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2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷(6)含答案

1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(6) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 (5 分) 已知全集1U ,2,3,4,5,6,集合2A,3,5,集合1B ,3,4,6,则集合( U AB ) A3 B2,5 C1,4,6 D2,3,5 2 (5 分)已知复数cossin (zii为虚数单位) ,则|1|z 的最大值为( ) A1 B2 C2 D4 3 (5 分)已知a,bR,则ab是 2( )0

2、ab a ee的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)在空间中,下列命题是真命题的是( ) A经过三个点有且只有一个平面 B平行于同一平面的两直线相互平行 C如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等 D如果两个相交平面垂直于同一个平面,那么它们的交线也垂直于这个平面 5 (5 分)设等差数列 n a的前n项和为 n S,且 3 66 (1)2019(1)1aa, 3 20152015 (1)2019(1)1aa, 则下列结论正确的是( ) A 2020 2020S, 20156 aa B 2020 2020S, 20156 aa

3、C 2020 2020S , 20156 aa D 2020 2020S , 20156 aa 6 (5 分)若正实数a,b满足 24 11 log2log 121 ab ab ,则( ) A2ab B2ab C2ba D2ba 7 (5 分)点O为坐标原点,若A,B是圆 22 16xy上的两个动点,且120AOB,点P在直线 34250 xy上运动,则PA PB的最小值是( ) A3 B4 C5 D6 8 (5 分)设函数( )(1) x f xxea x,其中1a ,若存在唯一整数 0 x,使得 0 ()f xa,则a的取值范围是 ( ) A 2 1 e ,1) B 2 1 e , 1)

4、e C 2 1 e, 1) e D 2 1 e,1) 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9 (5 分)2.5PM是衡量空气质量得重要指标,我国采用世卫组织得最宽值限定值,即2.5PM日均值在 3 35/g m以下,空气质量为一级,在 3 3575/g m,空气质量为二级,超过 3 75/g m为超标如图是某 地 12 月 1

5、日至 10 日得2.5PM(单位: 3 /)g m的日均值,则下列说法正确的是( ) A这 10 天中有 3 天空气质量为一级 B从 6 日到 9 日2.5PM日均值逐渐降低 C这 10 天中2.5PM日均值的中位数是 55 D这 10 天中2.5PM日均值的平均值是 45 10 (5 分)若 20212320202021 012320202021 (1 2 )()xaa xa xa xaxaxxR,则( ) A 0 1a B 2021 13520192021 31 2 aaaaa C 2021 0122021 | 3aaaa D 32020202112 2320202021 1 22222

6、aaaaa 11(5 分) 函数 yx称为取整函数, 也称高斯函数, 其中 x表示不超过实数x的最大整数, 例如1.21, 1.22 等,该函数被广泛应用于数学和计算机等领域,关于函数 yx,正确的结论是( ) A 1xx B若 12 xx,则 12 xx C若01x,则0.52 xx D 1212 xxxx 12 (5 分)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ,A、B分别为双曲线的左,右顶点, 1 F、 2 F为左、右 焦点, 12 | 2FFc,且a,b,c成等比数列,点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点,记PA,PB 的斜率分别为 1 k, 2 k,则下列说法

7、正确的是( ) A当 2 PFx轴时, 12 30PFF B双曲线的离心率 15 2 e C 12 k k为定值1 5 2 D若I为 12 PFF的内心,满足 121 2( ) IPFIPFIF F SSxSxR,则 51 2 x 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)已知随机变量服从正态分布 2 (3,)N,(6)0.84P,则(0)P 14 (5 分)若直线 1:2 0lxya与直线 2: 30laxy平行,则实数a ,直线 1 l与 2 l之间的距离 为 15 (5 分)已知三棱锥PABC中,AP、AB、AC三条

8、棱两两垂直,且长度均为2 3,以顶点P为球心, 4 为半径作一个球,则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为 16 (5 分)若函数 2 2 1 (0) ( ) |1|(0) kx f xx xkxx 恰有 4 个零点,则实数k的取值范围是 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)已知函数 2 1 ( )sin coscos 2 f xxxx (1)求函数( )f x的单调递增区间; (2)设方程 6 ( ) 4 f x 在(0,a上恰有 5 个实数解,求a

