1、2021 届高三月考届高三月考数学数学试卷试卷( (三三) ) 一、选择题一、选择题( (本题共本题共 8 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 40 分分) ) 1. 设集合1,2,3,4A, ,4Ba且1,2,3,4AB ,则实数a的可能取值组成的集合是( ) A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 1,3,4 D. 1,2,4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件4a,分别令12,3,a 代入进行检验,可得出答案. 【详解】显然4a,当1a 时,1,4B ,满足1,2,3,4AB 当2a时,2,4B ,满足1,2,3,4AB 当3a 时,3,4B ,满足1,2,3,4AB 所以a
2、的值可以为 1,2,3. 故选:A 【点睛】关键点点睛:该题考查根据两集合的并集求参数,考查集合的并集运算,解决该题的关键是注意 集合中元素的互异性,属于基础题目. 2. 已知3 1 2aiibi(, a bR,i为虚数单位),则实数 a b的值为( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算及复数相等求得 a,b 值即可求解 【详解】3 12aiibi,故3 32aibi 则32,38abab 故选:D 3. 在平面直角坐标系xOy中,角的顶点在坐标原点O,以x轴的正半轴为始边,其终边与单位圆交点为 P,P的坐标是,P x y,若 3 5
3、x ,则cos2( ) A. 16 25 B. 16 25 C. 7 25 D. 7 25 【答案】D 【解析】 【分析】 由三角函数的定义,求得 3 cos 5 ,再结合余弦的倍角公式,即可求解. 【详解】由角的顶点在坐标原点O,以x轴的正半轴为始边,其终边与单位圆交点为P, 因为 3 5 x ,由三角函数的定义,可得 3 cos 5 , 所以 22 37 cos22cos12 ()1 525 . 故选:D. 4. 在 5 2 2 1 ax x 的展开式中,若含 2 x项的系数为40,则正实数a( ) A. 1 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 分析】 写出 5 2 2
4、 1 ax x 的展开式的通项,然后可建立方程求解. 【详解】 5 2 2 1 ax x 的展开式的通项为 5 2510 4 155 2 1 1 r r r rrrr r TCaxC ax x 令1042r ,则3r ,所以 3 35 3 5 140C a ,解得2a或2a (舍) 故选:B 5. 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式: 2 log1 S CW N .它表示:在受噪声干挠的信道中,最 大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小, 其中 S N 叫做信噪比.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比 S N 从 1000提升至 2
5、000,则C大约增加 了( ) A. 10% B. 30% C. 50% D. 100% 【答案】A 【解析】 【分析】 根 据 香 农 公 式 , 分 别 写 出 信 噪 比 为 1000 和 2000 时 的 传 递 速 率 为 2 log (1 1000)CW和 2 log (1 2000)CW,两者相比,再根据对数运算即可估计得答案. 【详解】当1000 S N 时, 2 log (1 1000)CW 当2000 S N 时, 2 log (1 2000)CW 则 2222 222 log (12000)log (1 1000)log 20011 log 10001 11lg2 log
6、 (1 1000)log 1001log 10003 WW W 又 11 34 11 lg10lg2lg10 43 ,根据选项分析, 1 lg20.1 3 所以信噪比 S N 从 1000 提升至 2000,则C大约增加了 10%. 故选:A. 【点睛】本题考查知识的迁移应用,考查对数的运算,是中档题. 6. 若平面向量a,b满足 2aba b,则对于任意实数,1ab的最小值是( ) A. 3 B. 3 2 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 设 向 量, a b夹 角 为, 设()ab与(1)ab的 夹 角 为 , 利 用 1 cos 2 ab a b 和 ()(1)46ab
