1、3.3 垂径定理(2)(1)垂直弦(不是直径)、平分弦、平分弦所对的弧、直径四个条件中只要将其中两个作为条件，另两个作为结论，得到的命题都是真命题.(2)垂径定理应用于几何计算的本质就是半径、弦心距以及半弦长组成的直角三角形的计算1.如图所示，在半径为 13cm 的圆形铁片上切下一块高为 8cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为(C).A.10cm B.16cm C.24cm D.26cm（第 1 题） (第 2 题) (第 3题)2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉” ，其中“日”指的是“杭州国际会议中心” ，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是 85m，球的半径是
2、50m，则杭州国际会议中心的占地面积是(A).A.1275m 2 B.2550m 2 C.3825m 2 D.5100m 23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D，E，量出半径 OC=5cm，弦 DE=8cm，则直尺的宽度为(C).A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm4.如图所示，将一个半径为 5cm 的半圆 O 折叠，使 经过点 O，则折痕 AF 的长度为(C).A.5cm B.5 cm C.5 cm D.10 cm233(第 4 题) (第 5 题) 图 1 图 2（第 6 题）5.如图所示，在O 中，AB
3、，AC 是互相垂直的两条弦，ODAB 于点 D，OEAC 于点 E，且AB=8cm，AC=6cm，那么O 的半径 OA 长为 5cm 6.如图 1 所示，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图 2 是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为 A，B，AB=40cm，脸盆的最低点 C 到 AB 的距离为 10cm，则该脸盆的半径为 25 cm.7.如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点 A，B，C.(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心.(保留作图痕迹，不写作法)(2)设ABC 是等腰三角形，底边 BC=8cm，腰 AB=5cm，求圆片的半径 R.（第 7 题） （第 7 题答图）【答案】(
4、1)如答图所示.(2)连结 AO，BO，CO，AO 交 BC 于点 E.AB=AC，OBCO，OA 垂直平分BC.AEBC.BE= 21BC= 8=4（cm）.在 RtABE 中，AE= = =3(cm).在 RtBEO 中，21 2BEA245OB2=BE2+OE2，即 R2=42+(R-3)2，解得 R= .圆片的半径 R 为 cm.656（第 8 题）8.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 AB=60m，拱高 PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径 r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有 30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有 4m，即 PE=4m 时，是否要采取紧急措施？【答
5、案】(1)（第 8 题答图）如答图所示，连结 OA.由题意得 AD= AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在 RtADO 中，由勾股定21理得 r2=302+(r-18)2，解得 r=34.圆弧所在的圆的半径 r 的长为 34m.(2)连结 OA.易知 OE=OP-PE=30（m） ，在 RtAEO 中，由勾股定理得 AE 2=AO 2-OE2，即 AE 2=342-302，解得 AE=16.AB=2AE=32(m).AB=32m30m，不需要采取紧急措施.9.如图所示，CD 是O 的直径，将一把直角三角尺的 60角的顶点与圆心 O 重合，角的两边分别与O 交于 E，F 两点，点 F
6、是 的中点，O 的半径是 4，则弦 ED 的长为(A).A.4 B.5 C.6 D.6322(第 9 题) (第 10 题) (第 11 题)10.如图所示，半径为 1 的半圆 O 上有两个动点 A，B，若 AB=1，则四边形 ABCD 的面积最大值为(C).A. B. C. D. 23432311.如图所示，正方形 ABCD 内接于O，E 为 DC 的中点，直线 BE 交O 于点 F，如果O 的半径为 2，那么点 O 到 BE 的距离 OM= 512.如图所示，AB，CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，ABMN 于点E，CDMN 于点 F，P 为 EF 上的
