1、 第 1 页（共 25 页） 2021 年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试卷年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分每小题只有一个选项是正确的）分每小题只有一个选项是正确的） 1 （3 分）下列各数中，负数是( ) A( 2) B| 2| C 3 2 D 2 ( 2) 2 （3 分）下列各式中，计算结果为 6 a的是( ) A 23 aa B 33 aa C 122 aa D 3 2 ()a 3 （3 分）如图所示的六角螺母，其俯视图是( ) A B C D 4 （3 分）如图，直线/ /ab，直线l与直线a、b分别交于点A、B，若15
2、4 ，则2等 于( ) A126 B134 C130 D144 5 （3 分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： 第 2 页（共 25 页） 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 去图书馆收集学生借阅图书的记录 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( ) A B C D 6 （3 分）已知一次函数3ykx的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标 可以是( ) A( 1,2) B(1, 2) C(2,3) D(3,4) 7 （3 分）如图，在菱形ABCD中，5AB ，6AC ，过点D作DEBA，交B
3、A的延长线 于点E，则线段DE的长为( ) A 12 5 B18 5 C4 D 24 5 8 （3 分）把二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析 式为 2 (1)2ya xa，若(1)0mabc ，则m的最大值是( ) A0 B1 C2 D4 二二.填空题（每题填空题（每题 3 分，共分，共 30 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上）不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上） 9 （3 分）2021 年 4 月 6 日国务院新闻办公室发布人类减贫的中国实践白皮书，白皮书 显示到 2020 年底我国贫困地区农村居民人均可支配收入为 12
4、588 元将 12588 用科学记数 法表示应为 10 （3 分）分解因式： 3 4xx 11 （3 分）当x 时，代数式 21 1 x x 值为 0 12 （3 分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均 第 3 页（共 25 页） 成绩都是 89，方差分别是 2 1.2S 甲 ， 2 3.3S 乙 ， 2 11.5S 丙 你认为适合选 参加决赛 13 （3 分）如果关于x的方程 2 30 xxk有两个不相等的实数根，那么k的取值范围 是 14 （3 分）如图，AB是半圆O的直径，ACAD，2OC ，30CAB，则点O到CD 的距离OE为 15 （3 分） 孙子
5、算经是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量 得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是，有一根竹竿 不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影 长五寸（提示：1 丈10尺，1 尺10寸） ，则竹竿的长为 16 （3 分）如图，ABCD的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限， 反比例函数(0) k yx x 的分支过点C，若ABCD的面积为 3，则k 17 （3 分）将一副直角三角板拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合，若45CAB， 30CAD，连接BD，则tanDBC 18 （3 分）如图，
6、ABC中，90ABC，以AC为斜边在ABC的外部作等腰Rt ADC， 第 4 页（共 25 页） 若 4 3 AB ，2BD ，则BC 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算： 0 4sin6027( 21)； （2）化简： 2 ()()()xyxy xy 20 （8 分）解不等式组 2(1) 1 15 33 xx x x ，并写出x的所有整数解 21 （8 分）某校在以“青春心向党，筑梦新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A 合唱，B
7、舞蹈，C书法，D演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项， 小丽随机调查了部分学生的报名情况， 并绘制了下列两幅不完整的统计图， 请根据统计图中 信息解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数是 人；扇形统计图中“D”部分的圆心角是 （2）请将条形统计图补充完整； （3）若全校共有 1600 名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？ 22 （8 分）某校有 4 个测温通道，分别记为A、B、C、D，学生可随机选取其中的一个 通道测温进校园，某日早晨该校所有学生体温正常 （1）小王同学该日早晨进校园时，选择A通道测温进校园的概率是 ； （2）小王和小李两同学该日早晨
