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2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷(4)含答案

1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(4) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 (5 分)已知集合 3A ,2,1,2,3, |(3)(2)0Bxxx,则(AB ) A( 3,2,1,2 B 2,1,2 C 2,1 D 2,1,2,3 2 (5 分)若复数 2 (1 2 )zi,则|1| (z ) A20 B2 5 C32 D4 2 3 (5 分) “a,b,c成等比数列”是“ 2 a, 2 b,

2、2 c成等比数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)函数 | ( ) ln x f xx x 的图象大致为( ) A B C D 5 (5 分)将函数( )2sin coscos2f xxxx的图象向左平移 3 个单位长度,得到函数( )g x的图象,则下列 结论正确的是 ( ) A函数( )g x的最小正周期为2 B函数( )g x的图象关于直线 12 x 对称 C函数( )g x的图象关于点(,0) 4 对称 D函数( )g x在区间,0 3 上单调递增 6 (5 分)赵州桥始建于隋代,是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的

3、石拱桥,由匠师李春设计建 造,距今已有 1400 余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为 37.7 米,拱矢(拱顶至石拱两脚连线的高度)为 7.23 米设拱弧(假设桥拱的曲线是圆弧)的半径为R米,r为R精确到整数部分的近似值已知双曲线 22 2 :1(0) 192 xy Ca a 的焦距为r,则C的离心率为( )(参考数据: 22 7.2318.85407.6) A5 B6 C7 D8 7 (5 分)已知定义在R上的可导函数( )f x满足( )( )0fxf x,令 2 2 1 () () mm f mm amR e ,bf(1) , 则有( ) Aa b Bab Ca b Dab 8 (5 分)抛

4、物线 2 4yx的焦点为F,点( , )P x y为该抛物线上的动点,点A是抛物线的准线与坐标轴的交 点,则 | | PA PF 的最大值是( ) A2 B2 C 2 3 3 D 3 2 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9 (5 分)关于圆 222 1 :210 4 C xykxykk ,下列说法正确的是( ) Ak的取值范

5、围是0k B若4k ,过(3,4)M的直线与圆C相交所得弦长为2 3,其方程为125160 xy C若4k ,圆C与 22 1xy相交 D若4k ,0m ,0n ,直线10mxny 恒过圆C的圆心,则 12 8 mn 恒成立 10已知P为ABC所在平面内一点,则下列正确的是( ) A若320PAPBPC,则点P在ABC的中位线上 B若0PAPBPC,则P为ABC的重心 C若0AB AC,则ABC为锐角三角形 D若 12 33 APABAC,则ABC与ABP的面积比为3:2 11函数( )f x的定义域为I若0M使得xI 均有|( )|f xM,且函数(1)f x是偶函数,则( )f x可 以是

6、( ) A( ) | 2 x f xln x B( )sin()cos(2) 2 f xxx C 11 ( ) 224 x f x D 0, ( ) 1, RQ f x xQ 12 (5 分)将边长为 2 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,点P为线段AD上的一动 点,下列结论正确的是( ) A异面直线AC与BD所成的角为60 BACD是等边三角形 CBCP面积的最小值为 2 6 3 D四面体ABCD的外接球的表面积为8 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)8 名志愿者到 2 个小区参加垃圾分类宣传活动

7、,每个小区安排 4 名志愿者,则不同的安排方法 共有 种 14 (5 分)写出一个关于a与b的等式,使 22 19 ab 是一个变量,且它的最小值为 16,则该等式为 15 (5 分)已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为P,右焦点F与抛物线 2 C的焦点重合, 2 C的顶点 与 1 C的中心O重合若 1 C与 2 C相交于点A,B,且四边形OAPB为菱形,则 1 C的离心率为 16 (5 分)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如 图所示,其中扇形OAB的半径为 10,60PBAQAB,AQQPPB,若按此方案设计,工

