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2021届辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷(二)含答案解析

1、2021 年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷(二)年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷(二) 一、单项选择题(每小题一、单项选择题(每小题 5 分)分). 1若复数 z 满足 z(2i)5i(i 为虚数单位),则 z 为( ) A1+2i B12i C1+2i D12i 2已知集合 Mx|x26x0,Nx|1,则 MN( ) A(2,+) B(6,+) C(2,6) D(0,6) 3 “易经”是我国古代思想智慧的积累与结晶,它具有一套独特的、创新的图示符号,用“一”、 “一一” 两种“爻”的符号代表阴阳,“”称为阳爻“一一”称为阴爻阴阳两爻在三个位置的不同排列组成 了八卦两个八卦叠加而成 6

2、4 卦,比如图中损卦,即为阳爻占据 1,5,6 三个位置,阴爻占 2,4,5 位从 64 卦中任取 1 卦,阳爻个数恰为 2 且互不相邻的概率( ) A B C D 4yex+a的图象与直线 y2x 相切,则 a( ) A1 Bln2 C1ln2 Dln21 5圆 O:x2+y29 与圆 O1:(x2)2+(y3)216 交于 A、B 两点,则|AB|( ) A6 B5 C D 6 (1,3),| |5,则| |最大值为( ) A8 B9 C5 D5+ 7已知 a,b()3,c ,则 a,b,c 的大小个关系是( ) Acab Babc Cacb Dcba 8 如图, 四边形 ABCD 是正方

3、形, 四边形 BDEF 是矩形, 平面 BDEF平面 ABCD, AB2, AFC60, 则多面体 ABCDEF 的体积为( ) A B C D 二、多项选择题(本题共二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分)分) 9 2020 年初, 新冠病毒肆虐, 为了抑制病毒, 商场停业, 工厂停工停产 学校开始以网课的方式进行教学 为 了掌握学生们的学习状态,某省级示范学校

4、对高三一段时间的教学成果进行测试高三有 1000 名学生, 期末某学科的考试成绩 (卷面成绩均为整数) Z 服从正态分布 N (82.5, 5.42) , 则 (人数保留整数) ( ) 参考数据:若 ZN(,2),则 P(Z+)0.6827,P(2Z+2)0.9545, P(3Z+3)0.9973 A年级平均成绩为 82.5 分 B成绩在 95 分以上(含 95)人数和 70 分以下(含 70 分)人数相等 C成绩不超过 77 分的人数少于 150 人 D超过 98 分的人数为 1 人 10命题 p:存在 a,bR+,使;命题 q:对任意 a,bR+,;命题:r:若 a b,cd,则 acbd

5、,则( ) Apq 为真命题 Bpq 为真命题 Cpr 为假命题 Dpr 为假命题 11已知 f(x)Asin(x+)(A0,0,(0,2)的图象如图,则( ) A2 B CA2 Dx时,f(x)取最小值 12矩形 ABCD 中,AB4,BC3,将ABD 沿 BD 折起,使 A 到 A的位置,A在平面 BCD 的射影 E 恰落在 CD 上,则( ) A三棱锥 ABCD 的外接球直径为 5 B平面 ABD平面 ABC C平面 ABD平面 ACD DAD 与 BC 所成角为 60 三、填空题(本题共三、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13已知 F1,

6、F2为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象 限的交点为 M,|F1F2|10,|MF1|2|MF2|,则双曲线的标准方程为 14已知 m0,(1+mx)4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,若 a2a3,则 m 15已知数列an满足 a11,a2n+1a2n1,a2n2a2n1,则 a2021 16已知函数 f(x),f(x)m(mR)恰有四个不相等的实数根 x1,x2,x3, x4且满足 x1x2x3x4,则 ;x1+x2+2x3+x4的最小值为 四、解答题(本题共四、解答题(本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或

