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2021年中考数学专题复习 专题52 中考数学最值问题(教师版含解析)

1、专题专题 52 中考数学最值问题中考数学最值问题 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要分 为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短; (2)直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短; (3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数yaxbxc 2 (a、b、c 为常数且a 0)其性质中有 若a 0当x b a 2 时,y 有最小值。y acb a

2、 min 4 4 2 ; 若a 0当x b a 2 时,y 有最大值。y acb a max 4 4 2 。 2.一次函数的增减性.一次函数ykxb k()0的自变量 x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因 而没有最大(小)值;但当mxn时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大 (小)值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程;再根据 x 是实数,推得 0,进而求出 y 的取值范围,并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内,显然有

3、abkk 22 ,当且仅当ab 0时,等号成立,即 abk 22 的最小值为 k。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号,然后求出 y 在各个区间上的最大值, 再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式xa中,xa是最大值,在不等式xb中,xb是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内, 再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法” 。 【例题【例题 1】(2020黑龙江黑龙江)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,ABC60,将ABD 沿射线

4、 BD 方向平 移,得到EFG,连接 EC、GC求 EC+GC 的最小值为 【答案】3 【解析】根据菱形的性质得到 AB1,ABD30,根据平移的性质得到 EGAB1,EGAB,推出四 边形 EGCD 是平行四边形,得到 EDGC,于是得到 EC+GC 的最小值EC+GD 的最小值,根据平移的性 质得到点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上,作点 D 关于定直线的对称点 M,连接 CM 交定直线于 AE, 解直角三角形即可得到结论 在边长为 1 的菱形 ABCD 中,ABC60, ABCD1,ABD30, 将ABD 沿射线 BD 的方向平移得到EGF, EGAB1,EGAB, 四边形

5、ABCD 是菱形, ABCD,ABCD, BAD120, EGCD,EGCD, 四边形 EGCD 是平行四边形, EDGC, EC+GC 的最小值EC+ED 的最小值, 点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上, 作点 D 关于定直线的对称点 M,连接 CM 交定直线于 E, 则 CM 的长度即为 EC+DE 的最小值, EADADB30,AD1, ADM60,DHMH= 1 2AD= 1 2, DM1, DMCD, CDMMDG+CDB90+30120, MDCM30, CM2 3 2 CD= 3 【对点练习】【对点练习】(2020内江内江)如图,在矩形 ABCD 中,BC10,ABD

6、30,若点 M、N 分别是线段 DB、 AB 上的两个动点,则 AM+MN 的最小值为 【答案】15 【解析】作点 A 关于 BD 的对称点 A,连接 MA,BA,过点 AHAB 于 H首先证明ABA是等 边三角形,求出 AH,根据垂线段最短解决问题即可 解:作点 A 关于 BD 的对称点 A,连接 MA,BA,过点 AHAB 于 H BABA,ABDDBA30, ABA60, ABA是等边三角形, 四边形 ABCD 是矩形, ADBC10, 在 RtABD 中,AB= 30 =103, AHAB, AHHB53, AH= 3AH15, AM+MNAM+MNAH, AM+MN15, AM+MN

7、 的最小值为 15 【例题【例题 2】(2020襄阳襄阳)受新冠肺炎疫情影响,一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售 “一方有难,八 方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲,乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商的援助, 对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠,对乙种水果按 25 元/千克的价格出售设经销商购进甲种水果 x 千克,付款 y 元,y 与 x 之间的函数关系如图所示 (1)直接写出当 0 x50 和 x50 时,y 与 x 之间的函数关系式; (2)若经销商计划一次性购进甲, 乙两种水果共 100 千克, 且甲种水果不少于 40 千克, 但又不超过 60 千克 如 何分配甲,

8、乙两种水果的购进量,才能使经销商付款总金额 w(元)最少? (3)若甲,乙两种水果的销售价格分别为 40 元/千克和 36 元/千克经销商按(2)中甲,乙两种水果购进量的分 配比例购进两种水果共 a 千克,且销售完 a 千克水果获得的利润不少于 1650 元,求 a 的最小值 【分析】(1)由图可知 y 与 x 的函数关系式是分段函数,待定系数法求解析式即可 (2)设购进甲种水果为 a 千克,则购进乙种水果(100a)千克,根据实际意义可以确定 a 的范围,结合付款总 金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少 (3)根据(2)的结论列不等式解答即可 【解析】(1)当