8、艺制造 厂发现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时AOB 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)在 1 31 nn SS , 2 1 9 a ;1 nn Sa; 1 1a , 1 21 nn aS 这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中,并完成解答 已知数列 n a的前n项和为 n S,且满足_ (1)求 n a的通项公式; (2)求 1335572121nn a aa aa aaa 的值 18 (12 分)如图,在ABC中,ABAC,2ABAC,点E,F是

9、线段BC(含端点)上的动点,且 点E在点F的右下方,在运动的过程中,始终保持 4 EAF 不变,设EAB弧度 (1)写出的取值范围,并分别求线段AE,AF关于的函数关系式; (2)求EAF面积S的最小值 19 (12 分)如图,在底面为矩形的四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,E,F分别为侧棱PD,PB 的中点,且24PAADAB (1)证明:平面AEF 平面PCD (2)若PC是平面的一个法向量,求与平面AEF所成锐二面角的余弦值 20 (12 分)甲、乙两队进行排球比赛,每场比赛采用“5 局 3 胜制” (即有一支球队先胜 3 局即获胜,比 赛结束) 比赛排名采用积分制,积分规则如下:比

10、赛中,以3:0或3:1取胜的球队积 3 分,负队积 0 分; 以3:2取胜的球队积 2 分,负队积 1 分,已知甲、乙两队比赛,甲每局获胜的概率为 2 3 (1)甲、乙两队比赛 1 场后,求甲队的积分X的概率分布列和数学期望; (2)甲、乙两队比赛 2 场后,求两队积分相等的概率 21 (12 分)在平面直角坐标系中,已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,右焦点为 2 F,上顶 点为 2 A,点( , )P a b到直线 22 F A的距离等于 1 (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线:(0)l ykxm m与椭圆C相交于A,B两点,D为AB中点,直线D

11、E,DF分别与圆 222 :(3 )W xymm相切于点E,F,求EWF的最小值 22 (12 分)已知函数 2 ( )2() sin xa f xaR x (1)若曲线( )yf x在点( 2 ,() 2 f 处的切线经过坐标原点,求实数a; (2)当0a 时,判断函数( )f x在(0, )x上的零点个数,并说明理由 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(4)答案)答案 1解:集合 3A ,2,1,2,3, |(3)(2)0 | 32Bxxxxx , 2AB ,1 故选:C 2解:由题设知: 2 (1 2 )1 4434ziii , 144zi , 22 |1|444

12、 2z, 故选:D 3解:若a,b,c成等比数列,则 2 bac, 此时 2224 ()a cacb,则 2 a, 2 b, 2 c成等比数列,即充分性成立, 反之当1a ,1b ,1c 时满足 2 a, 2 b, 2 c成等比数列,但a,b,c不成等比数列,即必要性不成立, 即“a,b,c成等比数列”是“ 2 a, 2 b, 2 c成等比数列”的充分不必要条件, 故选:A 4解:函数( )yf x为奇函数,所以B选项错误; 又因为f(1)10 ,所以C选项错误; 又因为 2 (2)20 2 ln f,所以D选项错误 故选:A 5解:将函数( )2sin coscos2sin2cos22sin

13、(2) 4 f xxxxxxx 的图象向左平移 3 个单位长度,得 到函数 5 ( )2sin2()2sin(2) 3412 g xxx 的图象, 可得函数( )g x的最小正周期为 2 2 T ,故A错误; 令 12 x ,求得 7 ()2sin2 1212 g ,故B错误; 令 4 x ,求得 11 ()2sin0 412 g ,故C错误; 在,0 3 上, 5 2( 124 x , 5 ) 12 ,可得 5 ( )2sin(2) 12 g xx 的图象单调递增,故D正确 故选:D 6解:由题意知, 222 37.7 ()(7.23) 2 RR, 22 14.467.2318.85407.

