1、2021 年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷（二）年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷（二） 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分）分）. 1若复数 z 满足 z（2i）5i（i 为虚数单位），则 z 为（ ） A1+2i B12i C1+2i D12i 2已知集合 Mx|x26x0，Nx|1，则 MN（ ） A（2，+） B（6，+） C（2，6） D（0，6） 3 “易经”是我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、创新的图示符号，用“一”、 “一一” 两种“爻”的符号代表阴阳，“”称为阳爻“一一”称为阴爻阴阳两爻在三个位置的不同排列组成 了八卦两个八卦叠加而成 6
2、4 卦，比如图中损卦，即为阳爻占据 1，5，6 三个位置，阴爻占 2，4，5 位从 64 卦中任取 1 卦，阳爻个数恰为 2 且互不相邻的概率（ ） A B C D 4yex+a的图象与直线 y2x 相切，则 a（ ） A1 Bln2 C1ln2 Dln21 5圆 O：x2+y29 与圆 O1：（x2）2+（y3）216 交于 A、B 两点，则|AB|（ ） A6 B5 C D 6 （1，3），| |5，则| |最大值为（ ） A8 B9 C5 D5+ 7已知 a，b（）3，c ，则 a，b，c 的大小个关系是（ ） Acab Babc Cacb Dcba 8 如图， 四边形 ABCD 是正方
3、形， 四边形 BDEF 是矩形， 平面 BDEF平面 ABCD， AB2， AFC60， 则多面体 ABCDEF 的体积为（ ） A B C D 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分） 9 2020 年初， 新冠病毒肆虐， 为了抑制病毒， 商场停业， 工厂停工停产 学校开始以网课的方式进行教学 为 了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校
4、对高三一段时间的教学成果进行测试高三有 1000 名学生， 期末某学科的考试成绩 （卷面成绩均为整数） Z 服从正态分布 N （82.5， 5.42） ， 则 （人数保留整数） （ ） 参考数据：若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6827，P（2Z+2）0.9545， P（3Z+3）0.9973 A年级平均成绩为 82.5 分 B成绩在 95 分以上（含 95）人数和 70 分以下（含 70 分）人数相等 C成绩不超过 77 分的人数少于 150 人 D超过 98 分的人数为 1 人 10命题 p：存在 a，bR+，使；命题 q：对任意 a，bR+，；命题：r：若 a b，cd，则 acbd
5、，则（ ） Apq 为真命题 Bpq 为真命题 Cpr 为假命题 Dpr 为假命题 11已知 f（x）Asin（x+）（A0，0，（0，2）的图象如图，则（ ） A2 B CA2 Dx时，f（x）取最小值 12矩形 ABCD 中，AB4，BC3，将ABD 沿 BD 折起，使 A 到 A的位置，A在平面 BCD 的射影 E 恰落在 CD 上，则（ ） A三棱锥 ABCD 的外接球直径为 5 B平面 ABD平面 ABC C平面 ABD平面 ACD DAD 与 BC 所成角为 60 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知 F1，
6、F2为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象 限的交点为 M，|F1F2|10，|MF1|2|MF2|，则双曲线的标准方程为 14已知 m0，（1+mx）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，若 a2a3，则 m 15已知数列an满足 a11，a2n+1a2n1，a2n2a2n1，则 a2021 16已知函数 f（x），f（x）m（mR）恰有四个不相等的实数根 x1，x2，x3， x4且满足 x1x2x3x4，则 ；x1+x2+2x3+x4的最小值为 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或
