1、专题复习一 与圆有关的线段弦、半径、直径是圆中的主要线段，主要应用垂径定理解决与线段有关的计算，弦心距和半径是主要的辅助线，方程思想是计算的主要思想方法1.如图所示，O 的直径 CD 垂直于弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB 的长为(D).A.2 B.4 C.6 D.8(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) (第 4 题)2.如图所示，O 的半径为 6，ABC 是O 的内接三角形，连结 OB，OC，若BAC 与BOC互补，则线段 BC 的长为(C).A.3 B.3 C.6 D.6333.如图所示，半径为 3 的O 内有一点 A，OA=3，点 P 在O 上，当OPA 最
2、大时，PA 的长为(B).A. B. C.3 D.2634.如图所示，在等边三角形 ABC 中，AB，AC 都是O 的弦，OMAB，ONAC，垂足分别为点 M，N.如果 MN=1，那么ABC 的面积为(B).A.3 B. C.4 D. 3 35.如图所示，O 的半径 ODAB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC.若AB=8，CD=2，则 EC 的长为(D).A.2 B.8 C.2 D.215101(第 5 题) (第 6 题) （第 7 题） （第 8 题）6.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一
3、尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图所示，CD 为O 的直径，ABCD 于点 E，CE=1，AB=10，求 CD的长.”根据题意可得 CD 的长为 26 7.如图所示，已知 P 为O 内一点，且 OP=2cm，如果O 的半径是 3cm，那么过点 P 的最短的弦长为 2 cm.58.如图所示，O 的半径为 5，弦 BC=8，点 A在O 上，AOBC，垂足为点 D，E 为 BC延长线上一点，AE=10，则 CE的长为 2 .9.如图所示，AB 是半圆 O的直径，BC 是弦，点 P从点 A开始，沿 AB向点 B以 1cm/s的速度移动，若 AB为 10cm，点 O到 BC的距离为
4、4cm(1)求弦 BC的长(2)经过几秒，BPC 是等腰三角形？(第 9题) 图 1 图 2(第 9 题答图)【答案】(1)如答图 1 所示，作 ODBC 于点 D，BD= BC.OB= AB=5(cm)，OD=4(cm)，21BD=3(cm).BC=2BD=6(cm).(2)设经过 t(s)后，BPC 是等腰三角形.当 PC 为底边时，BP=BC，10-t=6，解得 t=4(s).当 BC 为底边时，PC=PB，点 P 与点 O 重合，此时 t=5（s）.当 PB 为底边时，PC=BC.如答图 2 所示，连结 AC，作 CEAB 于点 E，则 BE= ，AE=210t.210tAB 是直径，
5、ABC 是直角三角形.AC= =8. 2BCAAC 2-AE2=BC2-BE2，64-（ ） 2=36-（ ） 2，解得 t=2.8(s).10t10t综上可知，经过 4s 或 5s 或 2.8s 后，BPC 是等腰三角形.10.如图所示，ABC 是O 的内接等边三角形，弦 EF 经过 BC 的中点 D，且 EFBA，若O的半径为 433，则 DE 的长为(C).A. -1 B. C. -1 D. 32155213(第 10 题) (第 11 题) (第 12 题) (第 13 题) (第 14题)11.如图所示，有半径为 2 和 4 的两个同心圆，矩形 ABCD 的边 AB，CD 分别为两圆
6、的63弦，当矩形的面积为最大时，它的周长等于(D).A.22+6 B.20+8 C.18+10 D.16+122 2212.如图所示，AB 是O 的直径，AB=2，OC 是O 的半径，OCAB，点 D 在 AC 上，AD=2CD，P 是半径 OC 上一个动点，那么 AP+PD 的最小值等于 313.如图所示，O 的直径 AB=10，P 是 OA 上一点，弦 MN 过点 P，且 AP=2，MP=22，那么弦心距 OQ 为 714.如图所示，半径为 1 的半圆 O 上有两个动点 A，B，若 AB=1，则四边形 ABDC 的面积的最大值是 4315.小明学习了垂径定理后，做了以下探究，请根据题目要求
7、帮小明完成探究(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图 1 所示，在O 中，C 是劣弧 AB 的中点，直线 CDAB 于点 E，则 AE=BE.请证明此结论(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦.如图 2 所示，PA，PB 组成O 的一条折弦，C 是劣弧 AB 的中点，直线 CDPA 于点 E，则 AE=PE+PB.可以通过延长 DB，AP 相交于点 F，再连结 AD 证明结论成立.请写出证明过程(3)如图 3 所示，PA，PB 组成O 的一条折弦，若 C 是 的中点，直线 CDPA 于点 E，则 AE，PE 与 PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必
8、证明(第 15 题) （第 15 题答图）【答案】(1)如答图所示，连结 AD，BD.C 是劣弧 AB 的中点，CDA=CDB.ADB 为等腰三角形.CDAB，AE=BE.(2)四边形 ADBP 是圆内接四边形，PBD+PAD180.PBD+PBF=180,PBF=PAD.C 是劣弧 AB 的中点，CDA=CDF.CDPA，AFD 为等腰三角形.F=A，AE=EF.PBF=F.PB=PF.AE=PE+PB.(3)AE=PE-PB.16.【陕西】如图所示，ABC 是O 的内接三角形，C=30，O 的半径为 5，若点 P 是O 上的一点，在ABP 中，PB=AB，则 PA 的长为(D).A.5 B
9、. C.5 D.523523（第 16 题） （第 17 题）17.【十堰】如图所示，ABC 内接于O，ACB=90，ACB 的平分线交O 于点 D.若AC=6，BD=5 ，则 BC 的长为 8 .218.要在半径为 1、圆心角为 60的扇形 AOB 铁皮上截取一块尽可能大的正方形.小明设计如下两种截取方案方案一(如图 1 所示)：点 C 在 OA 上，点 D，E 在 OB 上，点 F 在 上方案二(如图 2 所示)：点 C 在 OA 上，点 D 在 OB 上，点 E，F 在 上请计算这两种方案中正方形铁皮的面积，帮小明选择合理的方案(参考数据： 1.41, 21.73).3（第 18 题）
10、图 1 图 2（第 18 题答图）【答案】方案一：如答图 1 所示，连结 OF，设正方形 CDEF 的边长为 x.圆心角为 60，OD= x.在 RtOFE 中，OF 2=OE2+EF2，即 12=x2+（x+ x） 2，解得 x2= .S3 33761四边形 CDEF=x2= 0.29.方案二：如答图 2 所示，过点 O 作 OGEF，交 CD 于点 H，761交 EF 于点 G，连结 OE.设 EG=x，则 EF2x.四边形 CDEF 是正方形，OHCD.EG=DH=x.DOC=60，H 为 CD 中点，OH= DH= x.OG=OH+HG= x+2x.33在 RtOEG 中，OE 2=GE2+OG2，即 12=x2+( x+2x)2，解得 x2= .S 四边形 CDEF=4x2=2-430.27.方案一截取的正方形的面积较大，应选方案一.3