1、湖南省益阳市湖南省益阳市 2021 届高三届高三 9 月调研考试数学试题月调研考试数学试题 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共计分，共计 40分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) ) 1. 已知集合 2 60Ax xx ，2Bx x，则AB ( ) A. ( 2,) B. ( 2,3) C. (2,3) D. (2,) 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合 A，再取交集即可 【详解】集合 2 60
2、23Ax xxxx ，2Bx x， 则2,3AB 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的交集，属于基础题. 2. 已知复数 2 ai z i 为纯虚数(其中 i为虚数单位，aR)，则a( ) A. -2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则将 2 ai z i 化简，让实部为零解得a的值. 【详解】 2212212 222555 aiiaa iaiaa zi iii ， 因为z为纯虚数，所以210a ，得 1 2 a . 故选：B. 【点睛】本题考查复数的化简运算，属于简单题，根据复数的运算法则计算即可. 3. 已知半径为 1 的球被截去一部
3、分后几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为( ) A. 7 6 B. 4 3 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图画出原几何体，然后根据球的体积公式进行计算即可. 【详解】由题可知：该几何体为 3 4 个球 如图 所以该几何体的体积为： 3 4 1 = 43 3 故选：C 【点睛】本题考查三视图的还原，重在对空间想象能力的考查，属基础题. 4. 已知随机变量服从正态分布 2 1,N ，若(4)0.9P，则( 24)P ( ) A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】 根据随机变量服从正态分布 2 1,N ，得到正态曲线的对称
4、轴，然后由(4)0.9P，求得 (4)(2)PP ，再利用正态曲线的对称性求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布 2 1,N ， 所以正态曲线的对称轴为1x ， 因为(4)0.9P， 所以(4)(2)0.1PP ， 所以( 24)1241 0.1 0.10.8PPP ， 故选：D 【点睛】本题主要考查正态分布曲线对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 2019年 10 月 20日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中有 5项成果 均属于芯片领域.现有 3名学生从这 15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选 1 项进行了解，且学生之 间的选择互不影
5、响，则恰好有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为( ) A. 4 9 B. 4 27 C. 19 27 D. 48 125 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为 1 3 、 2 3 ，而 3 名学生选择互不影响，则选择芯片领 域的学生数0,1,2,3X ，即X服从二项分布，则有 3 3 21 ()( )( ) 33 nnn P XnC 即可求恰好有 1 名学生选 择“芯片领域”的概率. 【详解】由题意知，有 3名学生且每位学生选择互不影响，从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中分别 任选 1 项，5 项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率
6、为： 51 153 ；不被选的概率为： 12 1 33 ；而选择芯片领域的人数0,1,2,3X ， X服从二项分布 1 3( , 3) XB， 3 3 21 ()( )( ) 33 nnn P XnC ，那么恰好有 1名学生选择“芯片领域”的概 率为 12 3 214 (1)( ) ( ) 339 P XC. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分 布，结合二项分布公式求概率. 6. 在ABC中，0CA CB ，2ACBC， 2BPPA ，则CP CA CP CB ( ) A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】D
7、【解析】 【分析】 由 0CA CB 可得CA CB ，建立直角坐标系，由平面向量及其数乘的坐标表示可得点 2 4 , 3 3 P ，再由 平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为 0CA CB ，所以CA CB ， 以C为坐标原点，建立如图平面直角坐标系， 因为2ACBC，所以0,2A，2,0B，0,2CA，2,0CB ， 又 2BPPA ，所以 24 4 , 33 3 BPBA ， 所以点 2 4 , 3 3 P ，所以 2 4 , 3 3 CP ， 所以 2424 02204 3333 CP CACP CB . 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量及其运算的坐标表示，考查了运算
