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2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷(3)含答案

1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(3) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 (5 分)已知集合0A,1,2,3,4,集合 |31Bxx ,则(AB ) A2 B3 C2,3 D2,3,4 2 (5 分)等差数列32n与等差数列52 n的公差之和为( ) A1 B2 C3 D8 3 (5 分)若,表示两个不同的平面,m为平面内一条直线,则( ) A “/ /m”是“/ /”的充分不必要条件 B “

2、/ /m”是“/ /”的必要不充分条件 C “m”是“”的必要不充分条件 D “m”是“”的充要条件 4 (5 分)2020 年 12 月 18 日,国家统计局发布了 2019 年中国儿童发展纲要(20112020年) 统计监测 报告,报告指出学前教育得到进一步重视和加强如图为 2010 年2019年全国幼儿园数及学前教育毛入园 率的统计图: 则以下说法正确的是( ) A2015 年我国约有 75 万所幼儿园 B这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长且增长率相同 C2019 年我国幼儿园数比上年增长了约5.2% D2019 年我国学前教育毛入园率比上年提高了1.7% 5 (5 分)函数 2 (

3、)sin cos3cosf xxxx的图象的一条对称轴为( ) A 12 x B 6 x C 3 x D 2 x 6 (5 分) “华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇现有 4 名高三学生 准备 2021 年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游,假设每名同学均 从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为( ) A 7 16 B 9 16 C 27 64 D 81 256 7 (5 分)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为(4,0)F,直线 3 7 7 yx与双曲线C相交于A, B两

4、点,O为坐标原点,线段AF、BF的中点分别为P、Q,且OPOQ,则双曲线C的离心率为( ) A3 B5 C4 D2 8 (5 分)对于函数( )fx,若存在 0 x,使 00 ()()f xfx ,则点 0 (x, 0 ()f x与点 0 ( x, 0 ()f x均称为 函数( )f x的“先享点” 已知函数 3 16,0 ( ) 6,0 ax x f x xx x ,且函数( )f x存在 5 个“先享点” ,则实数a的取值 范围为( ) A(0,6) B(,6) C(3,) D(6,) 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题

5、给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9 (5 分)已知函数 43,1 ( ) ,1 x x f x lnx x ,则下列结论正确的是( ) A函数( )f x的定义域为R B函数( )f x在R上为增函数 C函数( )f x的值域为( 3,) D函数( )f x只有一个零点 10已知0a ,0b ,且4abab,则( ) A16ab B264 2ab C0ab D 22 1161 2ab 11 (5 分)若实数ab,则下列不等关系

6、正确的是( ) A 223 ( )( )( ) 555 baa B若1a ,则log2 aab C若0a ,则 22 11 ba ab D若 5 3 m ,a,(1,3)b,则 3322 1 ()()0 3 abm abab 12 (5 分) 已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上,2ABBC,5PAPC,ABBC, 过B作平面ABC的垂线BQ,且BQAB,3PQ ,P与Q都在平面ABC的同侧,则( ) A三棱锥PABC的体积为 2 3 BPAAB C/ /PCBQ D球O的表面积为9 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13

7、 (5 分)已知随机变量 2 (2,)XN,(0)0.9P X ,则(24)PX 14 (5 分)函数( )f xxlnx在点(1,0)处的切线方程为 15 (5 分)某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种 方式的效果,调查了 105 名学员,统计结果为:接受大密度集中培训的 55 个学员中有 45 名学员一次考试 通过,接受周末分散培训的学员一次考试通过的有 30 个根据统计结果,认为“能否一次考试通过与是否 集中培训有关”犯错误的概率不超过 附: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P Kk 0.05

8、 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 16 (5 分)设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 1 F, 2 F,P是椭圆上一点,且 12 3 FPF ,若 12 FPF的 外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当4Rr时,椭圆的离心率为 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)从“ 1 () 2 n a Sn n; 23 Sa, 412 aa a; 1 2a , 4 a是 2 a, 8 a的等比

