1、高考数学考前高考数学考前 30 天回归课本知识技法精细过（十一）天回归课本知识技法精细过（十一） 第八节第八节 曲线与方程曲线与方程 一、必记 3 个知识点 1曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下 关系： (1)曲线上点的坐标都是_. (2)以这个方程的解为坐标的点都是_.那么这个方程叫做_，这条 曲线叫做_. 2求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系建立适当的坐标系 (2)设点设轨迹上的任一点 P(x，y) (3)列式列出动点 P 所满足的关系式 (4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y
2、的方程式，并化简 (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 3两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的_，即两个曲线方程 组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组_，两条曲 线就没有交点 (2)两条曲线有交点的_条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问 题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题 二、必明 2 个易误点 1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后 者指方程(包括范围) 2求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的
3、影响 三、技法 1. 直接法求轨迹方程的方法 在不能确定轨迹形状时，要根据题设条件，通过“建(系)、设(点)、限(条件)、代(代入坐标)、化(化简 与证明)”的步骤求轨迹方程，关键是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为坐标关系. 2. 定义法求轨迹方程的解题策略 (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方 程，写出所求的轨迹方程 (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的 曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制. 3. 代入法也叫坐标转移法， 是求轨迹方程常用的方法， 其题目特征是：
4、点 P 的运动与点 Q 的运动相关， 且点 Q 的运动有规律(有方程)，只需将点 P 的坐标转移到点 Q 的方程中，整理可得点 P 的轨迹方程. 参考答案参考答案 这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 公共解 无解 充要 第九节第九节 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 一、必记 3 个知识点 1直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆 锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程 即 AxByC0， Fx，y0， 消去 y
5、，得 ax2bxc0. (1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为 ，则 0直线与圆锥曲线 C 相交； 0直线与圆锥曲线 C 相切； 0直线与圆锥曲线 C 相离 (2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的 位置关系是平行或重合 2弦长公式 设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2
6、 1 1 k2 |y1y2| 1 1 k2 y1y2 24y 1y2. 3用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 二、必明 2 个易误点 1直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐 近线平行时，直线与双曲线相交于一点 2直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点 三、技法 1.直接与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方 程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象
7、判断公共点个数 2判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点 (1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况 (2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式 起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第 二：可以取舍某些解以免产生增根. 3. 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用 根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. 4. 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)用“点差法”求解 (2)用“根与系数的关系”求解：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程
8、组，化为一元二次方程后由根与 系数的关系求解 提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注 直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足. 5. 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法： 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量， 再研究变化的量与参数何时没有关系， 找到定点 (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 6. 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值 (2)两大解法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 变量法：其解题流程为
9、7. 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数， 通过求这个函数的值域确定目标的范围 在 建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方 便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特 别注意变量的取值范围. 8. 求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件 并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说 明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数 值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.