1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（6） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 （5 分） 已知全集1U ，2，3，4，5，6，集合2A，3，5，集合1B ，3，4，6，则集合( U AB ) A3 B2，5 C1，4，6 D2，3，5 2 （5 分）已知复数cossin (zii为虚数单位） ，则|1|z 的最大值为( ) A1 B2 C2 D4 3 （5 分）已知a，bR，则ab是 2( )0
2、ab a ee的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）在空间中，下列命题是真命题的是( ) A经过三个点有且只有一个平面 B平行于同一平面的两直线相互平行 C如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 5 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 3 66 (1)2019(1)1aa， 3 20152015 (1)2019(1)1aa， 则下列结论正确的是( ) A 2020 2020S， 20156 aa B 2020 2020S， 20156 aa
3、C 2020 2020S ， 20156 aa D 2020 2020S ， 20156 aa 6 （5 分）若正实数a，b满足 24 11 log2log 121 ab ab ，则( ) A2ab B2ab C2ba D2ba 7 （5 分）点O为坐标原点，若A，B是圆 22 16xy上的两个动点，且120AOB，点P在直线 34250 xy上运动，则PA PB的最小值是( ) A3 B4 C5 D6 8 （5 分）设函数( )(1) x f xxea x，其中1a ，若存在唯一整数 0 x，使得 0 ()f xa，则a的取值范围是 ( ) A 2 1 e ，1) B 2 1 e ， 1)
4、e C 2 1 e， 1) e D 2 1 e，1) 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）2.5PM是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织得最宽值限定值，即2.5PM日均值在 3 35/g m以下，空气质量为一级，在 3 3575/g m，空气质量为二级，超过 3 75/g m为超标如图是某 地 12 月 1
5、日至 10 日得2.5PM（单位： 3 /)g m的日均值，则下列说法正确的是( ) A这 10 天中有 3 天空气质量为一级 B从 6 日到 9 日2.5PM日均值逐渐降低 C这 10 天中2.5PM日均值的中位数是 55 D这 10 天中2.5PM日均值的平均值是 45 10 （5 分）若 20212320202021 012320202021 (1 2 )()xaa xa xa xaxaxxR，则( ) A 0 1a B 2021 13520192021 31 2 aaaaa C 2021 0122021 | 3aaaa D 32020202112 2320202021 1 22222
6、aaaaa 11（5 分） 函数 yx称为取整函数， 也称高斯函数， 其中 x表示不超过实数x的最大整数， 例如1.21， 1.22 等，该函数被广泛应用于数学和计算机等领域，关于函数 yx，正确的结论是( ) A 1xx B若 12 xx，则 12 xx C若01x，则0.52 xx D 1212 xxxx 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，A、B分别为双曲线的左，右顶点， 1 F、 2 F为左、右 焦点， 12 | 2FFc，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB 的斜率分别为 1 k， 2 k，则下列说法
7、正确的是( ) A当 2 PFx轴时， 12 30PFF B双曲线的离心率 15 2 e C 12 k k为定值1 5 2 D若I为 12 PFF的内心，满足 121 2( ) IPFIPFIF F SSxSxR，则 51 2 x 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知随机变量服从正态分布 2 (3,)N，(6)0.84P，则(0)P 14 （5 分）若直线 1:2 0lxya与直线 2: 30laxy平行，则实数a ，直线 1 l与 2 l之间的距离 为 15 （5 分）已知三棱锥PABC中，AP、AB、AC三条