9、中项 ”三个条件 任选一个,补充到下面横线处,并解答 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,公差d不等于零,_, * nN (1)求数列 n a的通项公式; (2)若 1 22 nn n bSS ,数列 n b的前n项和为 n W,求 n W 18 (12 分) 已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且6a ,2b ,2 coscbbA (1)求sin B的值; (2)若AD平分BAC交BC于D,求三角形ADC的面积S的值 19 (12 分)如图,在四棱锥EABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BCE为等边三角形,点O为BE 的中点,且22ACBCOA (1)证明:平面

10、ABE 平面BCE (2)若ABAE,求二面角BCED的正弦值 20 (12 分)某商城玩具柜台元旦期间促销,购买甲、乙系列的盲盒,并且集齐所有的产品就可以赠送元旦 礼品而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 1 A, 2 A, 3 A中的一个,每个乙系列盲盒可以开出玩偶 1 B, 2 B中的 一个 (1)记事件 n E:一次性购买n个甲系列盲盒后集齐 1 A, 2 A, 3 A玩偶;事件 n F:一次性购买n个乙系列盲 盒后集齐 1 B, 2 B玩偶;求概率 6 ()P E及 5 ()P F; (2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒,每个消费者每天只有一次购买机会,且购买时,只能选择其 中一个系列的

11、一个盲盒通过统计发现:第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 1 5 ,购买乙系列的 概率为 4 5 ;而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 1 4 ,购买乙系列的概率为 3 4 ;前一次 购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 1 2 ,购买乙系列的概率为 1 2 ;如此往复,记某人第n次购 买甲系列的概率为 n Q n Q; 若每天购买盲盒的人数约为 100,且这 100 人都已购买过很多次这两个系列的盲盒,试估计该礼品店每天 应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个 21 (12 分)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F,

12、2 F,点(3,1)P在C上,且 12 | | 10PFPF (1)求C的方程; (2)斜率为3的直线l与C交于A,B两点,点B关于原点的对称点为D若直线PA,PD的斜率存在 且分别为 1 k, 2 k,证明: 12 kk为定值 22 (12 分)已知函数 2 ( )()f xlnxa xx, 3 ( )5g xxx (1)讨论函数( )f x的单调性; (2)当2a 时,证明: 3 ( )( ) 2 f xg x 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(3)答案)答案 1解:0A,1,2,3,4, |23Bxx剟, 2AB,3 故选:C 2解:等差数列32n的公差为 3,

13、 等差数列52 n的公差为2, 等差数列32n与等差数列52 n的公差之和为321 故选:A 3解:因为m为平面内一条直线,/ /m,所以/ /或与相交, 故“/ /m”不能推出“/ /” , 而/ /,则两平面没有公共点,而m为平面内一条直线,所以/ /m, 所以“/ /”可以推出“/ /m” , 所以“/ /m”是“/ /”的必要不充分条件,故A不正确,B正确; 根据面面垂直的判定可知,m为平面内一条直线, “m”可以推出“” , 但“”不能推出“m” ,所以“m”是“”的充分不必要条件,故C、D不正确 故选:B 4解:对于A,由统计图可知,2015 年我国约有 22.4 万所幼儿园,故选

14、项A错误; 对于B,这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长,但是增长率不相同,故选项B错误; 对于C,2019 年我国约有 28.1 万所幼儿园,2018 年我国约有 26.7 万所幼儿园, 所以增长了 28.126.7 5.2% 26.7 ,故选项C正确; 对于D,2019 年入园率为83.4%,2018 年入园率为81.7%, 所以增长了 83.481.7 2% 81.7 ,故选项D错误 故选:C 5解: 2 11cos21333 ( )sin cos3cossin23sin2cos2sin(2) 2222232 x f xxxxxxxx , 令2 32 xk 得 122 k x ,kZ,

15、当0k 时, 12 x ,A符合题意,B,C,D不符合题意 故选:A 6解:现有 4 名高三学生准备 2021 年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个 地方旅游, 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游, 基本事件总数 4 4256n , 恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数 23 44 144mC A, 则恰有一个地方未被选中的概率为 1449 25616 m P n 故选:B 7解:设点A在第一象限,设坐标为(m, 3 7 )(0) 7 m m , 因为点P,Q,O分别为三角形ABF的三边的中点,且OPOQ, 所以四边形OPFQ为矩形,所以AFBF,而4OF

