1、 第 1 页（共 25 页） 2021 年北京市顺义区中考数学一模试卷年北京市顺义区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1 （2 分）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号” 2021 年 3 月 26 日，国家航天局发布两幅由“天 问一号”探测器拍摄的南、北半球火星侧身影像该影像是探测器飞行至距离火星 11000 公里处，利用中 分辨率相机拍摄的将 11000 用科学记数法表示应为( ) A 3 11 10 B 4 1.1 10 C 5 1
2、.1 10 D 6 0.11 10 2 （2 分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是( ) A B C D 3 （2 分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( ) A0ab B0ab C0ab D| |ab 4 （2 分）若一个正多边形的每一个外角都等于40，则这个正多边形的边数是( ) A7 B8 C9 D10 5 （2 分）不透明的袋子中装有 6 个球，除颜色外无其他差别，其中有 1 个红球 2 个黄球，3 个绿球从袋子 中随机摸出一个球，那么摸出的球是红球的概率是( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 6 （2 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中
3、心对称图形的是( ) A线段 B角 C等边三角形 D平行四边形 7 （2 分）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片()ab，用剪刀沿图 1 中的虚线剪开，分成四块形状和大小 第 2 页（共 25 页） 都一样的小矩形纸片，然后按图 2 的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为( ) A 22 ab B 22 ab C 2 ()ab D 2 ()ab 8 （2 分）已知y是x的函数，如表是x与y的几组对应值： x 3 3 6 y 2 2 1 对于y与x的函数关系有以下 4 个描述： 可能是正比例函数关系； 可能是一次函数关系； 可能是反比例函数关系； 可能是二次函数关系 所有正确的描述是( )
4、 A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）若代数式 2 2a 有意义，则实数a的取值范围是 10 （2 分）已知方程组的解为 2 1 x y ，写出一个满足条件的方程组 11 （2 分）如图，12 ，只需添加一个条件即可证明ABCBAD ，这个条件可以是 （写出一个 即可） 12 （2 分）如图，已知A，B，C是O上三点，20C，则AOB的度数为 第 3 页（共 25 页） 13 （2 分）要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选 拔赛如图为小华、小明两人在选拔赛中各射击 10 次成
5、绩的折线图和表示平均数的水平线你认为应该选 择 （填“小华”或“小明” )参加射击比赛；理由是 14 （2 分） 写出一个反比例函数表达式， 使它的图象与直线4yx有公共点， 这个函数的表达式为 15 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则ABC的面积 与DEF的面积比为 16 （2 分）标有125号的 25 个座位如图摆放甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选 2 个座位，乙选 3 个座位，丙选 4 个座位，丁选 5 个座位游戏规则如下：每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； 每人使自己所选的座位号数字之和最小；座位不能重复选择如果按“甲、乙、丙、丁”
6、的先后顺序选 座位，那么甲选 1，2 号座位，乙选 3，4，5 号座位，丙选 7，8，9，10 号座位，丁选 13，14，15，16，17 号座位，此时四人所选的座位号数字之和为 124如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人 所选的座位号数字之和为 第 4 页（共 25 页） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题分题，每小题分 5，第，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27、28 题每小题题每小题 5 分）分） 解答应写出文说明，演算步骤或证明过程解答应写出文说明，演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算： 10 1