7、演算步骤。)解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。) 17数列an满足 a1,(2n+21)an+1(2n+12)an(nN*) (1)求an的通项公式; (2)求 a1+a2+an 18在a+c4;ABC 的面积为;ac4,这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,若问 题中的三角形存在,求出 sinA+sinC,若问题中三角形不存在,说明理由 问题:ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(AC)+cosB,b2,_ 19四棱锥 PABCD 中,ABCD,PDABAD90,PDDAABCD,S 为 PC 中点,BS CD (1)证明:PD平面 ABCD; (2)平

8、面 SAD 交 PB 于 Q,求 CQ 与平面 PCD 所成角的正弦值 20新冠疫情期间,某省级示范学校统计高三年级走读生与寄宿生的学习状态,得如表表格,其中前 200 名定为优秀 优秀 非优秀 合计 走读生 120 530 650 寄宿生 80 270 350 合计 200 800 1000 (1)是否有 95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关; (2)年级前 10 名中有寄宿生 4 人,现从这 10 人中随机选出 3 人去名校研学选出的寄宿生人数记为 X, 写出 X 的分布列,并求 E(X) P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 k0 2.072 2

9、.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据及公式:K2 21椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 M, N 两点,其中点 M 在第一象限,cosMF1N,|F1F2|2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)A 为椭圆上顶点,过 A 引两条直线 l1,l2,斜率分别为 k1,k2,若 k1k21,l1,l2分别交椭圆另一点 为 P,Q,求证:直线 PQ 恒过定点 22已知对任意 x0,f(x)ln(x+1)0 恒成立 (1)求 a 的范围; (2)证明:2(参考数据:e2.7,e27.4,e320.1,e450.

10、6,e5148.4) 参考答案参考答案 一、单项选择题(共一、单项选择题(共 8 小题)小题). 1若复数 z 满足 z(2i)5i(i 为虚数单位),则 z 为( ) A1+2i B12i C1+2i D12i 解:复数 z 满足 z(2i)5i, z1+2i 故选:A 2已知集合 Mx|x26x0,Nx|1,则 MN( ) A(2,+) B(6,+) C(2,6) D(0,6) 解:Mx|0 x6,Nx|x2, MN(2,6) 故选:C 3 “易经”是我国古代思想智慧的积累与结晶,它具有一套独特的、创新的图示符号,用“一”、 “一一” 两种“爻”的符号代表阴阳,“”称为阳爻“一一”称为阴爻

11、阴阳两爻在三个位置的不同排列组成 了八卦两个八卦叠加而成 64 卦,比如图中损卦,即为阳爻占据 1,5,6 三个位置,阴爻占 2,4,5 位从 64 卦中任取 1 卦,阳爻个数恰为 2 且互不相邻的概率( ) A B C D 解:从 64 卦中任取 1 卦,基本事件个数 n64, 阳爻个数恰为 2 且互不相邻包含的基本个数 m10, 阳爻个数恰为 2 且互不相邻的概率 P 故选:D 4yex+a的图象与直线 y2x 相切,则 a( ) A1 Bln2 C1ln2 Dln21 解:由 yex+a,得 yex+a, 设直线 y2x 与 yex+a的切点为(m,n), 则,解得 m1,aln21 故

12、选:D 5圆 O:x2+y29 与圆 O1:(x2)2+(y3)216 交于 A、B 两点,则|AB|( ) A6 B5 C D 解:根据题意,圆 O:x2+y29 与圆 O1:(x2)2+(y3)216,即 x2+y4x6y30, 联立可得:,可得:2x+3y30, 即 AB 所在直线的方程为 2x+3y30, 圆 O:x2+y29,圆心为(0,0),半径 r3, 圆心 O 到直线 AB 的距离 d, 则|AB|2, 故选:D 6 (1,3),| |5,则| |最大值为( ) A8 B9 C5 D5+ 解:根据题意,设 , , 若 (1,3),则 A 的坐标为(1,3), | |5,即|5,