9、0 x50 是,设 ykx,根据题意得 50k1500, 解得 k30; y30 x; 当 x50 时,设 yk1x+b, 根据题意得, 50 + = 1500 70 + = 1980,解得 = 24 = 300, y24x+3000 y= 30(0 50) 24 + 300(50), (2)设购进甲种水果为 a 千克,则购进乙种水果(100a)千克, 40a60, 当 40a50 时,w130a+25(100a)5a+2500 当 a40 时wmin2700 元, 当 50a60 时,w224a+25(100a)a+2500 当 a60 时,wmin2440 元, 24402700, 当 a

10、60 时,总费用最少,最少总费用为 2440 元 此时乙种水果 1006040(千克) 答:购进甲种水果为 60 千克,购进乙种水果 40 千克,才能使经销商付款总金额 w(元)最少 (3)由题意得:(4024) 3 5a+(3625) 2 5 1650, 解得 117 6 7, a 为正整数, a118, a 的最小值为 118 【对点练习】【对点练习】(2020(2020 海南模拟海南模拟) )某水果店在两周内,将标价为 10 元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格 为 8.1 元/斤,并且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第 1 天算起,第x天

11、(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数 关系式,并求出第几天时销售利润最大? 时间(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120 x 储存和损耗费用(元) 403x 3x 264x400 (3)在(2)的条件下,若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元,则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元? 【答案】看解析。 【解析】(1)设该种水果每次降价的

12、百分率为x,则第一次降价后的价格为 10(1x),第二次降价后的价格为 10(1x) 2,进而可得方程;(2)分两种情况考虑,先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用” ,再 分别求利润的最大值,比较大小确定结论;(3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上降a元,利用不等关系“(2) 中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解 解答:(1)设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得: 10(1x) 28.1 解方程得:x10.110%,x21.9(不合题意,舍去) 答:该种水果每次降价的百分率为 10% (2)第一次降价后的销售价格为:10(110%)9(元/斤), 当

13、 1x9 时,y(94.1)(803x)(403x)17.7x352; 当 9x15 时,y(8.14.1)(120 x)(3x 264x400)3x260 x80, 综上,y与x的函数关系式为:y 17.7x352(1x9,x为整数), 3x260 x80(9x15,x为整数) 当 1x9 时,y17.7x352,当x1 时,y最大334.3(元); 当 9x15 时,y3x 260 x803(x10)2380,当 x10 时,y最大380(元); 334.3380,在第 10 天时销售利润最大 (3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降a元,依题意得: 380(8.1a4.1)(1

14、2015)(315 26415400)127.5, 解得:a0.5, 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元 所以当x 35时,最大利润为 1950 元。 【例题【例题 3】(2020乐山乐山)如图,在平面直角坐标系中,直线 yx 与双曲线 y= 交于 A、B 两点,P 是以点 C(2,2)为圆心,半径长 1 的圆上一动点,连结 AP,Q 为 AP 的中点若线段 OQ 长度的最大值为 2,则 k 的值为( ) A 1 2 B 3 2 C2 D 1 4 【答案】A 【分析】 确定 OQ 是ABP 的中位线, OQ 的最大值为 2, 故 BP 的最大值为 4, 则 BCBPPC4

15、13, 则(m2)2+(m2)232,即可求解 【解析】点 O 是 AB 的中点,则 OQ 是ABP 的中位线, 当 B、C、P 三点共线时,PB 最大,则 OQ= 1 2BP 最大, 而 OQ 的最大值为 2,故 BP 的最大值为 4, 则 BCBPPC413, 设点 B(m,m),则(m2)2+(m2)232, 解得:m2= 1 2, km(m)= 1 2 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 云南云南) )如图,MN 是O 的直径,MN=4,AMN=40,点 B 为弧 AN 的中点,点 P 是直径 MN 上的一个动点,则 PA+PB 的最小值为 【答案】2 【解析】过 A 作关于

