1、 第 1 页（共 33 页） 2021 年北京市燕山区中考数学一模试卷年北京市燕山区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分）北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃 圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器下面图标标识，可以看作轴对称图形的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （2 分）2020 年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利经过
2、8 年持续奋斗，现行标准下近 100000000 农村贫困人口全部脱贫，832 个贫困县全部摘帽，困扰中华民族几千 年的绝对贫困问题得到历史性解决，书写了人类减贫史上的奇迹，将 100000000 用科学记数法表示为( ) A 6 1.0 10 B 7 1.0 10 C 8 1.0 10 D 9 1.0 10 3 （2 分）如图，在ABC中，/ /DEBC，若2AD ，3AB ，则 AE AC 等于( ) A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 4 （2 分）桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带 有光盘行动字样卡片的概率是( ) A 1
3、5 B 2 3 C 2 5 D 3 5 5 （2 分）参加第六届京津冀羽毛球冠军挑战赛的一个代表队的年龄分别是 49，20，20，25，31，40，46， 20，44，25，这组数据的平均数，众数，中位数分别是( ) A33，21，27 B32，20，28 C33，49，27 D32，21，22 第 2 页（共 33 页） 6 （2 分）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，其三视图中面积最小的是( ) A左视图 B俯视图 C主视图 D一样大 7 （2 分）下列数表中分别给出了变量y与x的几组对应值，其中是反比例函数关系的是( ) A x 1 2 3 4 y 7 8 9 10 B
4、x 1 2 3 4 y 3 6 9 12 C x 1 2 3 4 y 1 0.5 1 3 0.25 D x 1 2 3 4 y 4 3 2 1 8 （2 分）二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采 用黑白相间的图形记录数据符号信息的某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身 份识别图案系统： 在44的正方形网格中， 白色正方形表示数字 0， 黑色正方形表示数字 1， 将第i行第j列 表示的数记为 , i j a（其中i，j都是不大于 4 的正整数） ，例如，图中， 1,2 0a对第i行使用公式 3210 ,1,2,3,4 2222 i
5、iiii Aaaaa进行计算，所得结果 1 A， 2 A， 3 A， 4 A分别表示居民楼号，单元号， 楼 层 和 房间 号 例如， 图 中 ， 3210 33,13,23,33,4 22221 804021 19Aaaaa ， 4 08041 20 12A ，说明该居民住在 9 层，2 号房间，即 902 号有下面结论： 2,3 0a； 图中代表的居民居住在 11 号楼； 2 3A ，其中正确的是( ) 第 3 页（共 33 页） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）要使分式 5 1x 有意义，则x的取值范围为 10
6、（2 分）中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工 具）正放表示正数，斜放表示负数根据刘微的这种表示法，图表示算式( 1)( 1)0 ，则图表示算 式 11 （2 分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，/ /BCEF，ACFD，请你添加一个条件 ， 使得ABCDEF 12 （2 分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等 等化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三 角形，从工程角度，是最稳定和对称的正六边形外角和为 13 （2 分）方程组 1 33 xy xy
7、的解是 第 4 页（共 33 页） 14 （2 分）若关于x的一元二次方程 22 (1)310kxxk 有一个解为0 x ，则k 15 （2 分）在国家统计局发布的我国 2020 年国民经济和社会发展统计公报中，给出了统计图 1 和图 2 （1）估计 2021 年全年国内生产总值()GDP是 亿元； （2）利用你所学知识观察、分析、比较图 1 和图 2 中数据，写出20162020年国内生产总值()GDP和三 次产业的占比的变化趋势是 16 （2 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线:1l yx，双曲线 1 y x ，在l上取一点 1 A，过 1 A 作x轴的垂线交双曲线于点 1 B，
