1、清远市清远市 2021 届高三级摸底考试届高三级摸底考试 数数 学学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的一项是正确的. 1. 已知集合 2Mx x ， 2 380Nxxx ，则 R C MN ( ) A. 8 2 3 xx B. 2x x C. 8 0 3 xx D. 02xx 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 N 中不等式的解集确定出集合 N，再求 R C M，从而利用交集定义的运算即可 【详解】在集合 N 中，由 2 380 xx，解得
2、8 0 3 x， 8 0 3 Nxx ， 2Mx x ，2 R C Mx x ，02 R C MNxx . 故选：D 2. 已知复数 1 1zi ， 12 1 2zzi ，则 2 z ( ) A. 1i B. i C. 1 2i D. 31 22 i 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数除法法则计算 2 z 【详解】因为 1 1zi ， 12 1 2zzi ，所以 2 12(12 )(1)31 1222 iii zi i ， 故选：D. 3. 若 3 sin 5 ，是第三象限角，则 1tan 2 1tan 2 ( ) A. 2 B. 2 C. 8 3 D. 8 3 【答案】A 【解析】 【
3、分析】 由同角三角函数的基本关系可求得cos的值， 再利用弦化切以及二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代数 式的值. 【详解】 3 sin 5 ，是第三象限角， 2 4 cos1 sin 5 ， 因此， 2 sin 2 1 cossin 1tancoscossin 22 2222 1tansincossincossincossin 22222222 1 cos 2 22 3 11 2sincos 1 sin 522 2 4 cos cossin 225 ， 故选：A. 【点睛】方法点睛：三角函数的化简求值的规律总结： (1)给角求值：一般给出的角是非特殊角，需观察所给角与特殊角的关系，利用三角变
4、换转化为特殊角的三 角函数问题； (2)给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关 角相同或具有某种关系； (3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的取值范围). 4. 已知命题 p：， 为任意角，若sinsin，则；命题q：函数( )sinf xx是周期函数， 下列命题为真命题的是( ) A. pq B. pq C. pq D. pq 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断命题 p和 q 的真假，然后根据真值表进行判断即可. 【详解】由题意知p为假命题，q为真命题，所以 pq 为真命题. 故选：C.
5、5. 某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是 bt Nae，其中a，b都是正常数，则该种放射性元 素的原子数由a个减少到 2 a 个时所经历的时间为 1 t， 由 2 a 个减少到 4 a 个时所经历的时间为 2 t， 则 1 2 t t ( ) A. 2 B. 1 C. ln2 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】 由 bt Nae，利用0t 求出Na，再分别求出 2 a N 时的 1 t和 4 a N 时的 2 t，从而求出 1 2 t t 的值 【详解】当0t 时Na，若 2 a N ，则 1 2 bt e，所以 1 lnln2 2 bt ，所以 ln2 t b ， 若 4 a
6、 N ，则 1 4 bt e，所以 1 ln2ln2 4 bt ， 2ln2 t b ， 所以 1 ln2 t b ， 2 2ln2ln2ln2 t bbb ， 1 2 1 t t ， 故选：B 6. 菱形ABCD中， 3 BAD ，E为CD的中点，2BD ，则AE AB 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的加法以及向量数量积的定义即可求解. 【详解】菱形ABCD中， 3 BAD ，2BD ，则2ABAD， 所以 1 2 AE ABADDEABADABAB 211 cos44 22 AD ABABAD ABBAD. 故选：C 【点睛】
7、本题考查了向量的加法运算、向量数量积的定义，属于基础题. 7. 已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 60A，2b，则 22222 4sin4 ssinsniisinnAB cABC ，则a( ) A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意， 利用正弦定理化简得 22222 4abcbca ， 由2b， 得 22222 4ab c bbbca ， 且60A，再利用余弦定理化简得 22 4 2 ab ，解得a即可. 【 详 解 】 再ABC中 ， 22222 s i ns i n4 s i ns i ns i nABcBCA ， 正 弦 定