7、演算步骤。）解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。） 17数列an满足 a1，（2n+21）an+1（2n+12）an（nN*） （1）求an的通项公式； （2）求 a1+a2+an 18在a+c4；ABC 的面积为；ac4，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，若问 题中的三角形存在，求出 sinA+sinC，若问题中三角形不存在，说明理由 问题：ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos（AC）+cosB，b2，_ 19四棱锥 PABCD 中，ABCD，PDABAD90，PDDAABCD，S 为 PC 中点，BS CD （1）证明：PD平面 ABCD； （2）平
8、面 SAD 交 PB 于 Q，求 CQ 与平面 PCD 所成角的正弦值 20新冠疫情期间，某省级示范学校统计高三年级走读生与寄宿生的学习状态，得如表表格，其中前 200 名定为优秀 优秀 非优秀 合计 走读生 120 530 650 寄宿生 80 270 350 合计 200 800 1000 （1）是否有 95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关； （2）年级前 10 名中有寄宿生 4 人，现从这 10 人中随机选出 3 人去名校研学选出的寄宿生人数记为 X， 写出 X 的分布列，并求 E（X） P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 k0 2.072 2
9、.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据及公式：K2 21椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 M， N 两点，其中点 M 在第一象限，cosMF1N，|F1F2|2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）A 为椭圆上顶点，过 A 引两条直线 l1，l2，斜率分别为 k1，k2，若 k1k21，l1，l2分别交椭圆另一点 为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过定点 22已知对任意 x0，f（x）ln（x+1）0 恒成立 （1）求 a 的范围； （2）证明：2（参考数据：e2.7，e27.4，e320.1，e450.
10、6，e5148.4） 参考答案参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1若复数 z 满足 z（2i）5i（i 为虚数单位），则 z 为（ ） A1+2i B12i C1+2i D12i 解：复数 z 满足 z（2i）5i， z1+2i 故选：A 2已知集合 Mx|x26x0，Nx|1，则 MN（ ） A（2，+） B（6，+） C（2，6） D（0，6） 解：Mx|0 x6，Nx|x2， MN（2，6） 故选：C 3 “易经”是我国古代思想智慧的积累与结晶，它具有一套独特的、创新的图示符号，用“一”、 “一一” 两种“爻”的符号代表阴阳，“”称为阳爻“一一”称为阴爻
11、阴阳两爻在三个位置的不同排列组成 了八卦两个八卦叠加而成 64 卦，比如图中损卦，即为阳爻占据 1，5，6 三个位置，阴爻占 2，4，5 位从 64 卦中任取 1 卦，阳爻个数恰为 2 且互不相邻的概率（ ） A B C D 解：从 64 卦中任取 1 卦，基本事件个数 n64， 阳爻个数恰为 2 且互不相邻包含的基本个数 m10， 阳爻个数恰为 2 且互不相邻的概率 P 故选：D 4yex+a的图象与直线 y2x 相切，则 a（ ） A1 Bln2 C1ln2 Dln21 解：由 yex+a，得 yex+a， 设直线 y2x 与 yex+a的切点为（m，n）， 则，解得 m1，aln21 故
12、选：D 5圆 O：x2+y29 与圆 O1：（x2）2+（y3）216 交于 A、B 两点，则|AB|（ ） A6 B5 C D 解：根据题意，圆 O：x2+y29 与圆 O1：（x2）2+（y3）216，即 x2+y4x6y30， 联立可得：，可得：2x+3y30， 即 AB 所在直线的方程为 2x+3y30， 圆 O：x2+y29，圆心为（0，0），半径 r3， 圆心 O 到直线 AB 的距离 d， 则|AB|2， 故选：D 6 （1，3），| |5，则| |最大值为（ ） A8 B9 C5 D5+ 解：根据题意，设 ， ， 若 （1，3），则 A 的坐标为（1，3）， | |5，即|5，