14、6R, 28.19R, 28r, 222 192( )14196 2 r a , 2a, 离心率 14 2 7 2 r e a 故选:C 7解:设( )( ) x g xe f x, ( )( )0fxf x, ( )( )( )0 x g xef xf x 函数( )g x为R上的增函数, 22 11 ()1 24 mmm , 2 ()g mmg(1) , 即 22 1 () m mm m ef ee f (1) , 2 2 1 () mm f mm f e (1) ,即ab, 故选:D 8解:设直线PA的倾斜角为,设 PP 垂直于准线于 P , 由抛物线的性质可得| |PPPF , 所以则

15、 |1 |cos PAPA PFPP , 当cos最小时,则 | | PA PF 值最大, 所以当直线PA与抛物线相切时,最大,即cos最小, 由题意可得( 1,0)A , 设切线PA的方程为:1xmy, 2 1 4 xmy yx ,整理可得 2 440ymy, 2 16160m,可得1m , 将1m 代入 2 440ymy,可得2y ,所以1x , 即P的横坐标为 1,即P的坐标(1, 2), 所以 22 |222 2PA ,| 1( 1)2PP , 所以 | | PA PF 的最大值为: 2 2 2 2 , 故选:B 9解:圆C的标准方程为: 22 ()(1) 2 k xyk,故A正确;

16、当4k 时,圆C的圆心(2, 1),半径为 2, 对于选项B,当直线为3x 时,该直线过点M,此时截得弦长为2 3,故选项B不正确; 对于选项C,两圆的圆心距为 22 (20)( 1 0)5 , 大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和,故正确; 对于选项D,易得210mn ,即21mn,0m ,0n , 1212 ()(2)448 nm mn mnmnmn , 当且仅当4 nm mn ,即 1 2 2 nm时取等号,故正确 故选:ACD 10解:设AB中点D,BC中点E, 若320PAPBPC,则2()0PAPBPBPC, 所以240PDPE,即2PDPE , 所以P为DE的三分点,A正确

17、; 若0PAPBPC, 则20PDPC, 所以P在中线CD上且2CPPD,即P为三角形重心,B正确; 若0AB AC,则A为锐角,但不能确定B,C,故ABC不一定为锐角三角形,C错误; 若 12 33 APABAC,则 12 ()()0 33 ABAPACAP, 即20PBPC, 所以P为BC上靠近C的三等分点, 所以2BPPC, 故ABC与ABP的面积比为3:2,D正确 故选:ABD 11解:当0 x 时,0 2 x x ,则 2 x ln x ,( )f x ,( )f x无界,A错误; (1)sin()cos(22 )coscos2 222 f xxxxx 为偶函数,且|(1)|2f x

18、,B正确; 因为20 x ,222 x , 所以 111 4224 x , 所以 1 |( )| 4 f x ,存在符合题意的M, 因为 1 11 (1) 224 x f x , 11 1121 (1) 224224 x xx fx , 所以 111 1121121 (1)(1)0 224224222 xx xxx fxf x , 故(1)f x为奇函数,不符合题意; 0, ( ) 1, RQ f x xQ ,则|( )| 1f x, 因为1x 与1x 要么都是有理数,要么都是无理数, 所以(1)(1)f xfx , 故(1)f x为偶函数,符合题意 故选:BD 12解:对于A,因为BDOA,

19、BDOC,OAOCO, 所以BD 平面AOC,AC 平面AOC, 所以BDAC,异面直线AC与BD所成的角为90,不是60,所以A错; 对于B,因为 1 2 2 OAOCAC,所以 22 ( 2)( 2)2AC ,同理2DC , 所的ACD是等边三角形,所以B对; 对于C,因为2BC ,所以要求BCP面积的最小值, 只须求BC边上高的最小值,此最小值恰为异面直线AD与BC的距离,设为h, 因为/ /ADBC,BC 平面BC C,AD平面BC C,所以/ /AD平面BC C, 又因为BC 平面BC C,所以直线AD到平面BC C距离即为h, 即点D到平面BC C距离为h, 因为 D BCCC B

