1、 第 1 页（共 29 页） 2021 年山东省济南市槐荫区中考数学一模试卷年山东省济南市槐荫区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目项是符合题目 要求的要求的.） 1 （4 分）3的绝对值是( ) A3 B3 C 1 3 D3 2 （4 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6 月 30 日成 功定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道将 36000 用科学记数法表示应为(
2、 ) A 5 0.36 10 B 5 3.6 10 C 4 3.6 10 D 3 36 10 3 （4 分）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是( ) A B C D 4 （4 分）下列运算结果正确的是( ) A235xyxy B 222 743a baba b C(32)32xyxy D2()22xyxy 5 （4 分）下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 第 2 页（共 29 页） A B C D 6 （4 分）小红连续 5 天的体温数据如下（单位：C):36.6 ，36.2，36.5，36.2，36.3关于这组数据，下列 说法正确的是( ) A中位数是36.
3、5 C B众数是36.2 C C平均数是36.2 C D极差是0.3 C 7 （4 分）化简 2 11 xx xx 的结果是( ) Ax B1x Cx D1x 8 （4 分）关于x的一元二次方程 2 40 xxk有实数根，则k的取值范围是( ) A4k B4k C4k D4k 9 （4 分）如图，ABCD中，2AB ，4AD ，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别 是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是( ) AEHHG BABO的面积是EFO的面积的 2 倍 CEOFO D四边形EFGH是平行四边形 10 （4 分）若直线 1 l经过点(0,3)，直线 2 l经过点(
4、5,2)，且 1 l与 2 l关于x轴对称，则 1 l与 2 l的交点坐标为( ) A( 2,0) B(2,0) C( 3,0) D(3,0) 11 （4 分）如图，把一根 4.5 米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长 1 米时它离地面的高度是 0.6 米，又量得 竿顶与坝脚的距离2.8BC 米，CBF记作，下列式子正确的是( ) 第 3 页（共 29 页） A 27 sin 28 B 27 cos 28 C 21 sin 28 D 21 tan 28 12 （4 分）如图，抛物线 2 (0)yaxbxc a的顶点为(2,0)M下列结论： 0ac ； 20ab； 若关于x的方程 2 0axbxct
5、 有两个不相等的实数根，则0t ； 若 22 1122 axbxaxbx，且 12 xx，则 12 4xx 其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题、每小题个小题、每小题 4 分，共分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。 ）分。把答案填在答题卡的横线上。 ） 13 （4 分）分解因式： 2 441aa 14 （4 分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的 概率是 15 （4 分）如图，直线/ /ABCD，40B，50C，则E的度数是 度 第 4 页（共 29 页） 16（
6、4 分） 一次函数(0)ykxb k的图象如图所示， 点 1 (A x， 1) y和点 2 (B x， 2) y是图象上两点， 若 12 yy， 则 1 x 2 x （填“”或“” ) 17 （4 分）如图，菱形ABCD的边长为 4，60ABC，分别以BC、CD为直径作两个半圆，则这个菱 形与两个半圆所形成的阴影部分的面积为 18 （4 分）如图，在矩形ABCD中，4AB ，6AD ，BE平分ABC，点F在线段BE上3 2BF 过 点F作FGDF交BC边于点G，交BD边于点H，则GH 三、解箸题（体大题共三、解箸题（体大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明，证明过程或演算