7、222tan60 18 （5 分）解不等式3121xx ，并把它的解集在数轴上表示出来 19 （5 分）已知 2 210aa ，求代数式(1)(1)2(1)aaa的值 20 （5 分）已知：如图，射线AP 求作：ABC，使得点B在射线AP上，90C，60A 作法：在射线AP上任取一点M； 以点M为圆心，MA的长为半径画圆，交射线AP于另一点B； 以点A为圆心，AM的长为半径画弧，在射线AP的上方交M于点C； 连接AC、BC 所以ABC为所求作的三角形 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：AB为M的直径，点C在M上， 90 (ACB )（填推理依
8、据） 连接MC MAMCAC， AMC为等边三角形( )（填推理依据） 60A 第 5 页（共 25 页） 21 （5 分）已知关于x的一元二次方程 2 30 xbx （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是 1，求方程的另一个根 22 （5 分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且/ /DEAC，/ /CEBD （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若30BAC，4AC ，求菱形OCED的面积 23 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数(0)ykxb k的图象经过点(0, 1)A，(1,0)B （1）求k，b的值； （2）当1x 时，对于x的每
9、一个值，函数2yxn 的值小于一次函数ykxb的值，直接写出n的取值 范围 24（6 分） 如图，AB是O的直径， 弦CDAB于点E，O的切线CF交AB的延长线于点F， 连接OC， DF （1）求证：DF是O的切线； （2）若 3 sin 5 OFC，10BF ，求CD的长 25 （6 分）某校初三年级有 400 名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻 炼方法，并在全年级实施为了检验此种方法的锻炼效果，随机抽取了 20 名学生在应用此种方法锻炼前进行 了第一次体育测试，应用此种方法锻炼一段时间后，又进行了第二次体育测试，获得了他们的成绩（满分 30 分） ，并对数据（
10、成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息： a第一次体育测试成绩统计表： 分组/分 人数 第 6 页（共 25 页） 510 x 1 1015x 1 1520 x 9 2025x m 2530 x剟 3 b第二次体育测试成绩统计图： c两次成绩的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 第一次成 绩 19.7 n 19 第二次成 绩 25 26.5 28 d第一次体育测试成绩在1520 x这一组的数据是： 15，16，17，17，18，18，19，19，19 e第二次体育测试成绩在1520 x这一组的数据是：17，19 请根据以上信息，回答下列问题： （1）m ，n ； （2）求第
11、二次体育测试成绩的及格率（大于或等于 18 分为及格） ； （3）下列推断合理的是 第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升了 被抽测的学生小明的第二次测试成绩是 24 分，他觉得年级里大概有 240 人的测试成绩比他高，所以他决 心努力锻炼，提高身体素质 第 7 页（共 25 页） 26 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 43 (0)yaxaxa a与y轴交于点A （1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示） ； （2）直线3yaxa 与抛物线 2 43yaxaxa围成的区域（不包括边界）记作G横、纵坐标都为整数 的点叫做整点
12、 当1a 时，结合函数图象，求区域G中整点的个数； 当区域G中恰有 6 个整点时，直接写出a的取值范围 27 （7 分）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，CDAB于点D，A （1）求出DCB的大小（用含的式子表示） ； （2）延长CD至点E，使CEAC，连接AE并延长交CB的延长线于点F 依题意补全图形； 用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明 28 （7 分）对于平面直角坐标系xOy中的O和图形N，给出如下定义：如果O平移m个单位后，图形 N上的所有点在O内或O上，则称m的最小值为O对图形N的“覆盖近距” （1）当O的半径为 1 时， 若点(3,0)A，则O对点A的“覆盖近距”为
13、； 若O对点B的“覆盖近距”为 1，写出一个满足条件的点B的坐标 ； 若直线2yxb上存在点C，使O对点的“覆盖近距”为 1，求b的取值范围； （2）当O的半径为 2 时，(3, )Dt，(4,1)Et ，且12t 剟记O对以DE为对角线的正方形的“覆盖近 距”为d，直接写出d的取值范围 第 8 页（共 25 页） 2021 年北京市顺义区中考数学一模试卷年北京市顺义区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
