1、 专题专题 50 50 中考数学新定义型试题解法中考数学新定义型试题解法 1.1.新定义问题新定义问题 所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用， “给什么，用什么”是应用新“定义” 解题的基本思路 这类试题的特点： 源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、 新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许 多新方法、新观念，增强了学生创新意识 2.2.新定义问题类型新定义问题类型 主要包括以下几种类型： (1)概念的“新定义” ； (2)运算的“新定义” ； (3)规则的“新定义” ； (4)实验操作的
2、“新定义” ； (5)几何图形的新定义 3.3.新定义问题新定义问题解题策略解题策略 “新定义型专题”关键要把握两点： 一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。 【例题【例题 1 1】(2020(2020河南河南) )定义运算：mnmn 2mn1例如：424224217则方程 1x0 的根的情况为( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D只有一个实数根 【答案】A 【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案 【解析】由题意可知：1xx 2x10， 141(1)50， 【对点练习】【对点练习】定义：对
3、于实数 a，符号a表示不大于 a 的最大整数例如：5.7=5，5=5，-=-4 (1)如果a=-2，那么 a 的取值范围是 (2)如果 1 2 x =3，求满足条件的所有正整数 x 【答案】(1)-2a-1(2)5，6 【解析】运算新定义问题。 (1)a=-2， a 的取值范围是-2a-1； 故答案为：-2a-1 (2)根据题意得： 34， 解得：5x7， 则满足条件的所有正整数为 5，6 【例题【例题 2 2】 (2021(2021 广东深圳模拟广东深圳模拟) )定义新运算：ab= 1() (0) aab a abb b 且 ， 则函数y=3x的图象大致是( ) A BC D 【答案】B 【
4、解析】由题意得 y3x 2(x3) 3 (x3x0) x 且 当 x3 时，y2； 当 x3 且 x0 时，y 3 x , 图象如图： 【对点练习】【对点练习】(2020 甘肃兰州模拟)通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条 边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边 角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图在ABC中，AB=AC， 顶角A的正对记作 sadA， 这时 sadA BC AB 底边 腰 .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确 定的.根据上述角的正对定义，解
5、下列问题： (1)sad60= . (2)对于 0A0)，若点P在射线OP上，满足OPOP=r 2，则称点 P是点P关于O的 “反演点” ，如图 2，O的半径为 4，点B在O上，BOA=60，OA=8，若点A、B分别是点A，B关 于O的反演点，求AB的长. 图2图1 A B OP P O 【答案】见解析。 【解析】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. O的半径为 4，点A、B分别是点A，B关于O的反演点，点B在O上， OA=8， 22 4 ,4OA OAOB OB ，即 22 84 ,44OAOB . 2,4OAOB .点B的反演点B与点B重合. 如答图，设OA交O于点M，连接BM， O
6、M=OB，BOA=60，OBM是等边三角形. 2OAA M ，BMOM. 在 Rt OB M中，由勾股定理得 2222 422 3A BOBOA . 1919(2019(2019 江苏常熟江苏常熟) )已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面 图形S的“宽距” 例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度 (1)写出下列图形的宽距： 半径为 1 的圆： ； 如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ； (2)如图 2，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所 形成的图形为S，记S
7、的宽距为d 若d2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)； 若点C在M上运动， M的半径为 1， 圆心M在过点(0， 2)且与y轴垂直的直线上 对于M上任意点C， 都有 5d8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围 【答案】见解析。 【解析】(1)半径为 1 的圆的宽距离为 1， 故答案为 1 如图 1，正方形ABCD的边长为 2，设半圆的圆心为O，点P是O上一点，连接OP，PC，OC 在 RtODC中，OC OP+OCPC， PC1+， 这个“窗户形“的宽距为 1+ 故答案为 1+ (2)如图 21 中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为 2 如图 22 中