7、任意一点，则 PA+PC 的最小值为 7 2(第 12 题) (第 13 题)13.将一直径为 2 cm 的圆形纸片(图 1)剪成如图 2 所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折17叠得到正方体(图 3)形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大值为 8 cm 3(第 14 题) （第 14 题答图）14.如图所示，在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90，圆心 O 在ABC 内部，且O 经过B，C 两点，若 BC=8，AO=1，求O 的半径【答案】如答图所示，连结 BO，CO，延长 AO 交 BC 于点 D.ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC.点 O 是圆心，OB=OC.直线 OA 是线段
8、 BC 的垂直平分线.ADBC，且 D 是 BC 的中点.在 RtABC 中，AD=BD= BC，BC=8，BD=AD=4.AO=1，OD=AD-AO=3.21ADBC，BDO=90.OB= = =5.2BD243（第 15 题）15.在我国古代数学著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图所示，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，AE=1 寸，CD=10 寸，求直径 AB 的长.请你解答这个问题.【答案】如答图所示，连结 OC.弦 CDAB，AB 为O 的直径，E 为 CD 的中点.又CD=10
9、寸，CE=DE= CD=5 寸.设 OC=OA=x(寸)，则 AB=2x(寸)，OE=(x-1)(寸)，由勾股21定理得 OE2+CE2=OC2，即(x-1) 2+52=x2，解得 x=13，AB=26 寸，即直径 AB 的长为 26 寸.（第 15 题答图）(第 16 题)16.【南充】如图所示为由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm)，直线 l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 mm.17.【无锡】如图 1 所示为一个用铁丝围成的置物架，我们来仿制一个类似的柱体形置物架.如图 2 所示，它是由一个半径为 r、圆心角 90的扇形 A2OB2，矩形 A2C2EO，
10、矩形 B2D2EO 及若干个缺一边的矩形框 A1C1D1B1，A 2C2D2B2，A nBnCnDn，OEFG 围成，其中 A1，G，B 1在上，A 2，A 3，A n与 B2，B 3，B n分别在半径 OA2和 OB2上，C 2，C 3，C n和D2，D 3Dn分别在 EC2和 ED2上，EFC 2D2于点 H2，C 1D1EF 于点H1，FH 1=H1H2=d，C 1D1，C 2D2，C 3D3，C nDn依次等距离平行排放(最后一个矩形框的边CnDn与点 E 间的距离应不超过 d)，A 1C1A 2C2A 3C3A nCn.(1)求 d 的值.(2)CnDn与点 E 间的距离能否等于 d
11、？如果能，请求出这样的 n 的值；如果不能，那么它们之间的距离是多少？图 1 图 2(第 17 题)【答案】(1)在 RtD 2EC2中，D 2EC2=90，EC 2=ED2=r，EFC 2D2，EH 2= r，FH 2=r-r.d= （r- r）= r.214(2)假设 CnDn与点 E 间的距离能等于 d.由题意得（n+1） =r,这个方程 n 没有整数42解假设不成立.r r=4+2 6.8，n=6，此时 CnDn与点 E 间的距离=r-642r= r.423（第 18 题）18.如图所示，C 是O 上 的中点，弦 AB=6cm，E 为 OC 上任意一点，动点 F 从点 A 出发，以 1
12、cm/s 的速度沿 AB 方向向点 B 匀速运动，若 y=AE2-EF2，求 y 关于动点 F 的运动时间x（s）(0x6)的函数表达式【答案】如答图所示，延长 CO 交 AB 于点 G.C 是 的中点，（第 18 题答图）CGAB，AG= AB=3(cm).AE 2=AG2+EG2，EF 2=FG2+EG2.当 0x3 时，AF=x(cm)，21FG=(3-x)(cm)，y=AE 2-EF2=AG2+EG2-FG2-EG2=AG2-FG2=9-(3-x)2=6x-x2.当 3x6 时，AF=x(cm)，FG=(x-3)(cm)，y=AE 2-EF2=AG2+EG2-FG2-EG2=AG2-FG2=9-(x-3)2=6x-x2.y=6x-x2(0x6).