8、理 化 简 得 22222 4abcbca ， 2bQ，60A， 22222 1 442cos42 2 abcbb bcabbcAbbc，则 22 4 2 ab ，解 得2a. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由 22222 4abcbca ，且2b，等式两边同乘b，得 22222 4abcbb bca ，再利用余弦定理化简. 8. 已知定义在R上的函数 ( )f x满足 1fx ，则不等式211fxxf x 的解集为( ) A. , 1 B. 1, C. ,1 D. 1, 【答案】C 【解析】 【分析】 构 造 函 数( )( )g xf xx， 利 用 0g x 判 断 出 g x在R上
9、递 增 ， 由 此 化 简 不 等 式 211fxxf x 并求得不等式的解集. 【详解】令( )( )g xf xx，有 10g xfx ，得函数( )g x在R上单调递增，又由不等式 211fxxf x 可化为 2211fxxf xx，有21gxg x， 21xx，1x . 故选：B 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合要求，全部选对的得项符合要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9
10、. 如图是函数 ( )yf x 的导函数的图象，下列结论中正确的是( ) A. ( )f x在2, 1 上是增函数 B. 当3x 时， ( )f x取得最小值 C. 当1x时， ( )f x取得极小值 D. ( )f x在1,2上是增函数，在2,4上是减函数 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项. 【详解】 根据图象知当2, 1x ，2,4x时，( )0fx ， 函数单调递减； 当1,2x ，4,x 时，( )0fx ，函数单调递增.故 A错误，D正确；当1x时， ( )f x取得极小值，C正确；当 3x 时， ( )f x不是取
11、得最小值，B错误. 故选：CD 10. 若“ma”是“函数 11 ( ) 23 x f xm 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a的取值可 以是( ) A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由“函数 11 ( ) 23 x f xm 的图象不过第三象限”可得 2 3 m ， 所以可得出则“ma”是“ 2 3 m ”的必 要不充分条件，进而求出 a 的范围，最后结合选项选出满足题意的答案. 【详解】 2 0 3 fm，函数( )yf x的图象不经过第三象限， 2 0 3 m，即 2 3 m ，则“ma”是“ 2 3 m ”的必要不充分条件， 2 3
12、a ，故a可取1，2，3. 故选：BCD. 【点睛】 方法点睛： 判断充要条件应注意： 首先弄清条件 p 和结论 q分别是什么， 然后直接依据定义、 定理、 性质尝试p q ，q p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题， 除借助集合思想化抽象为直观外， 还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 11. 已知函数( ) 4sin 21 4 f xx ，则下列结论正确的是( ) A. ( )f x的最小正周期为 B. 函数 ( )f x在 3 , 88 上单调递增 C. 将函数 ( )f x图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 6 个单位后关于y轴对称
13、D. 函数 ( )f x在, 4 8 上的最小值为 2 2 1 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用三角函数的最小正周期公式、单调性的求法、三角函数图象变换以及三角函数最值的求法分析选项， 由此确定正确选项. 【详解】 2 2 T ，故最小正周期为，A正确； 当 3 , 88 x 时，2, 42 2 x ，而当, 2 2 x 时， sinyx 单调递增，故 B 正确； 将函数 ( )f x图象的横坐标缩短为原来的一半，得到4sin 41 4 yx ，再向左平移 6 个单位，得到 5 4sin 414sin 41 6412 yxx ，不关于y轴对称，故 C 错误； 当, 4 8 x 时， 3
14、2,0 44 x ，故( )5, 1f x ，故 D 错误. 故选：AB 12. 已知首项为 1的数列 n a的前n项和为 n S，当n为偶数时， 1 1 nn aa ；当n为奇数且1n 时， 1 21 nn aa .若4000 m S ，则m的值可以是( ) A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列 21 3 k a 是等比数列，由此可求得奇数项的表达 式(也即得到偶数项的表达式)， 对 2k S可先求得其奇数项的和， 再得偶数项的和， 从而得 2k S， 计算出与4000 接近的和， 18 404
15、3S， 17 3021S，从而可得结论 【详解】依题意， 221 1 kk aa ， 212 21 kk aa ， * kN，所以 221 1 kk aa ， 2122121 212(1) 123 kkkk aaaa , 2121 323 kk aa . 又 1 34a ，故数列 21 3 k a 是以 4为首项，2为公比的等比数列，所以 1 21 4 23 k k a ， 故S奇 2 132 1 1 4 1 2 3 2 (44 24 2)4332 1 k k k k kaaakk ， S偶 2123241 2 ()242 k kk aaakkaaa ，故 2k SS 奇S偶 3 285 k
