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2021年浙江省绍兴市高考二模数学试卷(含答案)

1、 第 1 页(共 20 页) 2021 年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷(二模)年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷(二模) 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1 (4 分)已知集合 |0Ax x,或2x, | 11Bxx ,则(AB ) A( 1,) B( 1,1) C( 1,0 D0,1) 2 (4 分)已知i是虚数单位,若 31 22 zi ,则 2 (z ) A 13 22 i B 13 22 i C 13 22

2、i D 13 22 i 3 (4 分)若实数x,y满足约束条件 1 2 30 x xy xy ,则2xy的最大值是( ) A 7 3 B3 C 7 2 D4 4 (4 分)函数( )log ()(1) a a f xxa x 的图象可能是( ) A B C D 5 (4 分)某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成,其三视图如图所示,则该几何体的体积 是( ) 第 2 页(共 20 页) A8 B 8 3 C8 3 D 8 3 6(4 分) 设mR, 则 “12m剟” 是 “直线:0l xym和圆 22 :2420C xyxym 有公共点”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件

3、 D既不充分也不必要条件 7 (4 分)已知无穷数列 n a是各项均为正数且公差不为零的等差数列,其前n项和为 n S, *nN,则( ) A数列 n S n 不可能是等差数列 B数列 2 n S n 不可能是等差数列 C数列 n n S a 不可能是等差数列 D数列 n n a S 不可能是等差数列 8 (4 分)已知0a ,0b , 22 3abab, 22 | 3ab,则ab的最小值是( ) A2 2 B3 C2 3 D4 9 (4 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 和点 22 (a b M a ,0) 若存在过点M的直线交C 于P,Q两点,满足 1 (0) 2

4、 PMMQ,则椭圆C的离心率取值范围是( ) A 2 (0,) 2 B 32 (,) 32 C 3 (,1) 3 D 2 (,1) 2 10 (4 分)已知a,b,cR,若关于x的不等式01 ac xb xx 剟的解集为 1 x, 23321 (0)xxxxx,则( ) A不存在有序数组(a,b,) c,使得 21 1xx B存在唯一有序数组(a,b,) c,使得 21 1xx C有且只有两组有序数组(a,b,) c,使得 21 1xx D存在无穷多组有序数组(a,b,) c,使得 21 1xx 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题

5、分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分)分) 11 (4 分) 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题: “今有垣厚若干尺, 第 3 页(共 20 页) 两鼠对穿, 大鼠日一尺, 小鼠也日一尺, 大鼠日自倍, 小鼠日自半 问何日相逢, 各穿几何?” 题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第 一天也进一尺,以后每天减半如果墙足够厚, n S为前n天两只老鼠打洞长度之和,则 3 S 尺 12 (6 分)已知函数 2 2 (1)7,1 ( ) log3,1 xx f x xx ,则(0)f ;关于x的不等式( )7f x 的 解集是 13(6 分)

6、 已知二项展开式 929 0129 (1) xaa xa xa x, 则 0 a ;1 234 aaaa .(用数字作答) 14 (6 分)在锐角ABC中,内角A,B所对的边分别为a,b,若2AB,2b ,则 cos a B ;边长a的取值范围是 15 (6 分)袋中装有大小相同的 1 个白球和 2 个黑球,现分两步从中摸球:第一步从袋中 随机摸取 2 个球后全部放回袋中(若摸得白球,则涂成黑球,若摸得黑球,则不变色) ;第 二步再从袋中随机摸取 2 个球记第二步所摸取的 2 个球中白球的个数为,则 (0)P ;( )E 16 (4 分)如图,在棱长为 4 的正方体 1111 ABCDABC

7、D中,M是棱 1 A A上的动点,N是 棱BC的中点当平面 1 D MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时, 1 AM 17 (4 分)已知平面向量a,b,c满足:| 2a ,| 1ab,| |bc, 1 ()0 2 cbb, 则 1 | 2 ac的最大值是 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18 (14 分)已知函数 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxx 第 4 页(共 20 页) ()求() 4 f 的值; ()求( )f x在区间0, 2 上的最大

