1、2021 届江苏省常州市教育学会学业水平监测届江苏省常州市教育学会学业水平监测 高三数学高三数学 一一 单项选择题单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1. 已知集合 2,1,0,1,2A ， 2 By yx ，则AB R ( ) A. 2, 1 B. 2, 1,0 C. 0,1,2 D. 1,2 【答案】A 【解析】 【分析】 由二次函数的性质求出集合B，先求补集再求交
2、集即可. 【详解】因为 2,1,0,1,2A ， 2 0,By yx， 所以 R ,0B ， 2, 1AB R ， 故选：A. 2. i是虚数单位，复数1 3i i ( ) A. 3i B. 3i C. 3 i D. 3 i 【答案】B 【解析】 【分析】 由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 2 13 13 3 i i i i ii . 故选：B. 3. tan15( ) A. 2 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 1 【答案】B 【解析】 【分析】 将所求式子中的角15变形为4530然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简， 即可求出值. 【详解】 3 1 tan
3、45tan3033126 3 3 tan15tan 453023 1tan45 tan306333 1 3 . 故选：B. 【点睛】 此题考查了两角和与差的正切函数公式， 以及特殊角的三角函数值熟练掌握公式是解本题的关键， 是基础题. 4. 函数 sin2yx 的图象可由函数cos 2 6 yx 的图像( ) A. 向左平移 12 个单位得到 B. 向右平移 6 个单位得到 C. 向左平移 4 个单位得到 D. 向右平移 3 个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】 异名函数图像的平移先化同名，然后再根据“左加右减，上加下减”法则进行平移. 【详解】cos 2cos 2 612 yxx 变换
4、到sin2cos 2cos 2 24 yxxx ， 需要向右平移 1243 个单位. 故选：D 【点睛】函数图像平移异名化同名的公式：cossin 2 tt ，sincos 2 tt . 5. 已知函数 2 ( )lnfxaxx ，0a，若曲线 ( )yf x 在点(1,1)处的切线是曲线( )yf x的所有切线 中斜率最小的，则a( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 ( )yf x 的所有切线的斜率即为( )2 a fxx x (0 x)的值域， 由题意知当1x 时 fx 取得最小值， 由 基本不等式可知( )22 22 2 a x a fxxa
5、 xx ，当且仅当2 a x x 即 2 2ax时 fx取得最小值， 可得2a 【详解】因为 2 ( )lnfxaxx ，定义域为0,， 所以 ( )2 a fxx x ， 由导数的几何意义可知：当1x 时 fx 取得最小值， 因为0a，0 x，所以( )22 22 2 a x a fxxa xx ， 当且仅当2 a x x 即 2 2ax时 fx取得最小值， 又因为1x 时 fx 取得最小值，所以 2 2 12a ， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当1x 时 ( )2 a fxx x 取得最小值，再利用 基本不等式求 fx 取得最小值时满足2 a x x 即
6、 2 2ax，即可求出a的值. 6. 某校全体学生参加物理实验化学实验两项操作比赛，所有学生都成功完成了至少一项实验，其中成功完 成物理实验的学生占 62%，成功完成化学实验的学生占 56%，则既成功完成物理实验又成功完成化学实验 的学生占该校学生的比例是( ) A. 44% B. 38% C. 18% D. 6% 【答案】C 【解析】 【分析】 设既成功完成物理实验又成功完成化学实验的学生占该校学生的比例是 x,然后利用 ven 图求解. 【详解】设既成功完成物理实验又成功完成化学实验学生占该校学生的比例是 x, 如图所示： 则6265100 xxx， 解得18x ， 故选：C 7. 声强是
7、表示声波强度的物理量， 记作I.由于声强I的变化范围非常大， 为方便起见， 引入声强级的概念， 规定声强级 0 lg I L I ，其中 202 0 10W/mI ，声强级的单位是贝尔， 1 10 贝尔又称为1分贝.生活在30分 贝左右的安静环境有利于人的睡眠， 而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所给 信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的( ) A. 3 倍 B. 3 10倍 C. 6 10倍 D. 9 10倍 【答案】C 【解析】 【分析】 将分贝换算成贝尔，根据指数与对数运算的关系可求得90分贝和30分贝对应的声强，从而求得倍数关系. 【详解】9