16、k ， 故 12 18 28454043S ， 17 3021S，故使得4000 m S 的最小整数m的值为 18. 故选：BCD. 【点睛】 关键点点睛： 本题考查数列的和的问题， 解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质， 求出奇数项的表达式(也可求出偶数项的表达式)， 而求和时， 先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各： 先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和 n S接近 4000 时的项数 n，从而得出结论 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 若a，b满足 40ab，
17、 1 cos, 3 a b ， 234aab，则b _. 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 利用向量的数量积运算即可. 详解】解：23aab 2 23aab 2 23cos,aa ba b 2 1 243 4 3 bb b 2 36 b， 2 364b， 解得： 1 3 b . 故答案为： 1 3 . 14. 若数列 n a满足 1 1a ， 1 1 62n nn aa ，则数列 n a的通项公式 n a _. 【答案】 11 2 62 nn 【解析】 【分析】 由 1 1 62n nn aa ， 可得 1 1 13 22 nn nn aa ， 设 2 n n n a b ， 即 1 11
18、 3 22 nn bb ， 先求出的 n b通项公式， 进而得到答案. 【详解】由 1 1 62n nn aa ，可得 1 1 13 22 nn nn aa ，设 2 n n n a b 则 1 31 nn bb ，则 1 11 3 22 nn bb 所以 1 2 n b 是以 1 为首项，3为公比的等比数列. 则 1 1 3 2 n n b ，则 1 1 3 2 n n b ，所以 11 2 62 nn n a 故答案为： 11 2 62 nn 【点睛】关键点睛：本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，解答本题的关键是由条件先得到 1 1 13 22 nn nn aa ，设 2 n n
19、n a b ，从而得到 1 11 3 22 nn bb ，先求出 n b的通项公式，属于中档题. 15. 已知函数 f x是定义在R上的偶函数，且 4f xfx；当0,1x时， 21 x f x ，则 1 2 log 21f 的值为_. 【答案】 5 16 【解析】 【分析】 本题首先可根据 4f xfx以及偶函数性质得出函数 f x是周期为4的周期函数，然后根据 1 2 5log 214 得出 2 21 0log1 16 ，最后将 1 2 log 21f 转化为 2 21 log 16 f ，结合当 0,1x 时 21 x f x 即可得出结果. 【详解】因为 4f xfx，函数 f x是定
20、义在R上的偶函数， 所以 44f xfxf x，函数 f x是周期为4的周期函数， 因为 1 2 5log 214 ，所以 1 2 14log 210 ， 即 1 2 21 1log0 16 ， 2 21 0log1 16 ， 则 1112 222 2121 log 214log 21loglog 1616 ffff 2 21 log 16 2 21215 log211 161616 f ， 故答案为： 5 16 . 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性和周期性求解，解题的关键是判断出函数的周期为 4，利 用周期性和奇函数的性质得出 12 2 21 log 21log 16 ff ，再
21、代入解析式求解. 16. 函数 2 (1) ,0 ( ) e ,0 x xx f x x ，若存在 a，b，c(abc)，使得( )( )( )f af bf c，则 (1)bc ab 的最 小值是_. 【答案】 1 e . 【解析】 【分析】 先画出函数 f x的图象， 利用数形结合得出 a， b， c的范围以及2ab ， 再设 f af bf ct， 解出 b，c，代入所求的函数关系式中，再换元得到一个新函数，利用函数的单调性研究函数的最小值即可. 【详解】设 f af bf ct，则21a ，10b ，0c ，且2ab ， 由 2 1f bbt，得 1bt ，由 c f cet ，得ln
22、ct， 所以 (1)1 ln 2 bc tt ab ， 设mt，则01m， 1 lnln 2 ttmm， 设 lng mmm，则 1 lng mm ， 所以 g m在 1 0, e 单调递减，在 1 ,1 e 单调递增， 所以 11 g mg ee ，故 (1)bc ab 最小值是 1 e . 故答案为： 1 e . 【点睛】关键点睛：本题考查分段函数的图象和利用导数研究函数的最值，解题关键是令mt，从而有 1 lnln 2 ttmm，再设 lng mmm，正确构造函数，从而利用导数求得函数的最值，属于难题. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 题，共题，共 70 分分.解答应写出文
