1、专题专题 52 中考数学最值问题中考数学最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分 为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短； (2)直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； (3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数yaxbxc 2 (a、b、c 为常数且a 0)其性质中有 若a 0当x b a 2 时，y 有最小值。y acb a
2、 min 4 4 2 ； 若a 0当x b a 2 时，y 有最大值。y acb a max 4 4 2 。 2.一次函数的增减性.一次函数ykxb k()0的自变量 x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因 而没有最大(小)值；但当mxn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大 (小)值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程；再根据 x 是实数，推得 0，进而求出 y 的取值范围，并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有
3、abkk 22 ，当且仅当ab 0时，等号成立，即 abk 22 的最小值为 k。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号，然后求出 y 在各个区间上的最大值， 再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式xa中，xa是最大值，在不等式xb中，xb是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内， 再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法” 。 【例题【例题 1】(2020黑龙江黑龙江)如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将ABD 沿射线
4、 BD 方向平 移，得到EFG，连接 EC、GC求 EC+GC 的最小值为 【答案】3 【解析】根据菱形的性质得到 AB1，ABD30，根据平移的性质得到 EGAB1，EGAB，推出四 边形 EGCD 是平行四边形，得到 EDGC，于是得到 EC+GC 的最小值EC+GD 的最小值，根据平移的性 质得到点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上，作点 D 关于定直线的对称点 M，连接 CM 交定直线于 AE， 解直角三角形即可得到结论 在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60， ABCD1，ABD30， 将ABD 沿射线 BD 的方向平移得到EGF， EGAB1，EGAB， 四边形
5、ABCD 是菱形， ABCD，ABCD， BAD120， EGCD，EGCD， 四边形 EGCD 是平行四边形， EDGC， EC+GC 的最小值EC+ED 的最小值， 点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上， 作点 D 关于定直线的对称点 M，连接 CM 交定直线于 E， 则 CM 的长度即为 EC+DE 的最小值， EADADB30，AD1， ADM60，DHMH= 1 2AD= 1 2， DM1， DMCD， CDMMDG+CDB90+30120， MDCM30， CM2 3 2 CD= 3 【对点练习】【对点练习】(2020内江内江)如图，在矩形 ABCD 中，BC10，ABD
6、30，若点 M、N 分别是线段 DB、 AB 上的两个动点，则 AM+MN 的最小值为 【答案】15 【解析】作点 A 关于 BD 的对称点 A，连接 MA，BA，过点 AHAB 于 H首先证明ABA是等 边三角形，求出 AH，根据垂线段最短解决问题即可 解：作点 A 关于 BD 的对称点 A，连接 MA，BA，过点 AHAB 于 H BABA，ABDDBA30， ABA60， ABA是等边三角形， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC10， 在 RtABD 中，AB= 30 =103， AHAB， AHHB53， AH= 3AH15， AM+MNAM+MNAH， AM+MN15， AM+MN
7、 的最小值为 15 【例题【例题 2】(2020襄阳襄阳)受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售 “一方有难，八 方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商的援助， 对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按 25 元/千克的价格出售设经销商购进甲种水果 x 千克，付款 y 元，y 与 x 之间的函数关系如图所示 (1)直接写出当 0 x50 和 x50 时，y 与 x 之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲， 乙两种水果共 100 千克， 且甲种水果不少于 40 千克， 但又不超过 60 千克 如 何分配甲，
8、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额 w(元)最少？ (3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为 40 元/千克和 36 元/千克经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分 配比例购进两种水果共 a 千克，且销售完 a 千克水果获得的利润不少于 1650 元，求 a 的最小值 【分析】(1)由图可知 y 与 x 的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可 (2)设购进甲种水果为 a 千克，则购进乙种水果(100a)千克，根据实际意义可以确定 a 的范围，结合付款总 金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少 (3)根据(2)的结论列不等式解答即可 【解析】(1)当
