1、 第 1 页 共 5 页 海淀海淀区区 20202020- -20212021 学年第二学期期末练习学年第二学期期末练习 高三高三数学数学 2021.05 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后， 将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边经过点()3,4，则cos= (A) 4 5 (B) 3 5 (C) 3 - 5 (D) 4 - 5
2、 (2)设aR.若()()2+13iaii= ，则a = (A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2 (3)已知 150.3 1.5 0.3 ,log0.3,1.5abc=，则 (A)abc (B)bac (C) acb (D) bca，则 (A)() 0 0,1x (B) 0 1 (),x + (C) 0 2,( )y + (D) 0 ,2() y (5)向量 a，b，c 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，若 e 为与 c 同方向的单位向量，则()ab e+= (A)1.5 (B)2 (C)-4.5 (D)-3 (6)已知实数 x，y 满足 22 46120 xyxy+=，则 x
3、的最大值是 (A)3 (B)2 (C)-1 (D)-3 第 2 页 共 5 页 (7)已知指数函数( ) x f xa=， 将函数( )f x的图象上的每个点的横坐标不变， 纵坐标扩大为原来的 3 倍， 得到函数( )g x 的图象，再将( )g x的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象恰好与函数( )f x的图象重合，则 a 的值是 (A) 3 2 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 3 (8)已知正方体 1111 ABCDABC D (如图 1)， 点 P 在侧面 11 CDDC内(包括边界).若三棱锥 1 BABP的俯视图为等腰直角 三角形(如图 2)，则此三棱锥的左视图不可能 是
4、 (9)已知实数, .+2,kkZ =“”是“()sin+sinsin =+”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)已知函数( ) 2 ax2, , xxa x xa x f a + = + ，若对于任意正数 k，关于 x 的方程( )f xk=都恰有两个不相等的实数根，则 满足条件的实数 a 的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 (11)已知数列 n a满足 11 2,20(,2,)1 nn aaan + =L，则 n
5、 a的前 6 项和为 。 (12)已知()12 n x+的展开式的二项式系数之和为 16，则n = ；各项系数之和为 。(用数字作答) (13)在ABC 中， 2 3,7, 3 abB =，则ABC 的面积为 。 (14)已知双曲线 22 22 :1 xy M ab =的左焦点为 F1，A，B 为双曲线 M 上的两点，O 为坐标原点若四边形 1 F ABO为菱形， 则双曲线 M 的离心率为 。 第 3 页 共 5 页 (15)普林斯顿大学的康威教授于 1986 年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”( Look and say sequence)， 该数列 的后一项由前一项的外观产生.以,
6、09i iNi （）为首项的“外观数列”记作 Ai， 其中 1 A为1,11,21,1211,111221,L， 即第一项为 1，外观上看是 1 个 1，因此第二项为 11；第二项外观上看是 2 个 1，因此第三项为 21；第三项外观 上看是 1 个 2， 1 个 1， 因此第四项为 1211， ， 按照相同的规则可得其它 Ai， 例如 A3为3,13,1113,3113,132113,L 给出下列四个结论： 若 i A的第 n 项记作 an，Aj的第 n 项记作 bn，其中29ij，则 *, nn nNabij = ； 1 A中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字 3； 1 A的每一项中
