1、 第 1 页（共 29 页） 2021 年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1 （4 分）3 的相反数是( ) A3 B3 C 1 3 D 1 3 2 （4 分）如图所示的是由 5 个相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的左视图是( ) A B C D 3 （4 分）将 93000000 用科学记数法表示，正确的是( ) A 8 0.93 10 B 8 9.3 10 C 7 9.3 10 D 6 93 10 4 （4 分）如图，/ /AB
2、CD，ACBC，65BAC，则BCD的度数等于( ) A20 B25 C35 D50 5 （4 分）下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，共中既是 轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 6 （4 分）下列运算正确的是( ) A 523 aaa B 236 aaa C 22 32aaa D 222 ()abab 7 （4 分） “学雷锋”活动月中， “飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从 “图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的 概率是( ) 第 2 页（共 29 页） A 1 3 B 2 3 C 1
3、9 D 2 9 8 （4 分）如图是某班去年1 8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正 确的是( ) A每月阅读数量的众数是 42 B每月阅读数量的中位数是 58 C每月阅读数量的平均数是 58 D每月阅读数量的极差是 65 9 （4 分）一次函数ykxb中，若0kb ，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是( ) A B C D 10 （4 分）如图，Rt OAB的斜边OA在y轴上，30AOB，3OB ，将Rt AOB绕 原点顺时 针旋转60，则A的对应点 1 A的坐标为( ) 第 3 页（共 29 页） A(1, 3) B(3，1) C( 3，1) D( 1, 3) 11
4、（4 分）如图 1 是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆AB、BC、CD始 终在同一平面内） ，AB垂直于底座且长度为9cm，BC的长度为10cm，CD的长度可以伸缩 调整如图 2，143BCD保持不变，转动BC，使得150ABC，假如/ /ADBC时为 最佳视线状态，则此时CD的长度为（参考数据：sin530.80 cos530.60)( ) A8cm B7.7cm C7.5cm D5.6cm 12 （4 分）如图，抛物线 2 4yaxbx交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另 一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边） ，对称轴为直线 5 2 x ，连接AC，AD， BC
5、若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是( ) A点B坐标为(5,4) BABAD C 1 6 a D16OC OD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 第 4 页（共 29 页） 13 （4 分）分解因式： 2 9x 14 （4 分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块 方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 15 （4 分）n边形的内角和等于1080，则n 16 （4 分）若代数式 1 2 x x 的值是 1 2 ，则x 17 （4 分）如图，菱
6、形ABCD的边长为 2，点B、C、D在以点A为圆心、AB为半径的 弧上，则图中阴影部分的面积是 18 （4 分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，2AB ，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC 重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM 与EP相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G；P为线段BM上 一动点 有如下结论： 60ABN； 1AM ； BMG是等边三角形； 2 3 3 QN ； H是BN的中点，则PNPH的最小值是3其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分）分） 19 （6
7、 分）计算： 10 1 ( )42cos60(2021) 3 第 5 页（共 29 页） 20 （6 分）解不等式组 321 21 1 3 xx x ，并写出它的所有整数解 21 （6 分）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，连接AE，CF求证：AECF 22 （8 分）在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间， 致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，我区某校开设了A： “3D”打印；B：数学 编程；C：智能机器人；D：陶艺制作，共四门创客课程，为了解学生对这四门创客课程 的喜爱情况， 数学兴趣小组对全校学生进行了随机抽