8、棱两两垂直，且长度均为2 3，以顶点P为球心， 4 为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为 16 （5 分）若函数 2 2 1 (0) ( ) |1|(0) kx f xx xkxx 恰有 4 个零点，则实数k的取值范围是 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知函数 2 1 ( )sin coscos 2 f xxxx （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）设方程 6 ( ) 4 f x 在(0，a上恰有 5 个实数解，求a
9、的取值范围 18 （12 分）在已知数列 n a满足： 1 20 nn aa ， 3 8a ，等比数列 n a中，公比2q ，前 5 项和为 62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n n n b a ，数列 n b的前n项和为 n T，若22022 n Tm对 * nN恒成立，求正整数m的最大值 19 （12 分）2021 年春晚首次采用“云”传播， “云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心 “云团圆” ，共享新春氛围， “云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随 机抽取 200 人对“云课堂”倡议的了解情
10、况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如 表所示： （表一） 了解情况 Y N 人数 140 60 （表二） 男 女 合计 Y 80 N 40 合计 （1）请根据所提供的数据，完成上面的22列联表（表二） ，并判断是否有99%的把握认为对“云课堂” 倡议的了解情况与性别有关系； （2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取 4 人，记“4 名男性中恰有 3 人了解云课堂倡议”的概率为 1 P， “4 名女性中恰有 3 人了解云课堂倡议”的概率为 2 P，试求出 1 P与 2 P， 并比较 1 P与 2 P的大小 附：临界值参考表的参考公式 2 0 ()
11、P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 () ( ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中)nabcd 20 （12 分）已知四边形ABCD，90ABCCAD ， 2 2 ABBCAD，将ABC沿AC翻折至PAC （）若PAPD，求证：APCD； （）若二面角PACD的余弦值为 1 4 ，求PD与面PAC所成角的正弦值 21 （12 分）已知椭圆 2 C与 22 1: 1 43 xy C的离心率相同，过 2 C的右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆
12、 2 C截 得的线段长为3 2 （1）求椭圆 2 C的标准方程； （2）若直线:3l yxm与椭圆 1 C， 2 C的交点从上到下依次为C，A，B，D，且 4 | 5 AC ，求m的值 22 （12 分）已知函数( )()1(0)( x e f xln axaae a 为自然对数的底数） （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(2，f（2）)处的切线的斜率； （）若( )0f x 恒成立，求实数a的取值范围； （）设函数( )(1)1g xln xax，且( )( )( )h xf xg x若 1 x， 2 x为函数( )h x的两个零点，且( )h x的导 函数为( )h x，求证： 12
13、 ()0 2 xx h 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（6）答案）答案 1解：全集1U ，2，3，4，5，6，集合1B ，3，4，6，2 UB ，5，又集合2A，3，5， 则集合2 U AB ，5 故选：B 2解：复数cossin (zii为虚数单位） ， 1(cos1)sinzi ， 22 |1|(cos1)(sin )22cosz ， 故当cos1 时，则|1|z 取最大值 2， 故选：C 3解：由ab，当0a 时，不能够推出 2( )0 ab a ee， 故ab是 2( )0 ab a ee的不充分条件， 由 2( )00 ababab a eeeeeeab，
14、 故ab是 2( )0 ab a ee的必要条件， 综上所述：ab是 2( )0 ab a ee的必要不充分条件 故选：B 4解：经过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，若三点共线，经过该三点有无数个平面，故A错 误； 平行于同一平面的两直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故B错误； 如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误； 如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面，正确， 证明如下： l，a，b， 在内，a与b外任取一点P，作PAa，a，PA，PA， 又l，则PAl，作PBb，同理可得PBl， 而PAPBP，PA、PB，则l 故选：D
