1、 第 1 页 共 12 页 朝阳区朝阳区 20212021 届高三年级二模考试数学试卷届高三年级二模考试数学试卷 20215 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 （1）在复平面内，复数 2 (1i)1z 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）下列函数是奇函
2、数的是 （A）cosyx （B） 2 yx （C）ln|yx （D）ee xx y （3）已知双曲线 2 2 2 :1 y C x b 的一个焦点为( 2,0) ，则双曲线C的一条渐近线方程为 （A）30 xy （B）30 xy （C）310 xy （D）310 xy （4）已知函数 ( )sin()f xx （ 0,| 2 ）的部分图象如图所示，则 ( )f x的表达式为 （A） ( )sin(2) 6 f xx （B） ( )sin(2) 6 f xx （C） ( )sin() 6 f xx （D） ( )sin() 3 f xx （5）某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长
3、为 1， 则该四棱锥的 5 个面的面积中，最大的是 （A）2 （B）5 （C）6 正(主)视图侧(左)视图 俯视图 第 2 页 共 12 页 （D）3 （6）设0,0 xy，则“1xy”是“ 1 4 xy ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理该地 2020 年产生的生活垃圾为 20 万吨，其中 15 万 吨以填埋方式处理，5 万吨以环保方式处理预计每年生活垃圾的总量比前一年增加 1 万吨，同时， 因垃圾处理技术越来越进步，要求从 2021 年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年
4、的q倍， 若要使得 2024 年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的 50%，则q的值至少为 （A） 5 2.4 （B） 5 2.5 （C） 4 2.4 （D） 4 2.5 （8）若圆 22 1:Oyx 上存在点P，直线: (2)l yk x 上存在点Q，使得OPQO，则实数k的取值范围 为 （A）3, 3 （B） 33 , 33 （C）3, 3 （D） 33 , 33 （9）集合 1,2,3,4,5A 的所有三个元素的子集记为 * 12 , n B BB nN（）记 i b为集合 i B(1,2,3, )in中 的最大元素，则 123n bbbb （A）10 （B）40 （C
5、）45 （D）50 （10） 已知抛物线C的焦点F到准线l的距离为 2， 点P是直线l上的动点 若点A在抛物线C上， 且| |5AF ， 过点A作直线PF的垂线，垂足为H，则| | |PHPF 的最小值为 （A）2 5 （B）6 （C）41 （D）2 13 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 （11）已知向量 (2,)ma ， ( 1,2) b ，且2 0ab，则m _ （12）在等差数列 n a 中，已知 25 5,2aa ，则 3579 +aaaa _ （13）已知 1 sin 3 ，则sin(2 ) 2 _ （14）已知函数( )3
6、xf x ， ( ) | 2g xxa(aR)若函数( ( )yf g x 是偶函数，则a _；若函 数 ( ( )yg f x 存在两个零点，则a的一个取值是_ 第 3 页 共 12 页 （15）“S”型函数是统计分析、生态学、人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其 图象也被称为“S”型曲线某校生物兴趣小组在 0.5 毫升培养液中放入 5 个大草履虫，每隔一段时间 统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量y(单位：个)与时间t(单位：小时)的 关系近似为一个“S”型函数 0.08 174 37 e 5 t y 已知函数 0.08 375 ( ) 174e
7、 t f t （0t） 的部分图象如图所示， ( )f t 为 ( )f t的导函数 给出下列四个结论： 对任意1 3 (0,24),(96,144)tt ，存在 2 (24,96)t ，使得 13 2 ( )( ) ( ) 2 ftft ft ； 对任意1 3 (0,24),(96,144)tt ，存在 2 (24,96)t ，使得 31 2 31 ( )( ) ( ) f tf t ft tt ； 对任意 2 (24,96)t ，存在1 3 (0,24),(96,144)tt ，使得 13 2 ( )( ) ( ) 2 f tf t f t ； 对任意 2 (24,96)t ，存在1 3
8、(0,24),(96,144)tt ，使得 31 2 31 ( )( ) ( )= f tf t ft tt 其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16）（本小题 13 分） 在ABC中， 222 4 2 3 bcabc （）求tan A的值； （）若3 sin2 sincAaB，且ABC的面积2 2S ，求c的值 第 4 页 共 12 页 （17）（本小题 14 分） 为迎接 2022 年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛为了解知识竞赛成绩优 秀（不低于 85 分）学生的得分情况，从高一、高二这两个年级知识竞
9、赛成绩优秀的学生中分别随机抽 取容量为 15、20 的样本，得分情况统计如下图所示（满分 100 分，得分均为整数），其中高二年级学 生得分按85,90),90,95),95,100分组 （）从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于 90 分的概率； （）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取 3 人，用频率估计概率，记X为取出 的 3 人中得分不低于 90 分的人数，求X的分布列及数学期望； （）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分 至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并