8、0分贝为9贝尔，30分贝为3贝尔， 令 1 9L ，则 911 10 1010II ；令 2 3L ，则 317 20 1010II ， 11 6 1 17 2 10 10 10 I I ， 即90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的 6 10倍. 故选：C. 8. 已知奇函数 f x在 , 上单调递减，且 11f ，则“1x ”是“ 1xf x ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据奇函数的定义和单调性可确定 f x和 fx 的符号，由奇偶性定义可知 g x为偶函数，利用导数可 确定 g
9、x单调性；根据 111gg，利用单调性可求得 1xf x 的解集，根据推出关系可确定结 论. 【详解】 f x为, 上的奇函数， 00f， 又 f x单调递减，当0 x时， 0f x ；当0 x时， 0f x ，且 0fx ， 令 g xxf x，则 gxxfxxf xg x ， g x为偶函数， 当0 x时， 0 xf x ；当0 x时， 0 xf x ； g xxf x， gxf xxfxf xxfx 当0 x时， 0f x ， 0g x ， g x在0,上单调递增， 由偶函数对称性知： g x在,0上单调递减； 1111ggf，由 1g xxf x得：11x ， 1,11, ，“1x ”
10、是“ 1xf x ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； (2)若p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集； (3)若p是q的充分必要条件，则 p对应集合与q对应集合相等； (4)若p是q的既不充分又不必要条件， 则q对应的集合与p对应集合互不包含 二二 多项选择题多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.在每小题给出的四个选项中，至少在每小题给出的四个选项中，至少 有两个是符合题目要求
11、的，请把答案添涂在答题卡相应位置上有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9. 已知0ab，c R ，则下列不等式中正确的有( ) A. 22 ab B. 22 acbc C. 11 ab D. 11 abab 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据不等式的性质即可判断. 【详解】对于 A，0ab， 22 ab，故 A正确； 对于 B， 2 0c Q，0ab， 22 acbc ，故 B正确； 对于 C，0ab， 11 ab ，故 C 错误； 对于 D，0ab，0abab ， 11 abab ，故 D 正确. 故选：ABD. 10. i是虚数单位，下列说法中正确的有( ) A
12、. 若复数z满足0z z，则0z B. 若复数 1 z， 2 z满足 1212 zzzz，则 1 2 0z z C. 若复数 ()zaai aR ，则z可能是纯虚数 D. 若复数z满足 2 34zi，则z对应的点在第一象限或第三象限 【答案】AD 【解析】 【分析】 A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A选项，设,zabi a bR，则其共轭复数为,zabi a bR， 则 22 0z za
13、b，所以0ab=，即0z ；A 正确； B选项，若 1 1z ， 2 zi，满足 1212 zzzz，但 1 2 z zi不为0；B 错； C选项，若复数 ()zaai aR 表示纯虚数，需要实部0，即0a，但此时复数0z 表示实数，故 C 错； D 选项，设,zabi a b R，则 2 222 234zabiaabibi， 所以 22 3 24 ab ab ，解得 2 1 a b 或 2 1 a b ，则2zi或2zi ， 所以其对应的点分别为2,1或2, 1，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD. 11. 已知等差数列 n a的公差0d ，前n项和为 n S，若 612
14、 SS，则下列结论中正确的有( ) A. 1: 17:2ad B. 18 0S C. 当0d 时， 614 0aa D. 当0d 时， 614 aa 【答案】ABC 【解析】 【分析】 因为 n a是等差数列，由 612 SS可得 910 0aa，利用通项转化为 1 a和d即可判断选项 A；利用前n项 和公式以及等差数列的性质即可判断选项 B； 利用等差数列的性质 961014 adaada即可判断选项 C；由0d 可得 614 0aad且 6 0a ， 14 0a 即可判断选项 D，进而得出正确选项. 【详解】因为 n a是等差数列，前n项和为 n S，由 612 SS得： 12678910