8、值和最小值 19(15 分) 如图, 在三棱柱 111 ABCABC中, 1 4ABAA,2BC , 1 2 3AC ,ACBC, 1 60A AB ()证明:BC 平面 11 ACC A; ()设点D为 1 CC的中点,求直线 1 A D与平面 11 ABB A所成角的正弦值 20 (15 分)已知等差数列 n a的公差不为零, 4 1a ,且 4 a, 5 a, 7 a成等比数列,数列 n b 的前n项和为 n S,满足24(*) nn SbnN ()求数列 n a和 n b的通项公式; ()若数列 n c满足 1 1 2 c , 1 (*) n nn n a ccnN b ,求使得 2

9、16 n n c 成立的所有n值 21 (15 分)已知抛物线 2 1: 4Cxy和椭圆 22 2: 1 43 xy C如图,经过抛物线 1 C焦点F的 直线l分别交抛物线 1 C和椭圆 2 C于A,B,C,D四点,抛物线 1 C在点A,B处的切线交 于点P ()求点P的纵坐标; ()设M为线段AB的中点,PM交 1 C于点Q,BQ交AP于点T记TCD,QBP的 面积分别为 1 S, 2 S ()求证:Q为线段PM的中点; ()若 1 2 8 7 S S ,求直线l的方程 第 5 页(共 20 页) 22 (15 分)已知函数( )(21) x f xaxxe(其中02a,e为自然对数的底数)

10、 ()求函数( )f x的单调区间; () 设函数( )f x的极小值点为m, 极大值点为n, 证明: 当( , )xm n时, 1 ( ) a f xxlnx e 第 6 页(共 20 页) 2021 年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷(二模)年浙江省绍兴市高考数学适应性试卷(二模) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1 (4 分)已知集合 |0Ax x,或2x, | 11Bxx

11、,则(AB ) A( 1,) B( 1,1) C( 1,0 D0,1) 【解答】解: |0Ax x,或2x, | 11Bxx , ( 1AB ,0 故选:C 2 (4 分)已知i是虚数单位,若 31 22 zi ,则 2 (z ) A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 【解答】解:因为 31 22 zi , 所以 2222 31331113 ()()2() 22222222 ziiii 故选:D 3 (4 分)若实数x,y满足约束条件 1 2 30 x xy xy ,则2xy的最大值是( ) A 7 3 B3 C 7 2 D4 【解答】解:由约束条件作

12、出可行域如图, 联立 30 2 xy xy ,解得 3 ( 2 A, 1 ) 2 , 令2zxy,得2yxz ,由图可知,当直线2yxz 过A时, 第 7 页(共 20 页) 直线在y轴上的截距最大,z有最大值为 7 2 故选:C 4 (4 分)函数( )log ()(1) a a f xxa x 的图象可能是( ) A B C D 【解答】解:函数( )log ()(1) a a f xxa x 可知定义域为(0,), 1a ,222 aa xxa xx , 所以( )log ()0 a a f xx x ,恒成立, 所以排除选项B、C、D 故选:A 5 (4 分)某几何体由四棱锥和半个圆柱

13、组合而成,其三视图如图所示,则该几何体的体积 是( ) A8 B 8 3 C8 3 D 8 3 【解答】解:由题意可知,几何体的直观图如图: 几何体是半个圆柱与一个四棱锥的组合体, 第 8 页(共 20 页) 所以几何体的体积为: 2 118 12222 233 故选:B 6(4 分) 设mR, 则 “12m剟” 是 “直线:0l xym和圆 22 :2420C xyxym 有公共点”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解:圆的圆心(1,2)C,半径 1 4164(2)3 2 rmm 圆心C到直线的距离 |12|3| 22 mm d 直

14、线与圆有公共点,d r , 即 |3| 3 2 m m ,13m 剟, 1,21.3, 12m 剟是直线0 xym与圆 22 2420 xyxym有公共点的充分不必要条件 故选:A 7 (4 分)已知无穷数列 n a是各项均为正数且公差不为零的等差数列,其前n项和为 n S, *nN,则( ) A数列 n S n 不可能是等差数列 B数列 2 n S n 不可能是等差数列 C数列 n n S a 不可能是等差数列 D数列 n n a S 不可能是等差数列 第 9 页(共 20 页) 【解答】解:设等差数列 n a的公差为0d , 1 (1) 2 n n n Snad 1 1 . 2 n Sn