7、aba b ,得到(1) cos6abab,进而得到1ab的 最小值 【详解】由题意得,设向量, a b夹角为,则 1 cos 2 ab a b , ()(1)46ababa b ,设()ab与(1)ab的夹角为, (1) cos6abab , 2 22 212ababab , (1) cos3ab ,0, 2 ,(1)3ab 故选:A 【点睛】关键点睛:解题关键在于利用 1 cos 2 ab a b , 得到()(1)46ababa b ,关键点在于根据()ab与(1)ab的夹角,得出 1ab的最小值,难度属于中档题 7. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度,通常采用人工攀登
8、的方式进行,测量人员从 山脚开始,直到到达山顶分段测量,最后将所有的高度差累加,得到珠峰的高度,在测量过程中,已知竖 立在B点处的测量觇标高10米,攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70,80,则 A、B的高度差约为( ) (参考数据:sin100.1736,sin700.9397,sin800.9848) A. 10米 B. 9.66米 C. 9.40米 D. 8.66米 【答案】C 【解析】 【分析】 在ABC中,由条件可得10ABBC,再在Rt ADB中,由sinBDABBAD可得解. 【详解】 如图所示,在ABC中,由正弦定理可得 sinsin BCAB BACACB
9、, 由10BACDACBAD ,9010ACDCAD, 所以10ABBC, 在Rt ADB中,sin10sin709.40BDABBAD. 故选:C. 8. 如图,过抛物线 2 4yx的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点, 点M是线段AB的中点,过M作y 轴的垂线交抛物线于P点,记ABFP,则的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 设 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy, 直线l:1xty, 联立抛物线可得 12 4y y , 再由中点坐标可得 12 2 P yy y , 从而可得 P x,利用焦半径公式表示AB和FP即可得解. 【详
10、解】设 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy,直线l:1xty(斜率显然不为 0). 2 1 4 xty yx ,得 2 440yty,0 显然成立, 12 4y y , 点M是线段AB的中点,所以 12 2 M yy y ,所以 12 2 P yy y , 所以 222222 12121212 ()28 4161616 P P yyyyyy yyy x , 2222 1212 88 11 1616 P yyyy FPx , 2222 1212 1212 8 |1122 444 yyyy ABAFBFxxxx , 所以 22 12 22 12 8 4 4 8 16 yy AB yy
11、FP . 故选:B. 【点睛】方法点睛:(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与 系数的关系; (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式 12 |ABxxp,若不过焦点,则必须用一般弦长公式 二、多项选择题二、多项选择题( (本题共本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分) ) 9. 针对当下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查,其中被调查的男 女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4 5 ,女生喜欢抖音的人数占女生人数的 3 5 ,若有
12、95%的 把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则调查人数中男生可能有( ) 附表: 2 0 P Kk 0.050 0.010 0 k 3.841 6.635 附: 2 2 n adbc K abcdacbd A. 25 B. 45 C. 60 D. 40 【答案】BC 【解析】 【分析】 设男生的人数为5n nN ,列出22列联表,计算出 2 K 的观测值,结合题中条件可得出关于n的不等 式,解出n的取值范围,即可得出男生人数的可能值. 【详解】设男生的人数为5n nN ,根据题意列出22列联表如下表所示: 男生 女生 合计 喜欢抖音 4n 3n 7n 不喜欢抖音 n 2n 3n 合计 5n 5n
