1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(19) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 | 22Axx , | 11Bxx ,则( ) AA BA B R BA C R AB D R ABR 2若存在复数z同时满足| | 1zi ,| 33 |zit ,则实数t的取值范围是( ) A0,4 B(4,6) C4,6 D(6, ) 3已知等比数列 n a 的公比 2q ,前 6 项和 6 21S ,则
2、 6 (a ) A32 B16 C16 D32 4古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过:“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文 化里,建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗 (如图)以连环诗的形式展现,20 个字绕着茶壶成一圆环,不论顺着读还是逆着读,皆成佳作数学与生 活也有许多奇妙的联系,如 2020 年 02 月 02 日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左 右完全对称的日期)数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数,两位数的回文数共有 9 个(11,22, 99),则共有多少个这样的三位回文数( )
3、 A64 B72 C80 D90 5 已知 1 F, 2 F是双曲线 2 2 1: 1 2 x Cy与椭圆 2 C的公共焦点,A是 1 C, 2 C在第一象限的公共点, 若 12 AFAF , 则椭圆 2 C的离心率为( ) A 3 2 B 1 2 C 3 3 D 1 3 6已知奇函数 ( )yg x 的图象由函数 ( )sin(21)f xx 的图向左平移 (0)m m 个单位后得到,则m可以是( ) A 1 2 B1 C 1 2 D1 7用平面截棱长为 1 的正方体1111 ABCDABC D ,所得的截面的周长记为m,则当平面经过正方体的 某条体对角线时,m的最小值为( ) A 3 3
4、4 B 5 C3 3 D2 5 8已知函数 ( )f x的定义域为R,且满足了( )( )1( )fxf xfx 是 ( )f x的导函数),若(0)0f ,则不等 式( )1 x ef x的解集为( ) A( ,0) B(0, ) C(, 1) D( 1, ) 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9 对某中学的高中女生体重y(
5、单位: )kg与身高x(单位:)cm进行线性回归分析, 根据样本数据( i x,)(1 i yi , 2, 3,12), 计算得到相关系数 0.9962r , 用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.8585.71yx, 则以下结论中正确的是( ) Ax与y正相关 Bx与y具有较强的线性相关关系,得到的回归直线方程有价值 C若该中学某高中女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg D若该中学某高中女生身高为160cm,则可断定其体重为50.29kg 10下列四个选项中,化简正确的是( ) A 62 cos12 4 B 2 sin347 cos148sin77 cos58 2 C 241 co
6、scoscos 9998 D tan72tan12 3 1tan72 tan12 11已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,左、右顶点分别为 1 A、 2 A,P为椭圆C 上异于 1 A、 2 A的任一点,则下列结论正确的有( ) A椭圆C与椭圆 22 22 :1 11 xy C ab 有相同的焦点 B直线 1 PA, 2 PA的斜率之积为 2 2 b a C存在点P满足 2 12 | | 2PFPFa D若 12 PFF为等腰直角三角形,则椭圆C的离心率为 2 2 或21 12已知向量 (1,sin )a ,(cosb,2)(0)剟,则下
7、列命题正确的是( ) Aa与b可能平行 B存在,使得| |ab C当3a b时, 6 sin 3 D当 2 tan 2 时,a与b垂直 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13设t为常数,若 10 () t x x 的展开式中所有项的系数和为 1024,则t 14某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这 5 天中安排 3 天到社区进行劳动法宣讲,则这 3 天中 恰有 2 天连排的概率为 15如图为某月牙潭的示意图,该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成,其中外堤岸为半 圆形,内堤岸圆弧所在圆的半径为 30 米,两堤岸的连