9、的取值范围 18 (12 分)在已知数列 n a满足: 1 20 nn aa , 3 8a ,等比数列 n a中,公比2q ,前 5 项和为 62,这两个条件中任选一个,并解答下列问题 (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 n n n b a ,数列 n b的前n项和为 n T,若22022 n Tm对 * nN恒成立,求正整数m的最大值 19 (12 分)2021 年春晚首次采用“云”传播, “云”互动形式,实现隔空连线心意相通,全球华人心连心 “云团圆” ,共享新春氛围, “云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式,某市随 机抽取 200 人对“云课堂”倡议的了解情

10、况进行了问卷调查,记Y表示了解,N表示不了解,统计结果如 表所示: (表一) 了解情况 Y N 人数 140 60 (表二) 男 女 合计 Y 80 N 40 合计 (1)请根据所提供的数据,完成上面的22列联表(表二) ,并判断是否有99%的把握认为对“云课堂” 倡议的了解情况与性别有关系; (2)用样本估计总体,将频率视为概率,在男性市民和女性市民中各随机抽取 4 人,记“4 名男性中恰有 3 人了解云课堂倡议”的概率为 1 P, “4 名女性中恰有 3 人了解云课堂倡议”的概率为 2 P,试求出 1 P与 2 P, 并比较 1 P与 2 P的大小 附:临界值参考表的参考公式 2 0 ()

11、P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 () ( ()()()() n adbc K ab cd ac bd ,其中)nabcd 20 (12 分)已知四边形ABCD,90ABCCAD , 2 2 ABBCAD,将ABC沿AC翻折至PAC ()若PAPD,求证:APCD; ()若二面角PACD的余弦值为 1 4 ,求PD与面PAC所成角的正弦值 21 (12 分)已知椭圆 2 C与 22 1: 1 43 xy C的离心率相同,过 2 C的右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆

12、 2 C截 得的线段长为3 2 (1)求椭圆 2 C的标准方程; (2)若直线:3l yxm与椭圆 1 C, 2 C的交点从上到下依次为C,A,B,D,且 4 | 5 AC ,求m的值 22 (12 分)已知函数( )()1(0)( x e f xln axaae a 为自然对数的底数) ()当1a 时,求曲线( )yf x在点(2,f(2))处的切线的斜率; ()若( )0f x 恒成立,求实数a的取值范围; ()设函数( )(1)1g xln xax,且( )( )( )h xf xg x若 1 x, 2 x为函数( )h x的两个零点,且( )h x的导 函数为( )h x,求证: 12

13、 ()0 2 xx h 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(6)答案)答案 1解:全集1U ,2,3,4,5,6,集合1B ,3,4,6,2 UB ,5,又集合2A,3,5, 则集合2 U AB ,5 故选:B 2解:复数cossin (zii为虚数单位) , 1(cos1)sinzi , 22 |1|(cos1)(sin )22cosz , 故当cos1 时,则|1|z 取最大值 2, 故选:C 3解:由ab,当0a 时,不能够推出 2( )0 ab a ee, 故ab是 2( )0 ab a ee的不充分条件, 由 2( )00 ababab a eeeeeeab,

14、 故ab是 2( )0 ab a ee的必要条件, 综上所述:ab是 2( )0 ab a ee的必要不充分条件 故选:B 4解:经过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面,若三点共线,经过该三点有无数个平面,故A错 误; 平行于同一平面的两直线有三种位置关系:平行、相交或异面,故B错误; 如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,故C错误; 如果两个相交平面垂直于同一个平面,那么它们的交线也垂直于这个平面,正确, 证明如下: l,a,b, 在内,a与b外任取一点P,作PAa,a,PA,PA, 又l,则PAl,作PBb,同理可得PBl, 而PAPBP,PA、PB,则l 故选:D

15、5解:设 3 ( )2019f xxx,则( )f x为奇函数且单调递增, 因为 3 66 (1)2019(1)1aa, 3 20152015 (1)2019(1)1aa, 所以 62015 (1)(1)aa ,且 62015 11aa , 即 62015 2aa, 62015 aa, 20201202062015 1010()1010()2020Saaaa, 故选:A 6解:正实数a,b满足 24 11 log2log 121 ab ab , 变为: 22 11 loglog 121 ab ab , 2 2 (1)(21) aba log bab , 若ab,则 2 2 0 (1)(21)

