1、2021 年河北省石家庄市高考数学教学质量检测试卷（一）年河北省石家庄市高考数学教学质量检测试卷（一） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1若集合 A，B，U 满足：ABU，则 U（ ） AAUB BBUA CAUB DBUA 2设向量 （1，2）， （m，1），且（ + ） ，则实数 m（ ） A3 B C2 D 3甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴 蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分 别为（ ） A红、黄、蓝 B黄、红、蓝 C蓝、红、黄 D蓝、黄、红 4a2
2、是 a+3 的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 52021 年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了 6 名工作人员到 A、B、C 三个 村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去 1 人，不同的安排方式共有（ ） A630 种 B600 种 C540 种 D480 种 6已知菱形 ABCD 边长为 2，ABC60，沿角线 AC 折叠成三棱锥 BACD，使得二面角 BACD 为 60，设 E 为 BC 的中点，F 为三棱锥 BACD 表面上动点，且总满足 ACEF，则点 F 轨迹的长度 为（ ） A2 B3 C D 7已知数列an的通项
3、公式为 annsin，则 a1+a2+a3+a2021（ ） A1011 B C D1011 8若 f（x）图象上存在两点 A，B 关于原点对称，则点对A，B称为函数 f（x）的“友情点对”（点对A， B与B，A视为同一个“友情点对”）若 f（x）恰有两个“友情点对”，则实数 a 的 取值范围是（ ） A（，0） B（0， ） C（0，1） D（1，0） 二、选择题：本小题共二、选择题：本小题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的
4、得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9关于（12x）2021a0+a1x+a2 x 2+a 2021 x 2021（xR），则（ ） Aa01 Ba1+a2+a3+a202132021 Ca38 Da1a2+a3a4+a2021132021 10设 z 为复数，则下列命题中正确的是（ ） A|z|2z Bz2|z|2 C若|z|1，则|z+i|的最大值为 2 D若|z1|1，则 0|z|2 11函数 f（x）2sin（x+）（0，0）的图象如图，把函数 f（x）的图象上所有的点向右平 移个 单 位 长 度 ， 可 得 到 函 数y g （ x ） 的 图 象 ， 下 列 结 论 正
5、 确 的 是 （ ） A B函数 g（x）的最小正周期为 C函数 g（x）在区间，上单调递增 D函数 g（x）关于点（，0）中心对称 12已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，长轴长为 4，点 P（ ，1）在椭圆内 部，点 Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A离心率的取值范围为（0，） B当离心率为时，|QF|+|QP|的最大值为 4+ C存在点 Q 使得0 D 的最小值为 1 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知随机变量 X 服从正态分布 N（10，2），若 P（X8）0.23，则 P（X12） 1
6、4已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，过 F 且被抛物线截得的弦长为 2 的直线有且仅有两条，写出 一个满足条件的抛物线的方程 ，此时该弦中点到 y 轴的距离为 15如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以 A 为圆心，半径长为 2 的半圆，点 D、M 在上，且的长度 为，的长度为 ，则在该圆锥中，点 M 到平面 ABD 的距离为 16已知定义在 R 上的函数 f（x），其导函数为 f（x），满足 f（x）2，f（2）4，则不等式 xf（x 1）2x22x 的解集为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分，解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤。 17已知公差不为 0 的等差数列an满足 a11，且 a1，a2，a5成等比数列 （）求数列an的通项公式； （）若 bn2n1，求数列anbn的前 n 项和 Tn 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足cb（sinA+cosA） （）求角 B 的大小； （）若 a+c2，求 b 的取值范围 192022 年北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙 面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰 上划痕成丝带，22 条“冰丝带”又象征北京 2022 年冬奥
8、会其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形 平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于 球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积、体积等对几何图形的面积、体 积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如九章算术中记录了数学家刘徽提出利用牟合 方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到 200 年以后数学家祖冲之、祖暅父子在缀术提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟 合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面 积相等，则这两个几何