16、直线 MN 的对称点 A,连接 AB,由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值, 由对称的性质可知=,再由圆周角定理可求出AON 的度数,再由勾股定理即可求解过 A 作关 于直线 MN 的对称点 A,连接 AB,由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值, 连接 OB,OA,AA, AA关于直线 MN 对称,=, AMN=40, AON=80,BON=40,AOB=120, 过 O 作 OQAB 于 Q, 在 RtAOQ 中,OA=2, AB=2AQ=2, 即 PA+PB 的最小值 2 【例题【例题 4】(2020衡阳衡阳)在平面直角坐标系 xOy 中,关于 x 的二次函

17、数 yx2+px+q 的图象过点(1,0),(2, 0) (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当2x1 时,y 的最大值与最小值的差; (3)一次函数 y(2m)x+2m 的图象与二次函数 yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b,且 a3 b,求 m 的取值范围 【答案】见解析。 【分析】(1)由二次函数的图象经过(1,0)和(2,0)两点,组成方程组再解即可求得二次函数的表达式; (2)求得抛物线的对称轴,根据图象即可得出当 x2,函数有最大值 4;当 x= 1 2是函数有最小值 9 4,进而 求得它们的差; (3)由题意得 x2x2(2m)x+2m,整理得 x2+(m3

18、)x+m40,因为 a2b,ab,(m3)2 4(m4)(m5)20,把 x3 代入(2m)x+2mx2x2,解得 m 1 2 【解析】(1)由二次函数 yx2+px+q 的图象经过(1,0)和(2,0)两点, 1 + = 0 4 + 2 + = 0,解得 = 1 = 2, 此二次函数的表达式 yx2x2; (2)抛物线开口向上,对称轴为直线 x= 1+2 2 = 1 2, 在2x1 范围内,当 x2,函数有最大值为:y4+224; 当 x= 1 2是函数有最小值:y= 1 4 1 2 2= 9 4, 的最大值与最小值的差为:4( 9 4) = 25 4 ; (3)y(2m)x+2m 与二次函

19、数 yx2x2 图象交点的横坐标为 a 和 b, x2x2(2m)x+2m,整理得 x2+(m3)x+m40 a3b ab (m3)24(m4)(m5)20 m5 a3b 当 x3 时,(2m)x+2mx2x2, 把 x3 代入(2m)x+2mx2x2,解得 m 1 2 m 的取值范围为 m 1 2 【对点练习】【对点练习】(2019 海南)如图,已知抛物线yax 2+bx+5 经过 A(5,0),B(4,3)两点,与x轴的另 一个交点为C,顶点为D,连结CD (1)求该抛物线的表达式; (2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t 当点P在直线BC的下方运动时,求PB

20、C的面积的最大值; 该抛物线上是否存在点P,使得PBCBCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式,即可求解; (2)SPBCPG(xCxB),即可求解;分点P在直线BC下方、上方两种情况,分别求解即可 解:(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:,解得:, 故抛物线的表达式为:yx 2+6x+5, 令y0,则x1 或5, 即点C(1,0); (2)如图 1,过点P作y轴的平行线交BC于点G, 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线BC的表达式为:yx+1, 设点G(t,t+1),则点P(t,t 2+6t

21、+5), SPBCPG(xCxB)(t+1t 26t5) t 2 t6, 0,SPBC有最大值,当t时,其最大值为; 设直线BP与CD交于点H, 当点P在直线BC下方时, PBCBCD,点H在BC的中垂线上, 线段BC的中点坐标为(,), 过该点与BC垂直的直线的k值为1, 设BC中垂线的表达式为:yx+m,将点(,)代入上式并解得: 直线BC中垂线的表达式为:yx4, 同理直线CD的表达式为:y2x+2, 联立并解得:x2,即点H(2,2), 同理可得直线BH的表达式为:yx1, 联立并解得:x或4(舍去4), 故点P(,); 当点P(P)在直线BC上方时, PBCBCD,BPCD, 则直线

22、BP的表达式为:y2x+s,将点B坐标代入上式并解得:s5, 即直线BP的表达式为:y2x+5, 联立并解得:x0 或4(舍去4), 故点P(0,5); 故点P的坐标为P(,)或(0,5) 【点拨】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等,其中 (2),要主要分类求解,避免遗漏 【例题【例题 5 5】(2020(2020 无锡模拟无锡模拟) )如图,线段AB的长为 4,C为AB上一动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧 作等腰直角ACD和等腰直角BCE,那么DE长的最小值是 【答案】4 【解析】设AC=x,BC=4x,根据等腰直角三角形性质,得出CD=