8、过 1 B作y轴的垂线交l于点 2 A，请继续操作并探究：过 2 A作x轴的垂线交 双曲线于点 2 B，过 2 B作y轴的垂线交l于点 3 A，这样依次得到l上的点 1 A， 2 A， 3 A， n A， 记点 n A的横坐标为 n a，若 1 2a ，则 2021 a ；若要将上述操作无限次地进行下去，则 1 a不能取的值 第 5 页（共 33 页） 是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
9、程。分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17 （5 分）计算： 01 1 2sin30| 2| ( 27)( ) 3 18 （5 分）解不等式组： 253(1) 5 3 2 xx x x 19 （5 分）已知25mn，求代数式 22 4 (2) 24 nm mnmn 的值 20 （5 分）已知：如图 1，在ABC中，60CAB求作：射线CP，使得/ /CPAB 下面是小明设计的尺规作图过程 作法：如图 2， 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点； 以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F； 以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在FCB内部交于点P；
10、 作射线CP所以射线CP就是所求作的射线 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：连接FP，DE 第 6 页（共 33 页） CFAD，CPAE，FPDE ADE ， DAE ， / /(CPAB )（填推理的依据） 21 （5 分）已知，关于x的一元二次方程 2 10 xaxa （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围 22 （5 分）利用初中阶段我们学习函数知识的方法探究一下形如 3 yx的函数： （1）由表达式 3 yx，得出函数自变量x的取值范围是 ； （2）由表达式 3 yx还
11、可以分析出，当0 x时，0y，y随x增大而增大；当0 x 时，y 0，y随x增 大而 （3）如图中画出了函数 3( 0)yx x的图象，请你画出0 x 时的图象； （4）根据图象，再写出 3 yx的一条性质 第 7 页（共 33 页） 23 （6 分）2020 年新冠肺炎疫情发生以来，中国人民风雨同舟、众志成城，构筑起疫情防控的坚固防线， 集中体现了中国人民万众一心同甘共苦的团结伟力我市广大党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打 赢疫情防控阻击战其中，A社区有 500 名党员，为了解本社区 2 月3月期间党员参加应急执勤的情况， A社区针对执勤的次数随机抽取 50 名党员进行调查，并对数据进
12、行了整理、描述和分析，下面给出了部分 信息 应急执勤次数的频数分布表 次数/x次 频数 频率 010 x 8 0.16 1020 x 10 0.20 2030 x 16 b 3040 x 12 0.24 4050 x a 0.08 其中，应急执勤次数在1020 x这一组的数据是：10，10，11，12，c，16，16，17，19，19，其中位数 是 15 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a ，b ，c ； （2）请补全频数分布直方图； 第 8 页（共 33 页） （3）参加应急执勤次数最多的组是 x ； （4）请估计 2 月 3 月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于 30 次的约有
13、人 24 （6 分）如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，且AOBO （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）BDC的平分线DM交BC于点M，当3AB ， 3 tan 4 DBC时，求CM的长 25 （6 分）如图，AB是O的直径，AC是O的弦，点D平分劣弧BC，连接BD，过点D作AC的垂 线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F （1）依题意补全图形； （2）求证：直线EF是O的切线； （3）若5AB ，3BD ，求线段BF的长 第 9 页（共 33 页） 26 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 22 21yxmxm （1）当2m 时，求抛物线的顶点坐标； （2）
