1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（10） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知复数z满足(1)5zii，其中i为虚数单位，则z的虚部是( ) A3 B3i C2 D2i 2已知集合 2 |2 0Ax xx ，集合 |2cos3Bxx，则(AB ) A 1， 6 B 6 ，1 C 1，2 D 6 ， 6 3已知 2 1 log( ) 2 a a ， 1 2 bln， 0.2 1 ( ) 2 c
2、，则a，b，c的大小关系为( ) Acab Babc Cbac Dacb 4某商店老板为了研究每天营业时间与营业额的关系，统计了 4 天的营业情况如表： 营业时间x（小时） 8 9 10 11 营业额y（元) 720 800 882 966 经统计得到营业额y（元)与当天营业时间x（小时）之间具有线性关系，其回归直线方程为82yxxa， 则当营业时间为 14 小时，营业额大约为( ) A1205 元 B1207 元 C1209 元 D1211 元 5设x，y均为正实数，且 33 1 22xy ，则xy的最小值为( ) A8 B16 C9 D6 6 1 F、 2 F分别为双曲线 2 2 :1 2
3、 y C x 的左、右焦点，过 1 F的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A、B 两点，若 2 lF B，则 22 (F A F B ) A42 3 B43 C62 5 D62 5 7 已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边， 222 0bcbca， 且bc， 则 s i n ( 3 0) ( aC bc ) A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 8已知函数( ) x x x f xxe e ，且 2 (1)(2)0fafaa，则a的取值范围是( ) A(，1)(3，) B( 1,3) C(，3)(1，) D( 3,1) 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小
4、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9刘女士的网店经营坚果类食品，2020 年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列 说法中正确的是( ) A4 至 5 月份收入的平均变化率与 11 至 12 月份收入的平均变化率相同 B支出最高值与支出最低值的比是5:1 C第三季度月平均收入为 5000 元 D利润最高的月份是 3 月份和 10 月份 10关于 2021220
5、21 0122021 (12 )()xaa xa xaxxR，则( ) A 0 1a B 2021 1232021 3aaaa C 3 32021 8aC D 2021 12342021 1 3aaaaa 11 已知三棱锥PABC的顶点均在半径为 5 的球面上，ABC为等边三角形且外接圆半径为 4， 平面PAB 平面ABC，则三棱锥PABC的体积可能为( ) A20 B40 C60 D80 12已知数列 n a满足 1 1a ， 1 (109) 1 n a n alg ，其前n项和为 n S，则下列结论中正确的有( ) A n a是递增数列 B10 n a 是等比数列 C 12 2 nnn a
6、aa D (3) 2 n n n S 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13在锐角三角形ABC中，2 ABC S，5AB ，1AC ，则BC 14某班需要选班长、学习委员、体育委员各 2 名，其中体育委员中必有男生，现有 4 名男生 4 名女生参 加竞选，若不考虑其他因素，则不同的选择方案种数为 15设抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，第一象限内的A，B两点都在C上，O为坐标原点，若 3 AFOAFB ，且AFB的面积为3 3，则点A的坐标为 16已知函数 2 1 |2|,03, ( )2 (3),3 xxx f x
7、 f xx 若方程( )f xa在3，4上有两个不相等的实数根 1 x， 2 x，则 12 xx的取值范围是 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知函数( )sinsin() 3 f xxx （1）求( )f x的最小正周期； （2）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）3，sin2sinBA，且ABC的 面积为2 3，求边c的值 18已知等比数列 n a，其前n项和为 n S，若 1 a， 1 2 nn aS ，R，*nN （1）求的值； （2）
8、设 1 2 (1)(1) n n nn a b aa ，求使 12 2020 2021 n bbb成立的最小自然数n的值 19如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，BABC， 1 2BABCBB （1）求异面直线 1 AB与 11 AC所成角的大小； （2）若M是棱BC的中点求点M到平面 11 A B C的距离 20为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区 调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用其实任何一种疫苗都有一定的 副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，