10、 说明理由 （18）（本小题 13 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC 中，四边形 11 AAC C是边长为4的正方形，3AB 再从条件、条件 、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答 （）求证：AB 平面 11 AAC C； （）求直线BC与平面 11 A BC所成角的正弦值 条件：5BC ； C C1 A BB1 A1 第 5 页 共 12 页 条件： 1 ABAA； 条件：平面ABC 平面 11 AAC C （19）（本小题 15 分） 已知函数 2 1 ( )(1)e1 2 x f xxax（aR） （）当0a 时，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程
11、； （）判断函数( )f x的极值点的个数，并说明理由； （）若对任意xR， ( )0f x 恒成立，求a的取值范围 （20）（本小题 15 分） 已知F为椭圆 2 2 :1 2 x Cy的左焦点，直线: (2)l yk x 与椭圆C交于不同的两点,M N （）当 1 2 k 时，求 FMN的面积； （）设直线,FM FN分别与直线1x 交于两点 ,P Q，线段,MN PQ的中点分别为,G H，点 1 ( ,0) 5 A当 k变化时，证明,A G H三点共线 （21）（本小题 15 分） 已知各项均为整数的数列 12 :, NN Aa aa （3,NN N）满足 1 0 N a a ，且对任意
12、2,3,iN，都有 1 |1 ii aa记12 () NN S Aaaa （）若 1 3a ，写出一个符合要求的 6 A； （）证明：数列 N A中存在 k a使得0 k a ； （）若 () N S A 是N的整数倍，证明：数列 N A中存在 r a使得() Nr S AN a 第 6 页 共 12 页 参考答案参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （1）D （2）D （3）B （4）A （5）D （6）A （7）C （8）B （9）C （10）B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （11）4 （12）4 （13） 7 9 （14）0；
13、3（答案不唯一） （15） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16）（共 13 分） 解：（）因为 222 4 2 3 bcabc， 所以 222 2 2 cos 23 bca A bc 因为 (0, )A，所以 2 81 sin1cos1 93 AA 所以 sin132 tan cos342 2 A A A . 7 分 （）因为3 sin 2 sincAaB ， 由正弦定理得32acab，所以 3 2 2 bc 因为 ABC 的面积为 1 sin2 2 2 SbcA， 即 2 13 21 2 2 223 c ，所以 2 8c 所以 2 2c . 13 分 （17）（共 14 分）
14、解：（）设事件A：从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于 90 分， 则 82 ( ) 205 P A 第 7 页 共 12 页 所以从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于 90 分的概率为 2 5 . 4 分 （）由（）可知，从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取 1 人， 其得分不低于90分的概率估计为0.4 由题意可知，(3,0.4)XB，X的可能取值为0,1,2,3 所以 030 3 (0)0.60.4 =0.216P XC； 121 3 (1)0.60.4 =0.432P XC； 212 3 (2)0.60.4 =0.288P XC； 303
15、 3 (3)0.60.4 =0.064P XC 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 所以X的数学期望为30.4=1.2EX . 10 分 （）由题意可知，高一年级学生样本得分的平均分为 854863873904921311 87.4 1515 设高二年级学生样本得分的最高分为m 由图可知，要使得高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分， 只需 85 12907 87.4 20 m 解得98m 所以当高二年级学生样本得分的最高分至少是99分时， 高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分 . 14
16、 分 （18）（共 13 分） 解：选择： （）因为4AC ，3AB ，5BC ， 所以ABAC 又因为 1 ABAA， 1 ACAAA， 所以AB 平面 11 AAC C . 5 分 （）由（）知ABAC， 1 ABAA 因为四边形 11 AAC C是正方形，所以 1 ACAA 如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz， 第 8 页 共 12 页 则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,0,4)C， 1(0,4,0) A， 1(0,4,4) C， 1 (3, 4,0)AB ， 11 (0,0,4)AC ，( 3,0,4)BC 设平面 11 A BC的一个法向量为( , , )x y z
17、n， 则 1 11 0, 0, AB AC n n 即 340, 40. xy z 令3y ，则4x ，0z ，所以(4,3,0)n 设直线BC与平面 11 A BC所成角为， 则 |12 sin|cos,| 25| BC BC BC n n n 所以直线BC与平面 11 A BC所成角的正弦值为 12 25 . 13 分 选择： （）因为4AC ，3AB ，5BC , 所以ABAC 又因为平面ABC 平面 11 AAC C，平面ABC平面 11 AAC CAC， 所以AB 平面 11 AAC C . 5 分 （）同上 . 13 分 （19）（共 15 分） 解：（）当0a 时，( )(1)e