7、均不含数字 4； 对于2,1, i kiA的第 k 项的首位数字与 1 A的第 k+2 项的首位数字相同。 其中所有正确结论的序号是 。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (16)(本小题共 14 分) 如图，在三棱锥PABC中， ,65,BCAC BCPC ACBCPAPCD E=，分别是 AC，PC 的中点. ()求证：平面PACABC 平面； ()求二面角ADEB的余弦值 第 4 页 共 5 页 (17)(本小题共 14 分) 已知函数( )()0,0, 2 f xAsinxA =+ 的部分图象如图所示。 ()直接写出的值； ()再从条件、条
8、件中选择一个作为已知，求函数( )f x在区间-12 4 ，上的最小值。 条件：直线 7 12 x =为函数( )yf x=的图象的一条对称轴； 条件： ,0 3 为函数( )yf x=的图象的一个对称中心 (18)(本小题共 14 分) 为迎接 2022 年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动. 现从参加该活动的学生中随机抽取了 30 名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下： ()从该地区参加该活动的男生中随机抽取 1 人，估计该男生的竞赛成绩在 90 分以上的概率； ()从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机
9、抽取 2 人， 估计这 4 人中男生竞赛成绩在 90 分以上的人数比女生竞赛成绩在 90 分以上的人数多的概率； ()为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取 10 名男生、10 名女生 作为冬奥宜传志愿者.记这 10 名男生竞赛成绩的平均数为 1 ，这 10 名女生竞赛成绩的平均数为 2 ，能否认 为 12 ，说明理由. 第 5 页 共 5 页 (19)(本小题共 14 分) 椭圆() 22 22 :1 xy Ca ab +=b0的左、右焦点分别为 12 ,F F E是椭圆 C 上一点，且 1212 2,4.FFEFEF=+= ()求椭圆 C 的方程； ()
10、M， N 是 y 轴上的两个动点(点 M 与点 E 位于 x 轴的两侧)， 1 90MF NMEN= = o， 直线 EM 交 x 轴于点 P， 求 EP PM 的值. (20)(本小题共 15 分) 已知函数( )ln .f xxax= ()求曲线( )yf x=在点( )()1,1f处的切线方程； ()求( )f x的单调区间； ()若关于 x 的方程ln =0 xax有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 0 x，求证： () 0 1axa (21)(本小题共 14 分) 已知有限集 X，Y，定义集合|,xYXYx xX=且，X表示集合 X 中的元素个数。 ()若1,2,3,4 ,3,4
11、,5XY=，求集合XY和YX，以及()()XYYX的值； ()给定正整数 n，集合1,2,nS =L对于实数集的非空有限子集 A，B，定义集合=|,Cx xab aA bB=+ 求证: 1ASBSSC+； 求()()()()()()ASSABSSBCSSC+的最小值。 数学答案 第 1 页（共 10 页） 海淀区海淀区 2020-2021 学年学年第第二二学期学期期期末末练习练习 高三高三数学数学参考答案参考答案 2021.05 一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （
12、8） （9） （10） 答案 C A B B D C D D A B 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分。 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 126 4 81 15 3 4 31 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16） （本小题共 14 分） 解： （）因为 BCPC，ACBC， ACPCC，AC 平面PAC，PC 平 面PAC， 所以 BC 平面PAC. 又因为 BC 平面ABC， 所以 平面ABC平面PAC. （）连结PD，因为 PAPC，D是AC的中点， 所以 ADDC，PDAC. 过C作
13、/CHPD，则CHAC. 因为 BC 平面PAC，CH 平面PAC， 所以 BCCH. 又BCAC， 如图，以C为原点，分别以CB，CA，CH所在直线为x轴，y轴，z轴建 立空间直角坐标系C xyz. 因为 6AC ,5PC ， 所以 4PD. 因为 6BC ， 所以 (0,0,0)C，(6,0,0)B ， (0,6,0)A ， (0,3,0)D ， (0,3,4)P. 因为 E是PC的中点， 数学答案 第 2 页（共 10 页） 所以 3 (0,2) 2 E. 所以 3 (0,2) 2 DE ，(6, 3,0)DB . 设平面DEB的法向量为 ( , , )x y zn ， 则 0, 0,