9、0 x50 是，设 ykx，根据题意得 50k1500， 解得 k30； y30 x； 当 x50 时，设 yk1x+b， 根据题意得， 50 + = 1500 70 + = 1980，解得 = 24 = 300， y24x+3000 y= 30(0 50) 24 + 300(50)， (2)设购进甲种水果为 a 千克，则购进乙种水果(100a)千克， 40a60， 当 40a50 时，w130a+25(100a)5a+2500 当 a40 时wmin2700 元， 当 50a60 时，w224a+25(100a)a+2500 当 a60 时，wmin2440 元， 24402700， 当 a
10、60 时，总费用最少，最少总费用为 2440 元 此时乙种水果 1006040(千克) 答：购进甲种水果为 60 千克，购进乙种水果 40 千克，才能使经销商付款总金额 w(元)最少 (3)由题意得：(4024) 3 5a+(3625) 2 5 1650， 解得 117 6 7， a 为正整数， a118， a 的最小值为 118 【对点练习】【对点练习】(2020(2020 海南模拟海南模拟) )某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格 为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率； (2)从第一次降价的第 1 天算起，第x天
11、(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数 关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120 x 储存和损耗费用(元) 403x 3x 264x400 (3)在(2)的条件下，若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 【答案】看解析。 【解析】(1)设该种水果每次降价的
12、百分率为x，则第一次降价后的价格为 10(1x)，第二次降价后的价格为 10(1x) 2，进而可得方程；(2)分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用” ，再 分别求利润的最大值，比较大小确定结论；(3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上降a元，利用不等关系“(2) 中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解 解答：(1)设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得： 10(1x) 28.1 解方程得：x10.110%，x21.9(不合题意，舍去) 答：该种水果每次降价的百分率为 10% （2）第一次降价后的销售价格为：10(110%)9(元/斤)， 当
13、 1x9 时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352； 当 9x15 时，y(8.14.1)(120 x)(3x 264x400)3x260 x80， 综上，y与x的函数关系式为：y 17.7x352(1x9，x为整数)， 3x260 x80(9x15，x为整数) 当 1x9 时，y17.7x352，当x1 时，y最大334.3(元)； 当 9x15 时，y3x 260 x803(x10)2380，当 x10 时，y最大380(元)； 334.3380，在第 10 天时销售利润最大 (3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降a元，依题意得： 380(8.1a4.1)(1
14、2015)(315 26415400)127.5， 解得：a0.5， 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元 所以当x 35时，最大利润为 1950 元。 【例题【例题 3】(2020乐山乐山)如图，在平面直角坐标系中，直线 yx 与双曲线 y= 交于 A、B 两点，P 是以点 C(2，2)为圆心，半径长 1 的圆上一动点，连结 AP，Q 为 AP 的中点若线段 OQ 长度的最大值为 2，则 k 的值为( ) A 1 2 B 3 2 C2 D 1 4 【答案】A 【分析】 确定 OQ 是ABP 的中位线， OQ 的最大值为 2， 故 BP 的最大值为 4， 则 BCBPPC4
15、13， 则(m2)2+(m2)232，即可求解 【解析】点 O 是 AB 的中点，则 OQ 是ABP 的中位线， 当 B、C、P 三点共线时，PB 最大，则 OQ= 1 2BP 最大， 而 OQ 的最大值为 2，故 BP 的最大值为 4， 则 BCBPPC413， 设点 B(m，m)，则(m2)2+(m2)232， 解得：m2= 1 2， km(m)= 1 2 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 云南云南) )如图，MN 是O 的直径，MN=4，AMN=40，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上的一个动点，则 PA+PB 的最小值为 【答案】2 【解析】过 A 作关于
16、直线 MN 的对称点 A，连接 AB，由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值， 由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出AON 的度数，再由勾股定理即可求解过 A 作关 于直线 MN 的对称点 A，连接 AB，由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值， 连接 OB，OA，AA， AA关于直线 MN 对称，=， AMN=40， AON=80，BON=40，AOB=120， 过 O 作 OQAB 于 Q， 在 RtAOQ 中，OA=2， AB=2AQ=2， 即 PA+PB 的最小值 2 【例题【例题 4】(2020衡阳衡阳)在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函