13、B 的轨迹为以 A(1,3)为圆心,半径 r5 的圆, |OA|, 则| |,即 OB 的最大值为 r+|5+, 故选:D 7已知 a,b()3,c ,则 a,b,c 的大小个关系是( ) Acab Babc Cacb Dcba 解:ab()3335, c 5, abc 故选:B 8 如图, 四边形 ABCD 是正方形, 四边形 BDEF 是矩形, 平面 BDEF平面 ABCD, AB2, AFC60, 则多面体 ABCDEF 的体积为( ) A B C D 解:平面 BDEF平面 ABCD,且平面 BDEF平面 ABCDBD,BFBD, BF平面 ABCD,可得 BFAB,BFBC, AF,

14、CF, 又 ABBC,AFCF, 在正方形 ABCD 中,AC,BD, 在AFC 中,由 AFCF,AFC60,知AFC 为正三角形, AFAC2,则 BF , VABCDEFVABDEF+VCBDEF 故选:D 二、多项选择题(本题共二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分)分) 9 2020 年初, 新冠病毒肆虐, 为了抑制病毒, 商场停业, 工厂停工停产 学校

15、开始以网课的方式进行教学 为 了掌握学生们的学习状态,某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试高三有 1000 名学生, 期末某学科的考试成绩 (卷面成绩均为整数) Z 服从正态分布 N (82.5, 5.42) , 则 (人数保留整数) ( ) 参考数据:若 ZN(,2),则 P(Z+)0.6827,P(2Z+2)0.9545, P(3Z+3)0.9973 A年级平均成绩为 82.5 分 B成绩在 95 分以上(含 95)人数和 70 分以下(含 70 分)人数相等 C成绩不超过 77 分的人数少于 150 人 D超过 98 分的人数为 1 人 解:选项 A:因为 ZN(82.5,5.

16、42),所以 82.5,5.4, 由正态分布概念可知:年级平均成绩 82.5,故 A 正确, 选项 B:因为,所以成绩在 95 分以上(含 95 分)人数和 70 分以下(含 70 分)人数 相等,故 B 正确, 选项 C:因为 7782.55.4,所以 P(Z77)P(Z), 因为 10000.15865159150,所以成绩不超过 77 分的人数多于 150 人,故 C 错误, 选项 D:因为 82.5+5.4398.799, 所以 P(Z99)P(Z+3), 因为 10000.001351,所以超过 98 分的人数为 1 人,故 D 正确, 故选:ABD 10命题 p:存在 a,bR+,

17、使;命题 q:对任意 a,bR+,;命题:r:若 a b,cd,则 acbd,则( ) Apq 为真命题 Bpq 为真命题 Cpr 为假命题 Dpr 为假命题 解:对于命题 P:a,bR+,当 a1,b1 时,不等式成立,故命题 P 为真命题; 对于命题 q:对任意 a,bR+,(a3b3)(ab)0(a b)2(a2+ab+b2)0,当且仅当 ab 时,等号成立,故 q 为真命题; 对于命题 r:当 ab0,cd0 时,则 acbd,故命题 r 为假命题; 故 pq 为真命题;pq 为真命题,pr 为假命题,pr 为真命题; 故选:ABCD 11已知 f(x)Asin(x+)(A0,0,(0

18、,2)的图象如图,则( ) A2 B CA2 Dx时,f(x)取最小值 解:由题意知:(),则 T, 故 2,故 A 正确; 函数图像由 yAsinx 的图像向左平移而得, 故 f(x)Asin2(x+)Asin(2x+),故 ,故 B 正确; f(0)Asin1,解得:A,故 C 错误; x 时,2x+2,f(x)不取最小值,故 D 错误; 故选:AB 12矩形 ABCD 中,AB4,BC3,将ABD 沿 BD 折起,使 A 到 A的位置,A在平面 BCD 的射影 E 恰落在 CD 上,则( ) A三棱锥 ABCD 的外接球直径为 5 B平面 ABD平面 ABC C平面 ABD平面 ACD