20、C D VV ,所以 22 1 11 1 2sin6022 3 23 2 h,解得 2 6 3 h , 所以BCP面积的最小值 112 62 6 2 2233 BC h ,所以C对; 对于D,四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为2R , 所以表面积为 2 48R,所以D对 故选:BCD 13解:由题意可得不同的安排方法共有 44 84 70C C , 故答案为:70 14解:该等式为 22 1ab,下面证明该等式符合条件 2222 22 22222222 191999 ()()1910216 abab ab ababbaba , 当且仅当 22 3ba时取等号, 所以 22 19 ab 是

21、一个变量,且它的最小值为 16 故答案为: 22 1ab 15解:由题意设抛物线的方程为 2 2ypx,焦点F坐标( 2 p ,0), 由题意可得 2 p c, 由四边形OAPB为菱形可得AB与OP互相垂直平分,设A在x轴上方, 所以可得( 2 a A,2) 2 a p,即( 2 a ,2)ac, 代入椭圆的方程为: 2 22 ( ) 2 2 1 a ac ab ,而 222 bac, 整理可得: 2 3830ee,解得 1 3 e , 故答案为: 1 3 16解:作OMQP交QP于M,交AB于C,且OCAB,设AOC, 则20sinAB,10cosOC, 设AQQPBPx,作QEAB交AB于

22、E,PFAB交AB于F, 60PBAQAB, 1 2 AEBFx, 3 2 CMPFx, EFQPx,2ABx,则20sin2ABx,即10sinx, 3 10cos10cos5 3sin 2 OMOCCMx, 22222 (10cos5 3sin )(5sin )OPOMMP 222 10075100 3sincos25cossinsin 10050 3sin2 sin2 1 ,1,当sin21,即 4 时, 2 OP最大, 也就是OP最长时, 2 AOB 故答案为: 2 17解:若选: (1) 1 31 nn SS ,当1n 时, 21 31SS,即 121 331aaa, 因为 2 1

23、9 a ,所以 1 1 3 a , 当2n时, 1 31 nn SS ,所以 1 3 nn aa ,即 1 1 3 n n a a , 又 2 1 1 3 a a ,所以 1 1 3 n n a a ,*nN, 所以数列 n a是以 1 3 为首项, 1 3 为公比的等比数列, 所以 1 ( ) 3 n n a (2) 4 2121 1 ( ) 3 n nn aa , 所以 484 1335572121 111 ( )( )( ) 333 n nn a aa aa aaa 44 4 4 11 ( ) 1( ) 13 33 1 80 1( ) 3 n n 若选: (1)因为1 nn Sa,当1n

24、 时,可得 1 1 2 a , 当2n时, 11 1 nn Sa ,可得 1 2 nn aa ,即 1 1 2 n n a a , 所以数列数列 n a是以 1 2 为首项, 1 2 为公比的等比数列, 所以 1 ( ) 2 n n a (2) 4 2121 1 ( ) 2 n nn aa ,所以 484 1335572121 111 ( )( )( ) 222 n nn a aa aa aaa 44 4 4 11 ( ) 1( ) 12 22 1 15 1( ) 2 n n 若选: (1) 1 1a , 1 21 nn aS , 当1n 时, 21 213aS , 当2n时, 1 21 nn

25、 aS , 两式相减得 1 3 nn aa ,即 1 3 n n a a , 又 2 1 3 a a ,所以 1 3 n n a a ,*nN, 所以数列 n a是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, 所以 1 3n n a (2) 42 2121 3 n nn aa ,所以 2642 1 335572121 333 n nn aaa aa aaa 24 4 4 3 (1 3 )9 (31) 1 380 n n 18解: (1)由ABAC,点E,F是线段BC(含端点)上的动点, 且点E在点F的右下方, 4 EAF 不变,可知0, 4 在ABE中,由正弦定理可得 3 sinsin() 44 A

26、EAB , 2 3 sin() 4 AE , 在ABF中,由正弦定理可得 sinsin() 42 AFAB , 2 cos AF , (2)由(1)可得, 1222 |sin 3 244cos sin() 4 AEF SAEAF 22 1cos2sin2 12sin(2) 4 ,0, 4 , 2 sin(2),1 42 , 三角形AEF的面积的最小值为2( 21),此时 8 19解: (1)证明:PA底面ABCD,PACD, 在矩形ABCD中,CDAD, ADPAA,CD平面PAD,则CDAE, PAAD,E为PD的中点,AEPD, 又CDPDD,AE平面PCD, AE 平面AEF,平面AEF