18、1 x f xx，(1)1f 又( )e(1)ee xxx fxxx，所以(1)e f 所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程是e1e=0 xy . 3 分 （）因为 2 1 ( )(1)e1 2 x f xxax，所以( )e(e) xx fxxaxxa （1）当0a 时，有e0 x a，令 ( )0fx ，得0 x 当x变化时，( )fx和( )f x的变化情况如下： x (,0) 0 (0,) x y z C C1 A1 B1B A 第 9 页 共 12 页 ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以当0a 时，函数 ( )f x只有一个极值点 （2）当0a 时，令( )
19、0fx，得0 x ，lnxa 当01a时，ln0a 当x变化时， ( )fx 和 ( )f x的变化情况如下： x (,ln )a lna (ln ,0)a 0 (0,) ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以当01a时，函数( )f x有两个极值点 当1a 时，( )(e1)0 x fxx恒成立， 所以( )f x在R上单调递增 所以当1a 时，函数( )f x无极值点 当1a 时，ln0a 当x变化时，( )fx和( )f x的变化情况如下： x (,0) 0 (0,ln )a lna (ln ,)a ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以当1a 时，函数(
20、 )f x有两个极值点 综上，当0a 时，函数( )f x有一个极值点， 当01a或1a 时，函数( )f x有两个极值点， 当1a 时，函数( )f x无极值点 . 10 分 （）（1）若0a ，由（）可知，( )f x在(,0)内单调递减，在(0,)内单调递增， 所以 min (0)0( )( )ffxf x 所以0a 符合题意 （2）若0a ，当0 x 时，因为(1)e0 x x， 第 10 页 共 12 页 所以 22 11 ( )(1)e11 22 x f xxaxax 又因为 2 1 () 2 )1 2 (0 2 af aa ， 所以( )0f x 不恒成立 所以0a 不符合题意
21、综上，a的取值范围是(,0 . 15 分 （20）（共 15 分） 解：（）当 1 2 k 时，由 2 2 1 (2), 2 1 2 yx x y 解得,M N的坐标分别为 4 1 (0,1),(, ) 3 3 ， 则 2 5 | 3 MN 又因为左焦点( 1,0)F 到直线 1 :(2) 2 l yx 的距离为 3 5 d ， 所以FMN的面积为 112 53 |1 2235 MN d . 6 分 （）设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy 由 2 2 1, 2 (2) x y yk x 得 2222 (1 2)8820kxk xk 由判别式 2222 =(8)4(1 2)(8
22、2)0kkk，解得 2 1 2 k 所以 2 12 2 8 12 k xx k ， 2 12 2 82 12 k x x k ， 1212 2 4 (4) 12 k yyk xx k 所以点G的坐标为 2 22 42 (,) 1212 kk kk 由题意， 2 1 18 k ，直线AG的斜率 2 22 2 2 0 10 12 41181 125 AG k k k k kk k ， 直线FM的方程为 1 1 (1) 1 y yx x ，则点P的坐标为 1 1 2 (1,) 1 y x 第 11 页 共 12 页 同理点Q的坐标为 2 2 2 (1,) 1 y x 因为 121221 1212 2
23、22 (2)(1)(2)(1) 11(1)(1) yyk xxxx xxxx 1212 1212 2 2()4 ()1 kx xxx x xxx 22 22 22 22 828 2 24 1212 828 1 1212 kk k kk kk kk 2 16 181 k k ， 所以点 2 8 (1,) 181 k H k ，所以直线AH的斜率 2 2 8 0 10 181 1 181 1 5 AH k k k k k 因为 AGAH kk ， 所以, ,A G H三点共线 . 15 分 （21）（共 15 分） 解：（）3,2,1,1,0, 1（答案不唯一） . 3 分 （）因为 1 0 N
24、a a，所以 1,N a a异号 假设 1 0,0 N aa 设1,|20,3, i Ti aiN因为 1 0a ，所以T 又因为T是有限自然数集，所以可设T中的最大数为m（11mN） 令1km,则0 k a 因为 11 |1 kkkk aaaa ，所以 1 111 kkm aaa 因为01 k a，且 k a为整数，所以0 k a 因此若数列 12 :,()3 NN Aa aaN 满足 1 00, N aa，且对任意2,3,iN， 都有 1 | 1 ii aa， 则存在 k a使得0 k a 若 1 0,0 N aa，则数列 12 , N aaa满足 1 00, N aa， 第 12 页 共
25、 12 页 且对任意2,3,iN，都有 11 1)|(| | iiii aaaa ， 故存在 k a使得0 k a，即存在 k a使得0 k a 综上，数列 N A中存在 k a使得0 k a . 9 分 （）设 () n S A t N ，则tZ 设数列 12 ,: NN Aa aa中的最大值为0M ，最小值为0m 因为() N NmS ANM，所以 12 . N aaa mtM N 设在数列 N A中， i am， j aM 若ij，因为|1( 1)2| ij aaMm ，所以2ji 设数列 1 :, iij B at atat ，则数列B至少有 3 项 因为()()()()0 ij at atmt Mt，且对任意1,2,kji， 都有 11 |()()| | 1 i ki ki ki k atataa ， 所以由（）可知存在 r at使得0 r at （1,2,1riij），即 () r n S A ta N 若ij，设数列 1 :, jji C ta tata 同理，存在 r ta使得0 r ta（1,2,1rjji），即 () r n S A ta N 综上，若() N S A是N的整数倍，则数列 N A中存在 r a使得() Nr S ANa . 15 分