14、求抛物线的对称轴（用含m的式子表示） ； 若点 1 (1,)my， 2 ( ,)m y， 3 (3,)my都在抛物线 22 21yxmxm上， 则 1 y， 2 y， 3 y的大小关系为 ； （3）直线yxb与x轴交于点( 3,0)A ，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线 22 21yxmxm有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当OAP为钝角三角形时，求m的取 值范围 27 （7 分）如图，在正方形ABCD中，3CD ，P是CD边上一动点（不与D点重合） ，连接AP，点D与 点E关于AP所在的直线对称，连接AE，PE，延长CB到点F，使得BFDP，连接EF，AF （1）依
15、题意补全图 1； （2）若1DP ，求线段EF的长； （3）当点P在CD边上运动时，能使AEF为等腰三角形，直接写出此时DAP的面积 28 （7 分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形 1 G， 2 G给出如下定义：点P为图形 1 G上一点，点Q 第 10 页（共 33 页） 为图形 2 G上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形 1 G， 2 G的“中立点” 如果点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，那么“中立点” M的坐标为 12 ( 2 xx ， 12) 2 yy 已知，点( 3,0)A ，(4,4)B，(4,0)C （1）连接BC，在点 1 ( 2 D，0
16、)，(0,1)E， 1 (2F， 1 ) 2 中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是 ； （2）已知点(3,0)G，G的半径为 2如果直线1yx上存在点K可以成为点A和G的“中立点” ，求 点K的坐标； （3）以点C为圆心，半径为 2 作圆点N为直线24yx上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点 可以成为点N与C的“中立点” 直接写出点N的横坐标n的取值范围 第 11 页（共 33 页） 2021 年北京市燕山区中考数学一模试卷年北京市燕山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8
17、题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分）北京市民全面参与垃圾分类，共享环保低碳生活生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃 圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器下面图标标识，可以看作轴对称图形的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：厨余垃圾、有害垃圾的图标标识可以看作轴对称图形， 故选：B 2 （2 分）2020 年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利经过 8 年持续奋斗，现行标准下近 100000000 农村贫困人口全部脱贫，832 个贫困县全部摘帽，困扰中华民族几千 年的绝
18、对贫困问题得到历史性解决，书写了人类减贫史上的奇迹，将 100000000 用科学记数法表示为( ) A 6 1.0 10 B 7 1.0 10 C 8 1.0 10 D 9 1.0 10 【解答】解： 8 100000000989900001.0 10， 故选：C 3 （2 分）如图，在ABC中，/ /DEBC，若2AD ，3AB ，则 AE AC 等于( ) A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解：/ /DEBC， 2 3 ADAE ABAC 故选：D 4 （2 分）桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带 第 12 页（共
19、33 页） 有光盘行动字样卡片的概率是( ) A 1 5 B 2 3 C 2 5 D 3 5 【解答】解：因为共 5 张卡片，其中带有光盘行动字样的有 2 张， 所以从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是 2 5 ， 故选：C 5 （2 分）参加第六届京津冀羽毛球冠军挑战赛的一个代表队的年龄分别是 49，20，20，25，31，40，46， 20，44，25，这组数据的平均数，众数，中位数分别是( ) A33，21，27 B32，20，28 C33，49，27 D32，21，22 【解答】解：这组数据的平均数是：(49202025314046204425) 1032（岁)，