16、 , 则4OAOB,所以 222 3 716 ()4 77 mmm,解得7m (负值舍去) , 所以点A的坐标为( 7,3),代入双曲线方程可得: 22 79 1 ab , 又 22 16ab,解得2a ,2 3b , 所以双曲线的离心率为 4 2 2 c e a , 故选:D 8解:由题意,( )f x存在 5 个“先享点” ,原点是一个,其余还有两对, 即函数 3 6(0)yxx x关于原点对称的图象恰好与函数16(0)yax x有两个交点, 而函数 3 6(0)yxx x关于原点对称的函数为 3 6(0)yxx x, 即 3 166axxx有两个正根, 2 16 6(0)axx x ,令

17、 2 16 ( )6(0)h xxx x , 则 3 22 162(8) ( )2 x h xx xx , 所以当02x时,( )0h x,当2x 时,( )0h x, 所以( )h x在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增, 则当2x 时,( )4866 min h x, 且当0 x 和x时,( )f x , 所以实数a的取值范围为(6,), 故选:D 9解:选项A:由已知可得函数定义域为R,故A正确; 选项B:当1x 时,函数( )f x为增函数,当1x时,函数为增函数,且 1 43110ln , 所以函数在R上不单调,故B错误; 选项C:当1x 时,3( )1f x ,当1x时,(

18、 ) 0f x ,所以函数的值域为( 3,) ,故C正确; 选项D:当1x 时,令430 x ,解得 4 log 3x ,当1x时,令0lnx ,解得1x , 故函数有两个零点,故D错误, 故选:AC 10解:0a ,0b ,42 4ababab ,当且仅当ab时取等号, 解得16ab,即ab的最小值为 16,A正确; 由已知得 41 1 ba , 所以 4188 2(2)()66264 2 aba b abab bababa , 当且仅当 8ab ba 时取等号,B正确; 由已知无法判断a,b的大小,故0ab无法判断,C错误; 因为 41 1 ba , 所以 14 1 ab , 所以 222

19、 116832 1 abbb , 结合二次函数的性质可知 11 8b ,即8b 时取等号,此时取得最小值 1 2 , 故以 22 1161 2ab ,D正确 故选:ABD 11解:对于A:幂函数 a yx,当1a 时,函数单调递减,所以 11 23 ( )( ) 55 ,故A错误; 对于B:当logloglog1 12 aaa abab ,故B正确; 对于 2222 ()() : 11(1)(1) baba baabab C abab , 由于0ba,故 22 11 ba ab 成立,故C正确; 对于D:原不等式变形为 3232 11 ()()0 33 amaabmbb, 令 32 1 ( )

20、 3 g xxmxx, 则 2 ( )21g xxmx, 2 440m, ( )0g x, 解得: 2 1 1xmm, 2 2 1xmm 由于 5 3 m , 所以 1 1x , 2 3x , 所以函数( )g x在(1,3)上单调递减, 所以g(a)g(b)0,故D正确 故选:BCD 12解:如图, 长方体的高为 1,底面是边长为 2 的正方形,满足2ABBC,5PAPC,ABBC, 三棱锥PABC的体积为 112 22 1 323 ,故A正确; 22222222 2213PBPDBDPDABAD, 满足 222 PAABPB,可得PAAB,故B正确; BQ 平面ABC,PD 平面ABC,则

21、/ /BQPD, 假设/ /PCBQ,则/ /PCPD,与PD与PC相交于P矛盾,故C错误; 三棱锥PABC的外接球即长方体DG的外接球,设其半径为R, 则 222 22213R,即 3 2 R ,可得球O的表面积为 2 3 4( )9 2 ,故D正确 故选:ABD 13解:因为随机变量X服从正态分布(2N, 2)( 0),且(0)0.9P X , 所以该正态分布曲线的对称轴为2x ,故(2)(2)0.5P XP X, 所以(24)(02)(0)(2)0.90.50.4PXPXP XP X剟 故答案为:0.4 14解:由( )f xxlnx,得( )1fxxlnxlnx, f (1)1,即函数