14、DE DB n n 即 3 20, 2 630. yz xy 令2x ，则 4y ，3z . 所以 ( 2, 4, 3) n. 由（）可得：BC 平面PAC. 取平面ADE的一个法向量为 (1,0,0)m. 所以 22 29 cos, |29129 m n m n m n . 所以 二面角ADEF的余弦值为 2 29 29 . （17） （本小题共 14 分） 解： （）2. （）选择条件 因为 直线 7 12 x 为函数( )yf x的图象的一条对称轴， 所以 当 7 12 x 时， 73 22 122 k ，k Z， 即2 3 k ，k Z. 因为 | 2 ， 所以 3 . 因为 (0)3
15、f， 所以 3 sin3 32 AA . 所以 2A. 所以 ( )2sin(2) 3 f xx . z y x E D C B A P 数学答案 第 3 页（共 10 页） 因为 当, 12 4 x 时，2 , 366 x . 所以 当2 36 x 或 6 时，即当 12 x 或 4 时， ( )f x取到最小值，最小值为()( )1 124 ff . 选择条件 因为 (,0) 3 为函数( )yf x的图象的一个对称中心， 所以 当 3 x 时，22 3 k ，k Z， 即2 3 k ，k Z. 因为 | 2 ， 所以 3 . 因为 (0)3f， 所以 3 sin3 32 AA . 所以
16、2A. 所以 ( )2sin(2) 3 f xx . 因为 当, 12 4 x 时，2 , 366 x ， 所以 当2 36 x 或 6 时，即当 12 x 或 4 时， ( )f x取到最小值，最小值为()( )1 124 ff . （18） （本小题共 14 分） 解： （）由茎叶图可知，随机抽取的 30 名学生中男生有 15 名，其中竞赛成绩在 90 分以上的学生有 5 名. 所以 随机抽取的 15 名男生中竞赛成绩在 90 分以上的频率为 51 153 . 所以 从该地区参加该活动的男生中随机抽取 1 人， 该男生的竞赛成绩在 90 分 以上的概率估计为 1 3 . （）记1,2 i
17、A i 表示“第i名男生的竞赛成绩在 90 分以上” ，1,2 j Bj 表示“第 数学答案 第 4 页（共 10 页） j名女生的竞赛成绩在 90 分以上” ，C表示“4 人中男生竞赛成绩在 90 分以 上的人数比女生竞赛成绩在 90 分以上的人数多”. 同（） ，从该地区参加该活动的女生中随机抽取 1 人，该女生竞赛成绩在 90 分以上的概率估计为 31 155 ，则 12121212121212121212 P CP AA B BAA BBAA B BAA B BA A B B 121212121212 12121212 P A P AP B P BP A P AP B P BP A P
18、 AP B P B P A P AP B P BP A P AP B P B 111111111111 (1)(1)(1)(1) 335533553355 11111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 33553355 88 225 . （）参考答案：不能确定是否有 12 . 上述 10 名男生，10 名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以 12 , 是随机的. 所以 不能确定是否有 12 . （19） （本小题共 14 分） 解： （）由题意知： 222 22, 24, . c a abc 解得 2, 3. a b 所以 椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （）设(0, )Mm，
19、(0, )Nn， 00 (,)E x y. 由（）可知 1( 1,0) F ， 2(1,0) F. 因为 1 90MFN， 所以 11 0FM F N, 即(1,) (1, )mn1mn0. 所以 1mn . 又因为 90MEN， 所以 0ME NE，即 0000 (,) (,)x ymx yn 22 000 1 ()1xym y m 0. 数学答案 第 5 页（共 10 页） 又因为 22 00 1 43 xy ， 所以 22 000 41 4()1 3 yym y m 0. 所以 00 13 ()(3 ) 3 yym m 0. 所以 0 3 y m 或 0 3ym . 因为 点M与点E位于
