1、广东省广东省 2021 届新高考适应性测试卷届新高考适应性测试卷 数学数学( (一一) ) 本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 注意事项：注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题纸上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题纸上. 2. 回答选择题时，回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上 对应题目的答案标号涂黑对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上回答非选择题时
2、，将答案写在答题纸上.写在本试写在本试 卷无效卷无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 设 i为虚数单位，复数 z= 4 1i ，则|zi|=( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 先对复数进行化简，求出zi的值，再利用复数zabi的模长计算公式 22 zab计算可得答案. 【详解】解：z= 4 1i
3、 = 4(1) (1)(1) i ii =2(1+i)，所以|zi|=|2i|= 5. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题. 2. 已知集合 12Axx ，集合 2 Bx ymx，若ABA，则m的取值范围是( ) A. 0,1 B. 1,4 C. 1, D. 4, 【答案】D 【解析】 【分析】 由ABA可得出AB，可知B，解出集合B，结合题意可得出关于实数m的不等式，由此可解 得实数m的取值范围. 【详解】ABAQI且12Axx，则AB，B. 若0m，则 2 0mx ，可得B，不合乎题意； 若0m ，则 2 Bx ymxxmxm， 所
4、以， 2m ，解得4m. 因此，实数m的取值范围是4,. 故选：D. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于中等题. 3. 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈 八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多 少斛米”(古制1丈10尺，1斛1.62立方尺，圆周率3)，则该圆柱形容器能放米( ) A. 900斛 B. 2700斛 C. 3600斛 D. 10800斛 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果. 【详解
5、】设圆柱形容器的底面圆半径为r，则 5454 9 26 r (尺)， 所以，该圆柱形容器的体积为 22 183 9184374Vr (立方尺)， 因此，该圆柱形容器能放米 4374 2700 1.62 (斛). 故选：B. 【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题. 4. 在一项调查中有两个变量x和y，下图是由这两个变量近 8 年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作 为y关于x的回归方程的函数类型是( ) A. yabx B. ycdx C. 2 ymnx D. x ypqc( 0q ) 【答案】B 【解析】 【分析】 根据散点图的趋势，选定正确的选项.
6、 【详解】散点图呈曲线，排除 A 选项，且增长速度变慢，排除选项 C、D，故选 B 【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题. 5. 曲线 lnyxx 在点( , )M e e 处的切线方程为 A. 2yxe B. 2yxe C. y xe D. y xe 【答案】B 【解析】 【分析】 先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【 详 解 】 由ln1 lnyxxyx ，1 ln2 x e ye ， 所 以 过 点( , )M e e切 线 方 程 为 22yxeexe 答案选 B 【点睛】本题考查在曲线上某一点 00 ,x y切线方程的求法，相对比较简单，一般解题
7、步骤为：先求曲线 f x导数表达式 fx，求出 0 fx，最终表示出切线方程 000 yfxxxy 6. 3 11xx的展开式中， 3 x的系数为( ) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意转化条件得 333 1111xxxxx，再由二项式定理写出 3 1x的通项公式，分别令 3r 、2r =，求和即可得解. 【详解】由题意 333 1111xxxxx， 3 1x的通项公式为 3 133 1 rrrrr r TCxCx ， 令3r ，则 3 33 1 r CC； 令2r =，则 2 33 3 r CC； 所以 3 11xx展开式中， 3 x的系数为1