15、5解：设 3 ( )2019f xxx，则( )f x为奇函数且单调递增， 因为 3 66 (1)2019(1)1aa， 3 20152015 (1)2019(1)1aa， 所以 62015 (1)(1)aa ，且 62015 11aa ， 即 62015 2aa， 62015 aa， 20201202062015 1010()1010()2020Saaaa， 故选：A 6解：正实数a，b满足 24 11 log2log 121 ab ab ， 变为： 22 11 loglog 121 ab ab ， 2 2 (1)(21) aba log bab ， 若ab，则 2 2 0 (1)(21)
16、aba log bab ，可得2ab 若ab，则 2 2 0 (1)(21) aba log bab ，可得2ab 若ab，则 2 2 0 (1)(21) aba log bab ，可得2abb，可得0b ，矛盾，舍去 2ab， 故选：B 7解：因为 2 () ()()PA PBPOOAPOOBPOPO OAOBOA OB 22 ()4 4 cos120()8POPOOAOBPOPOOAOB 22 |4| 8(| 2)12POPOPO ， 又点O到直线34250 xy的距离为 22 25 5 34 d ， 所以|5 min PO，此时直线OP与直线垂直， 所以 2 (52)123PA PB ，
17、即PA PB的最小值为3， 故选：A 8解：函数( )(1) x f xxea x，其中1a ， 设( ) x g xxe，yax， 存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()f xa， 存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()g x在直线yax的下方， ( )(1) x g xxe， 当1x 时，( )0g x，当1x 时，( )0g x， ( )g x在(, 1) 上单调递减，在( 1,) 上单调递增， 当1x 时， 1 ( )( 1) min g xg e 当0 x 时，(0)0g，当2x 时， 2 2 ( 2)g e ， 直线yax恒过(0,0)，斜率为a， 故 1 ( 1)ag e ，且
18、2 2 ( 2)2ga e ， 解得 2 11 a ee ， a的取值范围是 2 1 e， 1) e 故选：C 9解：由图形知，2.5PM日均值在 3 35/g m以下的有第 1 天、第 3 天和第 4 天，共三天空气质量为一级， A正确； 从 6 日到 9 日2.5PM日均值是逐渐降低，所以选项B正确； 这 10 天中2.5PM日均值从小到大排列为 30、32、34、40、41、45、48、60、78、80， 所以中位数是 1 (4145)43 2 ，所以选项C错误； 计算平均数为 1 (30413234408078604548)48.8 10 ，所以D错误 故选：AB 10解：， 故令，可
19、得，故正确 20212320202021 012320202021 (1 2 )()xaa xa xa xaxaxxR 0 x 0 1a A 令，可得， 令，可得， 两式相减除以 2，可得，故错误 令，可知正确 令，可得，故，故正确 故选： 11解：根据题意，依次分析选项： 对于A，当0 x 时，有 000，A错误， 对于B，若 12 xx，则 12 xx，B正确， 对于C，若00.5x，0.52 0 xx， 若0.51x，0.52 1xx， 故有0.52 xx， 故C正确， 对于D，当 1 0.9x ， 2 0.3x 时， 12 1.21xx， 12 0 xx，D错误； 故选：BC 12解：
20、因为a，b，c成等比数列，所以 2 bac， A中， 2 PFx轴时，P的坐标为： 2 ( ,) b c a 即( , )P c c， 所以 2 12 12 |1 tan |22 PFc PFF FFc ，所以 12 30PFF，所以A不正确； B中，因为 2 bac，所以可得 22 caac，可得 2 10ee ，又1e ， 解得： 51 2 e ，所以B正确； C，设 0 (P x， 0) y，则 22 00 22 1 xy ab ，所以 22 220 0 2 xa yb a ， 由题意可得(,0)Aa，( ,0)B a，所以 22 000 12 222 000 yyyb k k xa x
21、axaa ， 由 2 bac，可得 12 15 2 c k k a ，所以C正确； D中因为 121 2 IPFIPFIF F SSxS，所以 1212 111 | 222 PFrPFrxFFr ， 1x 012320 02021 1 z aaaaaa 1x 2021 012320202021 3aaaaaa 2021 13520192021 1 3 2 aaaaa B 1x C 1 2 x 202012 0 22020 0 222 aaa a 202012 22020 1 222 aaa D ACD 可得 12 12 |2251 |2215 PFPFa x FFc ，所以D正确； 故选：BC