13、 10n 则 2 2 1042310 557321 nnnn nn K nnnn , 由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则 2 3.8416.632K, 即 10 3.8416.632 21 n ,得8.066113.9272n, nN ,则n的可能取值有9、10、11、12, 因此,调查人数中男生人数的可能值为45或60. 故选:BC. 【点睛】关键点睛:解题关键在于,利用独立性检验求出人数的可能取值,在解题时,关键是要列举出22 列联表,并结合临界值表列不等式求解,主要考查学生的计算能力,属于中等题. 10. 已知1a ,01cb ,下列不等式成立的是( ) A. bc aa
14、B. cca bba C. loglog bc aa D. bc baca 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用指数函数 x ya的单调性可判断 A 选项;利用作差法可判断 B、D 选项;利用换底公式以及不等式的 性质可判断 C 选项. 【详解】由1a ,则函数 x ya为R上的增函数,01cbQ,可得 bc aa ,故 A正确; 由1a ,01cb , 0 c bab caa cbcca bbab bab ba ,则 cca bba ,B错误; 由1a ,01cb , 1 log log b a a b , 1 log log c a a c ,则loglog0 aa cb, 11 0
15、loglog aa bc ,可得loglog bc aa,故 C 正确; 由1a ,01cb , 0 b cac baa bcbc bacabacabaca , 则 bc baca ,故 D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查代数式的大小比较,考查了作差法、函数单调性以及对数函数单调性的应用,属于基础 题. 11. 已知函数 sinf xAx, 0,0,0A的部分图象如图所示,其中图象最高点和 最低点的横坐标分别为 12 和 7 12 ,图象在y轴上的截距为3,给出下列四个结论,其中正确的结论是 ( ) A. f x的最小正周期为 B. f x的最大值为2 C. 1 4 f D. 3 f
16、x 为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由周期求出,由五点法作图求,根据特殊点的坐标求出A,可得函数的解析式( )2sin(2) 3 f xx . 通过分析得到ABC正确,()2sin2 3 f xx 为奇函数,所以D错误. 【详解】根据函数 ( )sin()(0f xAxA ,0,0 ) 的部分图象, 得 1 27 21212 , 2 再根据五点法作图可得2 122 , 3 根据函数的图象经过(0, 3),可得 sinsin3 3 AA , 2A, ( )2sin(2) 3 f xx 故,A ( )f x的最小正周期为,所以A正确; ,B( )f x的最大值为 2,所以B正确; ,
17、C由题得()2sin()1 423 f ,所以C正确; ,D()2sin2 3 f xx 为奇函数,所以D错误. 故选:ABC 【点睛】方法点睛:求三角函数的解析式一般有三种: (1)待定系数法:一般先设出三角函数的解析式sin()yAwxkf=+,再求待定系数, , ,A wkf,最值确定 函数的,A k,周期确定函数的w,非平衡位置的点确定函数的. (2)图像变换法:一般利用函数图像变换的知识,一步一步地变换得到新的函数的解析式. (3)代入法: 一般先在所求的函数的图像上任意取一点( , )P x y, 再求出点P的对称点( ( , ), ( , )Pf x yg x y , 再把点(
18、( , ), ( , )Pf x yg x y 的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待 定系数法.要根据已知灵活选择. 12. 已知球O是正三棱锥(底面为正三角形,点在底面的射影为底面中心)A BCD的外接球,3BC , 2 3AB ,点E在线段BD上,且6BDBE,过点E作球O的截面,则所得截面圆的面积可能是( ) A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】 依题意首先求出外接球半径,即可求出截面圆的面积最大值,设过E且垂直OE的截面圆的半径为r, 即可求出截面圆的面积最小值,从而得解; 【详解】 解: 如下图所示, 其中O是球心,
19、O 是等边三角形BCD的中心, 可得 3 3 3 O BO DBC, 22 3AOABOB , 设 球 的 半 径 为R, 在 三 角 形ODO中 , 由 222 OODOOD, 即 2 2 2 33RR,解得2R ,故最大的截面面积为 2 4R 在三角形BEO中, 11 62 BEBD, 6 EBO 由余弦定理得 117 323cos 4262 OE 在三角形OOE中, 22 11 2 OEOOO E,设过E且垂直OE的截面圆的半径为r, 222 115 4 44 rROE 故最小的截面面积为 2 5 4 r 所以过点E作球O的截面,所以截面圆面积的取值范围是 5 ,4 4 故选:BCD 【