8、求解能力，属于基础题. 7. 过抛物线 2 :20C xpy p的焦点F的直线交该抛物线于AB、两点， 若3 AFBF， O为坐标原点， 则 AF OF ( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 4 D. 5 4 【答案】A 【解析】 【分析】 画出图像,分别作,A B关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可. 【详解】如图,作分别作,A B关于准线的垂线,垂足分别为,D E,直线AB交准线于C.过A作BE的垂线交 BE于G,准线与y轴交于H.则根据抛物线的定义有 ,AFAD BFBE. 设AFADt,3BFBEt,故2BGt,4ABt,故 1 cos 2 BG ABG AB
9、 . 故26BCBEt,故FH是CBE边BE的中位线,故 113 244 OFFHBEt. 故 4 3 3 4 AFt t OF . 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作 出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题. 8. 已知函数 ( )ln(1)ln(1)f xxx ，若|( )|f xax，则 a的取值范围是( ) A. 2,0 B. (,2 C. 2,2 D. (, 22,) 【答案】C 【解析】 【分析】 易得 ( )f x是奇函数，则|( )|yf x 是偶函数，从而得到满足|( )|f xax的解集应关于 y轴
10、对称，然后采用 排除法求解. 【详解】函数( )ln(1)ln(1)f xxx的定义域为 1,1 ， ()ln(1)ln(1)( )fxxxf x ， 故 ( )f x是奇函数，|( )|yf x 是偶函数， 则满足|( )|f xax的解应关于 y 轴对称， 故排除 A，B，当0 x时， 0000f，|( )|f xax成立，故排除 D， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的性质的应用以及不等式恒成立，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 二、多项选择题二、多项选择题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共计分，共计 20分分.在每小题给出的四个选项中，至在每小题给
11、出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) ) 9. 已知双曲线 22 :1 3 xy C m 过点(3, 2)，则下列结论正确的是( ) A. C的焦距为 4 B. C 的离心率为 3 C. C 的渐近线方程为 3 3 yx D. 直线2310 xy 与 C 有两个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】 由题意先求出m的值，得到双曲线C的标准方程，确定, ,a b c的值，求出椭圆 C 的焦距，离心率，渐近线 方程即可判断选项 A B C；将直线与双曲线的方程联立消y，得到关于x的一元二次方程，利用
12、判别式即可 判断选项 D. 【详解】由双曲线 22 :1 3 xy C m 过点(3, 2)， 可得1m， 则双曲线C的标准方程为： 2 2 1 3 x y； 所以 22 3,1,2abcab ， 因为椭圆 C的焦距为24c ，所以选项 A 正确； 因为椭圆 C的离心率为 22 3 33 c a ，所以选项 B不正确； 因为椭圆 C的渐近线方程为 3 3 yx ，所以选项 C正确； 将直线2310 xy 与双曲线 2 2 1 3 x y联立消y可得： 2 3440 xx， 2 44 3 4320 ， 所以直线2310 xy 与双曲线 C没有公共点，所以选项 D不正确； 故选：AC. 【点睛】本
13、题主要考查了双曲线的方程和几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查了数学抽象，数学运 算等核心素养.属于较易题. 10. 已知定义在 R上的偶函数 ( )f x在0,1上单调递增，且(1)(1)f xf x ，则下列结论正确的是( ) A. 直线3x 是 ( )f x的一条对称轴 B. ( )f x是周期为 2的周期函数 C. ( )f x在(1,2)上单调递减 D. 2x是函数( )f x的一个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由已知条件可知 ( )f x的周期、对称轴以及区间单调性，进而判断选项是否正确即可. 【详解】由(1)(1)f xf x知：( )(2)f xf x，即 ( )
14、f x的周期为 2， ( )f x是定义在 R 上的偶函数且在0,1上单调递增， 1,0上单调递减，且(1)(1)(1)f xfxf x， 即1x 是函数的一条对称轴. 由周期性知：在(1,2)上单调递减，3x 也是一条对称轴. 函数任意一点的函数值都未知，所以不能确定函数的零点， 故选：ABC 【点睛】本题考查了函数的性质，根据函数关系及奇偶性确定抽象函数的周期、对称轴、区间单调性，根 据周期判断各选项是否正确. 11. 下面的结论中，正确的是( ) A. 若Ra，则 3 2 3a a B. 若0a，0b， 11 ab ab ，则2ab C. 若0ba，0m ，则 ama bmb D. 若0