22、D 13解：随机变量服从正态分布 2 (3,)N， 3， (6)0.84P， (6)10.840.16P ， (0)(6)1(6)0.16PPP 剠?， 故答案为：0.16 14解：直线 1:2 0lxya与直线 2: 30laxy平行， 13 21 a a ， 解得2a ， 直线 1:2 20lxy，直线 2:2 30lxy， 直线 1 l与 2 l之间的距离为： |3( 2)| 5 4 1 d 故答案为：2，5 15解：如图，2 3AP ，4PN ，则2AN ， 6 APN ， 4612 NPM ， 4 123 MN ，同理 3 GH ， 2 2 HN ， 4 4 33 GM ， 故球面与
23、三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于 4 3 333 ， 故答案为：3 16解：由 2 2 1 (0) ( ) |1|(0) kx f xx xkxx 恰有 4 个零点， 得( )0f x ，即 2 2 2 1 (0) 1 (01) 1( 1) x x x kx x x x x 有 4 个根， 令 2 2 2 1 (0) 1 ( )(01) 1( 1) x x x g xx x x x x ，也就是yk与( )yg x的图象有四个交点 当0 x 时， 3 2 ( )0g x x ，( )g x单调递增； 当01x时， 3 2 ( )0 x g x x ，( )g x单调递减； 当1x时，
24、3 2 ( ) x g x x ，当(1,2)x时，( )0g x，( )g x单调递增， 当(2,)x时，( )0g x，( )g x单调递减 作出函数( )g x的图象如图： 函数 2 2 1 (0) ( ) |1|(0) kx f xx xkxx 恰有 4 个零点，则实数k的取值范围是 1 (0, ) 4 故答案为： 1 (0, ) 4 17解： （1）函数 2 11cos2112 ( )sin coscossin2sin(2) 222224 x f xxxxxx 令222() 242 kxkkZ 剟， 整理得 3 () 88 kx kkZ 剟， 所以函数的单调递增区间为 3 ,() 8
25、8 kkkZ （2）设方程 6 ( ) 4 f x 在(0，a上恰有 5 个实数解， 令 26 sin(2) 244 x ， 即 3 sin(2) 42 x ， 整理得 2 222 433 xkkkZ 或， 解得 711 2424 xkxk 或 所以当2k 时， 7551159 22 24242424 xx 或时， 由于恰好有 5 个实数解 故 5559 ,) 2424 a 18解： （1）选已知数列 n a满足： 1 20 nn aa ， 3 8a ， 设等比数列 n a的公比为q， 由 1 2 nn aa ，可得2q ， 又 3 8a ，即 1 48a ，解得 1 2a ， 所以2n n
26、a ； 选等比数列 n a中，公比2q ，前 5 项和为 62， 则2q ， 5 1(1 2 ) 62 12 a ， 解得 1 2aq， 所以2n n a ； （2） 2 n n n nn b a ， 23 123 2222 n n n T ， 2341 1123 22222 n n n T ， 上面两式相减可得 231 11111 222222 n nn n T 1 11 (1) 22 1 2 1 2 n n n ， 化简可得 2 2 2 n n n T ， 因为 1 11 321 220 222 nn nnn nnn TT ， 所以 n T递增， 1 T最小，且为 1 2 ，所以 1 22
27、022 2 m， 解得2023m ， 则m的最大值为 2022 19解： （1）根据题意填写列联表，如下： 男 女 合计 Y 80 60 140 N 20 40 60 合计 100 100 200 根据表中数据，计算 2 2 200 (80 4020 60)200 9.5246.635 100 100 140 6021 K ， 对照临界值表知，有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系； （2）用样本估计总体，将频率视为概率， 根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为 804 1005 ， 女性了解“云课堂”倡议的概率为 603 1005 ， 所以计算概率 33 14 412
28、56 ( ) 55625 PC， 概率 33 24 32216 ( ) 55625 PC， 所以 12 PP 20解： （）取CD的中点E，连接AE，PE， 不妨设2AD ，则2ABBC， 即2APPC 因为90ABCCAD ， 所以2AC ，则AECD， 又因为PAACPD，所以PECD，且AEPEE， CD面PAE，PA面PAE，则APCD， （）取AC的中点O，连接PO，OE，PE，过点E作EHPO， 不妨设2AD ，则2ABBC，即2APPC， 因为90ABCCAD ，则POAC， 又因为O为AC中点，E为CD的中点，则/ /OEAD，所以OEAC， 所以POE为二面角PACD的平面角