23、字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 34 n Snn. (1)求数列 n a的通项公式； (2)若2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】(1)67 n an；(2) 1 (613) 226 n n Tn . 【解析】 【分析】 (1)利用 1nnn aSS 即可求出； (2)利用错位相减法可求出. 【详解】(1)当1n 时， 11 1aS ； 当2n时， 22 1 343(1)4(1)67 nnn aSSnnnnn ，满足 1 1a . 67 n an. (2)依题意，(67) 2n
24、n bn， 故 123 1 25 211 2(67) 2n n Tn ， 2341 21 25 211 2(67) 2n n Tn ， 两式相减可得， 1231 6 26 26 26 2(67) 214 nn n Tn 11 121 2 67214136226 1 2 n nn nn ， 1 (613) 226 n n Tn . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： (1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； (2)对于 n n a b结构，其中 n a是等差数列， n b是等比数列，用错位相减法求和； (3)对于+ nn ab结构，利用分组求和法； (4)对于 1 1 nn a a 结
25、构，其中 n a是等差数列，公差为d，则 11 1111 nnnn a adaa ，利用裂项相消法求 和. 18. 已知 1 2 ( ) 22 x x b f x 是定义在R上的奇函数. (1)求b的值； (2)若 2 110fafa，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1b；(2)2a或1a . 【解析】 【分析】 (1)由( )fxf x列方程，化简求得b的值. (2)首先判断 f x在R上递增， 然后结合 f x为奇函数化简不等式 2 110fafa， 由此求得a 的取值范围. 【详解】(1) ( )f x为奇函数， ( )fxf x对xR恒成立. 11 22 2222 xx xx bb
26、 对一切xR恒成立. 1 1 22 2 22222 xx x x xx b b ， 11 212 2222 xx xx bb ， 212 xx bb ，1 210 x bb ，1210 x b 对一切xR恒成立. 1b. (2)由(1)知：1b， 1 1 211 ( ) 22221 x xx f x . 任取 12 xxR、，且 12 xx ， 则 12 12 1111 221221 xx f xf x 12 12 22 1212 xx xx ， 12 xx ， 12 022 xx ， 12 0f xf x， 12 f xf x. ( )f x在R上单调递增. 由 ( )f x为奇函数，及 2
27、 (1)10fafa 得： 22 (1)11fafaf a ， 2 11aa， 2 20aa， 2a或1a ， 故a的取值范围为2a或1a . 【点睛】用定义法判断函数 f x的单调性，主要是判断 12 f xf x的符号. 19. 已知平面内三个向量：1,2a r ，3,1b r ，4,3c . (1)若c manb ，求m，n的值； (2)若1d ，且0dab，求d； (3)若/ /dcba，且2 5dc，求d. 【答案】(1) 13 5 11 5 m n ；(2) 34 , 55 d 或 3 4 , 5 5 ；(3)0,1d 或8,5d 【解析】 【分析】 (1)根据向量相等列方程组，解
28、方程组求得 ,m n. (2)根据垂直设出d，结合1d 列方程，解方程求得d. (3)根据已知得到2 ,dc，结合2 5dc列方程，解方程求得d. 【详解】(1)由题意可得 4,3,23 ,3 ,2mmn nmnmn， 所以 43 32 mn mn ，解得： 13 5 11 5 m n . (2)4,3ab， d与a b 垂直，可设3, 43 , 4d， 22 341d ， 1 5 ， 34 , 55 d 或 3 4 , 5 5 . (3)2, 1ba， dc / ba，2, 12 ,dcba. 22 22 5dc ， 2 52 5 ，解得2. 2 2, 10,1dc或2 2, 18,5dc
29、. 20. 已知函数 2sin0,0, 2 f xxA 的图象过点0, 1B，又 ( )f x的图象向左平移 个单位之后与原图象重合，且在 3 , 34 上单调. (1)求 ( )f x的解析式； (2)当 12 2 , 33 x x 且 12 xx时，若有 12 f xf x，求 12 f xx. 【答案】(1)( )2sin 2 6 f xx ；(2)1. 【解析】 【分析】 (1)由图象过点0, 1B结合 2 可以求的值，又 2 nTn ，可得2n， * nN，因为原函 数在 3 , 34 上单调，所以 3112 4322 T 即可求出的值，进而可得( )f x的解析式； (2)由(1)
30、知( )2sin 2 6 f xx ，当 12 xx时，有 12 f xf x，则 1 x与 2 x关于对称轴对称，求出区 间 2 , 33 内的对称轴，即可求出 12 xx的值，即可求解. 【详解】由题意知： 02sin1f，所以 1 sin 2 ， 因为 2 ，所以 6 ， 因为 ( )f x的图象向左平移个单位之后与原图象重合， 所以 2 nTn 解得：2n， * nN， 又因为原函数在 3 , 34 上单调， 所以 3112 4322 T ， 可得 12 0 5 ， 所以1n 时，2， 可得( )2sin 2 6 f xx . (2)由(1)知( )2sin 2 6 f xx ， 令2