15、1112 0SSaaaaaa，即 910 30aa，即 910 0aa， 对于选项 A：由 910 0aa得 1 2170ad，可得 1: 17:2ad ，故选项 A正确； 对于选项 B： 118910 18 1818 0 22 aaaa S ，故选项 B正确； 对于选项 C： 911691014 aaaaaadd，若0d ，则 614 0aad，故选项 C正确； 对于选项 D：当0d 时， 614 0aad，则 614 aa ，因为0d ，所以 6 0a ， 14 0a ， 所以 614 aa，故选项 D不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由 612 SS得出 910
16、0aa，熟记等差数列的前n项和公式和通项 公式，灵活运用等差数列的性质即可. 12. 对于定义域为D的函数 ( )f x，若存在区间 ,m nD 满足：( )f x在,mn上是单调函数，当 ,xmn 时，函数 ( )f x的值域也是 ,mn，则称,mn为函数 ( )f x的“不动区间”.则下列函数中存 在“不动区间”的有( ) A. ( )2f xx B. 2 ( )1f x x C. 2 ( )2f xxx D. ( )32 x f x 【答案】CD 【解析】 【分析】 结合选项分别判断函数的单调性，然后结合单调性分别求解满足条件的m，n是否存在，进行检验即可判 断 【详解】 :2A yx
17、在m， n上单调递减，值域 2n ， 2 m- ，不符合题意，A不存在； B： ( )f x单调递减， 根据题意可得， 2 ( )1 2 ( )1 f mn m f nm n ， 整理可得，2mn即 2 n m ， 从而有1nn，此时n不存在，B不存在， 若 2 ( )2f xxx， 若 ( )f x在m，n上单调递增，则 2 2 ( )2 ( )2 1 f mmmm f nnnn mn ， 解得，1m，0n，此时符合题意， 若 ( )f x在m，n上单调递减，则 2 2 ( )2 ( )2 1 f mmmn f nnnm mn ， 此时m，n不存在， 32 x y 在m， n上单调递增，则
18、( )32 m f mm，( )32 n f n ， 令( )32 x g xx，则 3 ln3 1 x g x， 当 3 log ln3x ，( )0g x，函数单调递增，当 3 log ln3x ，( )0g x，函数单调递减， 故当 3 log ln3x 时，函数取得最小值 33 1 log ln3log ln320 ln3 f ， 故函数( )g x有 2 个零点，此时m，n存在，满足题意 故选：CD 【点睛】关键点点睛：根据“不动区间”的定义，利用函数的单调性，求函数的值域，验证是否满足定义，属 于创新型题目. 三三 填空题填空题(本大题共本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分
19、，共计分，共计 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上) 13. 平面内， 不共线的向量, a b满足| |2|baba rrrr ， 且| | | 2aab， 则, a b的夹角的余弦值为_. 【答案】 2 2 【解析】 【分析】 对已知条件两边平方化简得解 【详解】解：由| |2|baba rrrr 得 22 2 |2|2ababa ba rrrrr rr ， 由| |2aab，故 2 2 2 2|aaba bb ， 所以 22 22abab， 所以 2 2 2 2 cos, 2 2 b a bb a b a ba b b ， 故答案： 2 2 【点睛】向
20、量加减模的计算两边平方法是解题关键. 14. 函数y xb 的图象与函数 1 2 2yx 的图象有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为_. 【答案】(,0)1 【解析】 【分析】 根据幂函数的性质作出 1 2 2yx 的图象，数形结合即可求解. 【详解】 由幂函数的性质作出 1 2 2yx 的图象，由图知当直线yxb与 1 2 2yx 的图象相切时，只有一个公共点， 由 1 2 2yx 得 1 2 11 2 2 yx x ， 设切点 00 ,x y则 0 0 1 |1 x x y x ，解得 0 1x ，所以 0 2y ，切点为1,2， 因为切点在切线yxb上，所以21 b ，解得1b符合题
21、意， 当直线yxb过点0,0时0b，此时有2个交点，由图知0b 时有一个交点， 故答案为：(,0)1 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据幂函数的性质作出 1 2 2yx 的图象，然后作y x ，当yxb 与曲线相切时有一个公共点，利用切点处的导函数值等于1，求出b的值，当直线yxb过原点时有两个 公共点，此时0b再向下平移有一个公共点，可得0b . 15. 欧几里得在几何原本中，以基本定义公设和公理作为全书推理的出发点.其中第卷命题 47是著名 的毕达哥拉斯定理(勾股定理)， 书中给出了一种证明思路： 如图，Rt ABC中，90BAC ， 四边形 ABHL ACFGBCDE都是正方形，AN