29、 且OEPOO，AC面POE，AC 面PAC，又EHPO，则EH 面PAC， 在EOH中，1OE ， 1 cos 4 EOH，所以 15 4 EH ， 所以点D到面PAC距离为 15 2 2 EH ，7PD ， 设PD与面PAC所成的角为，则 2105 sin 14 EH PD ， 解法 2：取AC的中点O，连接PO，EO，PE，过点E作EHPO， 不妨设2AD ，则2ABBC，即2APPC， 因为90ABCCAD ，则POAC， 又因为O为AC中点，E为CD的中点，则/ /OEAD，所以OEAC， 所以POE为二面角PACD的平面角 因此以点O为坐标原点，以OA，OE，Oz分别为x，y，z轴
30、建空间直角坐标系如图： (1A，0，0)，(1b，2，0)，( 1c ，0，0)，(0P， 1 4 ， 15 ) 4 ， 设面PAC的法向量为(nx，y，) z，(2CA，0，0)， (0OP ， 1 4 ， 15 ) 4 ，( 1DP ， 9 4 ， 15 ) 4 ， 则 20 151 0 44 x zy ，所以0 x ，令15y ，则1z ， 所以面PAC的一个法向量为(0n ，15，1)， 设PD与面PAC所成的角为，则 105 sin| 14| n DP nDP 21解： （1）设椭圆 2 C的标准方程为： 22 22 1 xy ab ， 令xc得： 2 b y a ， 过 2 C的右
31、焦点且垂直于x轴的直线被椭圆 2 C截得的线段长为 2 2b a ， 又椭圆 1 C的离心率 431 22 e ， 2 222 1 2 2 3 2 c a b a abc ，解得： 2 2 6 2 a b c ， 椭圆 2 C的标准方程为： 22 1 86 xy （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y， 联立方程 22 1 43 3 xy yxm ，消去y得： 22 158 34120 xmxm，则有 12 2 12 8 3 15 412 15 m xx m x x ， 同理，联立方程 22 1 86 3 xy y
32、xm ，消去y得： 22 3016 38480 xmxm，则有 34 2 34 8 3 15 448 15 m xx m x x ， 31 |13 |ACxx ， 42 |13 |BDxx ， | |ACBD， 8 | 2| 5 CDABAC， 2 2 343434 8390 |1 3 | 2 ()4 15 m CDxxxxx x ， 2 2 121212 8345 |13 | 2 ()4 15 m ABxxxxx x ， 22 88 |( 903453) 155 CDABmm， 即 22 9034533mm， 解得：3m m的值为3 22）解：当1a 时，( )(1) 1 x f xeln
33、x， 1 ( ) 1 x fxe x ， 所以曲线( )yf x在点(2，f（2）)处的切线的斜率kf（2） 2 1e （）解：由定义域可知，1x ，所以( )0f x 恒成立( )0(1) min f xx， 1 ( ) 1 x e fx ax ， 2 1 1 ( )0 () x e fx ax ，所以( )fx在(1,)上单调递增， 又因为1x 时，( )fx，当x时，( )fx， 故存在唯一实数 0 x使 00 ()0(1)fxx，则 0 0 1 x a e x ，也即 00 (1)xlnaln x， 在 0 (1,)x上， 0 ()0fx，函数( )f x单调递减， 在 0 (x，)上
34、， 0 ()0fx，函数( )f x单调递增， 因此 0 000 0 1 ( )()()121 1 x min e f xf xln axaxlna ax 00 00 11 122 2(1)22420 11 xlnaxlnalna xx ， 解得 2 0ae， 即实数a的取值范围是 2 (0,)e （）证明“由题意可得( ) x e h xaxlna a ，且 1 1 0 x e axlna a ， 2 2 0 x e axlna a ， 由得 12 2 12 xx ee a xx ， 由( ) x e h xa a ，得 12 12 122 12 2 12 1 ()() 2 xx xxxx
35、xxeee hae aaxx ， 不防令 12 xx，并设 12( 0)txx t， 则 12 xxt，代入可得 2 12 2 1 ()() 2 txt xxee he at ， 要证 12 ()0 2 xx h ，只需证明 2 1 0 tt e e t 即可，即证明 2 10 t t tee ， 令 2 ( )1 t t m ttee， 222 ( )(1)(1) 22 ttt t tt m teeee ， 因为函数( )1 x u xxe ，( )10 x u xe 在(0,)上恒成立， 所以( )1 x u xxe 在(0,)上单调递减， 所以( )(0)0u xu， 所以 2 10 2 t t e ，所以( )0m t， 则( )m t在(0,)单调递减， 则( )(0)0m tm，即 12 ()0 2 xx h ，得证