8、进校园时，请用面树状图或列表法求选择不同通道测温进 校园的概率 23 （10 分）如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BFCE，点A、D分别在直线BE 第 5 页（共 25 页） 的两侧，/ /ABDE，AD （1）求证：ABCDEF ； （2）连接AD交BE于点O，若AOBO，请补全图形并证明：四边形ABDE是矩形 24 （10 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，扬州漆器厂接到制作 960 件漆器纪念贺礼订 单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前 10 天完成 任务原来每天制作多少件？ 25 （10 分）如图，ABC中，90ACB，BAC的平分线交B
9、C于点O，以点O为圆 心，OC长为半径作圆 （1）求证：AB是O的切线； （2）若30B，12BC ，求阴影部分面积 26 （10 分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点 之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形， 如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角 形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形 （1）请判断：含30角的直角三角形 （填“是”或“不是” )准黄金三角形； （2）如图 1，在ABC中，CD为角平分线，40A，60B，求证：ABC是准黄金 三角形； （3）如图 2，ABC是准黄金三角形，3AC ，10BC ，且ACD是以CD为底边
10、的等 第 6 页（共 25 页） 腰三角形，求CD的长 27 （12 分）某商店销售进价为 30 元/件的某种商品，在第(190)xx剟天的售价与销量的相 关信息如下表： 时间x（天) 150 x 5090 x剟 售价（元/件） 40 x 90 每天销量（件) 2002x 设销售商品的每天利润为y元 （1）求出y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3） 现该商店决定每销售 1 件该商品就捐赠a元(0)a 给贫困地区， 在销售的前 50 天内该 商店当日最大利润为 5832 元，求a的值 28 （12 分）如图，在ABC中，ABAC，8BC ， 3
11、tan 4 C ，点M、N分别在AB、BC 上，且2AMCN点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动，到达点N时停止；而点 Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB （1）求点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4:5两部分时，求MP的长； （3）求整个运动过程点Q运动的路径长 第 7 页（共 25 页） 2021 年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试卷年江苏省扬州市宝应县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分每小题只有一个选项是正确的）分每小题只有一个选项是正确的）
12、 1 （3 分）下列各数中，负数是( ) A( 2) B| 2| C 3 2 D 2 ( 2) 【解答】解：A、原式2，2 是正数，故此选项不合题意； B、原式2，2 是正数，故此选项不合题意； C、原式8 ，8是负数，故此选项合题意； D、原式4，4 是正数，故此选项不符合题意 故选：C 2 （3 分）下列各式中，计算结果为 6 a的是( ) A 23 aa B 33 aa C 122 aa D 3 2 ()a 【解答】解：A、 235 aaa，故此选项不合题意； B、 333 2aaa，故此选项不合题意； C、 12210 aaa，故此选项不合题意； D、 3 26 ()aa，故此选项符合
13、题意 故选：D 3 （3 分）如图所示的六角螺母，其俯视图是( ) A B 第 8 页（共 25 页） C D 【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆 故选：B 4 （3 分）如图，直线/ /ab，直线l与直线a、b分别交于点A、B，若154 ，则2等 于( ) A126 B134 C130 D144 【解答】解：如图， 154 ， 31801126 ， 直线/ /ab， 23126 ， 故选：A 5 （3 分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 去图书馆收集学生借阅图书的记录 绘制扇形图来表示各个种类所
14、占的百分比 整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( ) 第 9 页（共 25 页） A B C D 【解答】解：由题意可得， 正确统计步骤的顺序是：去图书馆收集学生借阅图书的记录整理借阅图书记录并绘 制频数分布表绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比从扇形图中分析出最受 学生欢迎的种类， 故选：D 6 （3 分）已知一次函数3ykx的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标 可以是( ) A( 1,2) B(1, 2) C(2,3) D(3,4) 【解答】解：A、当点A的坐标为( 1,2)时，32k ， 解得：10k ， y随x的增大而增大，选项A不符合题意； B、当点