22、DE于点N，交BC于点M.先证ABE与 HBC全等，继而得 到矩形BENM与正方形ABHL面积相等；同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等；进一步定 理可得证.在该图中，若 1 tan 3 BAE，则sinBEA_. 【答案】 2 10 【解析】 【分析】 设 AB=k， AC=m， BC=n， 由勾股定理可得 222 kmn ， 由同角的基本关系式求得sinBAE，cosBAE， 在ABE中，求得 AE，分别运用余弦定理和正弦定理，计算可得所求值. 【详解】设 AB=k，AC=m，BC=n，可得 222 kmn ， 又ABEHBC，可得 2 222 AECHHLCLkmk ， 在AB
23、E中， sin1 tan cos3 BAE BAE BAE ， 又 22 sincos1BAEBAE，解得 1 sin 10 BAE ， 3 cos 10 BAE ， 由 2 222 222 2 2 cos 2 2 kkmknABAEBE BAE AB AE k kkm 2 2222 223 10 22222 kkmkm kkkmmkmkm ， 化为 22 820kkmm ，解得2mk， 又 222 kmn ，可得5nk， 在ABE中， sinsin ABBE BEABAE ，即 1 sin 10 n BE k A ， 可得 2 sin 10 BEA ， 故答案为： 2 10 . 【点睛】在处
24、理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的 一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式 的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 16. 已知数列 n a中， 1 1 2 a ， 且对任意正整数 , ,m n mn 都有等式2 mnm nm n a aaa 成立， 那么 2020 a _. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 直接利用赋值法的应用求出数列的递推关系式，进一步得出 n a是周期数列，求出结果 【详解】对任意正整数 , ,m n mn 都有等式2 mnm nm n a aaa 成立， 取1n ，则
25、 11111 2, mmmmmm a aaaaaa ， 1112mmmmmmm aaaaaaa ， 363 , mmmmm aaaaa ， n a是周期为6的数列， 20206 336 441 1 2 aaaa 故答案为： 1 2 【点睛】关键点点睛：利用递推关系赋值，得到周期数列是解题的关键. 四四 解答题解答题(本大题共本大题共 6小题，共计小题，共计 70 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤) 17. 在4bc ，cos1aB ，sin2sinAB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若
26、问题中 的三角形存在，求C的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题： 是否存在ABC， 它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且c o s1bC ，sin2sincAC， _. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一，见解析. 【解析】 【分析】 若选，利用正弦定理化简已知等式可求 a 的值，由 bcosC1，利用余弦定理可求 bca2，可得 C 3 若选，利用正弦定理化简已知等式可求 a的值，可求 cosB 1 2 ，由 B(0，)，可得 B 3 ，又 bcosC 1，利用余弦定理可得 bc，即可求解 CB 3 若选，由已知利用正弦定理可得 a2b，
27、进而根据正弦定理化简已知等式可求 a2，从而可求 b1，进 而可求 cosC1，由于 C(0，)，可得这样的 C 不存在，即问题中的三角形不存在 【详解】若选，bc4，由于 csinA2sinC，利用正弦定理可得 ac2c，可得 a2，因为 bcosC1， 可得 cosC 1 b 222 2 abc ab ，整理可得 2aa2+b2c2，解得 bc2，所以 C 3 若选，acosB1，因为 csinA2sinC，由正弦定理可得 ca2c，解得 a2， 所以 cosB 1 2 ，由 B(0，)，可得 B 3 ，又 bcosC1，可得 acosBbcosC， 由余弦定理可得 a 222 2 acb