20、这组数据出现最多的数是 20，所以这组数据的众数是 20 岁； 把这些数按从小到大的顺序排列为：20，20，20，25，25，31，40，44，46，49， 则这组数据的中位数是：(2531)228（岁) 故选：B 6 （2 分）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，其三视图中面积最小的是( ) A左视图 B俯视图 C主视图 D一样大 【解答】解：这个组合体的三视图如下： 三视图图中，面积最小的是左视图， 故选：A 7 （2 分）下列数表中分别给出了变量y与x的几组对应值，其中是反比例函数关系的是( ) 第 13 页（共 33 页） A x 1 2 3 4 y 7 8 9 10 B
21、 x 1 2 3 4 y 3 6 9 12 C x 1 2 3 4 y 1 0.5 1 3 0.25 D x 1 2 3 4 y 4 3 2 1 【解答】解：C中，1xy ， C是反比例函数关系，故C正确； 故选：C 8 （2 分）二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采 用黑白相间的图形记录数据符号信息的某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身 份识别图案系统： 在44的正方形网格中， 白色正方形表示数字 0， 黑色正方形表示数字 1， 将第i行第j列 表示的数记为 , i j a（其中i，j都是不大于 4 的正整数） ，例如，图中
22、， 1,2 0a对第i行使用公式 3210 ,1,2,3,4 2222 iiiii Aaaaa进行计算，所得结果 1 A， 2 A， 3 A， 4 A分别表示居民楼号，单元号， 楼 层 和 房间 号 例如， 图 中 ， 3210 33,13,23,33,4 22221 804021 19Aaaaa ， 4 08041 20 12A ，说明该居民住在 9 层，2 号房间，即 902 号有下面结论： 2,3 0a； 图中代表的居民居住在 11 号楼； 2 3A ，其中正确的是( ) 第 14 页（共 33 页） A B C D 【解答】解： 2,3 a表示的是将第 2 行第 3 列是白色正方形，所
23、以表示的数是 0，即 2,3 0a，故正确； 图中代表的居民的楼号 32103210 11,11,21,31,4 22221 20 21 21 21 80 4 1 2 1 1 11Aaaaa ， 图中代表的居民居住在 11 号楼；故正确； 32103210 22,12,22,32,4 2222021 202020 8 1 4020 14Aaaaa ， 故错误， 综上，是正确的 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）要使分式 5 1x 有意义，则x的取值范围为 1x 【解答】解：分式 5 1x 有意义， 10 x ，解得1x 故答
24、案为：1x 10 （2 分）中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工 具）正放表示正数，斜放表示负数根据刘微的这种表示法，图表示算式( 1)( 1)0 ，则图表示算 式 ( 3)( 2)1 【解答】解：根据题意知，图表示的算式为( 3)( 2)1 故答案为：( 3)( 2)1 11 （2 分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，/ /BCEF，ACFD，请你添加一个条件 BCEF 第 15 页（共 33 页） 或BE 或AD （答案不唯一） ，使得ABCDEF 【解答】解：/ /BCEF， BCAEFD ， 若添加BCEF，且ACFD，由“SAS”可
25、证ABCDEF ； 若添加BE ，且ACFD，由“AAS”可证ABCDEF ； 若添加AD ，且ACFD，由“ASA”可证ABCDEF ； 故答案为：BCEF或BE 或AD （答案不唯一） 12 （2 分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等 等化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三 角形，从工程角度，是最稳定和对称的正六边形外角和为 360 【解答】解：正六边形的外角和是360 故选：360 13 （2 分）方程组 1 33 xy xy 的解是 1 0 x y 【解答】解：两式相加，得 44x ，解得
26、1x ， 把1x 代入1xy，解得0y ， 方程组的解为 1 0 x y ， 故答案为： 1 0 x y 第 16 页（共 33 页） 14 （2 分）若关于x的一元二次方程 22 (1)310kxxk 有一个解为0 x ，则k 1 【解答】解：把0 x 代入方程 22 (1)310kxxk 得方程 2 10k ，解得 1 1k ， 2 1k ， 而10k ， 所以1k 故答案为1 15 （2 分）在国家统计局发布的我国 2020 年国民经济和社会发展统计公报中，给出了统计图 1 和图 2 （1）估计 2021 年全年国内生产总值()GDP是 1039353.678 亿元； （2）利用你所学知