15、A的坐标为(1, 2)时，32k ， 解得：50k ， y随x的增大而减小，选项B符合题意； C、当点A的坐标为(2,3)时，233k ， 解得：0k ，选项C不符合题意； D、当点A的坐标为(3,4)时，334k ， 解得： 1 0 3 k ， y随x的增大而增大，选项D不符合题意 故选：B 7 （3 分）如图，在菱形ABCD中，5AB ，6AC ，过点D作DEBA，交BA的延长线 于点E，则线段DE的长为( ) 第 10 页（共 25 页） A12 5 B18 5 C4 D 24 5 【解答】解：如图 四边形ABCD是菱形，6AC ， ACBD， 1 3 2 OAAC，2BDOB， 5AB
16、 ， 22 4OBABOA， 28BDOB， 1 2 ABCD SAB DEAC BD 菱形 ， 11 68 24 22 55 AC BD DE AB 故选：D 8 （3 分）把二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析 式为 2 (1)2ya xa，若(1)0mabc ，则m的最大值是( ) A0 B1 C2 D4 【解答】解：把二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象作关于x轴的对称变换，所得图象 的解析式为 2 (1)2ya xa， 原二次函数的顶点为(1, 2 )a， 原二次函数为 22 (1)22ya xaaxaxa， 2ba ，ca ， (1)
17、0mabc ， (1)20maaa ， 0a ， 第 11 页（共 25 页） 1 2 1 0m ，即4m， m的最大值为 4， 故选：D 二二.填空题（每题填空题（每题 3 分，共分，共 30 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上）不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上） 9 （3 分）2021 年 4 月 6 日国务院新闻办公室发布人类减贫的中国实践白皮书，白皮书 显示到 2020 年底我国贫困地区农村居民人均可支配收入为 12588 元将 12588 用科学记数 法表示应为 4 1.2588 10 【解答】解： 4 125881.2588 10 故答案为： 4 1.2
18、588 10 10 （3 分）分解因式： 3 4xx (2)(2)x xx 【解答】解： 3 4xx， 2 (4)x x， (2)(2)x xx 故答案为：(2)(2)x xx 11 （3 分）当x 1 2 时，代数式 21 1 x x 值为 0 【解答】解：由题意知210 x 且10 x 解得 1 2 x 故答案是： 1 2 12 （3 分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均 成绩都是 89，方差分别是 2 1.2S 甲 ， 2 3.3S 乙 ， 2 11.5S 丙 你认为适合选 甲 参加决赛 【解答】解： 2 1.2S 甲 ， 2 3.3S 乙 ， 2 1
19、1.5S 丙 ， 222 SSS 乙甲丙， 甲的成绩稳定， 适合选择甲参加决赛， 故答案为：甲 13 （3 分）如果关于x的方程 2 30 xxk有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 第 12 页（共 25 页） 9 4 k 【解答】解：根据题意得 2 34()0k， 解得 9 4 k 故答案为 9 4 k 14 （3 分）如图，AB是半圆O的直径，ACAD，2OC ，30CAB，则点O到CD 的距离OE为 2 【解答】解：ACAD，30A， 75ACDADC ， AOOC， 30OCAA ， 45OCD，即OCE是等腰直角三角形， 在等腰Rt OCE中，2OC ； 因此2OE 故答案为：
20、2 15 （3 分） 孙子算经是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量 得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是，有一根竹竿 不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影 长五寸（提示：1 丈10尺，1 尺10寸） ，则竹竿的长为 四丈五尺 【解答】解：设竹竿的长度为x尺， 竹竿的影长一丈五尺15尺，标杆长一尺五寸1.5尺，影长五寸0.5尺， 1.5 150.5 x ， 解得45x （尺)， 45 尺四丈五尺 故答案为：四丈五尺 第 13 页（共 25 页） 16 （3 分）如图，ABCD的顶点A、B在x轴上，顶
21、点D在y轴上，顶点C在第一象限， 反比例函数(0) k yx x 的分支过点C，若ABCD的面积为 3，则k 3 【解答】解：如图，过点C作CEAB于E，连接OC， ABCD的面积为 3， 3AB CE 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，/ /ADBC DAOCBA DOAO，CEAB， 90DOACEB ()DOACEB AAS ODACEB SS 3 DOECABCD SS 矩形平行四边形 3OE CE 设( , )C a b， C在第一象限， 0a，0b 第 14 页（共 25 页） OEa，CEb 3OE CEab 3kab 故答案为：3 17 （3 分）将一副直角三角板拼成如图