8、接点A,B间的距离为30 2米,则该月牙潭的面积 为 平方米 16在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 222 22cosbababcac,则 2 coscos1 22 BC 的取值范围为 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知ABC内角A,B,C的对边为a,b,c, 4bc且满足_ sin cos() 6 aBbA ,sin3sinsin()CBAB, 233cos cos cbB aA , 在这三个条件中任选一个,补充在上面的题干中,然后解答
9、问题 (1)求角A; (2)点P为ABC内一点,当 2 3 BPC 时,求BPC面积的最大值 18已知数列 n a 的前n项和为 n S,且 6,2 n S, n a成等差数列 (1)求 n a; (2)是否存在*mN,使得 12231 6 nnm a aa aa aa 对任意*nN成立?若存在,求m的所有取值; 否则,请说明理由 19如图,已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为 2 的菱形,PA底面ABCD, / /EDPA,且 22PAED (1)证明:平面PAC 平面PCE; (2)若直线PC与平面ABCD所成的角为45,求二面角PCED的余弦值 20张先生到一家公司参加面试,面试
10、的规则是:面试官最多向他提出五个问题,只要正确回答出三个问 题即终止提问,通过面试根据经验,张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为 2 3 ,假设 回答各个问题正确与否互不干扰 (1)求张先生通过面试的概率; (2)记本次面试张先生回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望 21已知抛物线 2 2(04)ypxp的焦点为F,点P在抛物线上,点P的纵坐标为 6,且| | 10PF (1)求抛物线的标准方程; (2)若A,B为抛物线上的两个动点(异于P点)且APAB,求点B纵坐标的取值范围 22已知函数( )(1) () x f xxeax aR (1)若2a ,证明: ( ) 0f
11、x ; (2)若关于x的不等式 1( )lnxf x 恒成立,求实数a的取值范围 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(19)答案)答案 1 解:集合 | 22Axx , | 11Bxx , 则 | 11ABxxB ,故A错误; |2 RA x x 或 2x , AB ,所以 R BA ,故B错误; |1 RB x x 或 1x , | 21 R ABxx 或1 2x ,故C错误; | 22 |1 R ABxxx x 剟 或 1xR ,故D正确 故选:D 2解:设 ( , )zx y , 因为 22 |(1)1zixy , 所以Z对应点的轨迹是以 (0,1)A 为圆心,以
12、1r 为半径的圆, 22 |33 |(3)(3)tzixy 表示圆上点到圆外点 (3, 3)B 的距离, 因为 22 (03)(1 3)5AB , 4ABr,6ABr, 所以46t剟 故选:C 3解:等比数列 n a 的公比 2q ,前 6 项和 6 21S , 6 11 ( 2) 21 1( 2) a ,解得 1 1a , 则 5 6 232a 故选:D 4解:3 位回文数的特点为,百位和个位数字相同但不能为零, 第一步,选百位和个位数字,共有 9 种选法; 第二步,选中间数字,有 10 种选法; 故 3 位回文数有9 1090个, 故选:D 5解:设椭圆方程为: 22 22 1 xy ab
13、 0ab,则3c , 所以 1 |AFm, 2 |AFn ,由A在双曲线上,有 222 2 2 (2 3) mn mn , 可得4mn,所以2a , 所以椭圆的离心率为: 3 2 c e a 故选:A 6解:奇函数 ( )yg x 的图象由函数 ( )sin(21)f xx 的图向左平移 (0)m m 个单位后得到, 故 ( )sin(221)g xxm ,21mk ,kZ, 则 1 2 k m ,令1k ,可得 1 2 m , 故选:A 7解:假设截面过体对角线 1 BD,(过其他体对角线结论一样) 如图所示, 因为一平面与两平行平面相交,交线平行, 1 / /D EBF , 1 / /BE