7、步骤，分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 19 （6 分）计算： 02 1 12(2021)2cos30() 2 20 （6 分）解不等式组 513(1) 13 1 7 22 xx xx 第 5 页（共 29 页） 21 （6 分）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，/ /BEDF求证：AECF 22 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，让红色基因、革命薪火代代传承，某校开展以学习“四史” （党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生 上 交 的 作 品 中 ， 随 机 抽 取 了 50 份 进 行 统 计 ， 并
8、 根 据 调 查 统 计 结 果 绘 制 了 统 计 图 表 ： 主题 频数 频率 A党史 6 0.12 B新中国史 20 m C改革开放史 0.18 D社会主义发展史 n 合计 50 1 请结合上述信息完成下列问题： （1）m ，n ； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中， “新中国史”主题作品份数对应的圆心角是 度； （4）若该校共上交书画作品 1800 份，根据抽样调查结果，请估计以“党史”为主题的作品份数 23 （8 分）如图，在ABC中，BC ，点D是边BC的中点，点O是边AB上的点，以O为圆心，OA 第 6 页（共 29 页） 为半径的O交AB，BC，AD于点F，E
9、，G，且点E是弧GF的中点，连接OE （1）求证：BC是O的切线； （2）若8BE ，4BF ，求O的半径 24 （10 分）某商场 1 月购进A、B两款毛衣，用 10000 元购进的A款毛衣的数量是用 5000 元购进的B款 毛衣数量的 2.5 倍，已知每件A款毛衣进价比每件B款毛衣进价少 50 元 （1）每件A款毛衣的进价是多少元？ （2）若每件A款毛衣售价为 300 元，要使两款毛衣全部售完后利润率不低于44%（不考虑其他因素） ，那 么B款毛衣的售价至少是多少元？ 25 （10 分）已知：如图，双曲线(0) k yk x 与直线(0)ymx m交于( 3A，3)、B两点，将直线AB向
10、下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一动点 （1）求双曲线和直线的函数表达式； （2）连接AD，当点C是线段AD中点时，求n的值； （3）若点E是双曲线上任意一点，当ADE是以AE为斜边的直角三角形，且30DAE时，求点E的坐 标 26（12 分）（1） 如图 1，ABC、ECF都是等腰直角三角形， 点E在线段AB上，90ACBECF 求 证：ACFBCE ； 第 7 页（共 29 页） 如图 2，当2AE ，3BEAE时，求线段CG的长； （2）如图 3，30BDCCAD ，90BCD，2 3AB ，4AD ，求AC的长 27 （12 分） 如图 1，
11、已知抛物线 2 (0)yxbxc a与x轴交于( 3,0)A ，B两点， 与y轴交于点(0, 3)C （1）求该抛物线的函数表达式； （2） 如图 2， 点F是该抛物线的对称轴(x轴上方部分） 上的一个动点， 连接AF、BF， 将ABF沿直线AF 翻折，得到AB F，当点B落在该抛物线的对称轴上时，求点F的坐标； （3）如图 3，点D是该抛物线的顶点，点( , )P m n是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接AD、AC、 AP，当2PABCAD 时，求m的值 第 8 页（共 29 页） 2021 年山东省济南市槐荫区中考数学一模试卷年山东省济南市槐荫区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参
12、考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目项是符合题目 要求的要求的.） 1 （4 分）3的绝对值是( ) A3 B3 C 1 3 D3 【解答】解：3的绝对值是 3， 故选：A 2 （4 分）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6 月 30 日成 功定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道将 36000 用科学记数法表示应为( ) A 5 0.36 10 B 5 3.6 10 C
13、 4 3.6 10 D 3 36 10 【解答】解： 4 360003.6 10， 故选：C 3 （4 分）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是( ) A B C D 【解答】解：从正面看， “底座长方体”看到的图形是矩形， “上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因 此选项C的图形符合题意， 第 9 页（共 29 页） 故选：C 4 （4 分）下列运算结果正确的是( ) A235xyxy B 222 743a baba b C(32)32xyxy D2()22xyxy 【解答】解：A、2x与3y不是同类项，不能合并，不符合题意 B、 2 7a b与 2 4ab 不是同类项，不