14、1 （2 分）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号” 2021 年 3 月 26 日，国家航天局发布两幅由“天 问一号”探测器拍摄的南、北半球火星侧身影像该影像是探测器飞行至距离火星 11000 公里处，利用中 分辨率相机拍摄的将 11000 用科学记数法表示应为( ) A 3 11 10 B 4 1.1 10 C 5 1.1 10 D 6 0.11 10 【解答】解：将 11000 用科学记数法表示为 4 1.1 10 故选：B 2 （2 分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是( ) A B C D 【解答】解：三棱柱的俯视图是三角形，因此选项A符合题意； 圆锥的俯视图是圆，因此选项B不符
15、合题意； 四棱锥的俯视图是长方形，因此选项C不符合题意； 正方体的俯视图是正方形，因此选项D不符合题意； 故选：A 3 （2 分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( ) A0ab B0ab C0ab D| |ab 【解答】解：根据数轴可知：1a 、01b 0ab00abab，| |ab 故选：D 4 （2 分）若一个正多边形的每一个外角都等于40，则这个正多边形的边数是( ) 第 9 页（共 25 页） A7 B8 C9 D10 【解答】解：360409， 这个多边形的边数是 9 故选：C 5 （2 分）不透明的袋子中装有 6 个球，除颜色外无其他差别，其中有 1 个
16、红球 2 个黄球，3 个绿球从袋子 中随机摸出一个球，那么摸出的球是红球的概率是( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解：有 1 个红球 2 个黄球，3 个绿球，共 6 个， 摸到红球的概率为 1 6 ； 故选：A 6 （2 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A线段 B角 C等边三角形 D平行四边形 【解答】解：A线段既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项
17、不符合题意 故选：A 7 （2 分）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片()ab，用剪刀沿图 1 中的虚线剪开，分成四块形状和大小 都一样的小矩形纸片，然后按图 2 的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为( ) A 22 ab B 22 ab C 2 ()ab D 2 ()ab 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：中间空的部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积， 2 ()4abab， 22 24aabbab， 2 ()ab； 故选：D 8 （2 分）已知y是x的函数，如表是x与y的几组对应值： x 3 3 6 y 2 2 1 对于y与x的函数关系有以下 4 个描述： 可能是正比例
18、函数关系； 可能是一次函数关系； 可能是反比例函数关系； 可能是二次函数关系 所有正确的描述是( ) A B C D 【解答】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故错误； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为 6，故都在反比例函数 6 y x 图象上，故正确； 设函数解析式为 2 yaxbxc， 把三个点的坐标代入得 932 932 3661 abc abc abc ， 解得 1 9 2 3 1 a b c ， 2 12 1 93 yxx ， 所以是二次函数，故正确， 故选：C 第 11 页（共 25 页） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分
19、）若代数式 2 2a 有意义，则实数a的取值范围是 2a 【解答】解：由题意可知：20a ， 2a， 故答案为：2a 10 （2 分）已知方程组的解为 2 1 x y ，写出一个满足条件的方程组 3 1 xy xy （不唯一） 【解答】解：方程组的解为 1 2 x y 由两个二元一次方程组成， 方程组为： 3 1 xy xy （不唯一） ， 故答案为： 3 1 xy xy （不唯一） 11 （2 分）如图，12 ，只需添加一个条件即可证明ABCBAD ，这个条件可以是 CD 或 CABDBA 或ADBC（答案不唯一） （写出一个即可） 【解答】解：添加CD 或CABDBA 或ADBC， 若添加