23、2 2 x,CD= 2 2 (4x), 根据勾股定理然后用配方法即可求解 解:设AC=x,BC=4x, ABC,BCD均为等腰直角三角形, CD= 2 2 x,CD= 2 2 (4x), ACD=45,BCD=45, DCE=90, DE 2=CD2+CE2=1 2 x 2+1 2 (4x) 2=x24x+8=(x2)2+4, 根据二次函数的最值, 当x取 2 时,DE取最小值,最小值为:4 【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大,关键是掌握用配方法求二次函数最值 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 年黑龙江大庆年黑龙江大庆) )如图,在 RtABC中,A90AB8

24、cm,AC6cm,若动点D从B 出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况),运动速度为 2cm/s,过点D作DEBC交 AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm) (1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,BDE的面积S有最大值?最大值为多少? 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题,找到等量比是解 题的关键 (1)由平行线得ABCADE,根据相似形的性质得关系式. 动点D运动x秒后,BD2x 又AB8,AD82x DEBC, , , y关于x的函数关系式

25、为y(0 x4) (2)由SBDAE;得到函数解析式,然后运用函数性质求解 SBDE(0 x4) 当时,SBDE最大,最大值为 6cm 2 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题,找到等量比是解 题的关键 一、填空题一、填空题 1(2020扬州扬州)如图,在ABCD 中,B60,AB10,BC8,点 E 为边 AB 上的一个动点,连接 ED 并延长至点 F,使得 DF= 1 4DE,以 EC、EF 为邻边构造EFGC,连接 EG,则 EG 的最小值为 【答案】93 【解析】根据题意和平行四边形的性质,可以得到 BD 和 EF 的比值,再根据三角形相似和最短

26、距离,即 可得到 EG 的最小值,本题得以解决 作 CHAB 于点 H, 在ABCD 中,B60,BC8, CH43, 四边形 ECGF 是平行四边形, EFCG, EODGOC, = = , DF= 1 4DE, = 4 5, = 4 5, = 4 5, 当 EO 取得最小值时,EG 即可取得最小值, 当 EOCD 时,EO 取得最小值, CHEO, EO43, GO53, EG 的最小值是93, 2(2020凉山州凉山州)如图,矩形 ABCD 中,AD12,AB8,E 是 AB 上一点,且 EB3,F 是 BC 上一动点, 若将EBF 沿 EF 对折后,点 B 落在点 P 处,则点 P 到

27、点 D 的最短距离为 【答案】10 【解析】先根据勾股定理计算 ED 的长,当 E、P、D 共线时,DP 最小,即最短距离是此时 PD 的长 如图,连接 PD,DE, 四边形 ABCD 是矩形, A90, AB8,BE3, AE5, AD12, DE= 52+ 122=13, 由折叠得:EBEP3, EP+DPED, 当 E、P、D 共线时,DP 最小, DPDEEP13310 3(2020聊城)如图,在直角坐标系中,点 A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点 C 的纵坐标 为 1,且 CACB,在 y 轴上取一点 D,连接 AC,BC,AD,BD,使得四边形 ACBD 的周

28、长最小,这个最 小周长的值为 【答案】4+25 【分析】根据平行线的性质得到BAC45,得到C90,求得 ACBC2,作 B 关于 y 轴的对称点 E,连接 AE 交 y 轴于 D,则此时,四边形 ACBD 的周长最小,这个最小周长的值AC+BC+AE,过 E 作 EF AC 交 CA 的延长线于 F,根据勾股定理即可得到结论 解:点 A(1,1),点 C 的纵坐标为 1, ACx 轴, BAC45, CACB, ABCBAC45, C90, B(3,3) C(3,1), ACBC2, 作 B 关于 y 轴的对称点 E, 连接 AE 交 y 轴于 D, 则此时,四边形 ACBD 的周长最小,这