27、识观察、分析、比较图 1 和图 2 中数据，写出20162020年国内生产总值()GDP和三 次产业的占比的变化趋势是 【解答】解： （1）1015986 (12.3%)1039353.678（亿元） ， 第 17 页（共 33 页） 故答案为：1039353.678； （2）根据统计图中的信息得： 20162020年国内生产总值()GDP不断增加，但增长速度趋于稳定，三次产业的占比的变化趋势是下降趋 势 故答案为：20162020年国内生产总值()GDP不断增加，但增长速度趋于稳定，三次产业的占比的变化趋 势是下降趋势 16 （2 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线:1l yx，双
28、曲线 1 y x ，在l上取一点 1 A，过 1 A 作x轴的垂线交双曲线于点 1 B，过 1 B作y轴的垂线交l于点 2 A，请继续操作并探究：过 2 A作x轴的垂线交 双曲线于点 2 B，过 2 B作y轴的垂线交l于点 3 A，这样依次得到l上的点 1 A， 2 A， 3 A， n A， 记点 n A的横坐标为 n a，若 1 2a ，则 2021 a 3 2 ；若要将上述操作无限次地进行下去，则 1 a不能取的值 是 【解答】解：当 1 2a 时， 1 B的纵坐标为 1 2 ， 1 B的纵坐标和 2 A的纵坐标相同，则 2 A的横坐标为 2 3 2 a ， 2 A的横坐标和 2 B的横坐
29、标相同，则 2 B的纵坐标为 2 2 3 b ， 2 B的纵坐标和 3 A的纵坐标相同，则 3 A的横坐标为 3 1 3 a ， 3 A的横坐标和 3 B的横坐标相同，则 3 B的纵坐标为 3 3b ， 第 18 页（共 33 页） 3 B的纵坐标和 4 A的纵坐标相同，则 4 A的横坐标为 4 2a ， 4 A的横坐标和 4 B的横坐标相同，则 4 B的纵坐标为 4 1 2 b ， 即当 1 2a 时， 2 3 2 a ， 3 1 3 a ， 4 2a ， 5 3 2 a ， 1 1 2 b ， 2 2 3 b ， 3 3b ， 4 1 2 b ， 5 2 3 b ， 2021 6732 3
30、 ， 20202 3 2 aa； 点 1 A不能在y轴上（此时找不到 1) B，即0 x ， 点 1 A不能在x轴上（此时 2 A，在y轴上，找不到 2) B，即10yx ， 解得：1x ； 综上可得 1 a不可取 0、1 故答案为： 3 2 ；0、1 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。明、演算步骤或证明过程。 17 （5 分）计算： 01 1 2sin30| 2|
31、( 27)( ) 3 【解答】解：原式 1 2213 2 1213 1 18 （5 分）解不等式组： 253(1) 5 3 2 xx x x 【解答】解：解不等式253(1)xx，得：8x ， 解不等式 5 3 2 x x ，得：1x ， 则不等式组的解集为18x 19 （5 分）已知25mn，求代数式 22 4 (2) 24 nm mnmn 的值 【解答】解：原式 22 424 () 224 nmnm mnmnmn 第 19 页（共 33 页） 2(2 )(2 ) 2 mmn mn mnm 2(2 )mn， 当25mn时，原式2 5 20 （5 分）已知：如图 1，在ABC中，60CAB求作
32、：射线CP，使得/ /CPAB 下面是小明设计的尺规作图过程 作法：如图 2， 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点； 以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F； 以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在FCB内部交于点P； 作射线CP所以射线CP就是所求作的射线 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：连接FP，DE CFAD，CPAE，FPDE ADE CFP ， DAE ， / /(CPAB )（填推理的依据） 【解答】解： （1）如图，射线CP即为所求作 第 20 页（共 33 页）
33、 （2）连接FP，DE CFAD，CPAE，FPDE ADECFP ， DAEFCP ， / /CPAB（同位角相等两直线平行） 故答案为：CFP，FCP，同位角相等两直线平行 21 （5 分）已知，关于x的一元二次方程 2 10 xaxa （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围 【解答】 （1）证明： 22 4 (1)(2)0aaa ， 无论a为何值，方程总有两个实数根； （2）方程有一个根是负数， 1 0a ， 解得，1a a的取值范围为1a 22 （5 分）利用初中阶段我们学习函数知识的方法探究一下形如 3 yx的函数： （1）由表达式 3 yx，