9、体的体积相等 （）利用祖暅原理推导半径为 R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体 M，几何体 M 的 底面半径和高都为 R，其底面和半球体的底面同在平面 内设与平面 平行且距离为 d 的平面 截两 个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明； （）现将椭圆1（ab0）所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的 椭球 A，B（如图 3），类比（）中的方法，探究椭球 A 的体积公式，并写出椭球 A，B 的体积之 比 20“T2 钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可 能出现两种模式：“常规模式”和
10、“FAST5 模式”在前 24 分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为 11 分制，率先拿满 11 分的选手赢得该局；如果两名球员在 24 分钟内都没有人赢得 4 局比赛，那么将进 入“FAST5”模式，“FAST5”模式为 5 分制的小局比赛，率先拿满 5 分的选手赢得该局24 分钟计时 后开始的所有小局均采用“FAST5”模式某位选手率先在 7 局比赛中拿下 4 局，比赛结束现有甲、 乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24 分钟内甲、乙可以完整打满 2 局或 3 局，且在 11 分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛 双方获胜
11、的概率都为，每局比赛结果相互独立 （）求 4 局比赛决出胜负的概率； （）设在 24 分钟内，甲、乙比赛了 3 局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为 X，求 X 的分布列及 数学期望 21已知坐标原点为 O，双曲线1（a0，b0）的焦点到其渐近线的距离为，离心率为 （）求双曲线的方程； （）设过双曲线上动点 P（x0，y0）的直线 x0 x1 分别交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点， 求AOB 的外心 M 的轨迹方程 22已知函数 f（x），且方程 f（x）a0 在， 上有解 （）求实数 a 的取值范围； （）设函数 g（x）（a+1）sinxxcosx（x，）的最大值为 G（a），求函数
12、 G（a）的最小值 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。的。 1若集合 A，B，U 满足：ABU，则 U（ ） AAUB BBUA CAUB DBUA 解：集合 A，B，U 满足：ABU， 如图， UBUA 故选：B 2设向量 （1，2）， （m，1），且（ + ） ，则实数 m（ ） A3 B C2 D 解：，且， ，解得 m3 故选：A 3甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不
13、相同，乙比戴 蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分 别为（ ） A红、黄、蓝 B黄、红、蓝 C蓝、红、黄 D蓝、黄、红 解：丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小， 故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小； 乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙， 即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知， 只能是乙比丙的年龄大，即带蓝帽子的人是丙 综上所述，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝 故选：B 4a2 是 a+3 的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 解：由 a+3，解得
14、 0a1 或 a2， 故由 a2 可推出 a+3， 由 a+3 不能推出 a2， 故 a2 是 a+3 的充分不必要条件， 故选：C 52021 年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了 6 名工作人员到 A、B、C 三个 村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去 1 人，不同的安排方式共有（ ） A630 种 B600 种 C540 种 D480 种 解：把 6 名工作人员分为 1，1，4 三组，则不同的安排方式共有：种， 把 6 名工作人员分为 2，2，2 三组，不同的安排方式共有：种， 把 6 名工作人员分为 1，2，3 三组，不同的安排方式共有：种， 综上，不同的安排方式
15、共有 90+90+360540 种， 故选：C 6已知菱形 ABCD 边长为 2，ABC60，沿角线 AC 折叠成三棱锥 BACD，使得二面角 BACD 为 60，设 E 为 BC 的中点，F 为三棱锥 BACD 表面上动点，且总满足 ACEF，则点 F 轨迹的长度 为（ ） A2 B3 C D 解：连接 AC、BD，交于点 O，连接 OB， ABCD 为菱形，ABC60，所以 ACBD，OBAC，ABC、ACD、ABC 均为正三角形， 所以BOD 为二面角 BACD 的平面角，于是BOD60， 又因为 OBOD，所以BOD 为正三角形，所以 BDOBOD， 取 OC 中点 P，取 CD 中点