20、CD ，且ABAB，由“AAS”可证ABCBAD ； 若添加CABDBA ，且ABAB，由“ASA”可证ABCBAD ； 若添加ADBC，且ABAB，由“SAS”可证ABCBAD ； 故答案为：CD 或CABDBA 或ADBC（答案不唯一） 12 （2 分）如图，已知A，B，C是O上三点，20C，则AOB的度数为 40 第 12 页（共 25 页） 【解答】解：20C， 240AOBC ， 故答案为：40 13 （2 分）要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选 拔赛如图为小华、小明两人在选拔赛中各射击 10 次成绩的折线图和表示平均数的水平线你认为应
21、该选 择 小华 （填“小华”或“小明” )参加射击比赛；理由是 【解答】解：从两个统计图中可以看出，小华的成绩较好，理由为：小华的成绩在平均水平以上的部分比 小明的高 故答案为：小华，小华的成绩在平均水平以上的部分比小明的高 14（2 分） 写出一个反比例函数表达式， 使它的图象与直线4yx有公共点， 这个函数的表达式为 1 y x （答案不唯一） 【解答】解：设这个反比例函数为(0) k yk x ， 联立 4yx k y x ，得 2 40 xxk， 由题意可知，1640k，即4k ，且0k 故答案为： 1 y x （答案不唯一） 第 13 页（共 25 页） 15 （2 分）如图所示的网
22、格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则ABC的面积 与DEF的面积比为 1:4 【解答】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为 1， 则有1AB ，2BC ，2DE ，2 2EF ，135ABCDEF ， 1 2 ABBC DEEF ， ABCDEF， 2 :(1:2)1:4 ABCDEF SS ， 故答案为：1:4 16 （2 分）标有125号的 25 个座位如图摆放甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选 2 个座位，乙选 3 个座位，丙选 4 个座位，丁选 5 个座位游戏规则如下：每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； 每人使自己所选的座位号数字之和最小；座位不能重复选择
23、如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选 座位，那么甲选 1，2 号座位，乙选 3，4，5 号座位，丙选 7，8，9，10 号座位，丁选 13，14，15，16，17 号座位，此时四人所选的座位号数字之和为 124如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人 所选的座位号数字之和为 118 或 114 【解答】解：利用选择“同一竖列”的原则， 可得丁选择了：28、8、1、4、5、15； 丙选择了：9、2、3、14； 第 14 页（共 25 页） 乙选择了：7、6、5； 甲选择了：10、11； 故四人所选的座位号数字之和为：28814515923147651011118 利用选择“同一横行”的
24、原则， 可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：14、13； 故四人所选的座位号数字之和为：1961211543127891413114 故答案为：118 或 114 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题分题，每小题分 5，第，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27、28 题每小题题每小题 5 分）分） 解答应写出文说明，演算步骤或证明过程解答应写出文说明，演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算： 10 1222tan60 【解答】解：原式 1 2 32 31 2
25、 1 2 18 （5 分）解不等式3121xx ，并把它的解集在数轴上表示出来 【解答】解：移项得，321 1xx ， 合并同类项得，2x 这个不等式的解集在数轴上表示： 19 （5 分）已知 2 210aa ，求代数式(1)(1)2(1)aaa的值 【解答】解：原式 2 122aa 2 23aa， 当 2 21aa时， 原式132 20 （5 分）已知：如图，射线AP 求作：ABC，使得点B在射线AP上，90C，60A 作法：在射线AP上任取一点M； 第 15 页（共 25 页） 以点M为圆心，MA的长为半径画圆，交射线AP于另一点B； 以点A为圆心，AM的长为半径画弧，在射线AP的上方交M
26、于点C； 连接AC、BC 所以ABC为所求作的三角形 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：AB为M的直径，点C在M上， 90 (ACB 直径所对的圆周角是直角 )（填推理依据） 连接MC MAMCAC， AMC为等边三角形( )（填推理依据） 60A 【解答】 （1）解：如图，ABC即为所求作 （2）证明：AB为M的直径，点C在M上， 90ACB（直径所对的圆周角是直角） ， 连接MC MAMCAC， AMC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形） ， 60A 故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形 21 （5 分）