29、个最小周长的值AC+BC+AE, 过 E 作 EFAC 交 CA 的延长线于 F, 则 EFBC2,AF624, AE= 2+ 2= 22+ 42=25, 最小周长的值AC+BC+AE4+25 4如图,菱形ABCD中,A=60,AB=3,A、B的半径分别为 2 和 1,P、E、F分别是边CD、A和 B上的动点,则PE+PF的最小值是 【答案】3 【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值,进而求出即可 由题意可得出:当P与D重合时,E点在AD上,F在BD上,此时PE+PF最小, 连接BD, 菱形ABCD中,A=60,AB=AD,则ABD是等边三角形,BD=AB=

30、AD=3, A、B的半径分别为 2 和 1, PE=1,DF=2,PE+PF的最小值是 3 【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识,根据题意得出P点位置是解题关键 5.(20205.(2020 四川绵阳模拟四川绵阳模拟) )不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数,那么此 高的最大值可能为_。 【答案】5 【解析】设 a、b、c 三边上高分别为 4、12、h 因为2412Sabch ABC ,所以ab 3 又因为cabb 4,代入12bch 得124bbh,所以h 3 又因为cabb 2,代入12bch 得122bbh,所以h 6 所以 3h6

31、,故整数 h 的最大值为 5。 6.(20206.(2020 齐齐哈尔模拟齐齐哈尔模拟) )设 a、b 为实数,那么aabbab 22 2的最小值为_。 【答案】-1 【解析】aabbab 22 2 ababb a b bb a b b 22 22 22 12 1 2 3 4 3 2 1 4 1 2 3 4 111 () () ()() 当a b 1 2 0,b 10,即ab01,时, 上式等号成立。故所求的最小值为1。 二、解答题二、解答题 7(2020达州)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表: 原进价(元/张) 零售价(元/张) 成套售价(元/套) 餐桌 a 380

32、940 餐椅 a140 160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 (1)求表中 a 的值; (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张,且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张若 将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售,请问怎样进 货,才能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】见解析。 【分析】(1)根据数量总价单价,即可得出结论,解之经检验后即可得出 a 值; (2)设购进餐桌 x 张,则购进餐椅(5x+20)张,由餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张,可得出关于 x 的一元 一次不等式,解之

33、即可得出 x 的取值范围,设销售利润为 y 元,根据销售方式及总利润单件(单套)利润 销售数量,即可得出 y 关于 x 的函数关系式,利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解析】(1)根据题意得: 600 140 = 1300 , 解得 a260, 经检验,a260 是原分式方程的解 答:表中 a 的值为 260 (2)设购进餐桌 x 张,则购进餐椅(5x+20)张, 根据题意得:x+5x+20200, 解得:x30 设销售利润为 y 元, 根据题意得:y9402604(260140) 1 2x+(380260) 1 2x+160(260140)(5x+204 1 2x) 280 x+800,

34、 k2800, 当 x30 时,y 取最大值,最大值为:28030+8009200 答:当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时,才能获得最大利润,最大利润是 9200 元 8(2020泸州)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共 30 件其中甲种奖 品每件 30 元,乙种奖品每件 20 元 (1)如果购买甲、乙两种奖品共花费 800 元,那么这两种奖品分别购买了多少件? (2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 3 倍如何购买甲、乙两种奖品,使得总花费最少? 【答案】见解析。 【分析】(1)设甲种奖品购买了 x 件,乙种奖品购买了(30 x)件,利用购买甲、乙两

35、种奖品共花费了 800 元 列方程 30 x+20(30 x)800,然后解方程求出 x,再计算 30 x 即可; (2)设甲种奖品购买了 x 件,乙种奖品购买了(30 x)件,设购买两种奖品的总费用为 w 元,由购买乙种奖品 的件数不超过甲种奖品件数的 3 倍,可得出关于 m 的一元一次不等式,解之可得出 m 的取值范围,再由总 价单价数量,可得出 w 关于 x 的函数关系式,利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解析】(1)设甲种奖品购买了 x 件,乙种奖品购买了(30 x)件, 根据题意得 30 x+20(30 x)800, 解得 x20, 则 30 x10, 答:甲种奖品购买了 20