17、数 yx2+px+q 的图象过点(1，0)，(2， 0) (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当2x1 时，y 的最大值与最小值的差； (3)一次函数 y(2m)x+2m 的图象与二次函数 yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b，且 a3 b，求 m 的取值范围 【答案】见解析。 【分析】(1)由二次函数的图象经过(1，0)和(2，0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式； (2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当 x2，函数有最大值 4；当 x= 1 2是函数有最小值 9 4，进而 求得它们的差； (3)由题意得 x2x2(2m)x+2m，整理得 x2+(m3
18、)x+m40，因为 a2b，ab，(m3)2 4(m4)(m5)20，把 x3 代入(2m)x+2mx2x2，解得 m 1 2 【解析】(1)由二次函数 yx2+px+q 的图象经过(1，0)和(2，0)两点， 1 + = 0 4 + 2 + = 0，解得 = 1 = 2， 此二次函数的表达式 yx2x2； (2)抛物线开口向上，对称轴为直线 x= 1+2 2 = 1 2， 在2x1 范围内，当 x2，函数有最大值为：y4+224； 当 x= 1 2是函数有最小值：y= 1 4 1 2 2= 9 4， 的最大值与最小值的差为：4( 9 4) = 25 4 ； (3)y(2m)x+2m 与二次函
19、数 yx2x2 图象交点的横坐标为 a 和 b， x2x2(2m)x+2m，整理得 x2+(m3)x+m40 a3b ab (m3)24(m4)(m5)20 m5 a3b 当 x3 时，(2m)x+2mx2x2， 把 x3 代入(2m)x+2mx2x2，解得 m 1 2 m 的取值范围为 m 1 2 【对点练习】【对点练习】(2019 海南)如图，已知抛物线yax 2+bx+5 经过 A(5，0)，B(4，3)两点，与x轴的另 一个交点为C，顶点为D，连结CD (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t 当点P在直线BC的下方运动时，求PB
20、C的面积的最大值； 该抛物线上是否存在点P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解； (2)SPBCPG(xCxB)，即可求解；分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可 解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx 2+6x+5， 令y0，则x1 或5， 即点C(1，0)； (2)如图 1，过点P作y轴的平行线交BC于点G， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：yx+1， 设点G(t，t+1)，则点P(t，t 2+6t
21、+5)， SPBCPG(xCxB)(t+1t 26t5) t 2 t6， 0，SPBC有最大值，当t时，其最大值为； 设直线BP与CD交于点H， 当点P在直线BC下方时， PBCBCD，点H在BC的中垂线上， 线段BC的中点坐标为(，)， 过该点与BC垂直的直线的k值为1， 设BC中垂线的表达式为：yx+m，将点(，)代入上式并解得： 直线BC中垂线的表达式为：yx4， 同理直线CD的表达式为：y2x+2， 联立并解得：x2，即点H(2，2)， 同理可得直线BH的表达式为：yx1， 联立并解得：x或4(舍去4)， 故点P(，)； 当点P(P)在直线BC上方时， PBCBCD，BPCD， 则直线
22、BP的表达式为：y2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s5， 即直线BP的表达式为：y2x+5， 联立并解得：x0 或4(舍去4)， 故点P(0，5)； 故点P的坐标为P(，)或(0，5) 【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中 (2)，要主要分类求解，避免遗漏 【例题【例题 5 5】(2020(2020 无锡模拟无锡模拟) )如图，线段AB的长为 4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧 作等腰直角ACD和等腰直角BCE，那么DE长的最小值是 【答案】4 【解析】设AC=x，BC=4x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=
23、2 2 x，CD= 2 2 (4x)， 根据勾股定理然后用配方法即可求解 解：设AC=x，BC=4x， ABC，BCD均为等腰直角三角形， CD= 2 2 x，CD= 2 2 (4x)， ACD=45，BCD=45， DCE=90， DE 2=CD2+CE2=1 2 x 2+1 2 (4x) 2=x24x+8=(x2)2+4， 根据二次函数的最值， 当x取 2 时，DE取最小值，最小值为：4 【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 年黑龙江大庆年黑龙江大庆) )如图，在 RtABC中，A90AB8
24、cm，AC6cm，若动点D从B 出发，沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B，A重合的情况)，运动速度为 2cm/s，过点D作DEBC交 AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm) (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，BDE的面积S有最大值？最大值为多少？ 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解 题的关键 (1)由平行线得ABCADE，根据相似形的性质得关系式. 动点D运动x秒后，BD2x 又AB8，AD82x DEBC， ， ， y关于x的函数关系式