16、aba log bab ,可得2ab 若ab,则 2 2 0 (1)(21) aba log bab ,可得2ab 若ab,则 2 2 0 (1)(21) aba log bab ,可得2abb,可得0b ,矛盾,舍去 2ab, 故选:B 7解:因为 2 () ()()PA PBPOOAPOOBPOPO OAOBOA OB 22 ()4 4 cos120()8POPOOAOBPOPOOAOB 22 |4| 8(| 2)12POPOPO , 又点O到直线34250 xy的距离为 22 25 5 34 d , 所以|5 min PO,此时直线OP与直线垂直, 所以 2 (52)123PA PB ,

17、即PA PB的最小值为3, 故选:A 8解:函数( )(1) x f xxea x,其中1a , 设( ) x g xxe,yax, 存在唯一的整数 0 x,使得 0 ()f xa, 存在唯一的整数 0 x,使得 0 ()g x在直线yax的下方, ( )(1) x g xxe, 当1x 时,( )0g x,当1x 时,( )0g x, ( )g x在(, 1) 上单调递减,在( 1,) 上单调递增, 当1x 时, 1 ( )( 1) min g xg e 当0 x 时,(0)0g,当2x 时, 2 2 ( 2)g e , 直线yax恒过(0,0),斜率为a, 故 1 ( 1)ag e ,且

18、2 2 ( 2)2ga e , 解得 2 11 a ee , a的取值范围是 2 1 e, 1) e 故选:C 9解:由图形知,2.5PM日均值在 3 35/g m以下的有第 1 天、第 3 天和第 4 天,共三天空气质量为一级, A正确; 从 6 日到 9 日2.5PM日均值是逐渐降低,所以选项B正确; 这 10 天中2.5PM日均值从小到大排列为 30、32、34、40、41、45、48、60、78、80, 所以中位数是 1 (4145)43 2 ,所以选项C错误; 计算平均数为 1 (30413234408078604548)48.8 10 ,所以D错误 故选:AB 10解:, 故令,可

19、得,故正确 20212320202021 012320202021 (1 2 )()xaa xa xa xaxaxxR 0 x 0 1a A 令,可得, 令,可得, 两式相减除以 2,可得,故错误 令,可知正确 令,可得,故,故正确 故选: 11解:根据题意,依次分析选项: 对于A,当0 x 时,有 000,A错误, 对于B,若 12 xx,则 12 xx,B正确, 对于C,若00.5x,0.52 0 xx, 若0.51x,0.52 1xx, 故有0.52 xx, 故C正确, 对于D,当 1 0.9x , 2 0.3x 时, 12 1.21xx, 12 0 xx,D错误; 故选:BC 12解:

20、因为a,b,c成等比数列,所以 2 bac, A中, 2 PFx轴时,P的坐标为: 2 ( ,) b c a 即( , )P c c, 所以 2 12 12 |1 tan |22 PFc PFF FFc ,所以 12 30PFF,所以A不正确; B中,因为 2 bac,所以可得 22 caac,可得 2 10ee ,又1e , 解得: 51 2 e ,所以B正确; C,设 0 (P x, 0) y,则 22 00 22 1 xy ab ,所以 22 220 0 2 xa yb a , 由题意可得(,0)Aa,( ,0)B a,所以 22 000 12 222 000 yyyb k k xa x

21、axaa , 由 2 bac,可得 12 15 2 c k k a ,所以C正确; D中因为 121 2 IPFIPFIF F SSxS,所以 1212 111 | 222 PFrPFrxFFr , 1x 012320 02021 1 z aaaaaa 1x 2021 012320202021 3aaaaaa 2021 13520192021 1 3 2 aaaaa B 1x C 1 2 x 202012 0 22020 0 222 aaa a 202012 22020 1 222 aaa D ACD 可得 12 12 |2251 |2215 PFPFa x FFc ,所以D正确; 故选:BC

22、D 13解:随机变量服从正态分布 2 (3,)N, 3, (6)0.84P, (6)10.840.16P , (0)(6)1(6)0.16PPP 剠?, 故答案为:0.16 14解:直线 1:2 0lxya与直线 2: 30laxy平行, 13 21 a a , 解得2a , 直线 1:2 20lxy,直线 2:2 30lxy, 直线 1 l与 2 l之间的距离为: |3( 2)| 5 4 1 d 故答案为:2,5 15解:如图,2 3AP ,4PN ,则2AN , 6 APN , 4612 NPM , 4 123 MN ,同理 3 GH , 2 2 HN , 4 4 33 GM , 故球面与