8、32 . 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7. 若cos cos2 4 ，则sin2() A. -1 B. 1 2 C. -1 或 1 2 D. 1 2 或 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 将 已 知 等 式 平 方 ， 可 根 据 二 倍 角 公 式 、 诱 导 公 式 和 同 角 三 角 函 数 平 方 关 系 将 等 式 化 为 2 1 sin2 1 sin 2 2 ，解方程可求得结果. 【详解】由coscos2 4 得： 222 coscos 21 sin 2 4 即 2 1 cos 2 1 sin22 1 sin 2 22 ，
9、解得：sin21或 1 2 本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够通过平方运算，将等式化简为关于sin2的方程， 涉及到二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系的应用. 8. 若对圆 22 (1)(1)1xy上任意一点 ( , )P x y，34349xyaxy 的取值与x，y无关， 则 实数 a 的取值范围是( ) A. 4a B. 46a C. 4a或6a D. 6a 【答案】D 【解析】 【分析】 根据点到直线距离公式，转化34349xyaxy为点P到两条平行直线的距离之和来求解实数 a 的取值范围 【详解】依题意 34349 34349 55 xyaxy
10、xyaxy 表示 ,P x y到两条平行直线 340 xya 和3490 xy的 距 离 之 和 与 , x y 无 关 ， 故 两 条 平 行 直 线340 xya和 3490 xy 在 圆 22 (1)(1)1xy的 两 侧 ， 画 出 图 像 如 下 图 所 示 ， 故 圆 心1,1到 直 线 340 xya的距离 34 1 5 a d ，解得6a或4a(舍去) 故选 D. 【点睛】 本小题主要考查点到直线的距离公式， 考查直线与圆的位置关系， 考查数形结合的数学思想方法， 考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5
11、分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 已知抛物线 2 20ypx p上一点M到其准线及对称轴的距离分别为 3和2 2，则p的值可以是 ( ) A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】AC 【解析】 【分析】 由题意得3 2 p x ，28px ，解方程即可. 【详解】设M的横坐标为x，由题意，3 2 p x ，28px ，解得2p 或4p . 故选：AC 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计
12、算能力，是一道容易题. 10. 函数 cos0,0, 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则 f x ( ) A. 1 cos 2 23 x B. 1 cos 2 26 x C. 1 sin 2 23 x D. 1 sin 2 23 x 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据最小值求得A，根据周期求得，根据点 11 1 , 12 2 求得，由此求得 f x的解析式，结合诱导公式 确定正确选项. 【详解】由图象可得 1 2 A ，3 1113 41264 T ，解得1T ，所以2，所以 1 ( )cos(2) 2 f xx， 又 f x的图象过点 11 1 , 12 2 ，则 11 22 12
13、 kkZ，解得 11 2 6 kkZ ，又 2 ， 所以 6 ，即 11 ( )cos 2sin2 26226 f xxx 1 sin2 23 x 1 sin 2 23 x . 故选 BD 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题. 11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体 验课程，每周一门，连续开设六周.则( ) A. 某学生从中选 3 门，共有 30 种选法 B. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 240种排法 C. 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 144 种排法
14、D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 504种排法 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可. 【详解】6 门中选 3 门共有 3 6 20C 种，故 A 错误； 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 42 45 480A A 种排法，故 B 错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 34 34 144A A 种排法，故 C 正确； 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 5114 5444 504AC C A种排法，故 D正确 故选：CD 【点睛】本题考查排列组合的应用，属于基