25、为y(0 x4) (2)由SBDAE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解 SBDE(0 x4) 当时，SBDE最大，最大值为 6cm 2 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解 题的关键 一、填空题一、填空题 1(2020扬州扬州)如图，在ABCD 中，B60，AB10，BC8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DF= 1 4DE，以 EC、EF 为邻边构造EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为 【答案】93 【解析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到 BD 和 EF 的比值，再根据三角形相似和最短
26、距离，即 可得到 EG 的最小值，本题得以解决 作 CHAB 于点 H， 在ABCD 中，B60，BC8， CH43， 四边形 ECGF 是平行四边形， EFCG， EODGOC， = = ， DF= 1 4DE， = 4 5， = 4 5， = 4 5， 当 EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值， 当 EOCD 时，EO 取得最小值， CHEO， EO43， GO53， EG 的最小值是93， 2(2020凉山州凉山州)如图，矩形 ABCD 中，AD12，AB8，E 是 AB 上一点，且 EB3，F 是 BC 上一动点， 若将EBF 沿 EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到
27、点 D 的最短距离为 【答案】10 【解析】先根据勾股定理计算 ED 的长，当 E、P、D 共线时，DP 最小，即最短距离是此时 PD 的长 如图，连接 PD，DE， 四边形 ABCD 是矩形， A90， AB8，BE3， AE5， AD12， DE= 52+ 122=13， 由折叠得：EBEP3， EP+DPED， 当 E、P、D 共线时，DP 最小， DPDEEP13310 3(2020聊城)如图，在直角坐标系中，点 A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点 C 的纵坐标 为 1，且 CACB，在 y 轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD，BD，使得四边形 ACBD 的周
28、长最小，这个最 小周长的值为 【答案】4+25 【分析】根据平行线的性质得到BAC45，得到C90，求得 ACBC2，作 B 关于 y 轴的对称点 E，连接 AE 交 y 轴于 D，则此时，四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值AC+BC+AE，过 E 作 EF AC 交 CA 的延长线于 F，根据勾股定理即可得到结论 解：点 A(1，1)，点 C 的纵坐标为 1， ACx 轴， BAC45， CACB， ABCBAC45， C90， B(3，3) C(3，1)， ACBC2， 作 B 关于 y 轴的对称点 E， 连接 AE 交 y 轴于 D， 则此时，四边形 ACBD 的周长最小，这
29、个最小周长的值AC+BC+AE， 过 E 作 EFAC 交 CA 的延长线于 F， 则 EFBC2，AF624， AE= 2+ 2= 22+ 42=25， 最小周长的值AC+BC+AE4+25 4如图，菱形ABCD中，A=60，AB=3，A、B的半径分别为 2 和 1，P、E、F分别是边CD、A和 B上的动点，则PE+PF的最小值是 【答案】3 【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可 由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小， 连接BD， 菱形ABCD中，A=60，AB=AD，则ABD是等边三角形，BD=AB=
30、AD=3， A、B的半径分别为 2 和 1， PE=1，DF=2，PE+PF的最小值是 3 【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键 5.(20205.(2020 四川绵阳模拟四川绵阳模拟) )不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数，那么此 高的最大值可能为_。 【答案】5 【解析】设 a、b、c 三边上高分别为 4、12、h 因为2412Sabch ABC ，所以ab 3 又因为cabb 4，代入12bch 得124bbh，所以h 3 又因为cabb 2，代入12bch 得122bbh，所以h 6 所以 3h6
31、，故整数 h 的最大值为 5。 6.(20206.(2020 齐齐哈尔模拟齐齐哈尔模拟) )设 a、b 为实数，那么aabbab 22 2的最小值为_。 【答案】-1 【解析】aabbab 22 2 ababb a b bb a b b 22 22 22 12 1 2 3 4 3 2 1 4 1 2 3 4 111 () () ()() 当a b 1 2 0，b 10，即ab01，时， 上式等号成立。故所求的最小值为1。 二、解答题二、解答题 7(2020达州)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价(元/张) 零售价(元/张) 成套售价(元/套) 餐桌 a 380
32、940 餐椅 a140 160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 (1)求表中 a 的值； (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张若 将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进 货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】见解析。 【分析】(1)根据数量总价单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出 a 值； (2)设购进餐桌 x 张，则购进餐椅(5x+20)张，由餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张，可得出关于 x 的一元 一次不等式，解之