14、能合并，不符合题意 C、(32)32xyxy，不符合题意 D、原式22xy ，符合题意 故选：D 5 （4 分）下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：A 6 （4 分）小红连续 5 天的体温数据如下（单位：C):36.6 ，36.2，36.5，36.2，36.3关于这组数据，下列 说法正确的是( ) A中位数是36.5 C B众
15、数是36.2 C C平均数是36.2 C D极差是0.3 C 【解答】解：把小红连续 5 天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6， 处在中间位置的一个数是36.3 C ，因此中位数是36.3 C ； 出现次数最多的是36.2 C ，因此众数是36.2 C ； 平均数为：(36.236.236.336.536.6)536.36 Cx ， 第 10 页（共 29 页） 极差为：36.636.20.4 C ， 故选：B 7 （4 分）化简 2 11 xx xx 的结果是( ) Ax B1x Cx D1x 【解答】解：原式 2 (1) 111 xxx x x xxx
16、， 故选：A 8 （4 分）关于x的一元二次方程 2 40 xxk有实数根，则k的取值范围是( ) A4k B4k C4k D4k 【解答】解：由题意可知：1640k， 4k， 故选：B 9 （4 分）如图，ABCD中，2AB ，4AD ，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别 是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是( ) AEHHG BABO的面积是EFO的面积的 2 倍 CEOFO D四边形EFGH是平行四边形 【解答】解：点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点， EF、FG、GH、HE分别是OAB、OBC、OCD、OAD的中位线， 1 2 2 EHAD，
17、 1 1 2 HGCD，/ /EFAB， 1 2 EFAB， 1 2 HGCD，/ /HGCD， EHHG，A选项错误，不符合题意； / /EFAB， 1 2 EFAB， EFOABO，且相似比为 1 2 ABO的面积是EFO的面积的 4 倍，B选项错误，不符合题意； 第 11 页（共 29 页） ABC不一定为90， AC与BD不一定相等， EOFO不一定成立，C选项错误，不符合题意； / /EFAB， 1 2 EFAB， 1 2 HGCD，/ /HGCD，/ /ABCD， 四边形EFGH是平行四边形，D选项正确，符合题意； 故选：D 10 （4 分）若直线 1 l经过点(0,3)，直线 2
18、 l经过点(5,2)，且 1 l与 2 l关于x轴对称，则 1 l与 2 l的交点坐标为( ) A( 2,0) B(2,0) C( 3,0) D(3,0) 【解答】解：设直线 2 l的解析式为ykxb， 直线 1 l经过点(0,3)， 2 l经过点(5,2)，且 1 l与 2 l关于x轴对称， 两直线相交于x轴上，点(0,3)关于x轴的对称点(0, 3)在直线 2 l上， 把(0, 3)和(5,2)代入ykxb，得 3 52 b kb ， 解得： 1 3 k b ， 故直线 2 l的解析式为：3yx， 令0y ，则3x ， 即 1 l与 2 l的交点坐标为(3,0) 故选：D 11 （4 分）
19、如图，把一根 4.5 米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长 1 米时它离地面的高度是 0.6 米，又量得 竿顶与坝脚的距离2.8BC 米，CBF记作，下列式子正确的是( ) 第 12 页（共 29 页） A 27 sin 28 B 27 cos 28 C 21 sin 28 D 21 tan 28 【解答】解：作CFAB于点F， 由题意得： ADAC DECF ， 1AD 米，4.5AC 米， 14.5 0.6CF ， 解得：2.7CF 米， 2.727 sin 2.828 CF CB ， 故选：A 12 （4 分）如图，抛物线 2 (0)yaxbxc a的顶点为(2,0)M下列结论： 0ac ；
20、 20ab； 若关于x的方程 2 0axbxct 有两个不相等的实数根，则0t ； 若 22 1122 axbxaxbx，且 12 xx，则 12 4xx 其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线开口向上， 0a， 第 13 页（共 29 页） 抛物线与y轴的交点在x轴上方， 0c ， 0ac，所以不正确； 顶点(2,0)M， 抛物线的对称轴为直线2 2 b x a ， 40ab，所以不正确； 抛物线的顶点M的坐标为(2,0)， 420abc， 又40ab， 0bc ，即bc ，4ac， 关于x的方程 2 0axbxct 有两个不相等的实数根， 2 4 (