15、Aad n 为等差数列,因此A不正确; B取1 n an,则 2 2 1 2 2 n n n S an 为等差数列,因此C不正确; C取 n an,则 1 2 n n Sn a 为等差数列,因此C不正确; D利用排除法可得D正确 故选:D 8 (4 分)已知0a ,0b , 22 3abab, 22 | 3ab,则ab的最小值是( ) A2 2 B3 C2 3 D4 【解答】解:因为 2 222 3 ()3 24 bb ababa, 令3cos 2 b a, 3 3sin 2 b, 所以 3cossin 2sin a b ,0,2 , 因为0a ,0b , 所以3cossin2sin()0 3

16、 ,2sin0, 所以 sin()0 3 sin0 , 所以 0 3 0 , 解得 2 0 3 , 因为 22 | 3ab, 所以 2222 ( 3cossin )4sinab, 22 3(cossin)2 3sincos3cos23sin22 3sin(2) 3 , 因为 2 0 3 , 所以 5 2 333 , 第 10 页(共 20 页) 因为 22 | 3ab, 所以3 2 3sin(2) 3 3 剟, 所以 33 sin(2) 232 剟, 所以 24 2 333 剟, 所以 63 剟, 则3cos3sin2 3sin() 3 ab 的最小值为 3 故选:B 9 (4 分) 已知椭圆

17、 22 22 :1(0) xy Cab ab 和点 22 (a b M a ,0) 若存在过点M的直线交C 于P,Q两点,满足 1 (0) 2 PMMQ,则椭圆C的离心率取值范围是( ) A 2 (0,) 2 B 32 (,) 32 C 3 (,1) 3 D 2 (,1) 2 【解答】解:设( , )T x y是椭圆上任意一点, 则 2224 22222 22 2 |() cccc TMxyxxb aaaa , 对称轴为xa,所以 2 |TM在xa ,a上单调递减, 设 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a,由题意可知,只要 2 1 |1 |2 A M MA 即可, 则 2 1 |1 |2

18、 A M MA 可得: 2 2 1 2 c a a c a a ,即 22 3ac,所以 3 1 3 e, 故选:C 10 (4 分)已知a,b,cR,若关于x的不等式01 ac xb xx 剟的解集为 1 x, 23321 (0)xxxxx,则( ) A不存在有序数组(a,b,) c,使得 21 1xx B存在唯一有序数组(a,b,) c,使得 21 1xx C有且只有两组有序数组(a,b,) c,使得 21 1xx D存在无穷多组有序数组(a,b,) c,使得 21 1xx 【解答】解:因为不等式01 ac xb xx 剟的解集为 1 x, 23321 (0)xxxxx, 第 11 页(共

19、 20 页) 所以 2 0 xbxa cx剟在 1 xx, 23 xx上成立, 假设 1 xm, 2 1xm, 3 xn, 则 2 0cnnbna,根据 3 x为一个独立的数得出, 所以nc,且1m与n为方程 2 0 xbxa的两个根, 因为 321 0 xxx, 所以11bmnmc ,amnnmcc, 所以1bmc ,且点 2 111 ( ,)x xbxa为 2 yxbxa与ycx的左交点, 所以 2 mbmacm且1bmc ,amcc, 故 222 mbmammmcmmcccm, 所以cmcm恒成立, 所以不论a,b,c取何值, 21 1xx恒成立, 即存在无穷多组有序数组(a,b,) c

20、,使得 21 1xx, 故选项A,B,C错误,选项D正确 故选:D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分)分) 11 (4 分) 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题: “今有垣厚若干尺, 两鼠对穿, 大鼠日一尺, 小鼠也日一尺, 大鼠日自倍, 小鼠日自半 问何日相逢, 各穿几何?” 题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第 一天也进一尺,以后每天减半如果墙足够厚, n S为前n天两只老鼠打洞长度之和,则 3 S 35 4 尺 【解答】解:由