22、( )f xxlnx在点(1,0)处的切线的斜率为 1 函数( )f xxlnx在点(1,0)处的切线方程为01 (1)yx , 即10 xy 故答案为:10 xy 15解:22列联表如下: 通过 未通过 总计 集中培训 45 10 55 分散培训 30 20 50 总计 75 30 105 2 2 105 (45 2030 10) 6.1095.024 75 30 50 55 K , 认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 0.025, 故答案为:0.025 16解: 12 FPF的外接圆的半径R,由正弦定理 12 12 |2 2 sin sin 3 FFc R FPF

23、 , 所以 2 3 3 Rc, 又由于4Rr,所以 3 6 rc, 在 12 FPF中,由余弦定理可得 222 12121212 |2| cosFFPFPFPFPFFPF,而 12 3 FPF , , 所以 22 12 443|caPFPF, 所以可得: 22 12 4 |() 3 PFPFac, 由三角形的面积相等可得: 12121212 11 (|)|sin 22 PFPFFFrPFPFFPF, 所以 22 43 (22 )() 32 ac rac, 所以 22 343 2()() 632 accac, 整理可得: 2 320ee ,解得 2 3 e 或1e , 故答案为: 2 3 17解

24、: (1)选 1 () 2 n a Sn n, 可得 1 11 1 2 a aS ,解得 1 2a , 即 2 n Snn, 则 12 6aa,即 2 4a , 21 2daa, 所以22(1)2 n ann; 选 23 Sa, 412 aa a, 可得 11 22adad, 111 3()ada ad, 解得 1 2ad, 所以22(1)2 n ann; 选 1 2a , 4 a是 2 a, 8 a的等比中项, 可得 2 428 aa a,即 2 (23 )(2)(27 )ddd, 解得2(0dd舍去) , 所以22(1)2 n ann; (2)由 2 n Snn, 可得 1 1 212 2

25、2 (2)2(2 )23 42 nn nnnnnn n bSS , 所以 2323 3(4444 )(2222 ) nn n W 4(14 )2(12 ) 3 1412 nn 1111 4422426 nnnn 18解: (1)因为2 coscbbA, 又由余弦定理可得 222 2cosabcbcA, 所以 222 ()abcc cb,可得 22 bbca, 因为6a ,2b , 可得1c , 由余弦定理 222 2cosabcbcA,将6a ,2b ,1c ,代入,可得64122 1 cosA ,可得 1 cos 4 A , 所以 15 sin 4 A,由正弦定理 sinsin ab AB

26、,可得 10 sin 4 B (2)由(1)可知 15 sin 4 A,6a ,1c , 则由正弦定理可得 sinsin ac AC ,可得 10 sin 8 C , 在ABD中, sinsin BDAB BADADB , 在ACD中, sinsin CDAC DACADC , 又因为AD平分ADC, 所以sinsinADBADC, ,可得2 bACCD cABBD ,可得 2 6 3 CD , 所以 112 61015 sin2 22386 ADC SDC ACC 19 (1)证明:连接OC,因为BCE为等边三角形,所以OCBE, 因为2AC ,1OA , 3 23 2 OC ,所以 222

27、 ACAOOC,所以OCOA, 又因为OABEO,所以OC 平面ABE, 又因为OC 平面BCE,所以平面BCE 平面ABE, 故平面ABE 平面BCE (2)解:因为ABAE,所以OABE,所以OE、OC、OA两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系, (1E,0,0),( 1B ,0,0),(0A,0,1),(0C,3,0), ( 1EC ,3,0),(1CDBA,0,1),设平面ECD的法向量为(mx,y,) z, 30 0 EC mxy CD mxz ,令3x ,( 3m ,1,3), 平面BEC的法向量为(0n ,0,1), 设二面角BCED的大小为, 则 |33 |cos| | |

28、77 1 m n mn , 32 7 sin1 77 , 所以二面角BCED的正弦值为 2 7 7 20解: (1)由题意 222321342 642631362 6 6 320 () 327 C C CC C C AC A P E , 5 5 1 115 ()1 216 P F , (2)由题意可知: 1 1 5 Q , 当2n时, 111 1111 (1) 4224 nnnn QQQQ , 1 212 () 545 nn QQ , 1 21 55 Q , 所以 2 5 n Q 是以 1 5 为首项, 1 4 为公比的等比数列, 1 211 () 554 n n Q ; 因为每天购买盲盒的