15、ab且|ln | |ln|ab ，则1ab 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用基本不等式及成立的条件可判断 A、B 的正误，利用作差法可判断 C 的正误，根据对数函数的图象及 性质分析判断 D的正误即可. 【详解】对于 A选项，当0a 时， 3 2 3a a ，故 A 错； 对于 B选项， 由0a，0b， 11ab ab abab 可知，1ab ， 所以 22abab ， 当且仅当ab 时等号成立，故 B 正确； 对于 C选项，因为当0ba，0m时， 0 am ba bmba mama bmbb bmb bm ，即 ama bmb 成立，故 C正确； 对于 D选项，若0ab且|ln| |
16、ln|ab，则有lnlnba，则 lnlnln0abab，所以1ab ， 所以 D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查命题及其真假判断，考查不等式、基本不等式、对数函数的性质等知识点的运用，难度 一般. 12. 函数( ) sin()f xx 的部分图像如图中实线所示，图中的 M、N是圆 C与( )f x图像的两个交点， 其中 M 在 y 轴上，C是 ( )f x图像与 x 轴的交点，则下列说法中正确的是( ) A. 函数 ( )yf x 的一个周期为 5 6 B. 函数( )f x的图像关于点 4 ,0 3 骣 琪 琪 桫 成中心对称 C. 函数 ( )f x在 11 , 26 上单调递
17、增 D. 圆 C的面积为 31 36 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据图象， 结合三角函数的对称性、 周期性、 值域以及圆的中心对称性， 可得,C M N的坐标， 进而可得 ( )f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知： 1 ( ,0) 3 C， 3 (0,) 2 M， 23 ( ,) 32 N ， ( )f x中 111 () 2362 T ，即1T ；对称中心为 1 ,0 , 23 k kZ ；单调减区间为 17 , 1212 kkkZ ；圆的半径 22 1331 ( )() 326 r ，则圆的面积为 31 36 ； 综上，知：
18、AC错误，而 BD正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区 间及求圆的面积，属于难题. 三、填空题三、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上) ) 13. 若 1 sin 63 ，则cos 3 _. 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 利用 632 结合余弦的诱导公式求解即可. 【详解】因为 632 ，所以 1 coscossin 32663 . 故答案为： 1 3 . 【点睛】本题考查利用诱导公式求三角
19、函数值，属于简单题，整体代入是关键. 14. 5 1 2 x x 的展开式中x的系数是_.(用数字填写答案) 【答案】80 【解析】 【分析】 根据二项展开式的通项公式，得出展开式的通项，根据赋值法，即可求出结果. 【详解】因为 5 1 2 x x 的展开式的第1r 项为 55 3 55 22 155 22 rr rrrrr r TCxxCx ， 令 53 1 2 r 得1r ， 则 5 1 2 x x 的展开式中x的系数是 14 5 280C . 故答案为：80. 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 15. 已知函数 2 ln ,0 ( ) 2 ,0 x
20、x f x xx x ，则( )( ) 1g xf x的零点个数为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据函数零点的概念，令( )1f x ，按照0 x、0 x分类，解方程即可得解. 【详解】令( )( )10g xf x ，则( )1f x ， 当0 x时，ln1x，解得 1 xe； 当0 x时， 2 21xx ，解得1x； 所以函数( )( )1g xf x的零点为 1 e，1，共 2 个. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了具体函数零点个数的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 16. 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，P是 1 AA中点，过点 1 D作平面，满足
21、CP平面，则 平面与正方体 1111 ABCDABC D的截面周长为_. 【答案】6 24 5 【解析】 【分析】 取AD 中点 E，AB 中点 F，连接 1 D E，EF， 1 B F， 11 B D，然后证明PC 平面 11 EFB D，得出平 面与正方体 1111 ABCDABC D的截面为梯形 11 EFB D，然后通过几何计算得出梯形 11 EFB D的周长即可. 【详解】解：取AD 中点 E，AB 中点 F，连接PD， 1 D E，EF， 1 B F， 11 B D，AC，BD，如下 图所示： 因为E为 AD 中点，F 为 AB 中点， 则 / /EFBD， 11 / /BDB D
22、， 所以 11 / /EFB D， 所以 E，F， 1 B， 1 D 四点共面. 根据正方形性质可知 CD平面 11 ADD A，而 1 D E 平面 11 ADD A， 所以 1 CDD E. 易得 1 D DEDAP， 可知 1 ED DPDA，而 1 90PDAPDD， 所以 11 90ED DPDD，即 1 PDD E. 因为 CDPDD ， 所以 1 DE 平面 PDC，而CP平面 PDC， 所以 1 D ECP E 为 AD 中点，F 为 AB 中点， 由正方形和正方体性质可知EFAC，PAEF，且 PAACA， 所以 EF 平面 PAC，而 CP平面 PAC， 所以 EFCP.