27、已知关于x的一元二次方程 2 30 xbx （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是 1，求方程的另一个根 第 16 页（共 25 页） 【解答】解： （1） 222 44 1 ( 3)120bacbb ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为m， 由根与系数关系得13m ， 解得3m ， 方程的另一个根为3 22 （5 分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且/ /DEAC，/ /CEBD （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若30BAC，4AC ，求菱形OCED的面积 【解答】 （1）证明：/ /DEAC，/ /CEBD， 四边形
28、OCED是平行四边形， 矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O， OCOD， OCED是菱形； （2）方法一：在Rt ABC中，90ABC，30BAC，4AC ， 2BC，2 3AB ， 11 42 CODABCDOCED SSS 矩形菱形 ， 1 22 32 3 2 OCED S 菱形 方法二：解：在矩形ABCD中，90ABC，30BAC，4AC ， 2BC， 2 3ABDC， 如图，连接OE，交CD于点F， 第 17 页（共 25 页） 四边形OCED为菱形， F为CD中点， O为BD中点， 1 1 2 OFBC， 22OEOF， 11 22 32 3 22 OCED SOECD 菱形 2
29、3 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数(0)ykxb k的图象经过点(0, 1)A，(1,0)B （1）求k，b的值； （2）当1x 时，对于x的每一个值，函数2yxn 的值小于一次函数ykxb的值，直接写出n的取值 范围 【解答】解： （1）将(0, 1)A，(1,0)B代入解ykxb得， 1 0 b kb ，解得 1 1 k b ， （2）由（1）得1yx， 解不等式21xn x得 1 3 n x ， 由题意得 1 1 3 n ，即2n 故答案为：2n 24（6 分） 如图，AB是O的直径， 弦CDAB于点E，O的切线CF交AB的延长线于点F， 连接OC， DF （1）求证：DF
30、是O的切线； （2）若 3 sin 5 OFC，10BF ，求CD的长 第 18 页（共 25 页） 【解答】 （1）证明：连接OD，如图， CF是O的切线， 90OCF， 90OCDDCF， 直径AB 弦CD， CEED，即OF为CD的垂直平分线， CFDF， CDFDCF ， OCOD， CDOOCD ， 90CDOCDBOCDDCF ， ODDF， DF是O的切线； （2）解：90OCF，10BF ， 3 sin 105 OCOCOC OFC OFOBBFOC ， 解得15OC ， 151025OFOBBFOCBF， 2222 251520CFOFOC， 在Rt OCF中， CEOF，
31、第 19 页（共 25 页） CE OFOC CF， 251520CE， 12CE， 224CDCE 25 （6 分）某校初三年级有 400 名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻 炼方法，并在全年级实施为了检验此种方法的锻炼效果，随机抽取了 20 名学生在应用此种方法锻炼前进行 了第一次体育测试，应用此种方法锻炼一段时间后，又进行了第二次体育测试，获得了他们的成绩（满分 30 分） ，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息： a第一次体育测试成绩统计表： 分组/分 人数 510 x 1 1015x 1 1520 x 9 2025x m 2530 x剟
32、 3 b第二次体育测试成绩统计图： c两次成绩的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 第一次成 绩 19.7 n 19 第二次成25 26.5 28 第 20 页（共 25 页） 绩 d第一次体育测试成绩在1520 x这一组的数据是： 15，16，17，17，18，18，19，19，19 e第二次体育测试成绩在1520 x这一组的数据是：17，19 请根据以上信息，回答下列问题： （1）m 6 ，n ； （2）求第二次体育测试成绩的及格率（大于或等于 18 分为及格） ； （3）下列推断合理的是 第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升