20、点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接解题时要认真分析图形,明确切点和接点的 位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中 心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于 球的直径. 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13. 已知直线3yx与双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 有两个交点, 则双曲线C的离心率的取值范围 是_. 【答案】2, 【解析】 【分析】 若要直线3yx与双曲线 22 22 :10,0
21、xy Cab ab 有两个交点,则直线3yx的斜率要小于渐近 线 b yx a 的斜率,建立不等式,即可得解. 【详解】双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的渐近线方程为 b yx a , 若直线3yx与双曲线有两个交点, 则3 b a , 即 22 3ba,即 222 3caa, 所以 22 4ca, 2 4e ,即2e, 故答案为:2,. 14. 已知数列 n a的前n项和 1 2 n n na S,且 1 1a ,则数列 n a的通项公式为_. 【答案】 * n an nN 【解析】 【分析】 根据所给关系,当2n时, 1 1 1 22 n n nnn nana aSS
22、,即得递推关系 1 1 nn aa nn ,即可得解. 【详解】 1 2 n n na S 当2n时, 1 1 1 22 n n nnn nana aSS , 整理可得 1 (1)0 nn nana , 即 1 1 nn aa nn ,所以 n a n 为常数列, 故 1 1 1 n aa n ,所以 n an, 故答案为: * n an nN. 15. 如图,大摆锤是一种大型游乐设备,常见于各大游乐园,游客坐在圆形的座舱中,面向外,通常大摆锤 以压肩作为安全束缚,配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时,悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆 运动.2020年10月1日国庆节, 小明去某游乐园玩“
23、大摆锤”, 他坐在点 A处, “大摆锤”启动后, 主轴OB 在平面内绕点O左右摆动,平面与水平地面垂直,OB摆动的过程中,点A在平面内绕点B作圆周 运动,并且始终保持OB,B.已知6OBAB,在“大摆锤”启动后,直线OA与平面所成角 的正弦值的最大值为_. 【答案】 37 37 【解析】 【分析】 利用勾股定理和线面角的定义进行求解即可 【详解】设ABa=,6OBa, 22 37OAOBABa ,当AB时,直线OA与平面所成角最 大;此时直线OA与平面所成角的正弦值为 37 3737 a a 故答案为: 37 37 16. 设直线 1 l, 2 l分别是函数 lnf xx,1x 图象上点 1
24、P, 2 P处的切线, 1 l与 2 l垂直相交于点P, 且 1 l, 2 l分别与y轴相交于点A,B, PAB 的面积的取值范围是_. 【答案】0,1 【解析】 【分析】 因为 ln ,01 ln ln ,1 xx f xx x x , 可确定 12 ,P P分别在分段函数的两段上, 设 111 ,P x y, 222 ,P x y且 12 01xx ,通过导数可求得切线斜率;根据 12 ,l l相互垂直可得到 12 1x x;通过 12 ,l l的方程可求得,A B 两点坐标,从而得到2AB ;联立 12 ,l l求得P点横坐标,从而将 PAB面积表示为 1 1 2 1 PAB S x x
25、 ,根 据 1 0,1x 可求得 PAB面积的取值范围. 【详解】由题意可知, ln ,01 ln ln ,1 xx f xx x x ,且明显地, 12 ,P P分别在分段函数的两段上 设 111 ,P x y, 222 ,P x y且 12 01xx 1 , 01 1 ,1 x x fx x x 1 1 1 l k x , 2 2 1 l k x 12 12 11 1 ll kk xx ,即: 12 1x x 1 l方程为: 11 1 1 lnyxxx x ; 2 l方程为: 22 2 1 lnyxxx x 1 0,1 lnAx, 2 0,ln1Bx 1212 1lnln12ln2ABxx