23、又因为 1 D ECP， 1 D EEFE， 所以 CP平面 11 EFB D，即平面 11 EFB D 为平面 与正方体 1111 ABCDABC D 的截面， 正方体 1111 ABCDABC D 棱长为 4， 所以 11 EFB D 的周长为： 1 111 B DD EEFB F 2222 4 2422 2424 56 2 . 故答案为：4 5 6 2 . 【点睛】本题考查平面与正方体的截面问题，考查线面垂直的判定及应用，难度一般，根据题意画出截面 是关键. 四、 解答题四、 解答题( (本大题共本大题共 6 小题， 共计小题， 共计 70 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区
24、域内作答.解答时应写出文字说明、解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤) ) 17. 在 nn bna； 2 , log, n n n a n b a n 为奇数 为偶数 ； 2122 1 loglog n nn b aa .这三个条件中任选一个，补 充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列 n a是等比数列，且 1 1a ，其中 1 a， 2 1a ， 3 1a 成等差数列. (1)求数列 n a的通项公式； (2)记_，求数列 n b的前 2n 项和 2n T. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) 1 2n n a - =；(2)
25、答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据 1 a， 2 1a ， 3 1a 成等差数列得 213 211aaa，即可由此求出公比，写出通项公式； (2)选择条件，利用错位相减法可求出；选择条件，利用分组求和法可求出；选择条件，利用裂项相 消法可求出 【详解】(1)设数列 n a的公比为 q， 因为 1 a， 2 1a ， 3 1a 成等差数列， 213 211aaa， 又因为 1 1a ，所以 2 2(1)2qq，即 2 20qq， 所以，2q =或0q (舍去)，所以， 1 2n n a - =. (2)由(1)知 1 2n n a - =，选择条件，则 1 2n n bn ， 0121
26、 2 1 22 222 n n Tn ， 122 2 21 22 222 n n Tn ， 01212 2 1 21 21 222 nn n Tn 2 22 1 2 22(1 2 ) 21 1 2 n nn nn 2 2 (21) 21 n n Tn. 由(1)知 1 2n n a - =，选择条件，则 1 2, 1, n n n b nn 为奇数 为偶数 ， 所以 0222 2 2123221 n n Tn 0222 222(1 321) n n 2 1 4(1 21)41 1 4233 nn nn n. 由(1)知 1 2n n a - =，选择条件，则 1 (1) n b n n = +
27、 ， 2 111 1 22 32 (21) n T nn 11111 1 223221nn 12 1 2121 n nn ， 2 2 21 n n T n . 【点睛】本题考查等比数列的通项公式求法，考查数列的求和方式，属于中档题. 18. 已知ABC的角 A，B，C对边分别为 a，b，c，cos 3 sinaaCcA ，3c . (1)求C； (2)求ABC面积的最大值. 【答案】(1) 3 ；(2) 3 3 4 . 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理、辅助角公式cos3 sinaaCcA可化为 1 sin 62 C ，进而求角 C；(2)结合(1)中 结论，应用余弦定理和基本不等式有3a
28、b，结合三角形面积公式求最大值即可. 【详解】 (1)由正弦定理及cos3 sinaaCcA得：sinsincos3sinsinAACCA， 而s i n0A， 3sincos1CC，即 1 sin 62 C ，又0C， 5 666 C ，可知 66 C ，即 3 C ； (2)由(1)可知： 3 C ，在ABC中，由余弦定理得： 22 2cos3ababC，即 22 3abab， 22 3ababab，有3ab，当且仅当ab时等号成立， 则 1133 3 Ssin3 2224 ABC abC ， 即ABC面积的最大值为 3 3 4 . 【点睛】本题考查了正余弦定理，正弦定理边角关系、辅助角公