21、)0ba ct，即 2 ()0cc ct， 得0ct ， 0c ， 0t ，所以正确； 22 1122 axbxaxbx， 则 22 1122 axbxcaxbxc， 当 1 xx与 2 xx时，y值相同， 1 x， 2 x关于对称轴2x 对称， 则 12 2 2 xx ，即 12 4xx，所以正确 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题、每小题个小题、每小题 4 分，共分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。 ）分。把答案填在答题卡的横线上。 ） 13 （4 分）分解因式： 2 441aa 2 (21)a 【解答】解： 22 441(21)aaa 故答案为： 2
22、(21)a 14 （4 分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的 第 14 页（共 29 页） 概率是 1 3 【解答】解：蚂蚁获得食物的概率 1 3 故答案为 1 3 15 （4 分）如图，直线/ /ABCD，40B，50C，则E的度数是 90 度 【解答】解：/ /ABCD，40B，如图， 40EFCB ， 在EFC中， 180EFCCE， 180180405090EEFCC 故答案为：90 16（4 分） 一次函数(0)ykxb k的图象如图所示， 点 1 (A x， 1) y和点 2 (B x， 2) y是图象上两点， 若 12 yy， 则
23、 1 x 2 x （填“”或“” ) 第 15 页（共 29 页） 【解答】解：由图像可知函数中y随x的增大而减小， 12 yy， 12 xx 故答案为 17 （4 分）如图，菱形ABCD的边长为 4，60ABC，分别以BC、CD为直径作两个半圆，则这个菱 形与两个半圆所形成的阴影部分的面积为 4 4 3 3 【解答】解：设AB，AD，DC，BC的中点分别为E，F，H，G，连接EG，FG，FH，EH，设 菱形的中心为O 由题意， 2 22 336024 222224 3 436043 AEOF SSS 阴弓形菱形 ， 解法二：根据2 GEOAEGO SSS 阴影扇形菱形 ，求解 故答案为： 4
24、 4 3 3 18 （4 分）如图，在矩形ABCD中，4AB ，6AD ，BE平分ABC，点F在线段BE上3 2BF 过 点F作FGDF交BC边于点G，交BD边于点H，则GH 8 10 11 第 16 页（共 29 页） 【解答】解：如图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MNAD，延长GF交AD于 点Q， 四边形ABCD是矩形，4AB ，6AD ， 90ABC，/ /ADBC， BE平分ABC， 45ABEEBC ， MBF、ABE、EFN是等腰直角三角形， 3 2BF ，4 2BE ， 2EFBEBF， 1ENNF， 2DE，3DN ， 3ANBMFMDN， 90DFGDN
25、F ， FDNGFM ， 在FDN和GFM中， FDNGFM DNFM DNFFMG ， ()FDNGFM ASA ， 1NEMG， 第 17 页（共 29 页） 4BGBMMG， FDFG， 90DFG， 90DFNMFG， 90DNF， 90NDFDFN， NDFMFG ， 在DNF和FMG中， 90 NDFMFG DNFFMG FDFG ()DNFFMG AAS ， 3DNFM，1NFMG， 由勾股定理得：10FGFD， / /QNBC， FNFQQN FMGFMG ， 1 3110 FQQN ， 10 3 FQ， 1 3 QN ， 设GHx，则10FHx， / /QDBG， QDQH
26、BGGH ， 110 310 33 31 x x ， 8 10 11 x 即 8 10 11 GH 故答案为： 8 10 11 三、解箸题（体大题共三、解箸题（体大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 第 18 页（共 29 页） 19 （6 分）计算： 02 1 12(2021)2cos30() 2 【解答】解：原式 3 2 3124 2 2 3134 33 20 （6 分）解不等式组 513(1) 13 1 7 22 xx xx 【解答】解：解不等式513(1)xx ，得：2x ， 解不等式 13 1 7
27、 22 xx，得：4x， 则不等式组的解集为24x 21 （6 分）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，/ /BEDF求证：AECF 【解答】证明：四边形ZBCD是正方形， ABCD，/ /ABCD， BAEDCF ， / /BEDF， BECDFA ， AEBCFD ， 在ABE和CDF中， AEBCFD BAEDCF ABCD ， ()ABECDF AAS ， AECF 22 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，让红色基因、革命薪火代代传承，某校开展以学习“四史” （党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生 第 19