9、 而有的人不会出现副作用在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现为了了解接种某种 疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地 200 人进行调查，得到统计数据如下： 无疲乏症状 有疲乏症状 总计 未接种疫苗 100 20 120 接种疫苗 x y n 总计 160 m 200 （1）求22列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫 苗有关 （2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出 8 人，再从 8 人中随机抽取 3 人做 进一步调查若初始总分为 10 分，抽到的 3 人中，每有一人有疲乏症状减 1 分，每有
10、一人没有疲乏症状加 2 分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 21已知椭圆C的短轴的两个端点分别为(0,1)A，(0, 1)B，离心率为 6 3 （）求椭圆C的方程及焦点的坐标； （）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线3y 交于点P， 直线MB与直线3y 交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标； 若不过定点，请说明理由 22已知函数( )f xxlnxaxa，aR
11、（）求( )f x的极值点； （）若 22 1 111 ( ) 24 x xm g xx lnxxx e ，证明：对任意(m ，1， 1 x， 2 (0,)x 且 12 xx，有 12 12 ()() 1 g xg x xx 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（10）答案）答案 1解：因为(1)5zii， 所以 5(5)(1)46 23 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 所以z的虚部是 3 故选：A 2 解： 3 | 12, |cos |22, 266 AxxBxxxkxkkZ 剟厔?， 当0k 时， | 66 Bxx 剟， , 6 6 AB 故选：D 3解
12、： 2 1 log( )0 2 a a ，1a， 1 10 2 lnln，0b， 0.20 11 0( )( )1 22 ，01c ， acb， 故选：D 4解： 119 (891011) 42 x ， 1 (720800882966)842 4 y ， 则 19 8428263 2 a ，当14x 时，82 14631211y 故选：D 5解：因为x，y均为正实数且 33 1 22xy ， 则 33 22(2)(2)() 22 xyxy xy ， 22 3(2) 3(22)12 22 yx xy ， 所以8xy ，当4xy时取等号 故选：A 6解：双曲线 2 2 :1 2 y C x 的1a
13、 ，2b ，3c ， 可得 12 | 2 3FF ， 在直角三角形 12 FBF中， 222 1212 |12FBF BFF， 由双曲线的定义，可得 12 | 22FBF Ba， 解得 2 |51F B ， 则 2 222222 | | cos|62 5F A F BF AF BAF BF B 故选：C 7解：因为 222 0bcbca，且bc， 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ， 因为A为三角形内角， 所以120A， 则 133 133 13 sin( cossin)( cossin)( cossin) sin(30)1 22222222 sinsinsin(60)
14、sin233 cossin 22 ACCCCCC aC bcBCCC CC 故选：B 8解：根据题意，函数( ) x x x f xxe e 的定义域为R，且有()()( ) xx xx xx fxx exef x ee ， 即得函数( )f x为奇函数， 又因为 2 1(1)1 ( )(1) x x xx xxex fxxe ee ， 当0 x时，令 2 ( )(1)1 x g xxex ，则有 222 ( )2(1)1(23)1 xxx g xexexe ， 因为0 x，所以( )0g x，即得( )g x在0，)上单调递增，故有( )(0)10 min g xg ， 因此可得( )0(
15、)fxf x在0，)上单调递增， 又因为函数( )f x为R上的奇函数， 所以( )f x在R上单调递增， 所以 222 (1)(2)0(1)(2)(2)fafaafafaaf aa， 故有 22 1223013aaaaaa ，即得( 1,3)a 故选：B 9 解： 对于A， 4 至 5 月收入的平均变化率为10 30 20 54 ， 11 至 12 月收入的平均变化率为 3050 20 1211 ， 故选项A正确； 对于B，支出最高值为 60，最低值为 10，所以比值为6:1，故选项B错误； 对于C，第三季度的平均收入为 405060 50 3 ，即 5000 元，故选项C正确； 对于D，因