29、式、三角形内角性质的应用求角，结合余 弦定理、基本不等式、三角形面积公式求三角形面积的最值，属中档题. 19. 如图，四棱锥 P-ABCD的底面为正方形，平面PAD 平面 ABCD，PAPD. (1)求证：PDAB； (2)若直线 PA与 BC所成角为 4 ，求平面 PAD与平面 PBC所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 5 5 . 【解析】 【分析】 (1)由面面垂直的性质有AB 平面 PAD，进而根据线面垂直的性质证明线线垂直；(2)AD，BC 的中点 O， N， 连接 PO，ON， 构建以 O为坐标原点， OA，ON，OP 分别为 x轴， y轴， z轴的空间直角坐标
30、系， 令2AB 即可标识出,P,CB的坐标，再求二面角的两个半面的法向量，根据发向量夹角与二面角关系求二面角的 余弦值即可. 【详解】(1)四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形， ABAD，又AB面 ABCD，面PAD 面 ABCD，面PAD面 ABCD =AD， AB平面 PAD，又PD 平面 PAD， PDAB. (2)取 AD，BC 的中点 O，N，连接 PO，ON，则 /ON AB，结合(1)知ON 平面 PAD，因为PAPD有 POAD， 以 O 为坐标原点， OA，ON，OP 分别为 x 轴， y 轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz， 因为/AD BC且直线 PA与
31、 BC 所成的角为 4 ， 所以 4 PAD， 又P A P D， 即P O A O， 令2AB ， 则(0,0,1),P( 1,2,0),C (1,2,0)B，所以(2,0,0),CB (1, 2,1)CP ， 设( , , )mx y z是平面 BPC的一个法向量， 则 0 0 m CB m CP ，即 0 20 x xyz ，取1y ，则2z ，所以(0,1,2)m ， 又(0,1,0)n 是平面 PAD的一个法向量， 所以， 15 cos, |55 1 m n m n m n ， 所以，所求二面角余弦值为 5 5 . 【点睛】本题考查了利用面面垂直、线面垂直的性质证明线线垂直，应用空间
32、向量求二面角余弦值，属于 基础题. 20. 已知 6 名某疾病病毒密切接触者中有 1名感染病毒， 其余 5 名未感染， 需要通过化验血液来确定感染者. 血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为未感染者. (1)若从这 6名密切接触者中随机抽取 2名，求抽到感染者的概率； (2)血液化验确定感染者的方法有：方法一是逐一化验；方法二是平均分组混合化验，先将血液样本平均分 成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒，若化验结果呈阳性，则对该 组的备份血液逐一化验，直至确定感染者. (i)采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望； (ii)采取平均分成三组混合化验(每组
33、血液份数相同)， 求该分组方法所需化验次数的数学期望.你认为选择哪 种化验方案更合理？请说明理由. 【答案】(1) 1 3 ；(2)(i)分布列见解析，10 3 ；(ii) 8 3 ，按平均分组法较合理，理由见解析. 【解析】 分析】 (1)由超几何分布概率公式运算即可得解； (2)(i)先计算出分别取 1，2，3，4，5时的概率，进而可得的分布列，由数学期望的公式即可得的数 学期望； (ii)分别计算出2,3时的概率，进而可得的分布列与数学期望，比较 E、 E的大小即可选出 方案. 【详解】(1)由题意，抽到感染者的概率 11 15 2 6 51 153 C C P C ； (2)(i)按逐
34、一化验法，的可能取值为 1，2，3，4，5， 1 (1) 6 P， 511 (2) 656 P， 5411 (3) 6546 P， 54311 (4) 65436 P， 54321 (5) 65433 P， 所以所需化验次数的分布列为 1 2 3 4 5 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3 所以数学期望 1111110 12345 666633 E ； (ii)平均分成三组即按(2,2,2)分组，记所需化验次数为，则2,3， 1 (2) 3 P， 21212 (3) 32323 P， 所以的分布列为 2 3 P 1 3 2 3 所以数学期望 128 23 333 E ， 因为 EE，所
35、以按平均分组法较合理. 【点睛】 本题考查了超几何分布概率公式的应用， 考查了离散型随机变量分布列、数学期望的求解与应用， 属于中档题. 21. 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 点的离心率为 6 3 ，且经过点 33 () 22 A， . (1)求 C的方程； (2)若不过坐标原点的直线l与椭圆 C 相交于点 M，N两点，且满足OM ONOA ，求MON面积最 大时直线l的方程. 【答案】(1) 2 2 1 3 x y；(2) 16 33 yx . 【解析】 【分析】 (1)由离心率及点的坐标列出关于, ,a b c的方程组，解之可得椭圆方程； (2)由题意可知，直线M