28、 页（共 29 页） 上 交 的 作 品 中 ， 随 机 抽 取 了 50 份 进 行 统 计 ， 并 根 据 调 查 统 计 结 果 绘 制 了 统 计 图 表 ： 主题 频数 频率 A党史 6 0.12 B新中国史 20 m C改革开放史 0.18 D社会主义发展史 n 合计 50 1 请结合上述信息完成下列问题： （1）m 0.4 ，n ； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中， “新中国史”主题作品份数对应的圆心角是 度； （4）若该校共上交书画作品 1800 份，根据抽样调查结果，请估计以“党史”为主题的作品份数 【解答】解： （1）20500.4m ，1 (0.120
29、.40.18)0.3n ， 故答案为：0.4，0.3； （2）C主题数量为500.189，D主题数量为500.315， 补全图形如下： 第 20 页（共 29 页） （3）在扇形统计图中， “新中国史”主题作品份数对应的圆心角是3600.4144， 故答案为：144； （4）估计以“党史”为主题的作品份数为18000.12216（份) 23 （8 分）如图，在ABC中，BC ，点D是边BC的中点，点O是边AB上的点，以O为圆心，OA 为半径的O交AB，BC，AD于点F，E，G，且点E是弧GF的中点，连接OE （1）求证：BC是O的切线； （2）若8BE ，4BF ，求O的半径 【解答】 （1）
30、证明：连接GF交OE于点M， BC ， ABAC， 第 21 页（共 29 页） 又点D是BC的中点， ADBC， AF是O的直径， 90AGFDGF ， 点E是弧GF的中点， GFOE， 四边形GMED是矩形， 90MED， OEBC， BC是O的切线； （2）解：设OEOFx，则4OBx， 90OEB， 222 OEBEOB， 222 8(4)xx， 解得6x ， O的半径为 6 24 （10 分）某商场 1 月购进A、B两款毛衣，用 10000 元购进的A款毛衣的数量是用 5000 元购进的B款 毛衣数量的 2.5 倍，已知每件A款毛衣进价比每件B款毛衣进价少 50 元 （1）每件A款毛
31、衣的进价是多少元？ （2）若每件A款毛衣售价为 300 元，要使两款毛衣全部售完后利润率不低于44%（不考虑其他因素） ，那 么B款毛衣的售价至少是多少元？ 【解答】解： （1）设每件A款毛衣的进价是x元，则每件B款毛衣的进价是(50)x元， 依题意得：10000 5000 2.5 50 xx ， 解得：200 x ， 经检验，200 x 是原方程的解，且符合题意 答：每件A款毛衣的进价是 200 元 （2）由（1）可知每件B款毛衣的进价为20050250（元)， B款毛衣购进数量为500025020（件)， A款毛衣购进数量为1000020050（件) 第 22 页（共 29 页） 设B款毛
32、衣的售价是y元， 依题意得：300 5020100005000 (100005000)44%y， 解得：330y 答：B款毛衣的售价至少是 330 元 25 （10 分）已知：如图，双曲线(0) k yk x 与直线(0)ymx m交于( 3A，3)、B两点，将直线AB向 下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一动点 （1）求双曲线和直线的函数表达式； （2）连接AD，当点C是线段AD中点时，求n的值； （3）若点E是双曲线上任意一点，当ADE是以AE为斜边的直角三角形，且30DAE时，求点E的坐 标 【解答】解： （1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：
33、3 3 k ，解得3 3k ， 设直线AB的表达式为ymx，将点A的坐标代入上式得：33m，解得3m ， 故反比例函数和直线AB的表达式分别为 3 3 y x 和3yx； （2）平移后直线的表达式为3yxn， 连接A、C、D，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N， 第 23 页（共 29 页） / /AMCN，点C是线段AD中点， 故CN是AMD的中位线，设点C的坐标为 3 3 ( ,)a a ， 则 1 2 CNAM，即 3 31 3 2a ，解得2 3a ， 故点C的坐标为(2 3， 3) 2 ， 将点C的坐标代入3yxn得： 3 3 2 3 2 n， 解得 9 2 n ； （3）