31、 62 xk ，可得对称轴为 1 () 23 xkkZ ， 当1k 时， 2 , 23633 x ， 12 2 63 xx ， 12 2 2sin 336 f xxf 5 2sin1 6 . 【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是根据题意可知是周期的整数倍，且区间 3 , 34 的长不超过半 个周期，即可求的值，第二问的关键点是利用 12 xx时，有 12 f xf x，可得 1 x与 2 x关于对称轴 对称，求出区间 2 , 33 内的对称轴，即可求出 12 xx的值，代入解析式即可. 21. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 sinsin sinsin BCa ACbc
32、 . (1)求tanB； (2)若ABC是锐角三角形，且ABC的面积为2 3，求边c的取值范围. 【答案】(1) 3；(2)24c . 【解析】 【分析】 (1)根据 sinsin sinsin BCa ACbc ，利用正弦定理化简得 222 acbac，然后在ABC中，由余弦定理求 解. (2)根据ABC是锐角三角形，求得 62 A ，然后由ABC的面积为2 3求得8ac ，则 2 4sinsin8acRAC，然后由 222 4sincRC 4 3 4 tan A ，利用正切函数的性质求解. 【详解】(1)因为 sinsin sinsin BCa ACbc ， 所以 bca acbc ，即
33、222 acbac， 在ABC中，由余弦定理得 222 1 cos 222 acbac B acac ， 又0B， 所以 3 B ， 所以tan 3B . (2)因为ABC是锐角三角形，所以 0 2 0 2 2 0 32 A B CA ， 所以 62 A . 因为 113 sinsin2 3 2234 ABC SacBacac ， 所以8ac . 设ABC的外接圆半径为R， 则 2 4sinsin8acRAC， 所以 2 8 4 sinsin R AC ， 所以 2 222 sin sinsin3 4sin888 sinsinsinsin A CC cRC ACAA ， 31 cossin 2
34、2 8 sin AA A ， 4 3 4 tan A . 因为 62 A ， 所以 3 tan 3 A， 所以 1 03 tan A ， 所以 4 3 4416 tan A ， 所以 2 416c ， 所以24c. 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要 用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定 理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考 虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制 22. 已知函数( )
35、2lnf xxa x a. (1)讨论 ( )f x的单调性； (2)若 1212 ,x xxx是 2 ( )( )g xf xxax的两个极值点，证明： 21 g xx. 【答案】(1)当0a时， ( )f x在 0,上为单调递增函数；当0a 时，若 ( )f x在 2 0, a 上为单调递 增函数，在 2 , a 上为单调递减函数；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1) ( )f x的定义域为 0,， 求导( ) 2 fx ax x ， 分类讨论0a和0a 两种情况， 研究( ) fx的正负， 从而求得函数的单调区间； (2)由题得 2 ( )2ln()g xxxa，则 2 21
36、( ) xax g x x ，由 1212 ,x x xx是 2 ( )( )g xf xxax 的两个极值点，可知 12 0 xx，所以 12 01xx ，要证 21 g xx，需证 2 22 12 1 2ln1 g x xx xx ， 构造函数 1 ( )2 ln(1)h xxxx x ，即证 1h x ，从而证得 21 g xx. 【详解】(1)易知 ( )f x的定义域为 0,， 22 ( ) ax a xx fx . 当0a时，( )0fx ，所以 ( )f x在 0,上为单调递增函数； 当0a 时，若 2 0,x a ，则( )0fx ，若 2 ,x a ，则( )0fx ， 所以
37、 ( )f x在 2 0, a 上为单调递增函数，在 2 , a 上为单调递减函数. (2)证明： 22 ( )( )2ln()g xf xxaxxxa，则 2 21 2 ( )2() xax g xxa xx . 由题意可知， 1 x， 2 x是方程 2 10 xax 的两根，所以1 2 xxa ， 12 1x x， 由 12 0 xx，所以 12 01xx ， 212 2 1 axxx x ， 要证 21 g xx，需证 2 1 1 g x x . 2 2 22222222 12 1 2ln2ln g x x g xxxxxaxx xx ， 令 1 ( )2 ln(1)h xxxx x ，则 2 1 ( )2ln20h xx x ， 所以( )h x在1,上单调递增，所以 11h xh. 所以 2 1 1 g x x ，故 21 g xx. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间，及证明不等式，证明不等式恒成立问题常见方 法： 分离参数 af x恒成立( maxaf x即可)或 af x恒成立( minaf x即可)； 数形结合( yf x 图像在 yg x 上方即可)； 讨论最值 min0f x或 max0f x恒成立.