14、D F,且 1 D EBF , 1 BED F , 故四边形 1 D EBF为平行四边形, 2()mBEBF , 设CFx,则 1 1C Fx , 22 2( 11 (1) )mxx, a,b为正数时, 2abab ,当且仅当a b时等号成立, 当 22 11 (1)xx即 1 2 x 时,m取最小值为:2 5, 故选:D 8解:因为 ( )( )1fxf x , 所以 ( )( ) 10fxf x 令 ( )1 ( ) x f x g x e , 则 2 ( ) ( )1( )( )1 ( )0 xx xx fx ef xefxf x g x ee , 所以 ( )g x在R上单调递增, 又
15、 (0)0f , 所以 (0)(0)1 1gf , 又 ( )1 ( )11 x x f x ef x e , 即 ( )(0)g xg , 由得:0 x , 即不等式( )1 x ef x的解集为(0, ), 故选:B 9解:由于线性回归方程中x的系数为0.850,因此y与x具有正的线性相关关系,A正确; 根据样本数据计算得到相关系数0.9962r 接近 1,则样本数据与回归直线方程有较强的相关性,因此B正 确; 由线性回归方程中系数的意义可得回归直线的估计值知,x每增加1cm,其体重约增加0.85kg,C正确; 当某女生的身高为160cm时,其体重估计值是50.29kg,而不是具体值,因此
16、D错误 故选:ABC 10解:对于A, 123226 coscos() 123422224 ,故选项A错误; 对于B, 2 sin347 cos148sin77 cos58cos77 ( sin58 )sin77 cos58sin(5877 )sin135 2 , 故选项B错误; 对于C, 241224144181 sincoscoscossincoscossincossinsin 999929994998989 , 所以 241 coscoscos 9998 ,故选项C正确; 对于D, tan72tan12 tan(7212 )tan603 1tan72 tan12 ,故选项D正确 故选:C
17、D 11解:对于A, 22 11ab , 2222 1 (1)abab 椭圆C与椭圆 22 22 :1 11 xy C ab 有相同的 焦点,故正确; 对于B,设 ( , )p m n,则 2 222 2 () b nam a ,直线 1 PA, 2 PA的斜率之积为 22 222 nb maa ,故错; 对于C, 设 ( , )pmn , 则 2222 12 | | ()()PFPFaem aemae ma, 故不存在点P满足 2 12 | | 2PFPFa; 对于D,当 12 PFPF 时,bc,则2ac,则椭圆C的离心率为 2 2 , 当 112 PFFF 时, 2 2 b c a ,即
18、 22 20caca, 2 210ee ,21e ,故正确 故选:AD 12解:若a与b平行,则sincos2,即sin22 2 不成立,即a与b不可能平行,故A错误, 若| |ab,则 22 12sincos 得 22 1sincos2,即 22 cossincos21,此时存在, 故B正确, 若3a b,则 12 cos2sin3(cossin ) 33 , 设 1 sin 3 , 2 cos 3 ,则cos2sin3sin()3, 则sin( )1 ,即 2 2 k , 0 剟,0k时, 2 , 则 26 sincos 33 ,故C正确, 当 2 tan 2 时, 则 2 sincos
19、2 , 则 2 c o s2s i nc o s2 (c o s ) c o sc o s0 2 a b , 则a与b垂直成立,故D正确, 故选:BCD 13解:令1x 代入二项式可得: 10 (1)1024t , 所以12t ,则3t 或1, 故答案为:3 或1 14解:从 5 天中选 3 天的所以选法有 3 5 10C 种选法, 这 3 天中恰有 2 天连排的情况有 124,125,235,134,145,245 共 6 种选法, 故 3 天中恰有 2 天连排的概率 63 105 P 故答案为: 3 5 15解:连接AB,作AM的垂直平分线,交AB于点M,交两段弧于点P、Q,如图所示: 设
20、内堤岸弧所在圆心为O,则30 2AB 米,30OA 米, 在Rt AOM中, 1 30 2 2 2 sin 302 AOM , 所以 4 AOM , 2 AOB , 所以月牙潭的面积为: 2 2 30 2111 3030 30225450 2242 SSS 弓形半圆 (平方米) 故答案为:225450 16解:因为 222 22cosbababcac, 整理可得 222 2(1 cos )abCacb, 所以由余弦定理可得2 (1cos)2cosabCacB , 所以(1 cos )cosbCcB ,可得sinsincossincosBCBBC, 可得sin sin()BCB , 因为0 2