22、所示的四边形ABCD，一边重合，若45CAB， 30CAD，连接BD，则tanDBC 43 13 【解答】解：作DEBC，交BC延长线于点E，设CDx， 45CAB，30CAD，一副直角三角板拼成的四边形ABCD， 90ACB，90ADC， 30DCE， 2BCACx， 1 2 DEx， 3 2 CEx， 1 43 2 tan 133 2 2 x DE DBC BE xx 故答案为： 43 13 18 （3 分）如图，ABC中，90ABC，以AC为斜边在ABC的外部作等腰Rt ADC， 若 4 3 AB ，2BD ，则BC 2 3 【解答】解：如图，将ABD绕点D逆时针旋转90得到DCE， 所
23、以DCEBAD ， 4 3 ABCE， 第 15 页（共 25 页） 因为180ABCADE， 所以180BADBCD ， 所以180BCDDCE， 所以B、C、E三点共线， 所以BDE是等腰直角三角形， 所以22BEBD， 所以 42 2 33 BC ， 故答案为： 2 3 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算： 0 4sin6027( 21)； （2）化简： 2 ()()()xyxy xy 【解答】解： （1）原式 3 43 31 2
24、2 33 31 31 ； （2）原式 2222 2()xxyyxy 2222 2xxyyxy 2 22xyy 20 （8 分）解不等式组 2(1) 1 15 33 xx x x ，并写出x的所有整数解 【解答】解： 211 15 33 xx x x ， 解不等式，得：1x， 第 16 页（共 25 页） 解不等式，得：3x ， 则不等式组的解集为13x， 不等式组的整数解为：1、2 21 （8 分）某校在以“青春心向党，筑梦新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A 合唱，B舞蹈，C书法，D演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项， 小丽随机调查了部分学生的报名情况， 并绘制了
25、下列两幅不完整的统计图， 请根据统计图中 信息解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数是 200 人；扇形统计图中“D”部分的圆心角是 （2）请将条形统计图补充完整； （3）若全校共有 1600 名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？ 【解答】解： （1）次调查的学生总人数是12060%200， 扇形统计图中“D”部分的圆心角是： 8 36014.4 200 ， 故答案为：200，14.4； （2）选择C的有：20012052820（人)， 补全的条形统计图如右图所示； （3） 208 1600224 200 （人)， 即估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有 224
26、人 22 （8 分）某校有 4 个测温通道，分别记为A、B、C、D，学生可随机选取其中的一个 通道测温进校园，某日早晨该校所有学生体温正常 第 17 页（共 25 页） （1）小王同学该日早晨进校园时，选择A通道测温进校园的概率是 1 4 ； （2）小王和小李两同学该日早晨进校园时，请用面树状图或列表法求选择不同通道测温进 校园的概率 【解答】解： （1）小王同学该日早晨进校园时，选择A通道测温进校园的概率是 1 4 ， 故答案为： 1 4 ； （2）画树状图如图： 共有 16 个等可能的结果，小王和小李两同学选择不同通道测温进校园的结果有 12 个， 小王和小李两同学选择不同通道测温进校园的
27、概率为 123 164 23 （10 分）如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BFCE，点A、D分别在直线BE 的两侧，/ /ABDE，AD （1）求证：ABCDEF ； （2）连接AD交BE于点O，若AOBO，请补全图形并证明：四边形ABDE是矩形 【解答】证明： （1）/ /ABDE， BE ， BFCE， BCEF， 在ABC与DEF中， 第 18 页（共 25 页） BAEEDB ABEDEB BCEF ， ()ABCDEF AAS ； （2）由（1）知，ABCDEF ，BCEF， BACEDF ，ACDF， AOBO， OABOBA ， / /ABDE， ODEOAB ，OEDOB
28、A ， ODEOED ，CAOFDO ， ODOE， ADBE， 在ACO和DFO中， CAOFDA AOCDOF ACDF ， AODO，COFO， BOEO， 四边形ABDE是平行四边形， 四边形ABDE是矩形 24 （10 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，扬州漆器厂接到制作 960 件漆器纪念贺礼订 单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前 10 天完成 任务原来每天制作多少件？ 第 19 页（共 25 页） 【解答】解：设原来每天制作x件，根据题意得： 960960 10 (150%)xx ， 解得：32x ， 经检验32x 是原方程的解， 答：
29、原来每天制作 32 件 25 （10 分）如图，ABC中，90ACB，BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆 心，OC长为半径作圆 （1）求证：AB是O的切线； （2）若30B，12BC ，求阴影部分面积 【解答】 （1）证明：过O作ODAB于D，如图所示： 90ACB， OCAC， OA平分BAC， ODOC， OC为O的半径， OD为O的半径， AB是O的切线； （2）解：ODAB， 90ODB， 30B，90ACB， 2OBOD， 3 4 3 3 ACBC， OCOD，12BC ， 312BCOC， 第 20 页（共 25 页） 4ODOC， 903060BOD ， 120COD， 由（