19、DAD 与 BC 所成角为 60 解:对于 A,取 BD 中点 E,连接 AE,CE, 则 AEBEDECE 三棱锥 ABCD 的外接球直径为 5,故 A 正确; 对于 B,DABA,BCCD,AF平面 BCD,BCAF, 又 AFCDF,AF、CD平面 ACD,BC平面 ACD, AD平面 ACD,DABC, BCBAB,DA平面 ABC, DA平面 ABD,平面 ABD平面 ABC,故 B 正确; 对于 C,BCAC,AB 与 AC 不垂直, 平面 ABD 与平面 ACD 不垂直,故 C 错误; 对于 D,DABC,ADA是 AD 与 BC 所成角(或所成角的补角), AC,AF,DF,

20、AF ,AA3, cosADA0,ADA90, AD 与 BC 所成角为 90,故 D 错误 故选:AB 三、填空题(本题共三、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13已知 F1,F2为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象 限的交点为 M,|F1F2|10,|MF1|2|MF2|,则双曲线的标准方程为 解:由双曲线的定义知,|MF1|MF2|2a, |MF1|2|MF2|, |MF1|4a,|MF2|2a, 又 M 在以 F1F2为直径的圆上, |MF1|2+|MF2|2|F1F2|2,即 16a2+4a2100

21、, a25, |F1F2|102c,c5,b2c2a225520, 双曲线的标准方程为 故答案为: 14已知 m0,(1+mx)4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,若 a2a3,则 m 解:m0,(1+mx)4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 若 a2a3,则 m2 m3, m, 故答案为: 15已知数列an满足 a11,a2n+1a2n1,a2n2a2n1,则 a2021 210111 解:a2n+1a2n1,a2n2a2n1, a2n+12a2n11,化为:a2n+1+12(a2n 1+1), 数列a2n1+1为等比数列,首项为 a1+12,公比为 2, a2n1+1

22、22n1, 可得:a2n12n1 a2021210111 故答案为:210111 16已知函数 f(x),f(x)m(mR)恰有四个不相等的实数根 x1,x2,x3, x4且满足 x1x2x3x4,则 1 ;x1+x2+2x3+x4的最小值为 2+1 解:函数 f(x), 画出函数 f(x)的图象和直线 ym, f(x)m(mR)恰有四个不相等的实数根 x1,x2,x3,x4且满足 x1x2x3x4, 故 0m4, x1,x2满足:(x+1)2mx1+x22, x3,x4满足|log2(x1)|mx31+2m,x41+2m, +1, x1+x2+2x3+x4的2+2 (1+2m) +1+2m+

23、2m+12+12+1, 当且仅当2m即 m 时,等号成立, 故答案为:1,2+1 四、解答题(本题共四、解答题(本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。)解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。) 17数列an满足 a1,(2n+21)an+1(2n+12)an(nN*) (1)求an的通项公式; (2)求 a1+a2+an 解:(1)由(2n+21)an+1(2n+12)an(nN*)可得, 2, 2 2 2n 1 , , (2)由(1)知, a1+a2+an +1 18在a+c4;ABC 的面积为;ac4,这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,若问

24、 题中的三角形存在,求出 sinA+sinC,若问题中三角形不存在,说明理由 问题:ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(AC)+cosB,b2,_ 解:因为 cos(AC)+cosBcos(AC)cos(A+C), 所以 2sinAsinC,即 sinAsinC, 选a+c4,b2; 由余弦定理得 a2+c22accosBb2,且(a+c)2164b2, 故 2ac(1+cosB)3b2, 所以 2sinAsinC(1+cosB)3sin2B33cos2B, 整理得 2cos2B+cosB10, 解得 cosB或 cosB1(舍), 所以 sinB,2, 所以

25、sinA+sinC2sinB; 选ABC 的面积为,b2; 由正弦定理得 a,c, 所以 SABC , 所以 sinB,不存在 B,此时三角形不存在; 选ac4,b2, 所以 b2ac,即 sin2BsinAsinC , 故 sinB, 因为 b 为等边中项,故 B 不是最大角,cosB, 由余弦定理得 4a2+c2ac(a+c)23ac(a+c)212, 所以 a+c4, 所以2, 所以 sinA+sinC 19四棱锥 PABCD 中,ABCD,PDABAD90,PDDAABCD,S 为 PC 中点,BS CD (1)证明:PD平面 ABCD; (2)平面 SAD 交 PB 于 Q,求 CQ