20、x轴的两侧，即 0 y与m异号， 所以 0 3ym . 所以 0 | | yPE PMm 3m m 3. （20） （本小题共 15 分） 解： （）因为 ( )lnf xxax， 所以 ( )1 a fx x . 所以 (1)1fa 又因为 (1)1f， 所以 曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为1(1)(1)ya x ，即 (1)ya xa （）( )f x的定义域为(0,). ( )1= axa fx xx . 当0a 时，( )0fx ，所以 ( )f x的单调递增区间为(0,). 当0a 时，令( )0fx，得xa. ( )f x与( )fx在区间(0,)上的情况如下
21、： x (0, )a a ( ,)a ( )fx 0 ( )f x 极小值 数学答案 第 6 页（共 10 页） 所以 ( )f x的单调递减区间为(0, )a，单调递增区间为( ,)a . （）由（）知： 当0a 时，( )f x在(0,)上单调递增. 所以 ( )0f x 至多有一个实根，不符合题意. 当0a 时，( )f x在(0, )a上单调递减，在( ,)a 上单调递增. 所以 ( )f x的最小值为( )lnf aaaa. 若( )0f a ，则( )0f x ，所以 ( )0f x 至多有一个实根，不符合题意. 若( )0f a ，即ln0aaa，得ea. 又 (1)10f ，且
22、( )f x在(0, )a上单调递减， 所以 ( )f x在(0, )a上有唯一零点. 因为 方程ln0 xax有两个不相等的实数根，且较小的实数根为 0 x， 所以 ( )f x在(0, )a上的唯一零点就是 0 x. 方法一： 所以 00 ln0 xax， 0 (1, )xa. 所以 0 0 ln x a x . 所以 “ 0 (1)axa”等价于“ 00 0 00 (1) lnln xx x xx ” ，即 00 ln1xx. 由（）知，当1a 时，( )lnf xxx的最小值为(1)1f. 又因为 0 1x ，所以 00 ln1xx. 所以 0 (1)axa. 方法二： “ 0 (1)
23、axa”等价于“ 0 1 a x a ”. 数学答案 第 7 页（共 10 页） 又 2 2(2) 0 111 aaaa a a aaa ， 所以 1 a a a . 因为 ( )f x在(0, )a上单调递减， 所以 “ 0 1 a x a ”等价于“ 0 ()() 1 a f xf a ” ， 即()ln0 111 aaa fa aaa .(*) 因为 ea， 令 1 a t a ，则1t ， 1 t a t . 即(*)等价于ln0 1 t tt t ，即1ln0tt . 所以 “ 0 (1)axa”等价于“1ln0tt ”. 令( )1 lng ttt ，1t . 所以 11 ( )1
24、 t g t tt . 当1t 时，( )0g t ，所以 ( )g t在(1,)上单调递增. 所以 ( )g(1)g t ，而g(1)0. 所以 1ln0tt 成立. 所以 0 (1)axa. （21） （本小题共 14 分） 解： （）1,2XY，5YX，()()3XYYX. （）显然0X . 若AB中 含 有 一 个 不 在S中 的 元 素 ， 则1ASBS， 即 1ASBSSC. 若AS，且BS，则0ASBS. 数学答案 第 8 页（共 10 页） 此时A中最小的元素1a ，B中最小的元素1b ， 所以 C中最小的元素2ab. 所以 1C. 因为 1,2, Sn， 所以 1SC，即1A
25、SBSSC. 综上，1ASBSSC. 由知1ASBSSC. 所以 ()()()()()()ASSABSSBCSSC ASSABSSBCSSC 1SASBCS. 若AS ，或BS ，则SASBn. 若AS ，且BS ，设 12 , s ASa aa， 12 , t BSb bb， 且 12 1 s aaan， 12 1 t bbbn， 则SAns，SBnt. 若stn ，则2SASBnstn . 若stn ， 因为 1112123 2 tttst abababababab， 所以 1112123 , tttst ab abab ab abab这1st 个数一定在 集合C中，且均不等于1. 所以 1(1)CSstnstn . 所以 2()SASBCSnststnn . 所以 ()()()()()()ASSABSSBCSSC 11SASBCSn . 数学答案 第 9 页（共 10 页） 当ABS，2,3,2 Cn时， ()()()()()()1ASSABSSBCSSCn. 所以 ( )()()()()()ASSABSSBCSSC 的最小值是 1n .