28、 ac b 222 2 abc ab ，整理可得 bc，所以 CB 3 若选，sinA2sinB，由正弦定理可得 a2b，又 csinA2sinC，由正弦定理可得 ca2c，可得 a2，所 以 b1，又因为 bcosC1，可得 cosC1，又 C(0，)， 所以这样的 C 不存在，即问题中的三角形不存在 【点睛】思路点睛： (1)先选择哪个条件， (2)再根据正余弦定理化简求值. 18. 已知平面向量a是单位向量，向量(1,3)b . (1)若 / /ab，求a的坐标； (2)若()aba，求a的坐标. 【答案】(1) 13 , 22 或 13 , 22 ；(2)(1,0)或 13 , 22
29、. 【解析】 【分析】 (1)根据 / /ab， ( , 3 )ab，再由a为单位向量求解. (2)设( , )ax y，得到(1,3)abxy，再根据向量a是单位向量，且()aba求解. 【详解】(1)因为 / /ab， 设( , 3 )ab， 又a为单位向量， 所以 22 31， 解得 1 2 ， 所以 13 , 22 a 或 13 , 22 a ； (2)设( , )ax y， 则(1,3)abxy， 因为向量a是单位向量，()aba， 所以 22 22 1 30 xy xxyy ， 解得 1 0 x y 或 1 2 3 2 x y ， 所以 (1,0)a 或 13 , 22 a . 1
30、9. 已知公差为整数的等差数列 n a满足 23 15a a ，且 4 7a . (1)求数列 n a的通项公式 n a； (2)求数列3 n n a 的前n项和 n S. 【答案】(1)21 n an；(2) 1 (1) 33 n n Sn . 【解析】 【分析】 (1)由题列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式； (2)利用错位相减法即可求出. 【详解】解：(1)设公差为,d dZ， 由题意知： 11 1 215 37 adad ad ，解得 1 1 2 a d ， 1 (1)21 n aandn； (2)3(21) 3 nn n an 故 123 1 33 35 3(21) 3n n
31、Sn ， 则 2341 31 33 35 3(21) 3n n Sn ， 两式相减得 231 232 32 32 3(21) 3 nn n Sn 1 11 18 1 3 321 32236 1 3 n nn nn ， 1 (1) 33 n n Sn . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： (1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； (2)对于 n n a b结构，其中 n a是等差数列， n b是等比数列，用错位相减法求和； (3)对于+ nn ab结构，利用分组求和法； (4)对于 1 1 nn a a 结构，其中 n a是等差数列，公差为d，则 11 1111 nnnn a ada
32、a ，利用裂项相消法求 和. 20. 已知函数 ( ) x a f xx e ，其中a R，e是自然对数的底数. (1)当1a时，求函数( ) f x在区间0,)的零点个数； (2)若( ) 2 x e f x 对任意 1,)x 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1个；(2) 21 2 2 ee a . 【解析】 【分析】 (1)求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解 (2)分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解 【详解】(1)( ) x f xxe，0 x，( )10 x fxe 故 ( )f x在0,)递增，又(0)1f ， 1 (1)10fe (0) (1)0f
33、f ，故 ( )f x在(0,1)上存在唯一零点 因此 ( )f x在区间0,)的零点个数是 1 个； (2)1x ， 2 x x e xae恒成立，即1x ， 2 e 2 x x axe恒成立 令 2 ( ) 2 x x e g xxe，1x，则 min ( )ag x ( )1 xx g xexe ，令( )1 x h xex，1x ( )1 x h xe， 1,0)x 时，( )0h x ，0 x时，( )0h x 故( )h x在 1,0)递减，(0,)递增，因此( )(0)0h xh 所以，( )0g x ，故 ( )g x在 1,) 递增 故 21 min 2 ( )( 1) 2
34、ee g xg ，因此 21 2 2 ee a . 【点睛】不等式恒成立问题解决思路：一般参变分离、转化为最值问题. 21. 已知集合 * 21,Ax xnnN ， * 2 , n Bx xnN ，将AB中的所有元素按从小到大的 顺序排列构成数列 n a，设数列 n a的前n项和为 n S. (1)求 7 S的值； (2)若2k m a (其中 * kN )，试用k表示m和 m S； (3)求使得2020 n S 成立的最大的n的值，并求此时的 n S的值. 【答案】(1)30；(2) 1 2kmk ， 221 222 kk m S ；(3)n的最大值 49，故 49 1975S. 【解析】