8、样调查， 他们将调查结果整理后绘制成 三幅均不完整的统计图表 最喜爱的创客课程统计表： 创客课程 频数 频率 A 36 0.45 B 0.25 C 16 b D 8 合计 a 1 请根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中a ，b ； （2）图 1 中“D”对应扇形的圆心角为 度； 第 6 页（共 29 页） （3）请补全图 1 中“B”所对应的条形图； （4）若该校有 2000 名学生，请你根据调查估计全校最喜欢“数学编程”创客课程的人数 23（8 分） 如图，AB是O的直径， 点P在BA的延长线上，PD切O于点C，BDPD， 垂足为D，连接BC （1）求证：PBCDBC ； （2
9、）若6PA ，6 2PC ，求O的半径 24 （10 分）某学校为了满足疫情防控需求，决定购进A、B两种型号的口罩若干盒，若购 进A型口罩 10 盒，B型口罩 5 盒，共需 1000 元，若购进A型口罩 4 盒，B型口罩 3 盒， 共需 550 元 （1）求A、B两种型号的口罩每盒各需多少元？ （2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计 200 盒，并要求购进A型口罩的盒数不超过 B型口罩盒数的 4 倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由 25 （10 分）如图 1，已知一次函数28yx 的图象分别与x轴和y轴交于点A、点B， 与反比例函数 1 k y x 的图象相交于点(2,)Cm
10、 （1）求点C的坐标和反比例函数 1 k y x 的表达式； （2） 如图 2， 点M为线段BC的中点， 将线段CM向左平移(0)n n 个单位后， 点C和点M 的对应点C和M都落在另一个反比例函数 2 k y x 的图象上 求点M的坐标及n的值； 连接OM、M C、CC、C O，求四边形OM CC的面积 第 7 页（共 29 页） 26 （12 分）如图 1，已知ABC和ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、 AC上，90CAED （1）观察猜想： 如图 2，将A D E绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F当BD的 延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时
11、， BD CE 的值为 ； BFC的度数为 度； （2）类比探究： 如图 3，继续旋转ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由 （3）拓展延伸： 若2AEDE，10ACBC， 当CE所在的直线垂直于AD时， 请你直接写出线段BD 的长 第 8 页（共 29 页） 27（12 分） 如图， 拋物线 2 1 2 yxbxc 的图象经过点(0,2)C， 交x轴于点( 1,0)A 和B， 连接BC， 直线1ykx与y轴交于点D， 与BC上方的抛物线交于点E， 与BC交于点F （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）求 EF DF 的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件
12、下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否 存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直 接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 第 9 页（共 29 页） 2021 年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷年山东省济南市天桥区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1 （4 分）3 的相反数是( ) A3 B3 C 1 3 D 1 3 【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：3 的相反数是3 故选：B 2 （4 分）
13、如图所示的是由 5 个相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的左视图是( ) A B C D 【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D 3 （4 分）将 93000000 用科学记数法表示，正确的是( ) A 8 0.93 10 B 8 9.3 10 C 7 9.3 10 D 6 93 10 【解答】解： 7 930000009.3 10， 故选：C 4 （4 分）如图，/ /ABCD，ACBC，65BAC，则BCD的度数等于( ) A20 B25 C35 D50 【解答】解：ACBC，65BAC， 90906525ABCBAC ， / /ABCD， BC
14、DABC ， 第 10 页（共 29 页） 25BCD 故选：B 5 （4 分）下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，共中既是 轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 6 （4 分）下列运算正确的是( ) A 523 aaa B 236 aaa C 22 32aaa D 222 ()abab 【
15、解答】解：A、 523 aaa，故本选项符合题意； B、 235 aaa，故本选项不合题意； C、 2 3a与2a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D、 222 ()2abaabb，故本选项不合题意； 故选：A 7 （4 分） “学雷锋”活动月中， “飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从 “图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的 概率是( ) A 1 3 B 2 3 C 1 9 D 2 9 【解答】解：画树状图为： （用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆） 共有 9 种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的