34、得出函数自变量x的取值范围是 任意实数 ； （2）由表达式 3 yx还可以分析出，当0 x时，0y，y随x增大而增大；当0 x 时，y 0，y随x增 大而 （3）如图中画出了函数 3( 0)yx x的图象，请你画出0 x 时的图象； 第 21 页（共 33 页） （4）根据图象，再写出 3 yx的一条性质 【解答】解： （1）由表达式 3 yx，得出函数自变量x的取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数； （2）由表达式 3 yx还可以分析出，当0 x 时，0y ，y随x增大而增大 故答案为：，增大； （3）画出0 x 时的图象如图： 第 22 页（共 33 页） （4）观察图象可得： 3 y
35、x的一条性质：图象关于原点对称 故答案为：图象关于原点对称 23 （6 分）2020 年新冠肺炎疫情发生以来，中国人民风雨同舟、众志成城，构筑起疫情防控的坚固防线， 集中体现了中国人民万众一心同甘共苦的团结伟力我市广大党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打 赢疫情防控阻击战其中，A社区有 500 名党员，为了解本社区 2 月3月期间党员参加应急执勤的情况， A社区针对执勤的次数随机抽取 50 名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分 信息 应急执勤次数的频数分布表 次数/x次 频数 频率 010 x 8 0.16 1020 x 10 0.20 2030 x 16 b 3
36、040 x 12 0.24 4050 x a 0.08 其中，应急执勤次数在1020 x这一组的数据是：10，10，11，12，c，16，16，17，19，19，其中位数 是 15 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a 4 ，b ，c ； （2）请补全频数分布直方图； （3）参加应急执勤次数最多的组是 x ； （4）请估计 2 月 3 月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于 30 次的约有 人 第 23 页（共 33 页） 【解答】解： （1）500.084a ，16500.32b ， 在1020 x这一组的数据是：10，10，11，12，c，16，16，17，19，19，其中位数是 1
37、5， (16)215c， 解得14c ， 故答案为：4，0.32，14； （2）由（1）知，4a ， 补全的频数分布直方图如右图所示； （3）由直方图可得， 参加应急执勤次数最多的组是2030 x， 故答案为：20，30； （4）500 (0.240.08) 5000.32 160（人)， 故答案为：160 第 24 页（共 33 页） 24 （6 分）如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，且AOBO （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）BDC的平分线DM交BC于点M，当3AB ， 3 tan 4 DBC时，求CM的长 【解答】证明： （1）四边形ABCD是平行四边形， 2ACAO，2
38、BDBO AOBO， ACBD ABCD为矩形 （2）过点M作MGBD于点G，如图所示： 四边形ABCD是矩形， 90DCB， CMCD， 第 25 页（共 33 页） DM为BDC的角平分线， MGCM OBOC， ACBDBC 3AB ， 3 tan 4 DBC， 3 tantan 4 AB ACBDBC BC 4BC 2222 345ACBDBCCD， 3 sinsin 5 AB ACBDBC AC 设CMMGx，则4BMx， 在BMG中，90BGM， 3 sin 45 x DBC x 解得： 3 2 x ， 3 2 CM 25 （6 分）如图，AB是O的直径，AC是O的弦，点D平分劣弧
39、BC，连接BD，过点D作AC的垂 线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F （1）依题意补全图形； （2）求证：直线EF是O的切线； （3）若5AB ，3BD ，求线段BF的长 【解答】 （1）解：图形如图所示： 第 26 页（共 33 页） （2）证明：连接BC，OD，设OD交BC于J AB是直径， 90ACBECB ， CDBD， ODBC， 90CJD， DEAE， 90CED， 四边形CEDJ是矩形， 90EDJ，即ODDE， DE是O的切线 （3）解：设OJx 22222 BJBDDJOBOJ， 2222 55 3()( ) 22 xx， 7 10 x， / /BJDF，
40、OJOB ODOF ， 75 102 5 2 OF ， 125 14 OF， 第 27 页（共 33 页） 125545 1427 BFOFOB 26 （6 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 22 21yxmxm （1）当2m 时，求抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示） ； 若点 1 (1,)my， 2 ( ,)m y， 3 (3,)my都在抛物线 22 21yxmxm上，则 1 y， 2 y， 3 y的大小关系为 312 yyy ； （3）直线yxb与x轴交于点( 3,0)A ，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线 22 21yxmxm有两个交