21、B ,0 2 C , 所以BCB,可得2CB, 又因为ABC为锐角三角形, 所以 0 2 02 2 03 2 B CB AB ,可得 64 B , 所以 23 cos 22 B, 又因为 2 1cos3cos1 coscos1cos1 2222 BCBB B , 所以 3 223 32 3cos1 22 B , 从而 3 223cos13 32 424 B ,可得 2 coscos1 22 BC 的取值范围为 3 22 ( 4 , 3 32) 4 故答案为: 3 22 ( 4 , 3 32) 4 17解:选sin cos() 6 aBbA , 由正弦定理得sin sinsincos() 6 A
22、BBA , 因为sin0B , 所以 31 sincos()cossin 622 AAAA , 即 3 tan 3 A , 因为 (0, )A , 所以 6 A ; 选sin3sinsin()CBAB, 所以sin()3sinsin()ABBAB, 所以sincossincos3sinsincossincosABBABABBA, 即2sincos3sinBAB, 因为sin0B , 所以 3 cos 2 A, 因为 (0, )A , 所以 6 A ; 选 233cos cos cbB aA , 由正弦定理得 2sin3sin3cos sincos CBB AA , 整理得,2sincos3si
23、ncos3sincos3sin()3sinCABAABABC, 因为sin0C , 所以 3 cos 2 A, 因为 (0, )A , 所以 6 A ; (2)由余弦定理 222 3 2cos16162443216 3 2 abcbcA , BPC中,由余弦定理得 22222 2 2cos3 3 aBPPCBP PCBPPCBP PCBP PC , 当且仅当BPCP时取等号, 所以 2 3 a BP PC, 2 12138 3 sin4 232323 BPC a SBP PC , BPC面积的最大值 8 3 4 3 18解:(1)数列 n a 的前n项和为 n S,且 6,2 n S, n a
24、成等差数列 故4 6 nn Sa , 当1n 时,解得 1 2a , 当2n时, 11 46 nn Sa , 得: 1 1 3 n n a a (常数), 所以数列 n a 是以 2 为首项, 1 3 为公比的等比数列; 所以 1 1 2() 3 n n a (2)由(1)得: 21 1 1 4() 3 n nn a a , 所以 13211 12231 11 ()(1) 1111 39 4 ()()()412() 1 3333 1 9 n nm nn a aa aa a , 所以 2 311 (1)() 893 m n 对任意的nN恒成立 由于 1 11 9n 且n时, 1 11 9n ,
25、所以 2 13 () 38 m ,故m为偶数, 当2m 时成立, 当4m时, 2 11 () 39 m , 故2m 19证明:(1)连接BD,交AC于点O,设PC中点为F, 连接OF,EF,O,F分别为AC,PC的中点, / /OFPA,且 1 2 OFPA , / /DEPA,且 1 2 DEPA ,/ /OFDE,且OFDE 四边形OFED为平行四边形,/ /ODEF ,即/ /BDEF PA平面ABCD,BD平面ABCD,PABD ABCD是菱形,BDAC PAACA ,BD平面PAC / /BDEF,EF平面PAC FE 平面PCE,平面PAC 平面PCE 解:(2)解法 1:因为直线
26、PC与平面ABCD所成角为45, 45PCA,2ACPA ACAB,故ABC为等边三角形 设BC的中点为M,连接AM,则AMBC 以A为原点,AM,AD,AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A xyz (如图) 则 (0P ,0,2),( 3,1,0)C, (0E ,2,1), (0D ,2,0), ( 3,1, 2)PC ,(3CE ,1,1),(0DE ,0,1) 设平面PCE的法向量为 1 nx , 1 y, 1 z , 则 0 0 n PC n CE ,即 111 111 320 30. xyz xyz 令 1 1y ,则 1 1 3 2 x z ,( 3,1,2)n 设平面CD
27、E的法向量为 2 (mx , 2 y, 2) z , 则 0 0 m DE m CE ,即 2 222 0 30. z xyz 令 2 1x ,则 2 2 3 0 y z ,(1, 3,0)m 设二面角PCED的大小为,由于为钝角, |2 36 cos|cos,|cos|cos,| | | |42 2 2 n mn m n mn m nmnm 二面角PCED 的余弦值为 6 4 解法 2:因为直线PC与平面ABCD所成角为45,且PA平面ABCD, 所以45PCA,所以2ACPA 因为2ABBC,所以ABC为等边三角形 因为PA平面ABCD,由(1)知/ /PAOF, 所以OF 平面ABCD