16、 Q，连接 EP、EQ、PQ，所以 PQOD、EPOB， 所以 ACEP、ACPQ，所以 AC平面 EPQ， 所以在三棱锥 BACD 表面上，满足 ACEF 的点 F 轨迹的EPQ， 因为 EPOB，PQOD，EQBQ，所以EPQ 的周长为， 所以点 F 轨迹的长度为 故选：D 7已知数列an的通项公式为 annsin，则 a1+a2+a3+a2021（ ） A1011 B C D1011 解：数列an的通项公式为 annsin ， 且 ysin的周期为 6n， 故 a6n+1+a6n+2+a6n+3+a6n+4+a6n+5+a6n+6 （6n+1）sin+（6n+2）sin+（6n+3）si
17、n +（6n+4）sin+ （6n+5）sin+（6n+6）sin （6n+1）sin+（6n+2）sin+（6n+3）sin+（6n+4）sin +（6n+5）sin+（6n+6） sin （6n+1）+（6n+2）+（6n+3）0+（6n+4）（）+（6n+5）（）+（6n+6） 0 3， 又因为 20216336+563371， a1+a2+a3+a2021337（3 ）a61011 ， 故选：D 8若 f（x）图象上存在两点 A，B 关于原点对称，则点对A，B称为函数 f（x）的“友情点对”（点对A， B与B，A视为同一个“友情点对”）若 f（x）恰有两个“友情点对”，则实数 a 的
18、取值范围是（ ） A（，0） B（0， ） C（0，1） D（1，0） 解：若使 f（x）有两个友情点对，则 a0， 且 y与 yax2在 x0 时有两个交点， 则ax2，a，即 ya 与 y在 x0 时有两个交点， 因为 y，所以当 x（0，1）时，y单调递增，当 x（1，+）时，y单调递减， x1，ymax，又 x0，y0，x+，y0， f（x）的大致图象为： 要使 ya 与 y在 x0 时有两个交点， 则a（0，），即 a（，0）， 故选：A 二、选择题：本小题共二、选择题：本小题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分在每
19、小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9关于（12x）2021a0+a1x+a2 x 2+a 2021 x 2021（xR），则（ ） Aa01 Ba1+a2+a3+a202132021 Ca38 Da1a2+a3a4+a2021132021 解：令 x0，则 a01，故 A 正确， 令 x1，则（12）2021a0+a1+a2+a20211 所以 a1+a2+a2021112，故 B 错误， 令 x1，则（1+2）2021a0a1+a2a3+a202132021 +可得：a 可得：a1+
20、a3+a2021 所以可得：a0+a1a2+a3a4+a2021 ， 所以 a1a2+a3a4+a2021132021，故 D 正确， 展开式中含 x3的项的系数为 a 8C，故 C 错误， 故选：AD 10设 z 为复数，则下列命题中正确的是（ ） A|z|2z Bz2|z|2 C若|z|1，则|z+i|的最大值为 2 D若|z1|1，则 0|z|2 解：设 za+bi， 对于 A，|z|2a2+b2， ，故选项 A 正确； 对于 B，z2（a+bi）2a2b2+2abi，|z|2a2+b2，故选项 B 错误； 对于 C，|z|1 表示 z 对应的点 Z 在单位圆上，|z+i|表示点 Z 对
21、应的点与（0，1）的距离，故|z+i|的最 大值为 2，故选项 C 正确； 对于 D，|z1|1 表示 z 对应的点 Z 在以（1，0）为圆心，1 为半径的圆上，|z|表示 z 对应的点 Z 与原点 （0，0）的距离，故 0|z|2，故选项 D 正确 故选：ACD 11函数 f（x）2sin（x+）（0，0）的图象如图，把函数 f（x）的图象上所有的点向右平 移个 单 位 长 度 ， 可 得 到 函 数y g （ x ） 的 图 象 ， 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ） A B函数 g（x）的最小正周期为 C函数 g（x）在区间，上单调递增 D函数 g（x）关于点（，0）中心对称 解：根
22、据函数 f（x）2sin（x+）（0，0）的图象， 可得 T，且 T，（，） 把（0，）代入，可得 2sin，或 再把根据图象经过最高点（ ，2），可得 +2k+，kZ 当 时，+2k+，kZ，求得 +，不满足条件 （，）， 故 ，故 A 错误 此时，由 +2k+，kZ，求得 +， 令 k1，可得 2，满足条件 （，），故 f（x）2sin（2x+） 把函数 f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得到函数 yg（x）2sin（2x+）的图象， 故 g（x）的最小正周期为，故 B 正确 当 x，2x+，故 g（x）单调递增，故 C 正确 令 x，求得 g（x）0，故 g（x）的图象不关
23、于点（，0）中心对称，故 D 错误， 故选：BC 12已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，长轴长为 4，点 P（ ，1）在椭圆内 部，点 Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A离心率的取值范围为（0，） B当离心率为时，|QF|+|QP|的最大值为 4+ C存在点 Q 使得0 D 的最小值为 1 解：因为长轴长为 4，所以 2a4，即 a2， 因为点 P（，1）在椭圆内部， 所以+1，即b2， 对于 A：e（，）， 所以 e（0，），故 A 不正确； 对于 B：|QF1|+|QP|4|QF2|+|QP|， 当点 Q，F2，P 共线且 Q 在 x 轴下方时，|QF2|QP|取