21、题意得大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 故大老鼠 3 天共打洞 3 12 17 12 , 小老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项,以 1 2 为公比的等比数列, 小老鼠 3 天共打洞 3 1 1( ) 7 2 1 4 1 2 , 则 3 735 7 44 S 第 12 页(共 20 页) 故答案为: 35 4 12 (6 分)已知函数 2 2 (1)7,1 ( ) log3,1 xx f x xx ,则(0)f 6 ;关于x的不等式( )7f x 的 解集是 【解答】解:因为 2 2 (1)7,1 ( ) log3,1 xx f x xx , 则(0)176f

22、 , 当1x时, 2 (1)7 7x ,此时( )7f x 无解, 当1x 时,由( )7f x 得 2 log37x , 解得16x , 故不等式的解集 |16x x , 故答案为:6; |16x x 13 ( 6 分 ) 已 知 二 项 展 开 式 929 0129 (1) xaa xa xa x, 则 0 a 1 ; 1234 aaaa .(用数字作答) 【解答】解:二项展开式 929 0129 (1) xaa xa xa x,则 令0 x ,可得 0 1a 0123 12349999 1 93684130aaaaCCCC , 故答案为:1;130 14(6 分) 在锐角ABC中, 内角

23、A,B所对的边分别为a,b, 若2AB,2b , 则 c o s a B 4 ;边长a的取值范围是 【解答】解:2AB,sinsin22sincosABBB, 由正弦定理知, sinsin ab AB , 2 cosabB,即24 cos a b B ABC, 3CB, 锐角ABC, 第 13 页(共 20 页) 02 2 0 2 03 2 AB B CB ,解得( 6 B ,) 4 , 2 cos( 2 B, 3) 2 , 2 cos4cos(2 2abBB,2 3) 故答案为:4;(2 2,2 3) 15 (6 分)袋中装有大小相同的 1 个白球和 2 个黑球,现分两步从中摸球:第一步从袋

24、中 随机摸取 2 个球后全部放回袋中(若摸得白球,则涂成黑球,若摸得黑球,则不变色) ;第 二步再从袋中随机摸取 2 个球记第二步所摸取的 2 个球中白球的个数为,则(0)P 7 9 ;( )E 【解答】解:的所有值可能为 1,0, 211 212 22 33 2 (1) 9 CC C P CC , 7 (0)1(1) 9 PP , 272 ( )10 999 E 故答案为: 7 9 , 2 9 16 (4 分)如图,在棱长为 4 的正方体 1111 ABCDABC D中,M是棱 1 A A上的动点,N是 棱BC的中点当平面 1 D MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时, 1 AM 8 5

25、【解答】解:以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示, 设MAk,则 1(0 D,0,4),(0C,4,0),(2N,3,0),(4M,0,)k, 第 14 页(共 20 页) 所以 11 (4,0,4),(2,4, 4)DMkD N, 设平面 1 D MN的法向量为( , , )nx y z, 则有 1 1 0 0 n D M n D N ,即 4(4)0 2420 xkz xyz , 令8z ,则82xk,4yk,故(82 ,4,8)nkk, 平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m , 设平面 1 D MN与底面ABCD所成的锐二面角为, 则 222 |88 cos | (82 )(4

26、)64524144 n m n m kkkk , 锐二面角越小,则cos越大, 所以求 2 524144kk的最小值, 令 22 12576 ( )5241445() 55 f kkkk, 所以当 12 5 k 时,有最小值,此时 1 128 44 55 AMk 故答案为: 8 5 17 (4 分)已知平面向量a,b,c满足:| 2a ,| 1ab,| |bc, 1 ()0 2 cbb, 则 1 | 2 ac的最大值是 7 【解答】解:由| 1ab得 222 |2|1abaa bb , 即 2 |4|cos,30bba b 又 1 ()0 2 cbb得 2 1 |cos,|0 2 bcb cb

27、 , | |bc, 1 cos, 2 b c,b, 3 c , 第 15 页(共 20 页) | 1ab,| 2a ,|b的最大值为 3,当且仅当a,b共线同向时取到, 2222 11 |12 |cos,| 24 acaa ccba cb , 2 1 | 2 ac的最大值为 1 12397 2 , 1 | 2 ac的最大值为7, 故答案为:7 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18 (14 分)已知函数 2 ( )2sin cos2 3cos3f xxxx ()求()