34、过点A、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、N， 在Rt ADE中，30DAE，则:3AD DE ， 90ADHEDN，90EDNDEN， ADHDEN ， Rt AHDRt DNE， 3 AHHDAD DHENDE ， 第 24 页（共 29 页） 设点D的坐标为( ,0)t，点E的坐标为 3 3 ( ,)b b ， 则3AH ，3DHt ，DNbt， 3 3 EN b ， 即 33 3 3 3 t bt b ， 解得3 3b 或3， 故点E的坐标为(3，3)或(3 3，1) 26（12 分）（1） 如图 1，ABC、ECF都是等腰直角三角形， 点E在线段AB上，90ACBECF 求 证：AC
35、FBCE ； 如图 2，当2AE ，3BEAE时，求线段CG的长； （2）如图 3，30BDCCAD ，90BCD，2 3AB ，4AD ，求AC的长 【解答】解： （1）证明：ABC、ECF都是等腰直角三角形， ACBC，CECF，90ACBECF ， BCEACF ， 在ACF和BCE中， ACBC BCEACF CFCE ， ()ACFBCE SAS ； 由知ACFBCE ， AFBE，CBECAF ， ACBC，90ACB， 第 25 页（共 29 页） 45BBAC ， 45CAF， 90EAF， 2AE ，3BEAE， 3 2AF，4 2ABBEAE， 2 4 2 ACAB， 22
36、 2 5EFAEAF， 又ECF为等腰直角三角形， 45CEF， 2 10 2 CEEF， CEGEAC ， 又ECGACE ， ECGACE， CEAC CGCE ， 2 CECG AC， 2 105 42 CE CG CA ； （2）过点A作AD的垂线，过点C作AC的垂线，两垂线交于点M，连接DM， 30CAD， 60CAM， 30AMC， AMCBDC ， 又90ACMBCD ， BCDAMC， BCCD ACMC ， 第 26 页（共 29 页） 又BCDACM ， BCDBCMACMBCM ， 即DCMACB ， DCMBCA， 3 DMCM ABAC ， 2 3AB ， 2 336
37、DM， 2222 642 5AMDMAD， 1 5 2 ACAM 27 （12 分） 如图 1， 已知抛物线 2 (0)yxbxc a与x轴交于( 3,0)A ，B两点， 与y轴交于点(0, 3)C （1）求该抛物线的函数表达式； （2） 如图 2， 点F是该抛物线的对称轴(x轴上方部分） 上的一个动点， 连接AF、BF， 将ABF沿直线AF 翻折，得到AB F，当点B落在该抛物线的对称轴上时，求点F的坐标； （3）如图 3，点D是该抛物线的顶点，点( , )P m n是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接AD、AC、 AP，当2PABCAD 时，求m的值 【解答】解： （1）把点( 3,0
38、)A ，(0, 3)C代入抛物线 2 yxbxc， 得： 930 3 bc c ， 解得： 2 3 b c ， 第 27 页（共 29 页） 抛物线的函数表达式为 2 23yxx； （2）如图 2，由（1）可得抛物线的函数表达式为 2 23yxx，( 3,0)A ， 抛物线的对称轴为直线1 2 b x a ， 当0y 时， 2 230 xx， 解得： 1 3x ， 2 1x ， (1,0)B， 1( 3)4AB ，2AE ，AFBF， 由翻折的性质可得：4ABAB，AFFBFB， 1 2 AEAB， 90AEB ， 30AB E， 260AFEAB E ， 设点( 1, )Fa， EFa， t
39、an AE AFE EF ， 22 3 tantan603 AE EF AFE ， 2 3 3 a， 2 3 ( 1,) 3 F； （3）如图 3，连接CD，过点P作PHx轴于点H，作PAB的平分线AG交PH于点G，过点G作 GMAP于点M， 由（1） （2）可得：抛物线 2 23yxx，对称轴为直线1x ， ( 1, 4)D ， ( 3,0)A ，(0, 3)C， 22 ( 1 3)(04)2 5AD ， 22 (0 1)( 34)2CD ， 22 ( 30)(03)3 2AC ， 22 (2 5)20AD ， 2222 ( 2)(3 2)20CDAC， 第 28 页（共 29 页） 222
40、 ADCDAC， ACD是直角三角形， 1 tan 3 CD CAD AC ， AG平分PAB，GMAP，GHAB， 22PABMAGGAH ，GHGM，90PMGPHA ， 2PABCAD ， MAGGAHCAD ， 1 tantantan 3 MAGGAHCAD， ( , )P m n，( 3,0)A ， 3AHm，PHn， 3 tan 3 m GHGMAHGAH ， 90PMGPHA ，APHAPH， PMGPHA， PMMG PHAH ，即 3 3 3 m PM nm ， 3 n PM， 3 3 m PGPHGHn ， 在Rt PMG中， 222 PMGMPG， 222 33 ( )()() 333 nmm n ， 39 44 nm， 点P在抛物线 2 23yxx上， 2 23nmm ， 联立式可得： 2 45210mm， 解得： 1 3m ， 2 7 4 m ， 点( , )P m n是第一象限内该抛物线上的一个点， 7 4 m 第 29 页（共 29 页）