16、为利润等于收入减去支出，所以 1 至 12 月的每月利润分别为：20，20，30，20，20，20，20， 10，20，30，20，20，所以 3 月和 10 月利润最高，故选项D正确 故选：ACD 10解：令0 x ，则 0 1a ，故A正确， 令1x ，则 2021 0122021 (1 2)1aaaa 所以 122021 1 12aaa ，故B错误， 令1x ，则 20212021 01232021 (1 2)3aaaaa 可得： 2021 022020 31 2 aaa 可得： 2021 132021 1 3 2 aaa 所以可得： 20212021 2021 012342021 1
17、331 3 2 aaaaaa ， 所以 2021 12342021 1 3aaaaa ，故D正确， 展开式中含 3 x的项的系数为 333 320212021 ( 2)8aCC，故C错误， 故选：AD 11解：如图， 设三棱锥PABC的外接球的球心为O，则5OAOBOCOP， 设ABC外接圆的圆心为 1 O，则 111 4O AO BOC， 连接 1 OO，则 1 OO 平面ABC，可得 22 1 543OO ， 设ABC的边长为a，由248 sin60 a ，得4 3a 平面PAB 平面ABC，当PAB为等腰三角形且PAPB时，P到底面ABC的距离最大， 设为h，则 22 33(2 3)32
18、1h 又 13 4 34 312 3 22 ABC S， 三棱锥PABC的体积的最大值为 1 12 3(321)12 312 7 3 V 则三棱锥PABC的体积的取值范围为(0,12 312 7) 结合选项可得，三棱锥PABC的体积可能为AB 故选：AB 12解：因为 1 (109) 1 n a n alg ， 所以 1 1010(109) nn aa ， 所以 1 101010(1010) nn aa ， 令1010 n a n b ，则 1 10 nn bb ，即 n b是以 10 为公比的等比数列， 1 20b ， 故2 10n n b ， 所以(2 1010) n n alg是递增数列
19、，但不是等比数列，A正确，B错误； 因为 221 1 2(4 1010040 10) nn n alg ， 222 2 (2 1010)(20 1010)4 1010020(1010) nnnnn nn aalglg ， 又 2221 10102 102 10 nnnn ， 所以 21 2 nnn aaa ，C正确； 令1 n cn，则其前n项和为 (3) 2 n n ， 而(2 1010)(2 10 )(10 10 )1 nnn nn alglglgnc ， 故 (3) 2 n n n S ，D正确 故选：AC 13解：因为 11 sin1 5sin2 22 ABC SbcAA ， 所以 4
20、 sin 5 A ， 因为A为锐角， 所以 3 cos 5 A ， 由余弦定理得， 2222 3 2cos2512 1 520 5 BCabcbcA ， 所以2 5BC 故答案为：2 5 14解：利用间接法：不考虑体育委员中是否有男生，其不同的选择方案有： 622 864 C C C；若两名体育委员都 为女生，不同的选择方案： 222 464 C C C 因此符合条件的不同的选择方案种数为 622222 864464 1980C C CC C C 故答案为：1980 15解：设|AFm，|BFn， 3 AFOAFB ，( 2 pm A ， 3 ) 2 m ，( 2 pn B ， 3 ) 2 n
21、 ， 由抛物线的定义知，| 22 pmp AFm ， 2 3 mp， | 22 pnp BFn ，2np， ABF的面积为3 3， 1 sin3 3 2 mnAFB，即12mn ， 2 212 3 pp，解得3p ， 2m， 1 (2A，3) 故答案为： 1 ( 2 ，3) 16解：当3x时，(3)( )f xf x，即将0 x，3)的图象向右平移 3 个单位长度 22 11 ( ) |2| |(1)| 22 f xxxx，顶点为 1 (1, ) 2 ， (3)f x的图象的顶点为 1 (4, ) 2 又f（3） 1 (0) 2 f，f（4）f（1） 1 2 作出函数图象如下： 当( )0f
22、x 时， 2 1 |2| 0 2 xx 12 22 1,1 22 xx 当34x剟时， 34 22 ( )04,4 22 f xxx 若方程( )f xa在3，4上有两个不等实根， 由上可得，当0a 时， 12 22 4482 22 xx 当 1 2 a 时， 12 347xx 综上可得， 12 (82,7xx 故答案为：(82,7 17解： （1） 13 ( )sinsin()sinsincos 322 f xxxxxx 31 3(sincos )3sin() 226 xxx ， 最小正周期 2 2 1 T （2）f（C）3，3sin()3 6 C ，即sin()1 6 C ， (0, )C
23、， 3 C ， 由正弦定理知， sinsin ab AB ， sin2sinBA，2ba， ABC的面积为 1 2 3sin 2 abC，8ab， 2a，4b ， 由余弦定理知， 222 1 2cos41622412 2 cababC ， 2 3c 18解： （1）根据题意，由通用公式可得，当2n时， 1 1 2 2 nn nn aS aS ， 可得， 11 (1) nnnnn aaaaa ， 数列 n a是公比为1的等比数列， 又因为 1 a，由得到 2 21 22aa， 2 2 12 （2）由（1）可知，数列 n a是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，即得 1 2 3n n a ， 则
24、 1 11 1 24 311 (1)(1)(2 31)(2 31)2 312 31 n n n nnnn nn a b aa ， 123n bbbb 021 111111 ()()() 2 312 3 12 3 12 312 312 31 nn 1 1 2 31 n 12020 1310117 2 312021 n n n 故可得满足题意的最小自然数为7n 19解： （1）由于 11/ / ACAC，所以 1 CAB（或其补角）即为异面直线 1 AB与 11 AC所成角， （2 分） 连接 1 CB，在 1 ABC中， 由于 11 2 2ABBCAC，所以 1 ABC是等边三角形， 所以 1