26、 与平面 PCD 所成角的正弦值 【解答】(1)证明:取 CD 的中点 M,则 DMAB 且 DMAB, 所以四边形 ABMD 为平行四边形, 故 BMAD,所以 BMCD,又 BSCD,BMBSB,BM,BS平面 BSM, 所以 CD平面 BSM,又 SM平面 BSM, 所以 CDSM, 因为 SMPD,所以 CDPD,又 ADPD,CDADD,CD,AD平面 ABCD, 所以 PD平面 ABCD; (2)解:延长 CB,DA 交于点 N,连结 SN 与 PB 交于点 Q, 因为 B 为 CN 的中点,S 为 PC 的中点,所以 Q 为PNC 的重心, 所以, 以点 D 为坐标原点,建立空间

27、直角坐标系如图所示, 不妨设 AB1,则 B(1,1,0),P(0,0,1),设 Q(x,y,z),且, 则有,解得, 所以, 因为 ADPD,ADCD,且 PDCDD,PD,CD平面 PCD, 所以 AD平面 PCD, 则平面 PCD 的一个法向量为, 所以, 故 CQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为 20新冠疫情期间,某省级示范学校统计高三年级走读生与寄宿生的学习状态,得如表表格,其中前 200 名定为优秀 优秀 非优秀 合计 走读生 120 530 650 寄宿生 80 270 350 合计 200 800 1000 (1)是否有 95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关; (2)年级前

28、10 名中有寄宿生 4 人,现从这 10 人中随机选出 3 人去名校研学选出的寄宿生人数记为 X, 写出 X 的分布列,并求 E(X) P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据及公式:K2 解:(1)根据题中数据和公式可计算观测值 K22.7473.841, 由临界值表格判断可得没有 95%把握认为成绩优秀与是否寄宿有关; (2)前 10 名中有寄宿生 4 人,现从这 10 人中随机选出 3 人去名校研学选出的寄宿生人数记为 X, 则 X 的可能取值为:0、1、2、3

29、, 则 P(X0); P(X1); P(X2); P(X3); 写出 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P E(X)0+1+2+3 故答案为:E(X) 21椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 M, N 两点,其中点 M 在第一象限,cosMF1N,|F1F2|2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)A 为椭圆上顶点,过 A 引两条直线 l1,l2,斜率分别为 k1,k2,若 k1k21,l1,l2分别交椭圆另一点 为 P,Q,求证:直线 PQ 恒过定点 解:(1)设 F1(c,0),F2(c,0),则根据题意可得点 M(c, ),

30、 |F1F2|2c2c1,|MF2 | , 则在 RtMF1F2中,tan , 又因为MF1N2MF1F2,所以 cos , , , 又a2b2c21, 2a23a20a2, b23, 椭圆的标准方程为: (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则当 PQ 的斜率不存在时,y2y1, ,不合题意,舍去 当斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 ykx+t, 此时, (*), 将 PQ 的方程代入到椭圆方程,并化简可得:(34k2)x2+8ktx+4t2120, , 将以上结论代入到(*)式可得, 即, 解之可得,t, 故可得直线 PQ 恒过定点(0,) 22已知对任意 x0,f(x)ln(x

31、+1)0 恒成立 (1)求 a 的范围; (2)证明:2(参考数据:e2.7,e27.4,e320.1,e450.6,e5148.4) 解:(1), 令 g(x)x2+(42a)x+42a, 当 a2 时,g(x)0 即 f(x)0 恒成立,故 f(x)在(0,+)单调递增,又 f(0)0,故 f(x) 0 恒成立 当 a2 时,由 g(0)42a0,设 x00 且 g(x0)0,则 0 xx0时,g(x)0 即 f(x)0, 因此在(0,x0)上 f(x)单调递减,又 f(0)0,故 0 xx0时,f(x)0,不符合题意 综上,a 的取值范围为(,2 (2)证明:由(1)知,取 a2,当 x0 时, 故对 nN*,即, 所以4, 所以2