15、础题. 12. 设三个函数22 x yx， 2 log2yxx和 32 331yxxx的零点分别为 1 x， 2 x， 3 x，则有 ( ) A 123 x xx B. 123 x xx C. 123 2xxx D. 123 2xxx 【答案】AC 【解析】 【分析】 将 1 x， 2 x分别看成2xy 与 2 logyx两个函数分别于2yx的交点，结合2xy ， 2 logyx的图象 关于直线y x 对称，直线2yx与y x 垂直，可以得到 1 x， 2 x对应的点是关于2yx和y x 的 交点对称的，得到 1 x， 2 x的关系 3 x可求，则问题可解 【详解】解：因为 32 331yxx
16、x，所以 2 2 363310yxxx ，所以 32 331yxxx 在R上是增函数， 又当1x 时 32 13 13 1 10y ， 所以 3 1x ， 作出2xy ， 2 logyx，2yx 三个函数的图像如图所示： 其中 11 ,A x y， 22 ,B x y分别是两个函数2xy 与 2 logyx的图像与直线2yx的交点，因为指数 函数 x ya与logayx的图像关于直线y x 对称，且2yx也关于y x 对称，所以交点A，B关 于直线y x 对称，所以 1212 22 xxyy ，即 1212 22xxxx，所以 123 22xxx，再由基本 不等式得 2 12 12312 10
17、 2 xx x xxxx . 故选：AC. 【点睛】本题考查了利用数形结合研究函数的零点问题，本题的关键与难点是分析出A、B两点关于直线 yx 对称属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知函数 2 22,0 ,0 x x f x xx ，若 4f a ，则a_. 【答案】1 或-2 【解析】 【分析】 分0a和0a 两种情况，分别求出a值即可 【详解】令 0 224 a a 或 2 0 4 a a ，解得1a 或2a . 故答案为：1或-2 【点睛】本题考查函数求值，考查分段函数，属于基础题 14. 已知向量,
18、 a b满足| 5,| 4,| 6babab，则向量a在向量b上的投影为_. 【答案】1 【解析】 【分析】 运用向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，代入计算可得所求值 【详解】解：向量, a b满足| 5,| 4,| 6babab， 可得 2 ()16ab， 2 ()36ab， 即为 22 216aba b， 22 236aba b， 两式相减可得5a b ， 则向量a在向量b上的投影为 5 1 5| a b b 故答案为：1 【点睛】本题考查向量的性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，考查运算能力，属于基 础题 15. 已知直线y a 与双曲线 22 22 :10,0
19、xy Cab ab 的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点 分别为 1 A， 2 A，若 212 5 2 PAA A，则双曲线C的离心率为_. 【答案】 2或 10 3 【解析】 【分析】 解出点P的坐标，用两点间距离公式求出 212 ,PAAA，化简整理出, ,a b c的关系式，从而求得离心率 【详解】若渐近线的方程为 b yx a ，则点P的坐标为 2 , a a b . 因为 212 5 2 PAA A，所以 2 2 22 5 a aaa b ，则 2 14 a b ，所以3 a b ， 从而 2 2 10 1 3 b e a . 若渐近线的方程为 b yx a ，则点P的坐标为
20、2 , a a b ，同理可得 2e . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想. 16. 如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a， 动点P在对角线 1 BD上， 过点P作垂直于 1 BD的平面， 记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y， 设B P x ， 则当 32 3 , 33 xaa时， 函数 ( )yf x 的 值域为_ 【答案】3 2a 【解析】 【分析】 当 32 3 , 33 xaa 时， 截面多边形是六边形 HIJKLM，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果. 【详解】当 32 3 , 33 xaa 时，截面多边形是六边
21、形 HIJKLM， 设 11 HI AC = 1 11 B I BC =，则 1 IJ BC = 1 11 C I BC =1， HI+IJ= 2a， 截面六边形的周长为3 2a； 故答案为3 2a 【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 sinsinsinsinACAB bac ，2 coscoscoscCaB bA这两个条件中任选一个，补充在下 面问题中的横线上，并解答. 在ABC中，内角
22、A，B，C的对边分别为a，b，c， . (1)求角C； (2)若5c ， 11ab ，求ABC的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) 3 C ；(2) 3 2 . 【解析】 【分析】 (1)若选：利用正弦定理和余弦定理可求出角C；若选：利用正弦定理和两角和与差公式可得角C； (2)利用余弦定理求出2ab，代入三角形面积公式即可 【详解】(1)若选： 由正弦定理得 acab bac ， 所以 222 acabb， 由余弦定理得 222 2coscababC， 解得 1 cos 2 C ， 因为0,C，所以 3 C . 若选： 由正弦定理得sincossinco