33、了 被抽测的学生小明的第二次测试成绩是 24 分，他觉得年级里大概有 240 人的测试成绩比他高，所以他决 心努力锻炼，提高身体素质 【解答】解： （1）201 1936m ， 由a中的表格和d中的数据，可得(19 19)219n ， 故答案为：6，19； （2）由b中的扇形统计图和e中的数据可知， 12025%2060%100% 90% 20 ， 即第二次体育测试成绩的及格率是90%； （3）由题意可得， 第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升了，故 合理； 被抽测的学生小明的第二次测试成绩是 24 分，他觉得年级里大概有 240 人的测试成绩
34、比他高，所以他决心 努力锻炼，提高身体素质，故合理； 故答案为： 26 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 43 (0)yaxaxa a与y轴交于点A （1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示） ； （2）直线3yaxa 与抛物线 2 43yaxaxa围成的区域（不包括边界）记作G横、纵坐标都为整数 的点叫做整点 当1a 时，结合函数图象，求区域G中整点的个数； 第 21 页（共 25 页） 当区域G中恰有 6 个整点时，直接写出a的取值范围 【解答】解： （1） 22 43(2)yaxaxaa xa， 顶点坐标(2,)a； 抛物线 2 43 (0)yaxaxa a与y轴交
35、于点A， (0,3 )Aa； （2）当1a 时，3yx ， 2 43yxx， 可得3yx 与 2 43yxx的交点为(3,0)，(0,3)； 则(1,1)，(2,0)是区域G中的两个整点，即区域G中整点的个数为 2 个； 联立直线3yaxa 与抛物线 2 43yaxaxa，可得交点为(0,3 )a，(3,0)， 区域G是03x剟，3a ya 剟组成； 当1x 时，与直线的交点为(1,2 )a，与抛物线的交点为(1,0)， 同理可得，当2x 时，与直线的交点为(2, )a，与抛物线的交点为(2,)a， 区域G中的整点不包括便捷，整点有 6 个， 又当01a时，G中最多有 1 个整点； 当1a 时
36、，G中有 2 个整点； 当11.5a 时，G中最多有 5 个整点； 当1.52a 时，G中最多有 6 个整点； 当23.5a 时，G中最多有 13 个整点； 当 3 2 2 a 时，区域G中恰有 6 个整点 27 （7 分）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，CDAB于点D，A （1）求出DCB的大小（用含的式子表示） ； （2）延长CD至点E，使CEAC，连接AE并延长交CB的延长线于点F 依题意补全图形； 用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明 第 22 页（共 25 页） 【解答】解： （1）等腰三角形ABC中，ABAC，A， 180 90 22 ACBB ， CDAB， 909
37、0ACDA， 9090 22 DCBACBACD ； （2）如图即为补全的图形； 2 2 EF BC ， 证明：9090 22 ACEACBDCB ， CEAC， 180(90) 45 22 CAECEA ， AECFECF ， 45 22 F ， 45F， 过点E作EHFC于点H，过点A作AGFC于点G， 2 BAGCAG ， 在AGC和CHE中， 第 23 页（共 25 页） 90AGCCHE CAGECH ACEC ， ()AGCCHE AAS ， CGEH， 45F， FHEH， 设EHFHx，则2EFx， 22BCCGx， 22 22 EFx BCx 28 （7 分）对于平面直角坐标
38、系xOy中的O和图形N，给出如下定义：如果O平移m个单位后，图形 N上的所有点在O内或O上，则称m的最小值为O对图形N的“覆盖近距” （1）当O的半径为 1 时， 若点(3,0)A，则O对点A的“覆盖近距”为 2 ； 若O对点B的“覆盖近距”为 1，写出一个满足条件的点B的坐标 ； 若直线2yxb上存在点C，使O对点的“覆盖近距”为 1，求b的取值范围； （2）当O的半径为 2 时，(3, )Dt，(4,1)Et ，且12t 剟记O对以DE为对角线的正方形的“覆盖近 距”为d，直接写出d的取值范围 【解答】解： （1）如图 1， 当O向右移动 2 个或 4 个时，点A都在圆上， 24m 剟，
39、m的最小值是 2， O对点A的“覆盖近距”为 2； 故答案为：2； 第 24 页（共 25 页） 由题意，满足条件的点(2,0)B（答案不唯一） 如图 2 中，当0b 时，设直线2yxb交y轴于E，交x轴于N，过点O作OCEN于C 由题意，(0, )Eb，( 2 b ，0)， OEb， 2 b ON tan2 OE ENO ON ， 当2OC 时，O对点C的“覆盖近距”为 1， OCEN， 90EOCCON，90ENOCON， EOCENC ， tantan2EOCENO， 24ECOC， 2222 242 5OEOCEC， 2 5b， 当0b 时，同法可得2 5b ， 观察图象可知，满足条件的b的值为2 52 5b剟 （2）如图 3 中，当2t 时，(4,3)E， 第 25 页（共 25 页） 22 345OE，此时d的值最大，最大值523d ， 当1t 时，(4,0)E，此时d的值最小，最小值2d ， 综上所述，23d剟