24、最大值 4+|PF2|， 由 e，即，解得 c，所以 F2（，0）， 所以|PF2 | ， 所以|QF|+|QP|的最大值为 4+，故 B 正确； 对于 C：若0，则|OQ|F1F2|c， 由 A 选项知，cae（0，），b（，2）， 所以|OQ|minbc， 所以不存在 Q 使得0，故 C 不正确； 对于 D：由基本不等式可得（|QF1|+|QF2|）（+）（1+1）24， 又|QF1|+|QF2|4，所以 +1，故 D 正确 故选：BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知随机变量 X 服从正态分布 N（10，2），
25、若 P（X8）0.23，则 P（X12） 0.77 解：随机变量 X 服从正态分布 N（10，2），P（X8）0.23， P（X12）0.23， P（X12）10.230.77 故答案为：0.77 14已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，过 F 且被抛物线截得的弦长为 2 的直线有且仅有两条，写出 一个满足条件的抛物线的方程 y2x ，此时该弦中点到 y 轴的距离为 解：由题意可知，直线的斜率存在且不为 0， 设直线方程为 yk（x），代入 y22px（p0）， 得 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ， 弦长为 2，由抛物线定义知，x1+x2+p2， 则 p+p2，即 2p+
26、， 令 k21，得 p ，抛物线 y2x 满足条件； 设弦的中点为 M（）， ， 即此时该弦中点到 y 轴的距离为 故答案为：y2x； 15如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以 A 为圆心，半径长为 2 的半圆，点 D、M 在上，且的长度 为，的长度为 ，则在该圆锥中，点 M 到平面 ABD 的距离为 解：由侧面展开图可得圆锥如图， 由题意可得，AB2，OB1， 则 BDOB1，DM，AO， ，设点 M 到平面 ABD 的距离为 h， 由 VABMDVMABD，得 ， 解得 h 故答案为： 16已知定义在 R 上的函数 f（x），其导函数为 f（x），满足 f（x）2，f（2）4，则不等式 xf
27、（x 1）2x22x 的解集为 （，0）（3，+） 解：xf（x1）2x22x， x0 时，f（x1）2（x1）， 令 tx1，则 t1，f（t）2t， 令 g（t）f（t）2t，则 g（t）f（t）20，g（t）递增， 而 g（2）f（2）40，故 g（t）f（t）2t0g（2）， 故 t2 即 x12，解得：x3， x0 时，不等式 xf（x1）2x22x 显然无解， x0 时，f（x）2（x1）， 令 tx1，则 t1，f（t）2t， 令 g（t）f（t）2t，则 g（t）f（t）20，g（t）递增， 而 g（2）f（2）40，故 g（t）f（t）2t0g（2）， 故 t2 即 x12，
28、解得：x3，故 x0， 故不等式 xf（x1）2x22x 的解集为（，0）（3，+）， 故答案为：（，0）（3，+） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知公差不为 0 的等差数列an满足 a11，且 a1，a2，a5成等比数列 （）求数列an的通项公式； （）若 bn2n1，求数列anbn的前 n 项和 Tn 解：（）设数列an的公差为 d（d0）， 由题设可得：a22a1a5，即（1+d）21+4d，解得：d2， an1+2（n1）2n1； （）由（）可得：anbn
29、（2n1）2n1， Tn120+321+522+（2n1）2n1， 又 2Tn121+322+（2n3）2n1+（2n1）2n， 两式相减得：Tn1+22+23+2n（2n1）2n1+ （2n1）2n， 整理得：Tn（2n3）2n+3 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足cb（sinA+cosA） （）求角 B 的大小； （）若 a+c2，求 b 的取值范围 解：（）由正弦定理知， cb（sinA+cosA）， sinCsinB（sinA+cosA）， 又 sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB， sinAcosBsinBsinA， sinA0
30、，tanB， B（0，），B （）由余弦定理知，b2a2+c22accosB（a+c）22ac2accos （a+c）23ac， a+c2， b243ac，即 ac ， 而 ac1，当且仅当 ac1 时，等号成立， 1，解得 b1， 又 ba+c2， 1b2， 故 b 的取值范围为1，2） 192022 年北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙 面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰 上划痕成丝带，22 条“冰丝带”又象征北京 2022 年冬奥会其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形 平面、马鞍形双曲面三
31、种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于 球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积、体积等对几何图形的面积、体 积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如九章算术中记录了数学家刘徽提出利用牟合 方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到 200 年以后数学家祖冲之、祖暅父子在缀术提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟 合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面 积相等，则这两个几何体的体积相等 （）利用祖暅原理推导半径为 R 的球的体积公式