29、100 人都已购买过很多次,所以,对于每一个人来说,某天来购买盲盒时,可以看 作n趋向无穷大, 所以购买甲系列的概率近似于 2 5 ,假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数,则 2 (100, ) 5 B, 所以 2 ( )10040 5 E,即购买甲系列的人数的期望为 40, 所以礼品店应准备甲系列盲盒 40 个,乙系列盲盒 60 个 21解: (1)设 1( ,0)Fc, 2( F c,0)(0)c ,其中 22 cab, 因为 12 | | 10PFPF,所以 22 (3)1(3)110cc ,解得4c , 所以 22 2(34)1(34)14 2a ,解得2 2a , 所以 222 8b

30、ca, 所以双曲线C的方程为 22 1 88 xy ; (2)证明:设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y,则 2 (Dx, 2) y, 设直线l的方程为3yxm ,与双曲线的方程联立,消去y,可得, 22 8680 xmxm, 由 22 ( 6 )32(8)0mm ,可得| 8m , 12 3 4 m xx, 2 12 8 8 m x x , 所以 1212 ( 3)( 3)y yxmxm 22 22 1212 83 93 ()939 848 mmm x xm xxmmm , 所以 2 12 121212 12 2 121212 12 83() 111 8 1 33339

31、83() 8 m xx yyy yyy k k mxxx xxx xx , 所以 12 kk为定值1 22解: (1)( )f x的定义域为(0,), 2 121 ( )(21) axax fxax xx , 令 2 ( )21h xaxax,(0,)x, 当0a 时,( )10h x ,( )0fx, 所以( )f x在(0,)上单调递增, 当0a 时,函数( )h x的对称轴为 1 224 a x a ,且(0)10h , 所以在(0,)上,( )0h x ,( )0fx,( )f x单调递增, 当0a 时,函数( )h x的对称轴为 1 224 a x a ,且(0)10h , 所以在(

32、0,)上( )h x单调递减,存在 2 0 8 4 aaa x a 使得 0 ()0h x, 所以在 2 8 (0,) 4 aaa a 上( )0h x ,( )0fx,( )f x单调递增, 在 2 8 ( 4 aaa a ,)上( )0h x ,( )0fx,( )f x单调递减, 综上所述,当0a时,( )f x在(0,)上单调递增, 当0a 时,( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a 上单调递增,在 2 8 ( 4 aaa a ,)上( )f x单调递减 (2)当2a 时, 2 ( )2()f xlnxxx, 要证 3 ( )( ) 2 f xg x, 则需证 23 3 2(

33、)5 2 lnxxxxx, 只需证 32 3 230 2 lnxxxx, 令 32 3 ( )23 2 F xlnxxxx, 32 2 13431 ( )343 xxx F xxx xx , 令 32 ( )3431h xxxx, 2 ( )983h xxx, 2 84 ( 8) ( 3)320 , 所以在(0,)上,( )0h x,( )h x单调递减, 又因为(0)1h, 11 ( )0 28 h, 317 ( )0 464 h , 所以存在一个 1 1 (2x , 3) 4 使得 1 ()0h x,即 32 111 34310 xxx 所以在 1 (0,)x上( )0h x ,( )0F

34、 x,( )F x单调递增, 在 1 (x,)上( )0h x ,( )0F x,( )F x单调递减, 所以 322 11111111 327 ( )()232 236 max F xF xlnxxxxlnxxx, 1 1 (2x , 3) 4 令 2 27 ( )2 36 p xlnxxx, 1 (2x, 3) 4 2 14463 ( )2 33 xx p xx xx , 令 2 ( )463v xxx, 1 (2x, 3) 4 2 ( 6)4 4 3120 , 所以( )0v x ,( )0p x,( )p x单调递增, 所以 2 33233731 ( )( )( )( )2( )0 443446424 p xplnln, 所以( )0 max F x, 所以( )0F x 恒成立,即可得证