23、三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于 4 3 333 , 故答案为:3 16解:由 2 2 1 (0) ( ) |1|(0) kx f xx xkxx 恰有 4 个零点, 得( )0f x ,即 2 2 2 1 (0) 1 (01) 1( 1) x x x kx x x x x 有 4 个根, 令 2 2 2 1 (0) 1 ( )(01) 1( 1) x x x g xx x x x x ,也就是yk与( )yg x的图象有四个交点 当0 x 时, 3 2 ( )0g x x ,( )g x单调递增; 当01x时, 3 2 ( )0 x g x x ,( )g x单调递减; 当1x时,

24、3 2 ( ) x g x x ,当(1,2)x时,( )0g x,( )g x单调递增, 当(2,)x时,( )0g x,( )g x单调递减 作出函数( )g x的图象如图: 函数 2 2 1 (0) ( ) |1|(0) kx f xx xkxx 恰有 4 个零点,则实数k的取值范围是 1 (0, ) 4 故答案为: 1 (0, ) 4 17解: (1)函数 2 11cos2112 ( )sin coscossin2sin(2) 222224 x f xxxxxx 令222() 242 kxkkZ 剟, 整理得 3 () 88 kx kkZ 剟, 所以函数的单调递增区间为 3 ,() 8

25、8 kkkZ (2)设方程 6 ( ) 4 f x 在(0,a上恰有 5 个实数解, 令 26 sin(2) 244 x , 即 3 sin(2) 42 x , 整理得 2 222 433 xkkkZ 或, 解得 711 2424 xkxk 或 所以当2k 时, 7551159 22 24242424 xx 或时, 由于恰好有 5 个实数解 故 5559 ,) 2424 a 18解: (1)选已知数列 n a满足: 1 20 nn aa , 3 8a , 设等比数列 n a的公比为q, 由 1 2 nn aa ,可得2q , 又 3 8a ,即 1 48a ,解得 1 2a , 所以2n n

26、a ; 选等比数列 n a中,公比2q ,前 5 项和为 62, 则2q , 5 1(1 2 ) 62 12 a , 解得 1 2aq, 所以2n n a ; (2) 2 n n n nn b a , 23 123 2222 n n n T , 2341 1123 22222 n n n T , 上面两式相减可得 231 11111 222222 n nn n T 1 11 (1) 22 1 2 1 2 n n n , 化简可得 2 2 2 n n n T , 因为 1 11 321 220 222 nn nnn nnn TT , 所以 n T递增, 1 T最小,且为 1 2 ,所以 1 22

27、022 2 m, 解得2023m , 则m的最大值为 2022 19解: (1)根据题意填写列联表,如下: 男 女 合计 Y 80 60 140 N 20 40 60 合计 100 100 200 根据表中数据,计算 2 2 200 (80 4020 60)200 9.5246.635 100 100 140 6021 K , 对照临界值表知,有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系; (2)用样本估计总体,将频率视为概率, 根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为 804 1005 , 女性了解“云课堂”倡议的概率为 603 1005 , 所以计算概率 33 14 412

28、56 ( ) 55625 PC, 概率 33 24 32216 ( ) 55625 PC, 所以 12 PP 20解: ()取CD的中点E,连接AE,PE, 不妨设2AD ,则2ABBC, 即2APPC 因为90ABCCAD , 所以2AC ,则AECD, 又因为PAACPD,所以PECD,且AEPEE, CD面PAE,PA面PAE,则APCD, ()取AC的中点O,连接PO,OE,PE,过点E作EHPO, 不妨设2AD ,则2ABBC,即2APPC, 因为90ABCCAD ,则POAC, 又因为O为AC中点,E为CD的中点,则/ /OEAD,所以OEAC, 所以POE为二面角PACD的平面角