23、s2sincosABBACC， 即sin()2sincosABCC， 即sin2sincosCCC， 因为0,C，所以sin0C ，所以 1 cos 2 C ， 所以 3 C . (2)由余弦定理得 222 2coscababC， 得 22 5abab， 即 2 5()3abab，解得2ab， 则ABC的面积 1133 sin2 2222 ABC SabC ， 故ABC的面积为 3 2 . 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题 18. 已知数列 n a的前n项和为 n S， 2 8a ，且满足 * 2(1) 2 n n na SnN n
24、. (1)求证数列 n a n 是等比数列，并求数列 n a的通项公式； (2)设 (21) n n na b n ，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】(1)证明见解析，2n n an；(2) n T 1 6(23) 2nn . 【解析】 【分析】 (1)利用 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn 化简已知条件，从而证得数列 n a n 是等比数列，先求得 n a n ，然后求得数列 n a的通项公式. (2)利用错位相减求和法求得 n T. 【详解】(1)由题得 1 1 2(1)2(2) 22 1 nn nnn nana SSa nn ，2n， 整理得 1 (2)2(2
25、) 1 nn nana nn ，2n. 因为 11 2Sa， 2 8a ， 所以当2n时， 21 2 21 aa ， 当2n时， 1 2 1 nn aa nn ， 所以当2n时，有 1 2 1 nn aa nn ， 因此 n a n 是以 2 为首项，2为公比等比数列. 所以 1 2 22 nn n a n ， 所以2n n an. (2)由(1)知(21) 2n n bn， 则 23 1 23 25 2(21) 2n n Tn ， 2，得 231 21 23 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn ， -，得 231 22 22221 2 nn n Tn 1 1 4 1 2 22(21
26、) 2 1 2 n n n 21 282(21) 2 nn n 1 6(23) 2nn . 【点睛】本小题主要考查已知 n S求 n a，考查错位相减求和法，属于中档题. 19. 如图， E 是以 AB为直径的半圆 O上异于 A、 B的点， 矩形 ABCD所在的平面垂直于半圆 O所在的平面， 且 AB=2AD=2. (1)求证：EAEC； (2)若异面直线 AE 和 DC所成的角为 6 ，求平面 DCE与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 21 7 . 【解析】 【分析】 (1) 由面面垂直的性质可证得BCEA.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证； (2
27、)以点O为坐标原点，AB所在的直线为 y轴，过点O与BC平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.由二面角的向量求解方法可求得平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦值. 【详解】(1) 平面ABCD垂直于圆O所在的平面， 两平面的交线为,AB BC 平面,ABCD BCAB， BC垂直于圆O所在平面.又EA在圆O所在的平面内， BCEA.AEB是直角，BEEA， 又BCBEE，EA 平面EBC， EAEC. (2)如图， 以点O为坐标原点，AB所在的直线为y轴， 过点O与BC平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 由异面直线AE和DC所成的角为 6 ，/AB DC，
28、知 6 BAE ， 3 BOE ， 3 1 ,0 22 E ，由题设可知 0, 1,1D，0,1,1C， 3 3 , 1 22 DE ， 31 , 1 22 CE . 设平面DCE的一个法向量为 000 ,px y z， 由 0 0 DE p CE p ，即 000 000 33 0 22 31 0 22 xyz xyz 得 00 3 2 zx， 0 0y ，取 0 2x ，得 0 3z. 2,0, 3p .又平面AEB的一个法向量为0,0,1q ， 2 2 321 , |7 23 p q cosp q p q . 平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值 21 7 . 【点睛】本题考查空
29、间中线线垂直的证明和二面角的求解方法，属于中档题. 20. 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10 分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10分如果一位挑战者回答前两个 问题正确的概率都是 2 3 ，回答第三个问题正确的概率为 1 2 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响若这 位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功 (1)求至少回答对一个问题的概率 (2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列 (3)求这位挑战者闯关成功的概率 【答案】() 17 18 ；()见解析；() 13 18 . 【解析】