33、即可得出 x 的取值范围，设销售利润为 y 元，根据销售方式及总利润单件(单套)利润 销售数量，即可得出 y 关于 x 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解析】(1)根据题意得： 600 140 = 1300 ， 解得 a260， 经检验，a260 是原分式方程的解 答：表中 a 的值为 260 (2)设购进餐桌 x 张，则购进餐椅(5x+20)张， 根据题意得：x+5x+20200， 解得：x30 设销售利润为 y 元， 根据题意得：y9402604(260140) 1 2x+(380260) 1 2x+160(260140)(5x+204 1 2x) 280 x+800，
34、 k2800， 当 x30 时，y 取最大值，最大值为：28030+8009200 答：当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 9200 元 8(2020泸州)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共 30 件其中甲种奖 品每件 30 元，乙种奖品每件 20 元 (1)如果购买甲、乙两种奖品共花费 800 元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ (2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 3 倍如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？ 【答案】见解析。 【分析】(1)设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了(30 x)件，利用购买甲、乙两
35、种奖品共花费了 800 元 列方程 30 x+20(30 x)800，然后解方程求出 x，再计算 30 x 即可； (2)设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了(30 x)件，设购买两种奖品的总费用为 w 元，由购买乙种奖品 的件数不超过甲种奖品件数的 3 倍，可得出关于 m 的一元一次不等式，解之可得出 m 的取值范围，再由总 价单价数量，可得出 w 关于 x 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解析】(1)设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了(30 x)件， 根据题意得 30 x+20(30 x)800， 解得 x20， 则 30 x10， 答：甲种奖品购买了 20
36、件，乙种奖品购买了 10 件； (2)设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了(30 x)件，设购买两种奖品的总费用为 w 元， 根据题意得 30 x3x，解得 x7.5， w30 x+20(30 x)10 x+600， 100， w 随 x 的增大而减小， x8 时，w 有最小值为：w108+600680 答：当购买甲种奖品 8 件、乙种奖品 22 件时，总花费最小，最小费用为 680 元 9(2020重庆)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函 数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数 y= 12 2+2的图象并探究该函数的性质 x 4 3 2
37、1 0 1 2 3 4 y 2 3 a 2 4 b 4 2 12 11 2 3 (1)列表，写出表中 a，b 的值：a ，b ； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象 (2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“”作答，错误 的用“”作答)： 函数 y= 12 2+2的图象关于 y 轴对称； 当 x0 时，函数 y= 12 2+2有最小值，最小值为6； 在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小 (3)已知函数 y= 2 3x 10 3 的图象如图所示， 结合你所画的函数图象， 直接写出不等式 12 2+2 2 3x 10
38、 3 的 解集 【答案】见解析。 【分析】(1)将 x3，0 分别代入解析式即可得 y 的值，再画出函数的图象； (2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断； (3)根据图象求得即可 【解析】(1)x3、0 分别代入 y= 12 2+2，得 a= 12 9+2 = 12 11，b= 12 0+2 = 6， 故答案为 12 11，6； 画出函数的图象如图： ， 故答案为 12 11，6； (2)根据函数图象： 函数 y= 12 2+2的图象关于 y 轴对称，说法正确； 当 x0 时，函数 y= 12 2+2有最小值，最小值为6，说法正确； 在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增
39、大而减小，说法错误 (3)由图象可知：不等式 12 2+2 2 3x 10 3 的解集为 x4 或2x1 10(2020绥化)如图，在矩形 OABC 中，AB2，BC4，点 D 是边 AB 的中点，反比例函数 y1= (x0) 的图象经过点 D，交 BC 边于点 E，直线 DE 的解析式为 y2mx+n(m0) (1)求反比例函数 y1= (x0)的解析式和直线 DE 的解析式； (2)在 y 轴上找一点 P，使PDE 的周长最小，求出此时点 P 的坐标； (3)在(2)的条件下，PDE 的周长最小值是 【答案】见解析。 【分析】(1)根据线段中点的定义和矩形的性质得到 D(1，4)，解方程和