16、结果数为 3， 所以两人恰好选择同一场馆的概率 31 93 故选：A 第 11 页（共 29 页） 8 （4 分）如图是某班去年1 8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正 确的是( ) A每月阅读数量的众数是 42 B每月阅读数量的中位数是 58 C每月阅读数量的平均数是 58 D每月阅读数量的极差是 65 【解答】解：A、出现次数最多的是 58，众数是 58，故本选项说法错误，不符合题意； B、将 8 个数据由小到大排列为：28，36， 42，58，58，70，75，83， 中位数是 5858 58 2 ， 故本选项说法正确，符合题意； C、 该 班 学 生 去 年1 8月
17、份 全 班 同 学 每 月 的 课 外 阅 读 数 量 的 平 均 数 是 1 ( 3 67 05 84 25 82 87 58 3 )5 6 . 2 5 8 ，故本选项说法错误，不符合题意； D、每月阅读数量的极差是832855，故本选项说法错误，不符合题意 故选：B 9 （4 分）一次函数ykxb中，若0kb ，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是( ) A B C D 第 12 页（共 29 页） 【解答】解：y随着x的增大而增大， 0k， 又0kb ， 0b， 一次函数ykxb的图象经过第一、三、四象限 故选：B 10 （4 分）如图，Rt OAB的斜边OA在y轴上，30AOB，3O
18、B ，将Rt AOB绕 原点顺时 针旋转60，则A的对应点 1 A的坐标为( ) A(1, 3) B(3，1) C( 3，1) D( 1, 3) 【解答】解：如图，过点A作A Hx轴于H 90ABO，30AOB，3OB ， 2 cos30 OB OA ， 60AOA ， 30AOH ， 1 1 2 A HOA ，33OHA H， ( 3A ，1)， 故选：C 第 13 页（共 29 页） 11 （4 分）如图 1 是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆AB、BC、CD始 终在同一平面内） ，AB垂直于底座且长度为9cm，BC的长度为10cm，CD的长度可以伸缩 调整如图 2，143BC
19、D保持不变，转动BC，使得150ABC，假如/ /ADBC时为 最佳视线状态，则此时CD的长度为（参考数据：sin530.80 cos530.60)( ) A8cm B7.7cm C7.5cm D5.6cm 【解答】解：作BEAD于点E，CFAD于点F，如图 3， 150ABC，/ /BCAD， 30BAE， 1 4.5() 2 BEABcm， 4.5CFBEcm， cosCDCFDCF， CFAD，/ /ADBC， 1439053DCF ， 4.50.67.5()CDcm， CD的长度为7.5cm 故选：C 12 （4 分）如图，抛物线 2 4yaxbx交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直
20、线于另 第 14 页（共 29 页） 一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边） ，对称轴为直线 5 2 x ，连接AC，AD， BC若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是( ) A点B坐标为(5,4) BABAD C 1 6 a D16OC OD 【解答】解：抛物线 2 4yaxbx交y轴于点A， (0,4)A， 对称轴为直线 5 2 x ，/ /ABx轴， (5,4)B 故A无误； 如图，过点B作BEx轴于点E， 则4BE ，5AB ， / /ABx轴， BACACO ， 点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上， ACOACB ， BACACB ， 5BCA
21、B， 在Rt BCE中，由勾股定理得：3EC ， 第 15 页（共 29 页） (8,0)C， 对称轴为直线 5 2 x ， ( 3,0)D 在Rt ADO中，4OA ，3OD ， 5AD， ABAD， 故B无误； 设 2 4(3)(8)yaxbxa xx， 将(0,4)A代入得：4(03)(08)a， 1 6 a ， 故C无误； 8OC ，3OD ， 24OC OD， 故D错误 综上，错误的只有D 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）分解因式： 2 9x (3)(3)xx 【解答】解： 2 9
22、(3)(3)xxx 故答案为：(3)(3)xx 14 （4 分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块 方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 4 9 【解答】解：这个图形的总面积为 9，阴影部分的面积为 4，因此阴影部分占整体的 4 9 ， 第 16 页（共 29 页） 所以小球最终停留在黑砖上的概率是 4 9 ， 故答案为： 4 9 15 （4 分）n边形的内角和等于1080，则n 8 【解答】解：n边形的内角和等于1080， 180 (2)1080n， 解得：8n 故答案为：8 16 （4 分）若代数式 1 2 x x 的值是 1 2 ，则x
23、 4 【解答】解：根据题意得： 11 22 x x ， 去分母得：222xx， 解得：4x ， 检验：把4x 代入得：260 x ， 则分式的解为4x 故答案为：4 17 （4 分）如图，菱形ABCD的边长为 2，点B、C、D在以点A为圆心、AB为半径的 弧上，则图中阴影部分的面积是 4 2 3 3 【解答】解：菱形ABCD的边长为 2， 2ABBC， ABAC， ABC是等边三角形， 60BAC， 2BDBC， 图中阴影部分的面积为： 2 602134 2(22)2 3 360223 第 17 页（共 29 页） 故答案为： 4 2 3 3 18 （4 分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，2