28、4 f 的值; ()求( )f x在区间0, 2 上的最大值和最小值 【解答】解:()因为函数 2 ( )2sin cos2 3cos3sin23(1cos2 )3sin23cos22sin(2) 3 f xxxxxxxxx , 所以()2sin(2)2sin1 4436 f ; ()因为0 x, 2 , 所以2 33 x , 2 3 ,可得 3 sin(2) 32 x ,1, 可得( )2sin(2)3 3 f xx ,2, 所以( )f x在区间0, 2 上的最大值为 2,最小值为3 19(15 分) 如图, 在三棱柱 111 ABCABC中, 1 4ABAA,2BC , 1 2 3AC

29、,ACBC, 1 60A AB ()证明:BC 平面 11 ACC A; ()设点D为 1 CC的中点,求直线 1 A D与平面 11 ABB A所成角的正弦值 第 16 页(共 20 页) 【解答】解: ()证明: 在三棱柱 111 ABCABC中, 1 4ABAA,2BC , 1 2 3AC , 222 11 ABACBC, 1 BCAC, ACBC, 1 ACACC,AC、 1 AC 平面 11 ACC A, BC平面 11 ACC A ()设E为 1 BB的中点,连结 1 A E,DE,作 1 DFA E于F, BC 平面 11 ACC A,/ /DEBC,DE平面 11 ACC A,

30、 1 CC 平面 11 ACC A, 1 DECC, 在 11 ACC中, 111 ACAC, D为 1 CC的中点, 11 ADCC, 1 ADDED, 1 CC平面 1 ADE, 11 / /BBCC, 1 BB平面 1 ADE, 1 BBDF, 1 DFA E, 11 BBAEE, 1 BB、 1 A E 平面 11 ABB A, DF平面 11 ABB A, 直线 1 A D与平面 11 ABB A所成角为 1 DA E, 在 1 DA E中, 1 ADDE, 22 11 22 2ADAC,2DEBC, 22 11 2 3AEADDE, 1 1 3 sin 3 DE DAE AE ,

31、直线 1 A D与平面 11 ABB A所成角的正弦值为 3 3 第 17 页(共 20 页) 20 (15 分)已知等差数列 n a的公差不为零, 4 1a ,且 4 a, 5 a, 7 a成等比数列,数列 n b 的前n项和为 n S,满足24(*) nn SbnN ()求数列 n a和 n b的通项公式; ()若数列 n c满足 1 1 2 c , 1 (*) n nn n a ccnN b ,求使得 2 16 n n c 成立的所有n值 【解答】解: ()设等差数列 n a的公差为(0)d d ,由题意得 2 547 aa a, 即 2 (1)1 3dd ,整理得 2 dd,解得1d

32、, 所以 4 (4)3 n aandn, 因为 111 24bSb,所以 1 4b , 当2n时,由 1nnn bSS ,得 1 22 nnn bbb ,即 1 2 nn bb , 所以 n b是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,所以 1 2n n b ()由 1 n nn n a cc b ,得 1 1 3 2 nn n n cc , 所以 112211 23 1214 ()()()() 2222 nnnnn n n cccccccc , 设 23 214 222 n n n T ,则 341 1214 2222 n n n T , 两式相减得 31 23411 11 121114112

33、 22 1 222222242 1 2 n n nnn nn T , 所以 12 22 n n n T ,所以 12 22 nn n n cT , 因为 22 216 n n nn c ,所以 4 (2)(21) 0 n n , 当1n 时,不满足题意; 当2n 时,满足题意; 当3n时, 4 21 0 n ,解得34n剟, 所以满足题意的所有n的值为 2,3,4 第 18 页(共 20 页) 21 (15 分)已知抛物线 2 1: 4Cxy和椭圆 22 2: 1 43 xy C如图,经过抛物线 1 C焦点F的 直线l分别交抛物线 1 C和椭圆 2 C于A,B,C,D四点,抛物线 1 C在点A