35、【分析】 (1)将 AB中的所有元素按从小到大的顺序排列，列举法求出 S7的值 (2)由题意利用分组求和的方法求解其前 n 项和即可 (3)使得 Sn2020成立可设 n38+t，通过界定 n 的范围，运用数列求和的相关知识求解即可 【详解】(1)集合 * 21,Ax xnnN ，则 x11，x23，x35，x47，x59， * 2 , n Bx xnN ，则 x12，x24，x38， 因为 AB中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列an， 所以 a11，a22，a33，a44，a55，a67，a78，所以 S71+2+3+4+5+7+830； (2)设包含 A项数为 n，则 2n12k1，
36、n2k1，设包含 B 的项数为 k，则 mn+k2k1+k， 因为 SmSA+SB，所以 21221* (21 1)2(1 2 ) 22222() 21 2 k kkk m nn SnnN ； (3)m2k1+k 时， 22112 222226 kkk m S ，k6时，m38，Sm11502020， k7时，m71，Sm43502020，所以 38n71，令 n38+t， Sn1150+65+67+(63+2t)1150+(t+64)t2020，所以 t2+64t870， t11时，t2+64t825870，t12 时，t2+64t912870， 所以 n38+1149，Sn1150+825
37、1975 【点睛】方法点睛： 数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，倒序求和法，分组求和法等. 22. 已知函数 2 ( )(41)92lnf xaxaxax，其中0a. (1)若 1 2 a ，求函数( )f x的单调区间； (2)e是自然对数底数，若对任意的4b，当 1 , e xb 时，( )( )f xf b恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)增区间为(0,1)和(2,)：减区间为(1,2)(2) 12 2 ln ， ) 【解析】 【分析】 (1)代入 a 的值，求出函数的导数，解不等式，求出函数的单调区间即可; (2)求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函
38、数的极值，问题转化为 min 1 ()( )(4) 2 ff bf a 或 min (2)( )(4)ff bf得到关于 a 的不等式，解出即可. 【详解】(1) 1 2 a 时， 2 19 ( )32ln 22 f xxxx， 2 232(1)(2) ( )3 xxxx fxx xxx 令( )001fxx 或2( )xf x在(0,1)和(2,)上递增； ( )012( )fxxf x 在(1,2)上递减. 综上：若 1 2 a ，( )f x的增区间为(0,1)和(2,)：减区间为(1,2). (2) 2(21)(2) ( )2(41) axx fxaxa xx ，(0,0)xa， 令(
39、 )0fx，解得：2x或 1 2 x a ， 1 2 2a 即 1 4 a 时，x，( )fx，( )f x的变化如下： x 1 (0,) 2a 1 2a 1 ( 2a ，2) 2 (2,) ( )fx 0 0 ( )f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 若对任意的4b，当 1 ( , xb e 时，( )f xf(b)恒成立， 当 1 (x e ，2时， 1 ( )() 2 max f xf a ，故只需 1 () 2 ff a (b)minf (4)即可， 即只需 111 2921616492 4 422 alnaaaln aaa ， 故 1 2 222 4(*) 4 ln aln a
40、 设g(a) 1 22 4 ln a a ， 1 () 4 a ， 则g(a) 2 81 0 4 a a 恒成立，则g(a)在 1 ( 4 ， )递增， 而 1 ( )224 8 gln， 故(*)即为g(a) 1 ( ) 8 g，故 1 8 a，故 1 4 a ； 当 1 2 2a ，即 1 0 4 a时， ( )f x在(0,2)递增，在 1 (2,) 2a 递减，在 1 ( 2a ， )递增， 故( )f xf 极大值 (2)， 若 1 4 2a 即 1 0 8 a时，则存在4b，当 1 (x e ，b时，有 1 2 b a ，则f(2)为最大值和题意矛盾， 故 1 8a ， 1 ) 4 ， 故同f(2) f (b)min f (4)，即48292 2 942 4aaalnaln ， 故422 2aln，解得： 12 2 ln a ，故 121 24 ln a ； 1 4 a 时，( ) 0fx，( )f x递增，( )f xf(b)在 1 ( , xb e 时恒成立； 综上：a的取值范围是 12 2 ln ， ) 【点睛】关键点点睛：求导数后，根据零点 1 2a 和 2的大小分类讨论，求函数在 1 , e xb 上 max ( )f x，同 时由 f(x)单调性确定对任意的4b时 min ( )f b,建立不等式求解 a，考查了分类讨论的思想，属于难题.