36、件,乙种奖品购买了 10 件; (2)设甲种奖品购买了 x 件,乙种奖品购买了(30 x)件,设购买两种奖品的总费用为 w 元, 根据题意得 30 x3x,解得 x7.5, w30 x+20(30 x)10 x+600, 100, w 随 x 的增大而减小, x8 时,w 有最小值为:w108+600680 答:当购买甲种奖品 8 件、乙种奖品 22 件时,总花费最小,最小费用为 680 元 9(2020重庆)探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函数图象,观察分析图象特征,概括函 数性质的过程结合已有的学习经验,请画出函数 y= 12 2+2的图象并探究该函数的性质 x 4 3 2

37、1 0 1 2 3 4 y 2 3 a 2 4 b 4 2 12 11 2 3 (1)列表,写出表中 a,b 的值:a ,b ; 描点、连线,在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象 (2)观察函数图象,判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“”作答,错误 的用“”作答): 函数 y= 12 2+2的图象关于 y 轴对称; 当 x0 时,函数 y= 12 2+2有最小值,最小值为6; 在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小 (3)已知函数 y= 2 3x 10 3 的图象如图所示, 结合你所画的函数图象, 直接写出不等式 12 2+2 2 3x 10

38、 3 的 解集 【答案】见解析。 【分析】(1)将 x3,0 分别代入解析式即可得 y 的值,再画出函数的图象; (2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断; (3)根据图象求得即可 【解析】(1)x3、0 分别代入 y= 12 2+2,得 a= 12 9+2 = 12 11,b= 12 0+2 = 6, 故答案为 12 11,6; 画出函数的图象如图: , 故答案为 12 11,6; (2)根据函数图象: 函数 y= 12 2+2的图象关于 y 轴对称,说法正确; 当 x0 时,函数 y= 12 2+2有最小值,最小值为6,说法正确; 在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增

39、大而减小,说法错误 (3)由图象可知:不等式 12 2+2 2 3x 10 3 的解集为 x4 或2x1 10(2020绥化)如图,在矩形 OABC 中,AB2,BC4,点 D 是边 AB 的中点,反比例函数 y1= (x0) 的图象经过点 D,交 BC 边于点 E,直线 DE 的解析式为 y2mx+n(m0) (1)求反比例函数 y1= (x0)的解析式和直线 DE 的解析式; (2)在 y 轴上找一点 P,使PDE 的周长最小,求出此时点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,PDE 的周长最小值是 【答案】见解析。 【分析】(1)根据线段中点的定义和矩形的性质得到 D(1,4),解方程和

40、方程组即可得到结论; (2)作点 D 关于 y 轴的对称点 D,连接 DE 交 y 轴于 P,连接 PD,此时,PDE 的周长最小,求得直线 DE 的解析式为 y= 2 3x+ 10 3 ,于是得到结论; (3)根据勾股定理即可得到结论 【解析】(1)点 D 是边 AB 的中点,AB2, AD1, 四边形 OABC 是矩形,BC4, D(1,4), 反比例函数 y1= (x0)的图象经过点 D, k4, 反比例函数的解析式为 y= 4 (x0), 当 x2 时,y2, E(2,2), 把 D(1,4)和 E(2,2)代入 y2mx+n(m0)得,2 + = 2 + = 4 , = 2 = 6

41、, 直线 DE 的解析式为 y2x+6; (2)作点 D 关于 y 轴的对称点 D,连接 DE 交 y 轴于 P,连接 PD, 此时,PDE 的周长最小, D 点的坐标为(1,4), D的坐标为(1,4), 设直线 DE 的解析式为 yax+b, 4 = + 2 = 2 + ,解得: = 2 3 = 10 3 , 直线 DE 的解析式为 y= 2 3x+ 10 3 , 令 x0,得 y= 10 3 , 点 P 的坐标为(0,10 3 ); (3)D(1,4),E(2,2), BE2,BD1, DE= 12+ 22= 5, 由(2)知,D的坐标为(1,4), BD3, DE= 22+ 32= 1