24、AB ，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC 重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM 与EP相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G；P为线段BM上 一动点 有如下结论： 60ABN； 1AM ； BMG是等边三角形； 2 3 3 QN ； H是BN的中点，则PNPH的最小值是3其中正确结论的序号是 【解答】解：在Rt BEN中，2BNABBE， 30ENB， 60ABN，故正确， 30ABMNBMNBG ， 2 3 tan30 3 AMAB ，故错误， 60AMBBMN ， / /ADBC， 60GBMAMB ， 60MBGBMGBG
25、M ， BMG为等边三角形，故正确 4 3 2 3 BGBMAM， / / /EFBCAD，AEBE， BQQM，MNNG， QN是BMG的中位线， 12 3 23 QNBG，故正确 连接PE 第 18 页（共 29 页） 1BHBE，MBHMBE， E、H关于BM对称， PEPH， PHPNPEPN， E、P、N共线时，PHPN的值最小，最小值3EN，故正确， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分）分） 19 （6 分）计算： 10 1 ( )42cos60(2021) 3 【解答】解：原式 1 3221 2 1 1 1 1 20 （6 分
26、）解不等式组 321 21 1 3 xx x ，并写出它的所有整数解 【解答】解：解不等式，得：2x ， 解不等式，得：1x ， 则不等式组的解集为21x， 所以不等式组的整数解为2、1、0 21 （6 分）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，连接AE，CF求证：AECF 【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形， ABDC，/ /ABDC，ODOB， 第 19 页（共 29 页） ABECDF ， 点E，F分别为OB，OD的中点， BEDF， 在ABE和CDF中， ABCD ABFCDE OEOF ， ()ABECDF SAS ， AECF 22
27、 （8 分）在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间， 致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，我区某校开设了A： “3D”打印；B：数学 编程；C：智能机器人；D：陶艺制作，共四门创客课程，为了解学生对这四门创客课程 的喜爱情况， 数学兴趣小组对全校学生进行了随机抽样调查， 他们将调查结果整理后绘制成 三幅均不完整的统计图表 最喜爱的创客课程统计表： 创客课程 频数 频率 A 36 0.45 B 0.25 C 16 b D 8 合计 a 1 请根据图表中提供的信息回答下列问题： 第 20 页（共 29 页） （1）统计表中a 80 ，b ； （2）图 1 中“D”对
28、应扇形的圆心角为 度； （3）请补全图 1 中“B”所对应的条形图； （4）若该校有 2000 名学生，请你根据调查估计全校最喜欢“数学编程”创客课程的人数 【解答】解： （1）360.4580a ，16800.2b ， 故答案为：80，0.2； （2）图 1 中“D”对应扇形的圆心角为： 8 36036 80 ， 故答案为：36； （3）B对应的频数为：800.2520， 补全的条形统计图如右图所示； （4）20000.25500（人)， 即估计全校最喜欢“数学编程”创客课程的有 500 人 23（8 分） 如图，AB是O的直径， 点P在BA的延长线上，PD切O于点C，BDPD， 垂足为D，
29、连接BC （1）求证：PBCDBC ； （2）若6PA ，6 2PC ，求O的半径 【解答】 （1）证明：连接OC， 第 21 页（共 29 页） PD为圆的切线， OCPD， 90PCO， BDPD， 90D， PCOD ， / /COBD， OCBDBC ， OBOC， OCBPBC ， PBCDBC （2）解：设半径为x，则OAOCx，则6OPx 在Rt POC中，由勾股定理得： 222 OCPCOP， 222 (6)(6 2)xx， 3x O的半径是 3 24 （10 分）某学校为了满足疫情防控需求，决定购进A、B两种型号的口罩若干盒，若购 进A型口罩 10 盒，B型口罩 5 盒，共需
30、 1000 元，若购进A型口罩 4 盒，B型口罩 3 盒， 共需 550 元 （1）求A、B两种型号的口罩每盒各需多少元？ （2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计 200 盒，并要求购进A型口罩的盒数不超过 B型口罩盒数的 4 倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【解答】解： （1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元， 第 22 页（共 29 页） 依题意，得： 1051000 43550 xy xy ， 解得： 25 150 x y ， 答：A型口罩每盒需 25 元，B型口罩每盒需 150 元； （2）设购进m盒A型口罩，则购进(200)m盒B型口罩， 依题意，得
31、：4(200)mm， 解得：160m 设该学校购进这批口罩共花费w元，则25150(200)12530000wmmm 1250， w随m的增大而减小， 又160m，且m为整数， 当160m 时，w取得最小值，此时20040m 最省钱的购买方案为：购进 160 盒A型口罩，40 盒B型口罩 25 （10 分）如图 1，已知一次函数28yx 的图象分别与x轴和y轴交于点A、点B， 与反比例函数 1 k y x 的图象相交于点(2,)Cm （1）求点C的坐标和反比例函数 1 k y x 的表达式； （2） 如图 2， 点M为线段BC的中点， 将线段CM向左平移(0)n n 个单位后， 点C和点M 的
