1、高考数学考前高考数学考前 3030 天回归课本知识技法精细过（十二）天回归课本知识技法精细过（十二） 第一节第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、必记 3 个知识点 1分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有 m2种不同的 方法，在第 n 类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事情，共有 N_种不 同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1种不同的方法，完成第二步有 m2种不同的 方法，完成第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有
2、 N_种不同的 方法 3两个原理的区别与联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及_的不同方法的种数它们的 区别在于：分类加法计数原理与_有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这 件事；分步乘法计数原理与_有关，各个步骤_，只有各个步骤都完成了，这件事才算 完成 二、必明 2 个易误点 1 分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情， 类与类之间是独立的 2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事， 步步之间是相关联的 三、技法 1.分类加法计数原理的实质 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要
3、分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各 种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 2使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则. 3. 分步乘法计数原理的实质 分类乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任 何一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事 4使用分步乘法计数原理的原则 (1)明确题目中的“完成这件事” 是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的 (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的
4、连续性，只有当所有步骤都完成了，整 个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总 数. 5.两个注意： (1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原 理 (2)注意对较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观 化. 6. 解决涂色问题的要点 (1)要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序 (2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色. 参考答案 m1m2mn m1m2mn 完成一件事情 分类 分步 相互依存 第二节第二节 排列与组合排列与组合 一、
5、必记 2 个知识点 1排列与排列数 (1)排列的定义：一般地，从 n 个_元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的_排成 一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数，记为 Am n. (3)排列数公式 Am nn(n1)(n2)(nm1)_. Annn (n1) (n2) 3 2 1_，规定 0！1. 2组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从 n 个_的元素中取 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合 (2)组合
6、数的定义：从 n 个_元素中取出 m(mn)个元素的_的个数，叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n表示 (3)组合数公式 Cm n_. (4)组合数的性质 性质 1：Cm n_. 性质 2：Cm n1_(mn，nN *，mN*) 二、必明 3 个易误点 1要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数 2解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现 遗漏或重复 3解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义 三、技法 1. 求解排列应用问题的 6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计
7、算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素 的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素 插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的 全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 2. 两类含有附加条件的组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： 若“含”， 则先将这些元素取出， 再由另外元素补足； 若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分
8、重视“至少”与“最多”这两 个关键词的含义，谨防重复与漏解用直解法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法 求解. 3. 解排列组合问题要遵循两个原则： 一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元 素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置) 参考答案 不同 顺序 所有不同排列 n！ nm！ n！ 不同 不同 所有不同组合 A m n Am m nn1n2nm1 m！ n！ m！nm！ Cn m n Cm 1 n Cm n 第三节第三节 二项式定理二项式定理 一、必记 3 个知识点 1二项式定理 (ab
9、)n_. 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 Crn(r 0,1,2，n)叫做_.式中的 Crnan rbr 叫做二项展开式的_，用 Tr1表 示，即展开式的第_项；Tr1_. 2二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)每一项的次数之和都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为_. (3)字母 a 按_排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按_排列， 从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从_，C1n，一直到 Cn 1 n ，_. 3二项式系数的性质 (1)对称性：与首末
10、两端_的两个二项式系数相等，即 Cm nC nm n . (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当_时，二项式系数是递增的；当_时，二项 式系数是递减的 当 n 是偶数时，中间的一项_取得最大值 当 n 是奇数时，中间两项_和_相等，且同时取得最大值 (3)二项式系数的和： (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即_ 2n. 二项展开式中， 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即 C1nC3nC5nC0nC2n C4n_. 二、必明 3 个易误点 1 要把“二项式系数的和”与“各项系数和”， “奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别 开来 2应用通项
11、公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错 3通项公式是第 r1 项而不是第 r 项 三、技法 1. 求展开式中的指定项或特定项 解此类问题可以分两步完成： 第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式， 建立方程来确定指数(求 解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr)；第二步是根据所求的指数， 再求所求解的项. 2. 二项式系数或项系数的和问题涉及的两个方法 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、bR)的式 子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令 x1 即可；对形如(axby)n(a，bR)
12、的式子求其展开 式各项系数之和，只需令 xy1 即可 若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2 a4f1f1 2 ，偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 3. 求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大” 以及“最大项”三者中的哪一个； 第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(ab)n中 n 的奇偶及二项式系数的性质求解若是求展开 式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为 A1，A2
13、，An 1，且第 k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组 AkAk1， AkAk1 即得结果. 4. 利用二项式定理解决整除问题时，基本思路： 要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式 子整除即可因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消 去法”结合有关整除知识来处理. 参考答案 C0nanC1nan 1bC2 na n2b2Cr na nrbrCn nb n(nN*) 二项式系数 通项 r1 Crnan rbr n 降幂 升幂 C0 n C n n “等距离” kn1 2 kn1 2 Cn 2n C n1 2 n Cn1 2 n C 0 nC 1 nC 2 nC r nC n n 2 n1