO90, OCFOAC, = = ,即 3 = 35 5 3 = 65 5 , 解得:AC6, AB与圆O切于点E, BEO90,ACAE6,而BB, BEOBCA, = = ,设 BOx,BEy, 则 3+ = 3 6 = +6, 可得:6 = 9 + 3 6 = 3 + 18, 解得: = 5 = 4,即 BO5,BE4, tanB= = 3 4 17某公司组织员工

28、到附近的景点旅游,根据旅行社提供的收费方案,绘制了如图所示的图象,图中折线 ABCD 表示人均收费 y(元)与参加旅游的人数 x(人)之间的函数关系 (1)当参加旅游的人数不超过 10 人时,人均收费为 元; (2)如果该公司支付给旅行社 3600 元,那么参加这次旅游的人数是多少? 【答案】见解析。 【解析】(1)观察图象可知:当参加旅游的人数不超过 10 人时,人均收费为 240 元故答案为 240 (2)3600240=15,3600150=24, 收费标准在 BC 段, 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,则有, 解得, y=6x+300, 由题意(6x+300)x=3600, 解

29、得 x=20 或 30(舍弃) 答:参加这次旅游的人数是 20 人 18.为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高 2 米(即 CD=2 米),背水坡 DE 的坡度 i=1:1(即 DB:EB=1:1),如图所示,已知 AE=4 米,EAC=130,求水坝原 来的高度 BC (参考数据:sin500.77,cos500.64,tan501.2) 【答案】见解析。 【解析】设 BC=x 米, 在 RtABC 中, CAB=180EAC=50, AB=x, 在 RtEBD 中, i=DB:EB=1:1, BD=BE, CD+BC=AE+AB, 即 2+x

30、=4+x, 解得 x=12, 即 BC=12, 答:水坝原来的高度为 12 米 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义,构造直角三角形, 利用三角函数表示相关线段的长度,难度一般 1919(2019(2019 辽宁本溪辽宁本溪) )如图,点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点,连接BP并延长交CD于点E,交AD 的延长线于点F,O是DEF的外接圆,连接DP (1)求证:DP是O的切线; (2)若 tanPDC,正方形ABCD的边长为 4,求O的半径和线段OP的长 【答案】见解析。 【解析】(1)连接OD, 正方形ABCD中,CDBC,CPCP,DCPBCP45, CDPCBP(SAS), CDPCBP, BCD90, CBP+BEC90, ODOE,ODEOED, OEDBEC, BECOEDODE, CDP+ODE90,ODP90, DP是O的切线; (2)CDPCBE, tan, CE,DE2, EDF90,EF是O的直径, F+DEF90,FCDP, 在 RtDEF中, DF4, 2, , FPDE,DPEFPD, DPEFPD, , 设PEx,则PD2x, , 解得x, OPOE+EP