26、x x 联立 12 ,l l可得P点横坐标为: 12 1212 22x x xxxx 1212 1 1 1222 1 2 PAB SAB xxxx x x 1 0,1x 且 1 yx x 在0,1上单调递减 1 1 1 112x x 01 PAB S ,即 PAB的面积的取值范围为: 0,1 本题正确结果:0,1 【点睛】关键点睛:解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率,通过垂直关系得到斜率间的关系,进 而能够进行化简消元,进而求解的问题;求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变 量的函数,从而利用变量的范围求得面积的取值范围;难度属于困难 四、解答题四、解答题( (本题共本
27、题共 6 小题,共小题,共 70分分) ) 17. 在1c,ABC的面积为 3 4 , 2bc , 4 A 这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中, 若问题中的三角形存在, 求sinC的值; 若问题中的三角形不存在, 说明理由.问题: 是否存在锐角ABC, 它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且3coscos2 sinaCcAbB, _.注:如果 选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 利用正弦定理、两角和的正弦公式,化简等式3coscos2 sinaCcAbB,求出B,然后针对给定的 条件利用正弦定理、面积公式选择条件进行求解即可. 【详解】
28、因为 sinsinsin abc ABC , 所以由3coscos2 sinaCcAbB, 可得 2 3 sincossincos2sinACCAB, 即 2 3sin2sinACB 所以 2 3sin2sinBB ,又sin0B 所以 3 sin 2 B ,因为ABC是锐角三角形, 所以0, 2 B ,得 3 B . 选择条件:因为 1133 sin 2224 ABC SacBa 所以1a 又因为1ac, 3 B , 所以ABC存在且为等边三角形, 所以 3 C , 所以 3 sin 2 C ., 选择条件:由正弦定理 sinsin bc BC 及 2bc 得 sin sin6 3 sin
29、42 c cB C bc . 选择条件:由 4 A 得 5 12 CAB , 所以得: 5123226 sinsinsinsincoscossin. 1264646422224 C . 18. 已知正项数列 n a的前n项和为 n S,且满足: 1 1a , 2 11nnn aSS . (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 1 21 21 3 n n n a nn a b aa ,求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】(1) n an;(2) 11 1 421 3 n n T n . 【解析】 【分析】 (1)根据 2 11nnn aSS 写出 2 1 2 nnn aSSn ,通过
30、作差以及化简说明 n a为等差数列,并求解出通 项公式; (2)将 n b的通项公式变形为 1 111 421 321 3 n nn b nn ,采用裂项相消法求解出 n T的结果. 【详解】(1)由 2 11nnn aSS 又有 2 1nnn aSS ,2n,两式相减得 22 11 2 nnnn aaaan 因为0 n a ,所以 1 12 nn aan 又 1 1a , 2 2121 aaaa,解得 2 2a ,满足 1 1 nn aa 因此数列 n a是等差数列,首项 1 a为1,公差d为1 所以 1 1 n aandn (2) 11 21 213 n n n b nn 1 131111
31、1 4 212134213213 nnn nnnn 所以 12 01121 111111111 . 4 1 33 34 3 35 3421 321 3 nn nn Tbbb nn 11 1 421 3nn . 【点睛】结论点睛:常见的数列中可进行裂项相消的形式: (1) 111 11n nnn ; (2) 2 1111 412 2121nnn ; (3) 1 1 1 nn nn ; (4) 1 1 211 212121 21 n nn nn . 19. 在如图所示的圆柱 12 OO中,AB 为圆 1 O的直径,,C D是AB的两个三等分点,EA,FC,GB 都是圆柱 12 OO的母线 (1)求
32、证: 1/ / FO平面 ADE; (2)设 BC=1,已知直线 AF 与平面 ACB 所成的角为 30 ,求二面角 AFBC的余弦值 【答案】(1)见解析(2) 7 7 . 【解析】 【分析】 (1)由/FCEA,另易证得 1 / /OCAD,即可证得面/ /EAD面 1 FCO,由面面平行,从而证得线面平行, 即 1 / /O F面EAD. (2)连接AC,易证AC 面FBC,可过C作CHBF交BF于H,连接AH,则AHC即为二面角 AFBC 的平面角,求出其余弦值即得. 【详解】解:(1)连接 11 ,OC OD,因为 C,D 是半圆AB的两个三等分点, 所以 111 60AO DDOC