32、对应点C和M都落在另一个反比例函数 2 k y x 的图象上 求点M的坐标及n的值； 连接OM、M C、CC、C O，求四边形OM CC的面积 第 23 页（共 29 页） 【解答】解： （1）(2,)Cm在直线28yx 上， 484m ， (2,4)C， 点C在 1 k y x 的图象上， 1 8k， 反比例函数的解析式为 8 y x （2）一次函数28yx 的图象与坐标轴交于A，B两点， 点(4,0)B， 点M为线段BC的中点，(2,4)C， 点(3,2)M， 点C和点M平移后的对应点坐标分别为(2,4)n，(3,2)n， 4(2)2(3)knn ， 1n， 4k 由可知，(1,4)C，(
33、2,2)M，(2,4)C， 11 2424 14 22 OM CC S 四边形 26 （12 分）如图 1，已知ABC和ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、 AC上，90CAED （1）观察猜想： 第 24 页（共 29 页） 如图 2，将A D E绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F当BD的 延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时， BD CE 的值为 2 ； BFC的度数为 度； （2）类比探究： 如图 3，继续旋转ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由 （3）拓展延伸： 若2AEDE，10ACBC， 当CE所在的直线垂直于AD
34、时， 请你直接写出线段BD 的长 【解答】解： （1）如图（2）中，设AC交BE于点O AED，ABC都是等腰直角三角形， 45EADCAB ，2ADAE，2ABAC， EACDAB ，2 ABAD ACAE ， DABEAC， 第 25 页（共 29 页） 2 BDAD ECAE ，ABDACE ， AOBEOC ， 45BAOCEO ， 故答案为：2，45； （2）如图（3）中，设AC交BF于点O AED，ABC都是等腰直角三角形， 45EADCAB ，2ADAE，2ABAC， EACDAB ，2 ABAD ACAE ， DABEAC， 2 BDAD ECAE ，ABDACE ， AOBF
35、OC ， 45BAOCFO ， 2 BD EC ，45BFC； （3）如图（4）1中，当CEAD于O时， 2AEDE，10ACBC，90AEDACB ， 22ADAE， EOAD， 1ODOAOE， 第 26 页（共 29 页） 22 10 13OCACAO ， 4ECOEOC， 2BDEC， 4 2BD 如图（4）2中，当ECAD时，延长CE交AD于O 同法可得1ODOAOE，3OC ，312EC ， 22 2BDEC， 综上所述，BD的长为4 2或2 2 27（12 分） 如图， 拋物线 2 1 2 yxbxc 的图象经过点(0,2)C， 交x轴于点( 1,0)A 和B， 连接BC， 直线
36、1ykx与y轴交于点D， 与BC上方的抛物线交于点E， 与BC交于点F （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）求 EF DF 的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否 存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直 接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 第 27 页（共 29 页） 【解答】解： （1）设( B B x，) B y， 将( 1,0)A ，(0,2)C代入 2 1 2 yxbxc 中， 得： 1 0 2 2 bc c ， 解得： 3 2 2 b c ， 抛物线的表达式为： 2
37、 13 2 22 yxx ， 点B在x轴上， 0 B y， 将0 B y 代入 2 13 2 22 yxx 中，得： 2 13 20 22 BB xx， 解得： 1 4 B x， 2 1 B x （不符合题意，舍去） ， (4,0)B； （2）由题意知，点E位于y轴右侧，作/ /EGy轴交BC于点G， / /CDEG， EFEG DFCD ， 直线1ykx与y轴交于点D， (0,1)D， 211CD ， EF EG DF ， 设直线BC的解析式为(0)ymxn m， 第 28 页（共 29 页） 将(4,0)B，(0,2)C代入，得： 40 2 mn n ， 解得： 1 2 2 m n ， 直
38、线BC的解析式为 1 2 2 yx ， 设点 2 13 ( ,2) 22 E ttt，则 1 ( ,2) 2 G tt，且04t ， 222 13111 (2)(2)2(2)2 22222 EGtttttt ， 2 1 (2)2 2 EF t DF ， 1 0 2 ， 当2t 时， EF DF 的值最大，最大值为 2，此时点E的坐标为(2,3)； （3）设直线DE的解析式为ykxb，将(0,1)D，(2,3)E代入， 得： 1 23 b kb ， 解得： 1 1 k b ， 直线DE的解析式为1yx， 设( ,1)M n n， (4,0)B，(0,1)D， 2222 (4)(01)2617BM
39、nnnn， 2222 (0)(11)2DMnnn， 222 4117BD ， 以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形， 分两种情况：BD为边时或BD为对角线， 当BD为边时，MNDMBD（如图2)或MNBMBD（如图3)， 22 17DMBD或 22 17BMBD，即 2 217n 或 2 261717nn， 解得： 34 2 n 或0n （舍去）或3n ， 第 29 页（共 29 页） 34 ( 2 M， 342) 2 或 34 ( 2 M ， 234 ) 2 或(3,4)M， 如图 4，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则 1 (2,) 2 Q， 四边形BMDN是菱形， MNBD， 1 2 QBQDBD， 222 QDQMDM， 22222 11 (20)(1)(2)(1)2 22 nnn ， 解得： 17 6 n ， 17 ( 6 M， 23) 6 ， 综上所述，点M的坐标为 34 ( 2 ， 342) 2 或 34 ( 2 ， 234 ) 2 或(3,4)或 17 ( 6 ， 23) 6