34、,B处的切线交 于点P ()求点P的纵坐标; ()设M为线段AB的中点,PM交 1 C于点Q,BQ交AP于点T记TCD,QBP的 面积分别为 1 S, 2 S ()求证:Q为线段PM的中点; ()若 1 2 8 7 S S ,求直线l的方程 【解答】解: ()设点 2 1 1 ( ,) 4 x A x, 2 2 2 (,) 4 x B x,直线l的方程为:1ykx, 由 2 4xy可得 2 4 x y ,则 2 x y ,可知抛物线在点A,B处的切线的斜率分别为 12 , 22 xx , 抛物线 1 C在点A,B处的切线方程分别为 2 11 24 xx yx, 2 22 24 xx yx, 联

35、立方程组解得点P的坐标为 1212 (,) 24 xxx x , 由 2 1 4 ykx xy ,得 2 440 xkx, 2 1 16(1)0k, 所以 12 4xxk, 12 4x x ,所以点P的坐标为(2 , 1)k , 所以点P的纵坐标为1, ()( ) i证明:由()得点(2 , 1)Pk , 2 (2 ,21)Mkk , 2 (2 ,)Qk k, 因为 22 (21)( 1)2kk ,所以点Q为PM的中点; ( )ii因为M,Q分别为线段AB,PM的中点,所以2ATTP, 第 19 页(共 20 页) 所以 2 3 TABPAB SS ,所以 2 113 248 QBPMBPPA

36、BTAB SSSSS , 所以 1 2 88 | 3 33 | 8 TCDTCD TAB TAB SSSCD SSAB S , 设点C,D的横坐标分别为 3 x, 4 x, 由 22 1 1 43 ykx xy ,消去y整理可得: 22 (34)880kxkx , 则 3434 22 88 , 3434 k xxx x kk , 所以 222 222 3434 2222 (1)(12)6432 |1()414 6 (34)3434 kkk CDkxxx xk kkk , 由()得 222 121 2 |1()44(1)ABkxxx xk, 所以 22 1 222 22 2 8 |8 6128

37、612 3 |33(34) (1) (34) 1 SCDkk SABkk kk , 设 2 21 ( )(0) (34 ) (1) x f xx xx ,则 2 32 16205 ( )0 (34 ) (1) xx fx xx , 所以( )f x在0,)上单调递减, 因为 21 2 8 68 () 37 S f k S ,所以 2 2 3 () 27 f k ,所以 2 1k ,即1k , 经检验符合条件,所以直线l的方程为1yx 22 (15 分)已知函数( )(21) x f xaxxe(其中02a,e为自然对数的底数) ()求函数( )f x的单调区间; () 设函数( )f x的极小

38、值点为m, 极大值点为n, 证明: 当( , )xm n时, 1 ( ) a f xxlnx e 【解答】 ()解:由已知得 1 2 x, 11222 ( )()(21)(21)()(1)() 21212121 xxxxx x fxaeaxxeaaxxeaaxexa e xxxx , 令( )0fx,解得 2 12 1 2 x a ,令( )0fx,解得 1 2 x或 2 12 2 x a , 第 20 页(共 20 页) 所以( )f x的单调递减区间为 1 ( 2 ,1), 2 12 (2 a ,),单调递增区间为 2 12 (1,) 2a ()证明:由()可知1m , 2 12 2 n

39、a ,即 2 12 (1,) 2 x a , 设 1 ( )(21) x a g xaxxexlnx e , 则 2 ( )(1)()1 21 x g xxa elnx x , 当 2 12 (1,) 2 x a 时,因为 2 022 21 aa x , 所以( )2(1)1 x g xxelnx , 设( )2(1) x h xxelnx ,则 2 42 ( ) x x exx h x xe , 当( , )xm n时,因为 22 421 42(1)(21)0 x exxxxxxx , 所以( )0h x,所以( )h x为减函数,所以( )h xh(1)0, 所以( )0g x,( )g x在 2 12 (1,) 2a 上为减函数, 所以( )g xg(1)0, 所以当( , )xm n时, 1 ( ) a f xxlnx e