30、1）得：AB是O的切线，OCAC， AC为O的切线， 4 3ADAC， 阴 影 部 分 面 积AOC 的 面 积AOD的 面 积扇 形O C D的 面 积 2 11120416 4 344 3416 3 223603 26 （10 分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点 之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形， 如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角 形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形 （1）请判断：含30角的直角三角形 是 （填“是”或“不是” )准黄金三角形； （2）如图 1，在ABC中，CD为角平分线，40A，60B，求证：AB
31、C是准黄金 三角形； （3）如图 2，ABC是准黄金三角形，3AC ，10BC ，且ACD是以CD为底边的等 腰三角形，求CD的长 【解答】解： （1）含30角的直角三角形是准黄金三角形，若要分割成一个等腰三角形和一 个与原三角形相似的三角形，则作60角的角平分线即可； 第 21 页（共 25 页） 故答案为：是； （2）由三角形内角和为180，得，180180406080ACBAB ， CD为ACB的角平分线， 11 8040 22 ACDBCDACB ， ACDA ， ADCD， ADC为等腰三角形， 180180604080CDBBBCD ， CDBACB， ABC为准黄金三角形； （3
32、）ACD是等腰三角形， 3ACAD， ABC为准黄金三角形， ABCCBD， ACCD BCBD ， 3BDABADAB， 3 310 CD AB ， ACAB CDBC ， 3 10 AB CD ， 3 10 AB CD ， 3 103 10 3 CD CD ， 3 10 5 CD 27 （12 分）某商店销售进价为 30 元/件的某种商品，在第(190)xx剟天的售价与销量的相 关信息如下表： 时间x（天) 150 x 5090 x剟 售价（元/件） 40 x 90 第 22 页（共 25 页） 每天销量（件) 2002x 设销售商品的每天利润为y元 （1）求出y与x的函数关系式； （2）
33、问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3） 现该商店决定每销售 1 件该商品就捐赠a元(0)a 给贫困地区， 在销售的前 50 天内该 商店当日最大利润为 5832 元，求a的值 【解答】解： （1）当150 x时， 2 (2002 )(4030)21802000yx xxx， 当5090 x剟时， (2002 )(9030)12012000yxx ， 综上所述： 2 21802000(150) 12012000(5090) xxx y xx 剟 ； （2）当150 x时， 2 21802000yxx， 2 2(45)6050yx 20a ， 二次函数开口下，二次函数对称轴为
34、45x ， 当45x 时，6050y 最大 ， 当5090 x剟时，y随x的增大而减小， 当50 x 时，6000y 最大 ， 综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元； （3）根据题意得，(2002 )(4030)2(100)(10)yx xaxxa ， 函数的对称轴 100101 4545 22 a xa ， 在4550 x时， 当 1 45 2 xa时，函数取得最大值， 即 11 2(45100)(4510)5832 22 yaaa ， 即 1 (55)54 2 a ， 第 23 页（共 25 页） 解得：2a （不合题意的值已舍去） ； 故a的值为 2
35、 28 （12 分）如图，在ABC中，ABAC，8BC ， 3 tan 4 C ，点M、N分别在AB、BC 上，且2AMCN点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动，到达点N时停止；而点 Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB （1）求点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4:5两部分时，求MP的长； （3）求整个运动过程点Q运动的路径长 【解答】解： （1）如图 1，点P在BN上运动时，当APBC时，点P与点A有最短距离， ABAC，8BC ， 4BPPC， 3 tan 4 AP C BP ， 3AP， 点P在BN上运动时，点P与点A的最
36、短距离为 3； （2）如图 1，3AP ，4BP ， 22 9 165ABAPBP， 当点P在MB上，如图 2， APQB， / /PQBC， APQABC， 第 24 页（共 25 页） 2 () APQ ABC S AP SAB ， PQ将ABC的面积分成上下4:5两部分， 4 9 APQ ABC S S ， 2 53 AP ， 10 3 AP， 4 3 PMAPAM； （3）当点P在MB上运动时，/ /PQBC， 3CQBM， 当点P在BC上，且移动到BC中点时，如图 3， ABAC，4BPCP， BC ，APBC， APQB，APCBBAPAPQCPQ ， CPQBAP， ABPBCQ， CPCQ ABBP ， 416 4 55 CQ， 当点P从BC中点移动到点N时，如图 4， 同理可得ABPBCQ， 第 25 页（共 25 页） CPCQ ABBP ， 212 6 55 CQ， 整个运动过程点Q运动的路径长 161612 3()7 555