8、，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MTx轴于T ACAM+CM，又5d8， 当d5 时AM4， AT2，此时M(21，2)， 当d8 时AM7， AT2，此时M(21，2)， 满足条件的点M的横坐标的范围为 21x21 当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为2+1x2+1 20(2020 湖北随州模拟) 在平面直角坐标系中，我们定义直线yaxa为抛物线yax 2bxc(a、b、c 为常数，a0)的“梦想直 线” ；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形” 已知抛物线 2 2 34 3 2 3 33 yxx=-+与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B
9、的左侧)，与x轴负半轴 交于点C (1)填空： 该抛物线的 “梦想直线” 的解析式为 ， 点A的坐标为 ， 点B的坐标为 ； (2)如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN 为该抛物线的“梦想三角形” ，求点N的坐标； (3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、 F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1) 2 32 3 + 33 yx=-，(2，2 3)，(1，0) (2)抛物线与x轴负半轴交于点C，C(3，0
10、)过点A作AGy轴，垂足为点G 当点N在y轴上时，AMN为梦想三角形 设N(0，n)，A(2，2 3),C(3,0)，AC 13，ANAC 13， 在 RtAGN中，AG 2GN2AN2，又 AG2，GN|n2 3|， 4(n2 3) 213，解得 n2 33 或n2 33， y x A BC O M 设M(m，0), 当n2 33 时，在 RtMNO中，(2 33) 2m2(m3)2，解得：m22 3； 当n2 33 时，在 RtMNO中，(2 33) 2m2(m3)2，解得：m22 3； 又3m1，m22 3不合题意，舍去m22 3，此时n2 33， N(0，2 33) 当点M在y轴上时，
11、AMN为梦想三角形， 此时M与O重合，在 RtAGM中，AG2，GM2 3， tanAMGAG GM 3 3 ，AMG30， AMCAMNNMB60， 过点N作NPx轴于P，在 RtNMP中，MNCM3， NP3 3 2 ，OP3 2，N( 3 2， 3 3 2 ) 综上所述，点N的坐标为(0，2 33)或(3 2， 3 3 2 ) (3)E1(1，4 3 3 )，F1(0，2 3 3 )；E2(1，4 3 3 )，F2(4，10 3 3 ) y x N G A BC O M y x N G A BC O M 【点拨】(1)a 2 3 3 -，“梦想直线”的解析式为 2 32 3 + 33 y
12、x=-；由 2 2 34 3 2 3 33 yxx=-+， 2 32 3 + 33 yxx=-， 解得 x2， y2 3， x1， y0，从而得到 A(2，2 3)，B(1，0)；(2)AMN为梦想三角形，而点A(2，2 3)， 分两种情况：点M在y轴上，点N在y轴上；(3)分两种情况：AC为边，AC为对角线 21在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2)，且 x1x2，y1y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形” ，如图 为点 P，Q 的“相关矩形”示意图 (1)已知点 A
13、 的坐标为(1，0)， 若点 B 的坐标为(3，1)，求点 A，B 的“相关矩形”的面积； 点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； (2)O 的半径为，点 M 的坐标为(m，3)，若在O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 求 m 的取值范围 【答案】见解析。 【解析】(1)A(1，0)，B(3，1) 由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， 点 A，B 的“相关矩形”的面积为 21=2； 由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线， 又点 A，C 的“相关矩形”为正方形 直线 AC
14、 与 x 轴的夹角为 45， 设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=x+n 把(1，0)分别 y=x+m， m=1， 直线 AC 的解析为：y=x1， 把(1，0)代入 y=x+n， n=1， y=x+1， 综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x1 或 y=x+1； (2)设直线 MN 的解析式为 y=kx+b， 点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45， k=1， 点 N 在O 上， 当直线 MN 与O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 当 k=1 时， 作O 的切线 AD 和 BC，且
15、与直线 MN 平行， 其中 A、C 为O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B， 连接 OA，OC， 把 M(m，3)代入 y=x+b，b=3m， 直线 MN 的解析式为：y=x+3m ADO=45，OAD=90，OD=OA=2，D(0，2) 同理可得：B(0，2)， 令 x=0 代入 y=x+3m，y=3m，23m2，1m5， 当 k=1 时，把 M(m，3)代入 y=x+b，b=3+m， 直线 MN 的解析式为：y=x+3+m， 同理可得：23+m2， 5m1； 综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：1m5 或5m1 【点评】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解 相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来