29、 且OEPOO,AC面POE,AC 面PAC,又EHPO,则EH 面PAC, 在EOH中,1OE , 1 cos 4 EOH,所以 15 4 EH , 所以点D到面PAC距离为 15 2 2 EH ,7PD , 设PD与面PAC所成的角为,则 2105 sin 14 EH PD , 解法 2:取AC的中点O,连接PO,EO,PE,过点E作EHPO, 不妨设2AD ,则2ABBC,即2APPC, 因为90ABCCAD ,则POAC, 又因为O为AC中点,E为CD的中点,则/ /OEAD,所以OEAC, 所以POE为二面角PACD的平面角 因此以点O为坐标原点,以OA,OE,Oz分别为x,y,z轴

30、建空间直角坐标系如图: (1A,0,0),(1b,2,0),( 1c ,0,0),(0P, 1 4 , 15 ) 4 , 设面PAC的法向量为(nx,y,) z,(2CA,0,0), (0OP , 1 4 , 15 ) 4 ,( 1DP , 9 4 , 15 ) 4 , 则 20 151 0 44 x zy ,所以0 x ,令15y ,则1z , 所以面PAC的一个法向量为(0n ,15,1), 设PD与面PAC所成的角为,则 105 sin| 14| n DP nDP 21解: (1)设椭圆 2 C的标准方程为: 22 22 1 xy ab , 令xc得: 2 b y a , 过 2 C的右

31、焦点且垂直于x轴的直线被椭圆 2 C截得的线段长为 2 2b a , 又椭圆 1 C的离心率 431 22 e , 2 222 1 2 2 3 2 c a b a abc ,解得: 2 2 6 2 a b c , 椭圆 2 C的标准方程为: 22 1 86 xy (2)设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 3 (C x, 3) y, 4 (D x, 4) y, 联立方程 22 1 43 3 xy yxm ,消去y得: 22 158 34120 xmxm,则有 12 2 12 8 3 15 412 15 m xx m x x , 同理,联立方程 22 1 86 3 xy y

32、xm ,消去y得: 22 3016 38480 xmxm,则有 34 2 34 8 3 15 448 15 m xx m x x , 31 |13 |ACxx , 42 |13 |BDxx , | |ACBD, 8 | 2| 5 CDABAC, 2 2 343434 8390 |1 3 | 2 ()4 15 m CDxxxxx x , 2 2 121212 8345 |13 | 2 ()4 15 m ABxxxxx x , 22 88 |( 903453) 155 CDABmm, 即 22 9034533mm, 解得:3m m的值为3 22)解:当1a 时,( )(1) 1 x f xeln

33、x, 1 ( ) 1 x fxe x , 所以曲线( )yf x在点(2,f(2))处的切线的斜率kf(2) 2 1e ()解:由定义域可知,1x ,所以( )0f x 恒成立( )0(1) min f xx, 1 ( ) 1 x e fx ax , 2 1 1 ( )0 () x e fx ax ,所以( )fx在(1,)上单调递增, 又因为1x 时,( )fx,当x时,( )fx, 故存在唯一实数 0 x使 00 ()0(1)fxx,则 0 0 1 x a e x ,也即 00 (1)xlnaln x, 在 0 (1,)x上, 0 ()0fx,函数( )f x单调递减, 在 0 (x,)上

34、, 0 ()0fx,函数( )f x单调递增, 因此 0 000 0 1 ( )()()121 1 x min e f xf xln axaxlna ax 00 00 11 122 2(1)22420 11 xlnaxlnalna xx , 解得 2 0ae, 即实数a的取值范围是 2 (0,)e ()证明“由题意可得( ) x e h xaxlna a ,且 1 1 0 x e axlna a , 2 2 0 x e axlna a , 由得 12 2 12 xx ee a xx , 由( ) x e h xa a ,得 12 12 122 12 2 12 1 ()() 2 xx xxxx

35、xxeee hae aaxx , 不防令 12 xx,并设 12( 0)txx t, 则 12 xxt,代入可得 2 12 2 1 ()() 2 txt xxee he at , 要证 12 ()0 2 xx h ,只需证明 2 1 0 tt e e t 即可,即证明 2 10 t t tee , 令 2 ( )1 t t m ttee, 222 ( )(1)(1) 22 ttt t tt m teeee , 因为函数( )1 x u xxe ,( )10 x u xe 在(0,)上恒成立, 所以( )1 x u xxe 在(0,)上单调递减, 所以( )(0)0u xu, 所以 2 10 2 t t e ,所以( )0m t, 则( )m t在(0,)单调递减, 则( )(0)0m tm,即 12 ()0 2 xx h ,得证