33、CO B , 又 1111 O AOBOCOD, 所以 111 ,AODCODBOC均为等边三角形. 所以 11 O AADDCCO, 所以四边形 1 ADCO是平行四边形,所以 1/ / COAD, 又因为 1 CO 平面 ADE,AD 平面 ADE,所以 1/ / CO平面 ADE. 因为 EA,FC都是圆柱 12 OO的母线,所以 EA/FC. 又因为FC平面 ADE,EA平面 ADE, 所以/ /FC平面 ADE. 又 1, CO FC 平面 11 FCOCOFCC,且, 所以平面 1/ / FCO平面 ADE,又 1 FO 平面 1 FCO,所以 1/ / FO平面 ADE. (2)
34、连接 AC,因为 FC是圆柱 12 OO的母线,所以FC 圆柱 12 OO的底面, 所以FAC即为直线 AF 与平面 ACB 所成的角,即30FAC 因为 AB 为圆 1 O直径,所以 90ACB, 在601Rt ABCABCBC中, 所以tan603ACBC,所以在tan301Rt FACFCAC中, 因为ACBC,又因为ACFC,所以AC 平面 FBC, 又FB 平面 FBC,所以ACFB. 在FBC内,作CHFB于点 H,连接 AH. 因为,ACCHC AC CH平面 ACH,所以FB 平面 ACH, 又AH 平面 ACH,所以FBAH, 所以AHC就是二面角A FB C的平面角. 在
35、2 2 FC BC Rt FBCCH FB 中,在90Rt ACHACH中, 所以 22 14 2 AHACCH,所以 7 cos 7 CH AHC AH , 所以二面角A FB C的余弦值为 7 7 . 【点睛】本题考查了线面平行的判定,线面角的应用,求二面角,考查了学生的分析观察能力,逻辑推理 能力,空间想象能力,学生的运算能力,属于中档题. 20. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 1 2 e , 3 1, 2 D 为椭圆上一点. (1)求椭圆C的方程; (2)已知F为椭圆C的右焦点,过点F的直线l交椭圆(异于椭圆顶点)于A、B两点,试判断 11 AFBF 是否
36、为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 【答案】(1) 22 1 43 xy ;(2)是, 4 3 . 【解析】 【分析】 (1)根据离心率 1 2 e 和 3 1, 2 D 为椭圆上一点,列式即可得解; (2)依题意知直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为1xmy联立 22 1 43 xy ,消去x整理得 22 34690mymy,设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 12 2 6 34 m yy m , 12 2 9 34 y y m ,结合条 件表达 11 AFBF ,化简即可得解. 【详解】(1)由已知 22 222 19 1 4 1 2 ab c e a cab
37、,解得 2 3 1 a b c 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy (2)由(1)可知1,0F 依题意可知直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为1xmy 由 22 1 43 1 xy xmy ,消去x 整理得 22 34690mymy 设 11 ,A x y, 22 ,B x y 则 12 2 6 34 m yy m , 12 2 9 34 y y m 不妨设 1 0y , 2 0y , 22 2222 111111 11 111AFxymyymymy , 同理 22 22 11BFmymy 所以 222 12 12 1111111 111 AFBFyy mymym 2 2112 21
38、 22 1212 4 11 11 yyy y yy y yy y mm 2 22 2 2 69 4 343414 9 3 1 34 m mm m m 即 114 3AFBF . 【点睛】 本题考查了求椭圆方程以及椭圆中定值问题, 考查了转化思想和较高的计算能力, 属于较难题. 解 决本类问题的关键点有: (1)韦达定理的应用, 韦达定理是联系各个变量之间的桥梁, 是解决大多数直线和圆锥曲线问题的必由之路; (2)化简求值,解析几何计算的特点明显,需要较高的计算技巧. 21. 设函数 2 2lnf xxaxax. (1)若e, x, 2f xa x,求实数a的取值范围; (2)已知函数 yf x