28、因为OB 平面ABCD,OC 平面ABCD,所以OFOB且OFOC 在菱形ABCD中,OBOC 以点O为原点,OB,OC,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O xyz (如图) 则(0,0,0), (0, 1,2), (0,1,0),(3,0,0), (3,0,1)OPCDE, 则(0, 2,2),(3, 1,1),(3, 1,0)CPCECD 设平面PCE的法向量为 1 (nx , 1 y, 1) z , 则 0 0 n CP n CE 即 11 111 220 30. yz xyz 令 1 1y ,则 1 1 1 1. y z ,则法向量 (0n ,1,1) 设平面CDE的法向量为
29、 2 (mx , 2 y, 2) z , 则 0 0 m CE m CD 即 222 22 30 30. xyz xy 令 2 1x ,则 2 2 3 0. y z 则法向量(1,3,0)m 设二面角PCED的大小为,由于为钝角, 则 |36 cos|cos,| | |42 2 n m n m nm 二面角PCED 的余弦值为 6 4 20解:(1)记张先生第 次答对面试官提出的问题为事件,2,3,4,则,张先生 前三个问题均回答正确为事件,前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件前四个问题回 答正确两个且第五个又回答正确为事件,张先生通过面试为事件,则 根据题意,得, 因为事件,互斥,
30、所以, 即张先生能够通过面试的概率为 (2)根据题意,4,5表明前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过),所以 ;表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰)或 者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过), 所以;表明前面四个问题中有两个回答错误,两个回答正 确,所以 所以的分布列为: 3 4 5 i(1 i A i 5) 2 () 3 i P A BC DMMBCD 3 28 ( )( ) 327 P B 22 3 21 28 ( )( ) 33 327 P CC 222 4 21216 ()( )( ) 33381 P DC BCD 881664
31、 ()( )( )() 27278181 P MP BP CP D 64 81 3X 3X 33 121 (3)( )( ) 333 P X 4X 1222 33 21121 210 (4)( )( ) 33333 327 P XCC5X 222 4 218 (5)( )( ) 3327 P XC X X 故 21解:(1)抛物线准线方程为: 将纵坐标代入抛物线的方程可得:,所以, 由抛物线的性质, 解得:或, 因为, 所以抛物线的标准方程为:; (2)由(1)可得, 设, 因为, , 所在的直线方程:,整理可得:, 联立,整理可得:, , 解得:或 所以点纵坐标的取值范围或 22解:(1)当
32、时,则有 令,解得, 当时,此时函数单调递增; 当时,此时函数单调递减; 函数,即得 (2)根据题意,恒成立, P 1 3 10 27 8 27 1108107 ()345 3272727 E X 2 p x P 2 62px 18 x p 18 10 2 p p 0p 18p 2p 04p 2 4yx (9,6)P 2 ( 4 n A )n 2 0 ( 4 y B 0) y APAB 2 64 6 9 4 PA n k nn AB 2 6 () 44 nn ynx ()(6)160yn n 2 ()(6)160 4 yn n yx 2 (6)6160nyny 2 (6)4(616) 0yy
33、14y2y B |14y y2y 2a ( ) x f xxex( )(1)1 x fxxe ( )0fx0 x 0 x ( )0fx( )f x 0 x ( )0fx ( )f x ( )(0)0 min f xf( ) 0f x 1(1) x lnxxeax 等价变形可得恒成立; 令,则只需 令,则有 在上单调递增, ,(1) 存在,使得 由此可得,在上单调递减,在,上单调递增, 故有, 即实数的取值范围为, 1 1 x lnx ae x 1 ( )1(0) x lnx g xex x ( )mina g x 2 2222 11 ( ) x xx lnxlnxxelnx g xee xxxx 2 ( ) x h xxelnx 2 1 ( )(2)0 x h xxx e x ( )g x(0,) 1 2 1 ( )0 e gee e g 0e 0 (0,)x 0 ( )00.567g xx ( )g x 0 (0,)x 0 (x) 0 ( )()22 min g xg xa a(2