41、点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当OAP为钝角三角形时，求m的取 值范围 【解答】解： （1）当2m 时，抛物线的解析式为： 22 43(2)1yxxx， 顶点坐标为(2, 1)； （2）抛物线 22 21yxmxm， 函数对称轴为 2 2 1 m xm ； 函数开口向上，xm时函数取得最小值， 离对称轴距离越远，函数值越大， 13mmm ，且点 1 (1,)my， 2 ( ,)m y， 3 (3,)my都在抛物线 22 21yxmxm上， 312 yyy； 故答案为： 312 yyy； 第 28 页（共 33 页） （3）把点( 3,0)A 代入yxb的表达式并解得：3b ， 则(0,3)
42、B，直线AB的表达式为：3yx， 如图， 在直线3x 上，当90AOP时，点P与B重合， 当3y 时， 22 213yxmxm ， 则2xm， 点P在对称轴的左侧， 2xmm不符合题意，舍去， 则点(2,3)P m， 当OAP为钝角三角形时， 则02mm或23m ， 解得：2m 或1m ， m的取值范围是：2m 或1m 27 （7 分）如图，在正方形ABCD中，3CD ，P是CD边上一动点（不与D点重合） ，连接AP，点D与 点E关于AP所在的直线对称，连接AE，PE，延长CB到点F，使得BFDP，连接EF，AF （1）依题意补全图 1； （2）若1DP ，求线段EF的长； （3）当点P在CD
43、边上运动时，能使AEF为等腰三角形，直接写出此时DAP的面积 第 29 页（共 33 页） 【解答】解： （1）根据题意，作图如下： （2）连接BP，如图 2 点D与点E关于AP所在的直线对称， AEAD，PADPAE， 四边形ABCD是正方形， ADAB，90DABF ， BMBF， 第 30 页（共 33 页） ()ADPABF SAS ， AFAP，FABPAD， FABPAE， FAEPAB， ()FAEPAB SAS ， EFBP， 四边形ABCD是正方形， 3BCCDAB， 1DP ， 2CP， 22 13BPBCCP， 13EF； （3）设(0)DPx x，则3CPx， 222
44、618EFBPCPBCxx， 3AEAD， 222 9AFApCPADx， AFAE， 当AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AEEF或AFEF， 当AEEF时，有 2 6183xx， 解得3x ， 3 tan1 3 DM DAp DA ； 当AFEF时， 22 6189xxx， 解得 3 2 x ， 3 1 2 tan 32 DP DAP DA ， 综上tanDAP的值为 1 或 1 2 第 31 页（共 33 页） 28 （7 分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形 1 G， 2 G给出如下定义：点P为图形 1 G上一点，点Q 为图形 2 G上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是
45、图形 1 G， 2 G的“中立点” 如果点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，那么“中立点” M的坐标为 12 ( 2 xx ， 12) 2 yy 已知，点( 3,0)A ，(4,4)B，(4,0)C （1）连接BC，在点 1 ( 2 D，0)，(0,1)E， 1 (2F， 1 ) 2 中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是 D， F ； （2）已知点(3,0)G，G的半径为 2如果直线1yx上存在点K可以成为点A和G的“中立点” ，求 点K的坐标； （3）以点C为圆心，半径为 2 作圆点N为直线24yx上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点 可以成为点N与C的“中立
46、点” 直接写出点N的横坐标n的取值范围 【解答】解： （1）如图 1 中， 第 32 页（共 33 页） 观察图象可知，满足条件的点在ABC的平行于BC的中位线上， 故成为点A和线段BC的“中立点”的是D、F 故答案为D、F （2）如图 2 中，点A和G的“中立点”在以O为圆心，1 为半径的圆上运动， 因为点K在直线1yx上，设( ,1)K m m， 则有 22 (1)1mm， 解得0m 或 1， 点K坐标为(1,0)或(0, 1) （3） 如图 3 中， 由题意， 当点N确定时， 点N与G的 “中立点” 是以NC的中点P为圆心 1 为半径的P， 第 33 页（共 33 页） 当P与y轴相切时，点N的横坐标分别为2或6， 所以满足条件的点N的横坐标的取值范围为62 N x剟