25、3 CAB ，所以异面直线 1 AB与 11 AC所成角的大小为 3 （6 分） （2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(0C，0，2)、 1(0 B，2，0)、 1(2 A， 2，0)、(0M，0，1)（8 分） 设平面 11 A B C的法向量为( ,)nu v w，则 111 ,nCB nAB 1 (0, 2,2)CB ， 11 ( 2,0,0)AB ， 且 111 0,0n CBn AB， 220 200 vwwv uu ，取1v ， 得平面 11 A B C的一个法向量为(0,1,1)n ，（11 分） 且|2n ， 又 1 (0, 2,1)MB ， 于是点M
26、到平面 11 A B C的距离 1 |0 01 2 1|12 |222 n MB d n 所以， 点M到平面 11 A B C的距离等于 2 2 （14 分） 解法二：过点M作 1 MNCB交 1 CB于N，由 1 11 1111 MNCB MNABMN CBABB 平面 11 A B C 在Rt CMN中，由 4 MCN ，1CM ，得 2 2 MN ， 所以，点M到平面 11 A B C的距离等于 2 2 20解： （1）由题意得：20016040m ，2020ym， 16010060 x ，602080nxy， 因为 2 2 200 (100 2020 60)25 2.0832.072
27、160 40 120 8012 K 所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关 （2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出 8 人，可知 8 人中无疲乏症状的有 6 人，有疲乏症状的有 2 人，再从 8 人中随机抽取 3 人，当这 3 人中恰有 2 人有疲乏症状时，10X ；当这 3 人中恰有 1 人有疲乏症状时，13X ；当这 3 人中没有人有疲乏症状时，16X 因为 21 26 3 8 3 (10) 28 C C P X C ； 12 26 3 8 15 (13) 28 C C P X C ； 03 26 3 8 5 (16) 14 C C P X C 所以X
28、的分布列如下： X 10 13 16 P 3 28 15 28 5 14 期望 315555 ()101316 2828144 E X 21解（）由题意可得1b ， 6 3 c e a ， 222 cab， 解得 2 3a ， 所以椭圆的方程为： 2 2 1 3 x y，且焦点坐标(2，0)； （） 设直线MA的方程为：1ykx，(0)k ， 则过原点的直线且与直线MA平行的直线为ykx 因为P是直线ykx，3y 的交点，所以 3 (P k ，3)， 因为直线AM与椭圆 2 2 1 3 x y联立： 2 2 1 1 3 ykx x y ，整理可得： 22 (1 3)60kxkx， 可得 2 6
29、 13 M k x k ， 22 22 61 3 1 1313 M kk y kk ， 即 2 6 ( 13 k M k ， 2 2 1 3 ) 1 3 k k ，因为(0, 1)B， 直线MB的方程为：1 3 x y k ， 联立 1 3 3 x y k y ，解得：3y ，12xk ， 由题意可得( 12 ,3)Qk， 设 0 (T x， 0) y， 所以 0 3 (PTx k ， 0 3)y ， 0 (12QTxk， 0 3)y ， 由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以0PT QT， 所以 0 3 (x k ， 00 3) (12yxk， 0 3)0y ， 可得 22 00000
30、3 1236690 xkxxyy k ， 要使成立， 0 2 00 0 69360 x yy ，解得： 0 0 x ， 0 3y ，或 0 0 x ， 0 9y ， 所以T的坐标(0, 3)或(0,9) 22解： （）( )(0)f xxlnxaxa x， ( )1fxlnxa ， 由( )0fx，解得： 1a xe ， 由( )0fx，解得： 1 0 a xe ， 故( )f x在 1 (0,) a e 递减，在 1 ( a e ，)递增， 故函数( )f x有极小值点 1a xe ，无极大值点； （）证明：由（）可知当1a 时，( ) 0f x ， 故1xlnx x，当且仅当1x 时“”成
31、立， 又 1 11 1(1)(1) 1 x xx xxe x ee ， 当01x时，10 x ， 1 10 x e ，故 1 1 (1)(1) 0 x x xe e ， 当1x 时， 1 1 (1)(1) 0 x x xe e ， 当1x 时，10 x ， 1 10 x e ，故 1 1 (1)(1) 0 x x xe e ， 故0 x 时， 1 1 1 x x x e ，当且仅当1x 时“”成立， 故 1 1 x x xlnx e 成立，当且仅当1x 时“”成立， 令( )( )h xg xx，则 1 ( ) x xm h xxlnx e ， 1m ， 11 1 xx xxm ee ，( ) 0h x ， 函数( )h x在(0,)的任意子区间内不恒为 0， 故( )h x在(0,)上为增函数，不妨设 12 0 xx， 则 12 ()()h xh x，故 1122 ()()g xxg xx， 故 12 12 ()() 1 g xg x xx