39、存在两个不同零点 1 x, 2 x,求满足条件的最小正整数a的值. 【答案】(1),2e;(2)3. 【解析】 【分析】 (1)由 2f xa x得 2 ln0 xax,利用参变分离法得到 2 ln x a x ,然后构造函数,利用导数分析实 数a的取值范围 (2)求导得到 21xax fx x ,对a进行分类讨论,然后,利用数形结合进行分析,即可求出最小 正整数a的值 【详解】(1)由 2f xa x得 2 ln0 xax 又,xe 所以 1 ln0 2 x 所以 2 ln x a x 令 2 ln x g x x 所以 2 2ln1 0 ln xx gx x 所以函数 g x在, e 上单
40、调递增 所以 min 2gxgee 所以2ae,即实数a的取值范围为,2e (2)因为 2 2lnf xxaxax 所以 2 2221 220 xaxaxaxa fxxax xxx 若0a ,则 0fx ,函数 f x在0,上单调递增,函数 f x之多一个零点 所以若函数 f x有两个两点,则0a 当0a时,函数 f x在0, 2 a 单调递减,在, 2 a 单调递增 得 f x的最小值0 2 a f ,因此函数 f x有两个零点 则 2 44 ln0 2 a aaa 又0a 所以4ln40 2 a a 令 4ln4 2 a h aa,显然 h a在0,上为增函数 且 220h , 381 3
41、4ln1ln10 216 h 所以存在 0 2,3a , 0 0h a 当 0 aa时, 0h a 当 0 0aa时, 0h a 所以满足条件的最小正整数3a 又当3a 时, 33 2ln30f, 10f 所以3a 时, f x有两个零点 综上所述,满足条件的最小正整数a的值为3 【点睛】关键点睛:解题的关键在于:(1)利用参变分离法,得到 2 ln x a x ,然后构造函数,求导进行数形 结合的分析求解; (2)对 ( )f x求导, 然后对a分类为:0a 和0a, 尤其在0a时, 得到4ln40 2 a a, 进而构造函数 4ln4 2 a h aa,利用零点存在定理进行数形结合的分析来
42、求解,本题难度属于困难 22. 新冠抗疫期间,某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫,决定应用数学实验的 方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下:在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球, 从中随机取一球,若取出黑球,则放回小盒中,不作任何改变;若取出红球,则黑球替换该红球重新放回 小盒中,此模型可以解释为“安全模型”,即若发现一个新冠患者,则移出将其隔离进行诊治.(注:考虑样 本容量足够大和治愈率的可能性,用黑球代替红球) (1)记在第2n n次时,刚好抽到第二个红球,试用n表示恰好第n次抽到第二个红球的概率; (2)数学实验的方式约定:若抽到第2个红球则停止抽
43、球,且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球, 当进行到第10次时,即停止抽球;记停止抽球时已抽球总次数为X,求X的数学期望.(精确到小数点后1 位) 参考数据: 11 9 2 94 1.80 105 kk k , 11 10 2 94 2.05 105 kk k , 11 9 2 94 10.79 105 kk k k, 11 10 2 94 13.32 105 kk k k. 【答案】(1) 11 194 5105 nn ;(2)8.6. 【解析】 【分析】 (1)根据题意可得若第k(kn)次是第一次取到红球,第n次是第二次取到红球 则对应地有: 11 4191 551010 kn k
44、P ,当k取1,21n时,相加即可得解; (2)根据题意X的可能取值依次是2,3,9,10,求出相对应的概率,再利用期望公式,直接带入即 可得解. 【详解】(1)若第k(kn)次是第一次取到红球,第n次是第二次取到红球 则对应地有: 11 4191 551010 kn k P 则第n次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为: 02311 41914 1914191 5510105 51010551010 nnkn k 20 4191 551010 n 利用等比数列求和公式即可得: 1 021111 4 10 1 4191191419459 4 10 551010510555105 1 59 n nnnnn (2)由题意可知,X的可能取值依次是2,3,9,10 特别地,当10X 时,对应的101239P XP XP XP X 由参考数据可得: 1 11.80.64 5 10P X X对应的数学期望为: 29 129 1 1999444 23923910 0.64 5101010555 E X 由参考 数据可得: 1 10.79100.648.6 5 E X 【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望,考查了较高的计算能力,属于难题. 解决此类问题的关键点有: (1)全面性,所有可能情况必须考虑到,做到不重不漏; (2)补集思想的应用,根据全概率为1进行求概率.