1、2021 年年 4 月月新高考基地学校高三第二次大联考数学新高考基地学校高三第二次大联考数学试卷试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小是，每小题小是，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项是分在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1. 设全集为R，集合 | 25Axx ，| 216 x Bx 则() R AB （ ） A. |45xx B. |45xx C. |24xx D. |24xx 【答案】C 2. 某校组建了甲、乙、丙 3 支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队 员有小红、小芳、小丽若小王
2、和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则（ ） A. 小王的搭档一定是小芳 B. 小芳的搭档不可能是小张 C. 小张的搭档不可能是小红 D. 小李的搭档可能是小丽 【答案】D 3. 根据 20102019 年我国 1659岁人口比重统计数据y（%） ，拟合了y与年份x回归方程为 0.741551yx ，试据此估计我国约从哪一年开始 1659岁人口比重低于 50%（ ） A. 2023 B. 2026 C. 2029 D. 2032 【答案】C 4. 碌碡（li zh u）是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形 碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且
3、垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动若人推动木 柄绕圆盘转动 1 周，碌碡恰好滚动了 3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为（ ） A. 3:1 B. 3:2 C. 1:3 D. 2:3 【答案】B 5. 若存在复数z同时满足1zi ， 33 zit，则实数t的取值范围是（ ） A. 0,4 B. (4,6) C. 4,6 D. (6,) 【答案】C 6. 香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式 2 log1 S CB N 来表示，其中C是信道 支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz） ，S是平均信号功率（W） ，N是平均噪声功率 （W） 已
4、知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提 下，要使信道容量增大到原来的 2倍，则平均噪声功率约降为（ ） A. 0.1W B. 1.0W C. 3.2W D. 5.0W 【答案】A 7. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为2 ( 0)c c ，右焦点为F，过C上一点P作直线 3 2 xc的 垂线，垂足为Q若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为（ ） A. 2 3 B. 6 3 C. 4 2 3 D. 31 【答案】D 8. 已知函数( ) e x xa f x，且 lnbc a e ，则（ ） A. ( )( )( )f
5、 af bf c B. ( )( )( )f bf cf a C. ( )( )( )f af cf b D. ( )( )( )f cf bf a 【答案】A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9. 已知无穷等差数列 n a前n项和为 n S， 1 0a ，0d ，则（ ） A. 数列 n a单调递减 B. 数列 n a没有最小值 C. 数列 n
6、 S单调递减 D. 数列 n S有最大值 【答案】ABD 10. 已知a，b均为正数，且1a b ，则（ ） A. 2 21 ab B. 33 1ab C. 41 1 ab D. 22 2loglog2ab 【答案】AC 11. 已知函数 3 2 sin ( ) 1 x f x x ，,x ，则（ ） A. ,() x ，( ) ()0f x fx B. ,() x ，|( )| 1f x C. 12 ,x x ， 12 xx， 12 ( )()f xf x D. 0 ,x ，,() x ， 0 |( )|()f xf x 【答案】BCD 12. 由倍角公式 2 cos22cos1xx，可知c
7、os2x可以表示为cosx的二次多项式一般地，存在一个 * ()n nN次多项式 2 012012 ,),(), n nnn P taata ta ta a aaR，使得coscos() n nxPx，这 些多项式( ) n P t称为切比雪夫（PLTschebyscheff）多项式则（ ） A. 3 3 43( ) P ttt B. 当3n时， 0 0a C. 122 2 n aaaa D. 51 sin18 4 【答案】ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这 5 天中安排
8、3 天到社区进行劳动法宣讲，则这 3 天中恰有 2 天连排的概率为_ 【答案】 3 5 14. 已知正方形ABCD的边长为 2，当点P满足_时， 4AP AC （注：填上你认为正确的一种 条件即可，不必考虑所有可能的情况） 【答案】P 为AC的中点（答案不唯一） 15. 设 6 14 7 0 11 i i i xxa x xx ，则 0246791113 ()()aaaaaaaa_ 【答案】20 16. 已知等边三角形ABC的边长为 2，点D，E分别在边AC，BC上，且/DE AB，将CD E 沿DE折 起，则四棱锥CDABE的体积的最大值为_，此时四棱锥CDABE的外接球的表面积为 _ 【答
9、案】 (1). 2 3 9 (2). 4(174 3) 9 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在4 sincos3aBAb， 222 sinsin()sinbBcCbcA，3sincos ba AA ab 这三 个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存 在，说明理由 问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 1 cos 3 C ，_ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】答案不唯一，具
10、体见解析 18. 已知数列 n a满足 1 2a ， 1 ()(23) 1 nn nana （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n S为数列 n a的前n项和，求证 15 4 n S 【答案】 （1） 1 * 1 (1) 3 n n annN； （2）证明见解析 19. 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费 者喜爱某水产品超市购进一批重量为 100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了 50 只统计其重量，得到的结 果如下表所示： 规格 中蟹 大蟹 特大蟹 重量（单位：克） 160,180) 180,200) 200,220) 220,24
11、0) 240,260) 260,280 数量（单位：只） 3 2 15 20 7 3 （1）试用组中值来估计该批大闸蟹的有多少只？（所得结果四舍五入保留整数） （2） 某顾客从抽取的 10 只特大蟹中随机购买了 4只， 记重量在区间260,280上的大闸蟹数量为X， 求X 的概率分布和数学期望 【答案】 （1）446； （2）分布列见解析；期望 6 5 20. 已知AB是圆O直径， 且长为 4，C是圆O上异于A、B的一点， 点P到A，B， C的距离均为2 3 设 二面角PACB与二面角PBCA的大小分别为， （1）求 22 11 tantan 的值； （2）若tan3tan，求二面角A PCB
12、的余弦值 【答案】 （1） 1 2 ； （2） 33 33 21. 在平面直角坐标系xOy中，过点 (0, 1)M 直线交抛物 2 4yx于A，B两点 （1）设OA，OB的斜率分别为 1 k， 2 k，求 12 kk的值； （2）过点A，B分别作直线4x的垂线，垂足为C、D，试探究AOB和COD的关系，并说明理 由 【答案】 （1）4； （2）AOBCOD；答案见解析 22. 已知函数 2 3 ( )63log 2 a f xxxx（0a，且1a ）为单调减函数，( )f x的导函数( ) fx的最 大值不小于 0 （1）求a的值； （2）若 12 ( )()9f xf x，求证： 12 2xx 【答案】 （1） 1 e a； （2）证明见解析