36、N的斜率显然存在，设直线MN的方程为0ykxm m， 11 ,M x y， 22 ,N x y，直线方程代入椭圆方程整理为一元二次方程，0 得一不等关系，应用韦达定理得 1212 ,xx x x， 并计算出 12 yy， 向量的坐标运算， 条件OM ONOA 用坐标表示后， 可求得 1 3 k ， 代入判别式可求得m的取值范围，然后求出MON面积为m的函数，用基本不等式求得最大值及m值， 得出直线方程 【详解】(1)由题意得 22 222 6 3 33 1 44 c a ab abc ，解得 2 2 3 1 a b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y； (2)由题意可知，直线MN的
37、斜率显然存在， 设直线MN的方程为0ykxm m， 11 ,M x y， 22 ,N x y， 由 2 2 1 3 x y ykxm 得 222 316330kxkmxm. 222222 364 31 3312 310k mkmkm 所以 12 2 2 12 2 6 31 33 31 km xx k m x x k ，所以 1212 2 2 2 31 m yyk xxm k ， 因为OM ONOA ，所以 12 2 12 2 63 312 23 312 km xx k m yy k ， 所以 1 3 k ，代入得 2 32 3 33 m且0m， 所以 2 121212 11 4 22 MON
38、Sm xxmxxx x 22 2 2 12 31 3431 2314 km mm m k 22 22 3 343 3 3433 4422 mm mm . 当且仅当 22 343mm，即 6 3 m 时上式取等号，此时符合题意， 所以直线MN的方程为 16 33 yx . 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，应用 韦达定理求解是关键 22. 已知函数( )2 ln a f xxx x ，aR. (1)当0a时，求 ( )f x的单调区间； (2)当1a 时，有( ) mx f xmem成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) ( )f x
39、的单调递减区间为 1 0, e ，递增区间为 1 , e ；(2) 2 , e . 【解析】 【分析】 (1)先指出函数的定义域， 将0a代入求得函数解析式， 对函数求导， 求解不等式( )0fx 和( )0fx 的 解集求得函数的单调区间； (2)将1a 代入，即 1 2ln mx xxmem x ，将其转化为 22 1 ln1 ln(0) mxmx xxeex ，构造新 函数( )(1)lng xxx，利用导数可以确定函数( )(1)lng xxx在(0,)上单调递增，从而得到 2mx xe， (0,)x，再两边取对数，可得 2ln x m x 恒成立，构造函数 ln ( ) x u x
40、x ，0 x，利用导 数求得最值，得到结果. 【详解】(1)函数 ( )f x的定义域为(0,)， 当0a时，( )2 lnf xxx， ( )2ln2fxx ，由( )0fx 得 1 x e ； 由( )0fx 得 1 0 x e ，由( )0fx 得 1 x e ， 故 ( )f x的单调递减区间为 1 0, e ，递增区间为 1 , e . (2)当1a 时，不等式( ) mx f xmem成立， 即 1 2ln mx xxmem x 成立， 等价于 22 1 ln11 ln(0) mxmxmx xxmx eeex 成立， 令( )(1)lng xxx，则 1 ( )ln1g xx x
41、， 令 1 ( )ln1h xx x ， 22 111 ( ) x h x xxx ， 当01x时，( )0h x ；当1x 时，( )0h x ； 从而( )h x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，故 min ( )(1)20h xh. ( )0g x ，故 ( )(1)lng xxx 在(0,)上单调递增， 2mx xe， (0,)x，两边取对数得，2lnx mx， 即 2ln x m x 恒成立，等价于 max ln 2 x m x . 令 ln ( ) x u x x ，0 x，则 2 1ln ( ) x u x x ，由( )0u x得xe， 由( )0u x 得0 xe，由( )0u x 得xe， 故( )u x在(0, )e上递增，在( ,)e 递减，从而 max 1 ( )( )u xu e e ， 2 m e ，即实数 m的取值范围为 2 , e . 【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有利用导数求函数的单调区间，利用导数研究不 等式恒成立问题，在解题的过程中，注意构造新函数，属于较难题目.