27、 平面PCD; (2)以A为坐标原点,分别以AP,AB,AD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系 (0A,0,0),(4P,0,0),(2E,0,2),(2F,1,0),(0C,2,4), (2,0,2)AE ,(2,1,0)AF ,( 4,2,4)PC , 设平面AEF的一个法向量为( , , )nx y z, 在 220 20 n AExz n AFxy ,取1x ,得(1, 2, 1)n , 126 cos, 366 PC n 故与平面AEF所成锐二面角的余弦值为 6 3 20解: (1)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3, 312 3 12111 (0)( )( ) 333

28、39 P XC, 222 4 2118 (1)( )( ) 33381 P XC, 222 4 21216 (2)( )( ) 33381 P XC, 223 3 21 2216 (3)( )( ) 33 3327 P XC, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 9 8 81 16 81 16 27 所以数学期望 181616184 ()0123 981812781 E X (2)记“甲、乙比赛两场后,两队积分相等”为事件A, 设第i场甲、乙两队积分分别为 i X, i Y,则3 ii XY,1i ,2, 因两队积分相等,所以 1212 XXYY,即 1212 (3)(3)XXXX,

29、则 12 3XX, 所以P(A) 12121212 (0) (3)(1) (2)(2) (1)(3) (0)P XP XP XP XP XP XP XP X 1168161681611120 927818181812796561 21解: (1)直线 22 F A的方程为10 xy bxcybc cb ( , )P a b到直线 22 F A的距离为 22 1 abbcbcab b a bc 而 3 2 c a , 222 abc, 2a, 椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y (2)设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 0 (D x, 0) y, 2 22 4()

30、4 44 ykxm xkxm xy , 222 (14)8440kxkmxm, 2222 644(1 4)(44)0k mkm, 12 0 2 4 214 xxkm x k , 2 4 (1 4 km D k , 2) 14 m k , 222 22 222222 1 sin 16161 (3 )(3) (14)14(14)14 mm EDW DW k mmk m kkkk 令 2 1 14 t k , 222 111 sin 2 44(3)329 EDW ttttt 30EDW, 120EWF 即EWF的最小值为120 22解: (1) 2 ( )2 sin xa f x x 的导数为 2

31、2 2 sin()cos ( ) xxxax fx sin x , 可得曲线( )yf x在点( 2 ,() 2 f 处的切线的斜率为() 2 f , 2 ( )2 24 fa ,即切点为( 2 , 2 2) 4 a , 由于切线经过原点, 可得 2 2 4 2 a ,解得 2 2 4 a ; (2)因为(0, )x,所以sin0 x , 所以 2 ( )20 sin xa f x x ,可化为 2 2sin0 xax, 设 2 ( )2sing xxax,( )22cosg xxx, 当 2 x ,)时,( )0g x,所以( )g x在 2 ,)递增; 当(0,) 2 x 时,设( )22

32、cosh xxx,( )22sin0h xx, 可得( )h x即( )g x在(0,) 2 递增, 又(0)20g ,()0 2 g , 所以存在 0 (0,) 2 x ,使得 0 ()0g x,当 0 (0,)xx时,( )g x递减; 当 0 (xx,) 2 时,( )g x递增, 所以,对于连续函数( )g x,在 0 (0,)xx时,( )g x递减,在 0 (xx,)时,( )g x递增, 又因为(0)0ga ,当 2 ( )0ga即 2 a时,( )g x有唯一零点在 0 (x,)上, 当 2 ( )0ga 即 2 a时,( )g x在(0, )上无零点, 综上可得,当 2 0a时,函数( )f x在(0, )有唯一零点; 当 2 a时,函数( )f x在(0, )没有零点