30、试题分析： ()由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为 17 18 . ()这位挑战者回答这三个问题总得分X的所有可能取值为 10,0,10,20,30,40.计算各个分值相应的 概率值即可求得总得分 X的分布列； ()结合()中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为 13 18 . 试题解析： ()设至少回答对一个问题为事件A,则 11117 1 33218 P A . ()这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为 10,0,10,20,30,40. 根据题意, 1111 10 33218 P X , 2112 02 3329 P X , 2212 10
31、 3329 P X , 1111 20 33218 P X , 2112 302 3329 P X , 2212 40 3329 P X . 随机变量X的分布列是: ()设这位挑战者闯关成功为事件B,则 212213 9189918 P B . 21. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，短轴长为2 3，A，B在椭圆C 上，且 22 0AFBF. 1 ABF的周长为 8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C上的动点M作C的切线l，过原点O作OPl于点P，求OMP的面积的最大值. 【答案】(1) 22 1 43 xy ；(2) 1 4
32、. 【解析】 【分析】 (1)根据 22 0AFBF判断出ABx轴， 结合 1 ABF的周长求得a， 根据短轴求得b， 由此求得椭圆C的 标准方程. (2)联立直线l的方程和椭圆C的方程，根据0 求得, t k的关系式，求得OP、MP，进而求得OMP 的面积的表达式，结合基本定理求得面积的最大值. 【详解】(1)由 22 0AFBF，可知A，B， 2 F三点共线，且ABx轴， 由 1 ABF的周长为 8，得48a ，所以2a，且 3b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy . (2)显然直线l斜率存在且不为 0，设直线l：ykxt， 联立 22 3412 ykxt xy ， 得 2
33、22 3484120kxktxt ， 且 2 222 644 344120k tkt ， 得 22 43tk， 所以 2 84 2 34 M ktk x tk . 联立 1 yx k ykxt ，得 2 1 P kt x k ， 22 1 11 P ktt y kkk . 所以 2 22 22 22 22 11 PP k tt OPxy kk 2 2 2 2 2 1 11 tt k kk ， 32 22 2 2 444 11 11 kktkkkt kk tkt k MP 2 1 k tk ， 所以 22 11 22 11 OMP kt SMP OP tkk 2 1111 1 2124 k k
34、k k ， 当且仅当1k 时取等号. 所以OMP的面积的最大值为 1 4 . 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题. 22. 设函数 2 4 x x f xex. (1)证明：函数 f x在区间0,内单调递增； (2)当0 x时， f xa恒成立，求整数a的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)2 【解析】 【分析】 (1)利用导数证明函数的单调性即可. (2)首先利用导数求出函数 f x在,0的最大值，再根据 f xa恒成立，即可得到答案. 【详解】(1)因为 1 2 x x fxe， 记 h xfx，所以 1 2 x hxe. 当0,
35、x时， 0h x 恒成立， 所以 h x在区间0,内单调递增， 所以 00h xh，所以当0,x时， 0f x 恒成立， 所以函数 f x在区间0,内单调递增. (2)由(1)知 1 2 x hxe， 令 0h x ，解得ln2x ， 当, ln2x 时， 0h x ，即 h x单调递减； 当ln2,0 x 时， 0h x ，即 h x单调递增. 又10h ，20h ， 所以在区间2, 1内， h x存在唯一零点 0 x， 满足 0 0h x，即 0 0fx. 当 0 ,xx 时， 0f x ，即函数 f x在区间 0 ,x内单调递增； 当 0,0 xx时， 0fx ，即函数 f x在区间 0,0 x内单调递减， 所以当0 x时， 0 2 0 max00 ( ) 4 x x fexf xx. 由 0 0fx，可得 0 0 1 2 x x e， 所以 2 2 00 max0 15 ( )11 4244 xx f xx ， 由 0 2, 1x ，可得 max 5 ( )1, 4 f x ， 因为 f xa恒成立，且aZ， 所以整数a的最小值为2. 【点睛】本题第一问考查利用导数证明函数的单调性，第二考查利用导数解决恒成立问题，同时考查学生 分析问题的能力，属于中档题.