13、B 的轨迹为以 A（1，3）为圆心，半径 r5 的圆， |OA|， 则| |，即 OB 的最大值为 r+|5+， 故选：D 7已知 a，b（）3，c ，则 a，b，c 的大小个关系是（ ） Acab Babc Cacb Dcba 解：ab（）3335， c 5， abc 故选：B 8 如图， 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 BDEF 是矩形， 平面 BDEF平面 ABCD， AB2， AFC60， 则多面体 ABCDEF 的体积为（ ） A B C D 解：平面 BDEF平面 ABCD，且平面 BDEF平面 ABCDBD，BFBD， BF平面 ABCD，可得 BFAB，BFBC， AF，
14、CF， 又 ABBC，AFCF， 在正方形 ABCD 中，AC，BD， 在AFC 中，由 AFCF，AFC60，知AFC 为正三角形， AFAC2，则 BF ， VABCDEFVABDEF+VCBDEF 故选：D 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分） 9 2020 年初， 新冠病毒肆虐， 为了抑制病毒， 商场停业， 工厂停工停产 学校
15、开始以网课的方式进行教学 为 了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试高三有 1000 名学生， 期末某学科的考试成绩 （卷面成绩均为整数） Z 服从正态分布 N （82.5， 5.42） ， 则 （人数保留整数） （ ） 参考数据：若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6827，P（2Z+2）0.9545， P（3Z+3）0.9973 A年级平均成绩为 82.5 分 B成绩在 95 分以上（含 95）人数和 70 分以下（含 70 分）人数相等 C成绩不超过 77 分的人数少于 150 人 D超过 98 分的人数为 1 人 解：选项 A：因为 ZN（82.5，5.
16、42），所以 82.5，5.4， 由正态分布概念可知：年级平均成绩 82.5，故 A 正确， 选项 B：因为，所以成绩在 95 分以上（含 95 分）人数和 70 分以下（含 70 分）人数 相等，故 B 正确， 选项 C：因为 7782.55.4，所以 P（Z77）P（Z）， 因为 10000.15865159150，所以成绩不超过 77 分的人数多于 150 人，故 C 错误， 选项 D：因为 82.5+5.4398.799， 所以 P（Z99）P（Z+3）， 因为 10000.001351，所以超过 98 分的人数为 1 人，故 D 正确， 故选：ABD 10命题 p：存在 a，bR+，
17、使；命题 q：对任意 a，bR+，；命题：r：若 a b，cd，则 acbd，则（ ） Apq 为真命题 Bpq 为真命题 Cpr 为假命题 Dpr 为假命题 解：对于命题 P：a，bR+，当 a1，b1 时，不等式成立，故命题 P 为真命题； 对于命题 q：对任意 a，bR+，（a3b3）（ab）0（a b）2（a2+ab+b2）0，当且仅当 ab 时，等号成立，故 q 为真命题； 对于命题 r：当 ab0，cd0 时，则 acbd，故命题 r 为假命题； 故 pq 为真命题；pq 为真命题，pr 为假命题，pr 为真命题； 故选：ABCD 11已知 f（x）Asin（x+）（A0，0，（0
18、，2）的图象如图，则（ ） A2 B CA2 Dx时，f（x）取最小值 解：由题意知：（），则 T， 故 2，故 A 正确； 函数图像由 yAsinx 的图像向左平移而得， 故 f（x）Asin2（x+）Asin（2x+），故 ，故 B 正确； f（0）Asin1，解得：A，故 C 错误； x 时，2x+2，f（x）不取最小值，故 D 错误； 故选：AB 12矩形 ABCD 中，AB4，BC3，将ABD 沿 BD 折起，使 A 到 A的位置，A在平面 BCD 的射影 E 恰落在 CD 上，则（ ） A三棱锥 ABCD 的外接球直径为 5 B平面 ABD平面 ABC C平面 ABD平面 ACD
19、DAD 与 BC 所成角为 60 解：对于 A，取 BD 中点 E，连接 AE，CE， 则 AEBEDECE 三棱锥 ABCD 的外接球直径为 5，故 A 正确； 对于 B，DABA，BCCD，AF平面 BCD，BCAF， 又 AFCDF，AF、CD平面 ACD，BC平面 ACD， AD平面 ACD，DABC， BCBAB，DA平面 ABC， DA平面 ABD，平面 ABD平面 ABC，故 B 正确； 对于 C，BCAC，AB 与 AC 不垂直， 平面 ABD 与平面 ACD 不垂直，故 C 错误； 对于 D，DABC，ADA是 AD 与 BC 所成角（或所成角的补角）， AC，AF，DF，