40、方程组即可得到结论； (2)作点 D 关于 y 轴的对称点 D，连接 DE 交 y 轴于 P，连接 PD，此时，PDE 的周长最小，求得直线 DE 的解析式为 y= 2 3x+ 10 3 ，于是得到结论； (3)根据勾股定理即可得到结论 【解析】(1)点 D 是边 AB 的中点，AB2， AD1， 四边形 OABC 是矩形，BC4， D(1，4)， 反比例函数 y1= (x0)的图象经过点 D， k4， 反比例函数的解析式为 y= 4 (x0)， 当 x2 时，y2， E(2，2)， 把 D(1，4)和 E(2，2)代入 y2mx+n(m0)得，2 + = 2 + = 4 ， = 2 = 6
41、， 直线 DE 的解析式为 y2x+6； (2)作点 D 关于 y 轴的对称点 D，连接 DE 交 y 轴于 P，连接 PD， 此时，PDE 的周长最小， D 点的坐标为(1，4)， D的坐标为(1，4)， 设直线 DE 的解析式为 yax+b， 4 = + 2 = 2 + ，解得： = 2 3 = 10 3 ， 直线 DE 的解析式为 y= 2 3x+ 10 3 ， 令 x0，得 y= 10 3 ， 点 P 的坐标为(0，10 3 )； (3)D(1，4)，E(2，2)， BE2，BD1， DE= 12+ 22= 5， 由(2)知，D的坐标为(1，4)， BD3， DE= 22+ 32= 1
42、3， PDE 的周长最小值DE+DE= 5 + 13， 故答案为：5 + 13 11(2020临沂临沂)如图，菱形 ABCD 的边长为 1，ABC60，点 E 是边 AB 上任意一点(端点除外)，线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，G，AE，EF 的中点分别为 M，N (1)求证：AFEF； (2)求 MN+NG 的最小值； (3)当点 E 在 AB 上运动时，CEF 的大小是否变化？为什么？ 【答案】见解析。 【分析】(1)连接 CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到 CFEF 和 CFAF 即可得证； (2)连接 AC，根据菱形对称性得到 AF+CF 最小值为 AC
43、，再根据中位线的性质得到 MN+NG 的最小值为 AC 的一半，即可求解； (3)延长 EF， 交 DC 于 H， 利用外角的性质证明AFCFCE+FEC+FAE+FEA， 再由 AFCFEF， 得到AEFEAF，FECFCE，从而推断出AFDFAE+ABFFAE+CEF，从而可求出 ABFCEF30，即可证明 【解析】(1)连接 CF， FG 垂直平分 CE， CFEF， 四边形 ABCD 为菱形， A 和 C 关于对角线 BD 对称， CFAF， AFEF； (2)连接 AC， M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点，点 G 为 CE 中点， MN= 1 2AF，NG= 1 2CF，即
44、 MN+NG= 1 2(AF+CF)， 当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时， AF+CF 最小，即此时 MN+NG 最小， 菱形 ABCD 边长为 1，ABC60， ABC 为等边三角形，ACAB1， 即 MN+NG 的最小值为1 2； (3)不变，理由是： 延长 EF，交 DC 于 H， CFHFCE+FEC，AFHFAE+FEA， AFCFCE+FEC+FAE+FEA， 点 F 在菱形 ABCD 对角线 BD 上，根据菱形的对称性可得： AFDCFD= 1 2AFC， AFCFEF， AEFEAF，FECFCE， AFDFAE+ABFFAE+CEF， ABFCEF， ABC
45、60， ABFCEF30，为定值 12(2020广元广元)如图，公路 MN 为东西走向，在点 M 北偏东 36.5方向上，距离 5 千米处是学校 A；在点 M 北偏东 45方向上距离 62千米处是学校 B(参考数据：sin36.50.6，cos36.50.8，tan36.5 0.75) (1)求学校 A，B 两点之间的距离； (2)要在公路 MN 旁修建一个体育馆 C，使得 A，B 两所学校到体育馆 C 的距离之和最短，求这个最短距离 【答案】见解析。 【分析】(1)过点 A 作 CDMN，BEMN，在 RtACM 中求出 CM，AC，在 RtMBE 中求出 BE，ME， 继而得出 AD，BD
46、 的长度，在 RtABD 中利用勾股定理可得出 AB 的长度 (2)作点 B 关于 MN 的对称点 G，连接 AG 交 MN 于点 P，点 P 即为站点，求出 AG 的长度即可 【解析】(1)过点 A 作 CDMN，BEMN，如图： 在 RtACM 中，CMA36.5，AM5km， sin36.5= 5 =0.6， CA3，MC4km， 在 RtMBE 中，NMB45，MB= 62km， sin45= 62 = 2 2 ， BE6，ME6km， ADCDCAMECA3km，BDBEDEBECM2km， 在 RtABD 中，AB= 13km (2)作点 B 关于 MN 的对称点 G，连接 AG
47、交 MN 于点 P，连接 PB，点 P 即为站点， 此时 PA+PBPA+PGAG，即 A，B 两所学校到体育馆 C 的距离之和最短为 AG 长 在 RtADG 中，AD3，DGDE+EGDE+BE4+610，ADG90， AG= 2+ 2= 32+ 102= 109km 答：最短距离为109km 13(2020武威武威)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C， 且 OA2OC8OB点 P 是第三象限内抛物线上的一动点 (1)求此抛物线的表达式； (2)若 PCAB，求点 P 的坐标； (3)连接 AC，求PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)抛物线 yax2+bx2，则 c2，故 OC2，而 OA2OC8OB，则 OA4，OB= 1 2，确定 点 A、B、C 的坐标；即可求解； (2)抛物线的对称轴为 x= 7 4，当 PCAB 时，点 P、C 的纵坐标相同，即可求解； (3)PAC 的面积 SSPHA+SPHC= 1 2PHOA，即可求解 【解析】(1)抛物线 yax2+bx2，则 c2