32、时，可以构造如图所示的几何体 M，几何体 M 的 底面半径和高都为 R，其底面和半球体的底面同在平面 内设与平面 平行且距离为 d 的平面 截两 个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明； （）现将椭圆1（ab0）所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的 椭球 A，B（如图 3），类比（）中的方法，探究椭球 A 的体积公式，并写出椭球 A，B 的体积之 比 解：（）由图可知，图几何体是半径为 R 的半球，图几何体是底面半径与高都为 R 的圆柱挖掉 了一个圆锥， 与图截面面积相等的图形是一个圆环，如阴影部分 证明如下：在图中，设截面圆的圆心为
33、O1，则圆 O1的面积为 （R2d2）， 在图中，截面截圆锥得到的小圆的半径为 d，则圆环的面积为 （R2d2）， 截得的截面面积相等； （）类比（）可知，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，构造一个底面半径为 b， 高为 a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱 下底面圆心为顶点，以圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥的底面半径为 b，高为 a， 半椭球截面圆的面积为， 在圆柱内，圆环的面积为， 根据祖暅原理得出椭球 A 的体积为 VA2（V圆柱V圆锥） 同理，椭球 B 的体积为 则椭球 A，B 的体积之比为 20“T2 钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其
34、赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可 能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5 模式”在前 24 分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为 11 分制，率先拿满 11 分的选手赢得该局；如果两名球员在 24 分钟内都没有人赢得 4 局比赛，那么将进 入“FAST5”模式，“FAST5”模式为 5 分制的小局比赛，率先拿满 5 分的选手赢得该局24 分钟计时 后开始的所有小局均采用“FAST5”模式某位选手率先在 7 局比赛中拿下 4 局，比赛结束现有甲、 乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24 分钟内甲、乙可以完整打满 2 局或 3 局，且在 11 分制比赛中，每局甲
35、获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛 双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立 （）求 4 局比赛决出胜负的概率； （）设在 24 分钟内，甲、乙比赛了 3 局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为 X，求 X 的分布列及 数学期望 解： （）若 24 分钟内打满 2 局，最后可能甲/乙获胜，则； 若 24 分钟内打满 3 局，最后可能甲/乙获胜，则， 因此 4 局比赛决出胜负的概率为； （）由题意可知，X 的可能取值为 4，5，6，7， 所以 P（X4）， P（X5） + ， P（X6）+ + ， P（X7）+ + ， 所以 X 的分布列为： X 4 5 6 7 P 所
36、以 X 的数学期望为 E（X）4+5+6+7 21已知坐标原点为 O，双曲线1（a0，b0）的焦点到其渐近线的距离为，离心率为 （）求双曲线的方程； （）设过双曲线上动点 P（x0，y0）的直线 x0 x1 分别交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点， 求AOB 的外心 M 的轨迹方程 解：（）双曲线1（a0，b0）的渐近线为 y，即 bxay0， 又焦点为（c，0），（c，0）， 根据题意可得， 解得 a21，b22，c23， 所以双曲线的方程为 x21 （）双曲线的渐近线方程为 yx， 分别与 x0 x1 联立， 解得 A（，），B（，）， 设 C，D 分别为 OA，OB 的中点， 所以 C
37、（，）， 因为 kOA，kOAkMC1， 所以 kMC， 所以直线 MC 的方程为 y+（x）， 同理直线 MD 的方程为 y（x）， 联立得 y2x， 又因为 P（x0，y0）在双曲线上， 所以 x02y021， 所以 1， 所以1， 所以点 M 的轨迹方程为1 22已知函数 f（x），且方程 f（x）a0 在， 上有解 （）求实数 a 的取值范围； （）设函数 g（x）（a+1）sinxxcosx（x，）的最大值为 G（a），求函数 G（a）的最小值 解：（）f（x），x， f（x）， sin2x+2x1+2x0，f（x）0，f（x）单调递减， 即 x时，x时， 即 a 的取值范围是，；
38、（）g（x）（a+1）cosx（cosxxsinx）acosx+xsinx， g（x）asinx+sinx+xcosxxcosx（a1）sinx， 当 x，时，g（x）0，g（x）单调递减， 又 g（）0，g（）a0，由零点存在性定理必存在唯一 x0（，），满足 g （x0）0， 当 x（，x0）时，g（x）0 即 g（x）单调递增，当 x（x0，）时，g（x）0 即 g（x）单调 递减， 由 acosx0+x0sinx00，得 a ，x0（ ，）， 得 G （a） g （x）maxg （x0） （a+1） sinx0 x0cosx0 （1） sinx0 x0cosx0sinx0， 由（）问知函数 f（x）在（，）单调递减， 即当 a，时，x0 ， 设 H（x）sinx，x， H（x）cosx 0， 故 H（x）单调递减，H（x）minH（）+， 综上，函数 g（x）的最大值 G（a）的最小值是：+