20、AF ，AA3， cosADA0，ADA90， AD 与 BC 所成角为 90，故 D 错误 故选：AB 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知 F1，F2为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象 限的交点为 M，|F1F2|10，|MF1|2|MF2|，则双曲线的标准方程为 解：由双曲线的定义知，|MF1|MF2|2a， |MF1|2|MF2|， |MF1|4a，|MF2|2a， 又 M 在以 F1F2为直径的圆上， |MF1|2+|MF2|2|F1F2|2，即 16a2+4a2100
21、， a25， |F1F2|102c，c5，b2c2a225520， 双曲线的标准方程为 故答案为： 14已知 m0，（1+mx）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，若 a2a3，则 m 解：m0，（1+mx）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4， 若 a2a3，则 m2 m3， m， 故答案为： 15已知数列an满足 a11，a2n+1a2n1，a2n2a2n1，则 a2021 210111 解：a2n+1a2n1，a2n2a2n1， a2n+12a2n11，化为：a2n+1+12（a2n 1+1）， 数列a2n1+1为等比数列，首项为 a1+12，公比为 2， a2n1+1
22、22n1， 可得：a2n12n1 a2021210111 故答案为：210111 16已知函数 f（x），f（x）m（mR）恰有四个不相等的实数根 x1，x2，x3， x4且满足 x1x2x3x4，则 1 ；x1+x2+2x3+x4的最小值为 2+1 解：函数 f（x）， 画出函数 f（x）的图象和直线 ym， f（x）m（mR）恰有四个不相等的实数根 x1，x2，x3，x4且满足 x1x2x3x4， 故 0m4， x1，x2满足：（x+1）2mx1+x22， x3，x4满足|log2（x1）|mx31+2m，x41+2m， +1， x1+x2+2x3+x4的2+2 （1+2m） +1+2m+
23、2m+12+12+1， 当且仅当2m即 m 时，等号成立， 故答案为：1，2+1 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。） 17数列an满足 a1，（2n+21）an+1（2n+12）an（nN*） （1）求an的通项公式； （2）求 a1+a2+an 解：（1）由（2n+21）an+1（2n+12）an（nN*）可得， 2， 2 2 2n 1 ， ， （2）由（1）知， a1+a2+an +1 18在a+c4；ABC 的面积为；ac4，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，若问
24、 题中的三角形存在，求出 sinA+sinC，若问题中三角形不存在，说明理由 问题：ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos（AC）+cosB，b2，_ 解：因为 cos（AC）+cosBcos（AC）cos（A+C）， 所以 2sinAsinC，即 sinAsinC， 选a+c4，b2； 由余弦定理得 a2+c22accosBb2，且（a+c）2164b2， 故 2ac（1+cosB）3b2， 所以 2sinAsinC（1+cosB）3sin2B33cos2B， 整理得 2cos2B+cosB10， 解得 cosB或 cosB1（舍）， 所以 sinB，2， 所以
25、sinA+sinC2sinB； 选ABC 的面积为，b2； 由正弦定理得 a，c， 所以 SABC ， 所以 sinB，不存在 B，此时三角形不存在； 选ac4，b2， 所以 b2ac，即 sin2BsinAsinC ， 故 sinB， 因为 b 为等边中项，故 B 不是最大角，cosB， 由余弦定理得 4a2+c2ac（a+c）23ac（a+c）212， 所以 a+c4， 所以2， 所以 sinA+sinC 19四棱锥 PABCD 中，ABCD，PDABAD90，PDDAABCD，S 为 PC 中点，BS CD （1）证明：PD平面 ABCD； （2）平面 SAD 交 PB 于 Q，求 CQ