42、3, PDE 的周长最小值DE+DE= 5 + 13, 故答案为:5 + 13 11(2020临沂临沂)如图,菱形 ABCD 的边长为 1,ABC60,点 E 是边 AB 上任意一点(端点除外),线段 CE 的垂直平分线交 BD,CE 分别于点 F,G,AE,EF 的中点分别为 M,N (1)求证:AFEF; (2)求 MN+NG 的最小值; (3)当点 E 在 AB 上运动时,CEF 的大小是否变化?为什么? 【答案】见解析。 【分析】(1)连接 CF,根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到 CFEF 和 CFAF 即可得证; (2)连接 AC,根据菱形对称性得到 AF+CF 最小值为 AC

43、,再根据中位线的性质得到 MN+NG 的最小值为 AC 的一半,即可求解; (3)延长 EF, 交 DC 于 H, 利用外角的性质证明AFCFCE+FEC+FAE+FEA, 再由 AFCFEF, 得到AEFEAF,FECFCE,从而推断出AFDFAE+ABFFAE+CEF,从而可求出 ABFCEF30,即可证明 【解析】(1)连接 CF, FG 垂直平分 CE, CFEF, 四边形 ABCD 为菱形, A 和 C 关于对角线 BD 对称, CFAF, AFEF; (2)连接 AC, M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点,点 G 为 CE 中点, MN= 1 2AF,NG= 1 2CF,即

44、 MN+NG= 1 2(AF+CF), 当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时, AF+CF 最小,即此时 MN+NG 最小, 菱形 ABCD 边长为 1,ABC60, ABC 为等边三角形,ACAB1, 即 MN+NG 的最小值为1 2; (3)不变,理由是: 延长 EF,交 DC 于 H, CFHFCE+FEC,AFHFAE+FEA, AFCFCE+FEC+FAE+FEA, 点 F 在菱形 ABCD 对角线 BD 上,根据菱形的对称性可得: AFDCFD= 1 2AFC, AFCFEF, AEFEAF,FECFCE, AFDFAE+ABFFAE+CEF, ABFCEF, ABC

45、60, ABFCEF30,为定值 12(2020广元广元)如图,公路 MN 为东西走向,在点 M 北偏东 36.5方向上,距离 5 千米处是学校 A;在点 M 北偏东 45方向上距离 62千米处是学校 B(参考数据:sin36.50.6,cos36.50.8,tan36.5 0.75) (1)求学校 A,B 两点之间的距离; (2)要在公路 MN 旁修建一个体育馆 C,使得 A,B 两所学校到体育馆 C 的距离之和最短,求这个最短距离 【答案】见解析。 【分析】(1)过点 A 作 CDMN,BEMN,在 RtACM 中求出 CM,AC,在 RtMBE 中求出 BE,ME, 继而得出 AD,BD

46、 的长度,在 RtABD 中利用勾股定理可得出 AB 的长度 (2)作点 B 关于 MN 的对称点 G,连接 AG 交 MN 于点 P,点 P 即为站点,求出 AG 的长度即可 【解析】(1)过点 A 作 CDMN,BEMN,如图: 在 RtACM 中,CMA36.5,AM5km, sin36.5= 5 =0.6, CA3,MC4km, 在 RtMBE 中,NMB45,MB= 62km, sin45= 62 = 2 2 , BE6,ME6km, ADCDCAMECA3km,BDBEDEBECM2km, 在 RtABD 中,AB= 13km (2)作点 B 关于 MN 的对称点 G,连接 AG

47、交 MN 于点 P,连接 PB,点 P 即为站点, 此时 PA+PBPA+PGAG,即 A,B 两所学校到体育馆 C 的距离之和最短为 AG 长 在 RtADG 中,AD3,DGDE+EGDE+BE4+610,ADG90, AG= 2+ 2= 32+ 102= 109km 答:最短距离为109km 13(2020武威武威)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx2 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C, 且 OA2OC8OB点 P 是第三象限内抛物线上的一动点 (1)求此抛物线的表达式; (2)若 PCAB,求点 P 的坐标; (3)连接 AC,求PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)抛物线 yax2+bx2,则 c2,故 OC2,而 OA2OC8OB,则 OA4,OB= 1 2,确定 点 A、B、C 的坐标;即可求解; (2)抛物线的对称轴为 x= 7 4,当 PCAB 时,点 P、C 的纵坐标相同,即可求解; (3)PAC 的面积 SSPHA+SPHC= 1 2PHOA,即可求解 【解析】(1)抛物线 yax2+bx2,则 c2