26、 与平面 PCD 所成角的正弦值 【解答】（1）证明：取 CD 的中点 M，则 DMAB 且 DMAB， 所以四边形 ABMD 为平行四边形， 故 BMAD，所以 BMCD，又 BSCD，BMBSB，BM，BS平面 BSM， 所以 CD平面 BSM，又 SM平面 BSM， 所以 CDSM， 因为 SMPD，所以 CDPD，又 ADPD，CDADD，CD，AD平面 ABCD， 所以 PD平面 ABCD； （2）解：延长 CB，DA 交于点 N，连结 SN 与 PB 交于点 Q， 因为 B 为 CN 的中点，S 为 PC 的中点，所以 Q 为PNC 的重心， 所以， 以点 D 为坐标原点，建立空间
27、直角坐标系如图所示， 不妨设 AB1，则 B（1，1，0），P（0，0，1），设 Q（x，y，z），且， 则有，解得， 所以， 因为 ADPD，ADCD，且 PDCDD，PD，CD平面 PCD， 所以 AD平面 PCD， 则平面 PCD 的一个法向量为， 所以， 故 CQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为 20新冠疫情期间，某省级示范学校统计高三年级走读生与寄宿生的学习状态，得如表表格，其中前 200 名定为优秀 优秀 非优秀 合计 走读生 120 530 650 寄宿生 80 270 350 合计 200 800 1000 （1）是否有 95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关； （2）年级前
28、10 名中有寄宿生 4 人，现从这 10 人中随机选出 3 人去名校研学选出的寄宿生人数记为 X， 写出 X 的分布列，并求 E（X） P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据及公式：K2 解：（1）根据题中数据和公式可计算观测值 K22.7473.841， 由临界值表格判断可得没有 95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关； （2）前 10 名中有寄宿生 4 人，现从这 10 人中随机选出 3 人去名校研学选出的寄宿生人数记为 X， 则 X 的可能取值为：0、1、2、3
29、， 则 P（X0）； P（X1）； P（X2）； P（X3）； 写出 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X）0+1+2+3 故答案为：E（X） 21椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 M， N 两点，其中点 M 在第一象限，cosMF1N，|F1F2|2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）A 为椭圆上顶点，过 A 引两条直线 l1，l2，斜率分别为 k1，k2，若 k1k21，l1，l2分别交椭圆另一点 为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过定点 解：（1）设 F1（c，0），F2（c，0），则根据题意可得点 M（c， ），
30、 |F1F2|2c2c1，|MF2 | ， 则在 RtMF1F2中，tan ， 又因为MF1N2MF1F2，所以 cos ， ， ， 又a2b2c21， 2a23a20a2， b23， 椭圆的标准方程为： （2）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则当 PQ 的斜率不存在时，y2y1， ，不合题意，舍去 当斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 ykx+t， 此时， （*）， 将 PQ 的方程代入到椭圆方程，并化简可得：（34k2）x2+8ktx+4t2120， ， 将以上结论代入到（*）式可得， 即， 解之可得，t， 故可得直线 PQ 恒过定点（0，） 22已知对任意 x0，f（x）ln（x
31、+1）0 恒成立 （1）求 a 的范围； （2）证明：2（参考数据：e2.7，e27.4，e320.1，e450.6，e5148.4） 解：（1）， 令 g（x）x2+（42a）x+42a， 当 a2 时，g（x）0 即 f（x）0 恒成立，故 f（x）在（0，+）单调递增，又 f（0）0，故 f（x） 0 恒成立 当 a2 时，由 g（0）42a0，设 x00 且 g（x0）0，则 0 xx0时，g（x）0 即 f（x）0， 因此在（0，x0）上 f（x）单调递减，又 f（0）0，故 0 xx0时，f（x）0，不符合题意 综上，a 的取值范围为（，2 （2）证明：由（1）知，取 a2，当 x0 时， 故对 nN*，即， 所以4， 所以2